2024年北京某中学中考模拟数学试卷（一）含详解

2024年北京师大附中中考数学模拟测试试卷（一）

一、选择题（本大题共8小题，共24分）

1.下图中标注的角可以用/。来表示的是（）

2.要使二次根式&有意义，则。的值可以为（

A.OB.-1C.-2D.-4

3.下列说法正确是（）

A.一个有理数的绝对值一定大于它本身

B,只有正数的绝对值等于它本身

C.负数的绝对值是它的相反数

D.一个数的绝对值是它的相反数，则这个数一定是负数

4.如图，在DO中，AD是直径，ZABC=35°,则NCLD等于（

C.55°D.45°

5.学校组织春游，安排给九年级三辆车，小明和小慧都可以从这三辆车中任选辆乘坐，小明和小慧乘坐同一辆车

的概率是（）

4

D.

9

6.如果。=百-1，那么代数式+的值为（）

a-1a-1

A.3B.gC.与D.73-2

7.如图，在四边形ABCD中，AD//BC,AB=CD,/B=60°,AD=2，3C=8,点P从点3出发沿折线

BA—AD—DC匀速运动，同时，点。从点3出发沿折线5C—CD匀速运动，点尸与点。的速度相同，当二者相

遇时，运动停止，设点尸运动的路程为x,V3PQ的面积为y,则y关于x的函数图象大致是（）

二、填空题（共24分）

8.若分式:一有意义，则x的取值范围是

x+1

Y2

9.方程一、+——=4的解是.

x~l1—X

10.在函数y=-■的图象上有两点（-3,yi）、（-1,以），则函数值”，”的大小关系是—.

X

2

11.直线y=Ax（左＜。）与双曲线丁=一一交于A（%，x）,B（X2，y2）两点（A在第二象限），贝1J2为%+3%%的值为

12.RtZXBEF和Rt△。尸G是一副三角尺，且5E=DG,按如图所示的方式恰好放置在矩形ABCD内，点E、G

13.生活委员小刚对本班50名学生所穿校服尺码的数据统计如下:

尺码SMLXLXXLXXXL

频率0.050.10.20.3250.30.025

则该班学生所穿校服尺码为“XXL”的人数个.

14.如图，正六边形A8CDE/中，G,”分别是边A尸和。E上的点，GF=^AB=2,ZGCH=60°.则线段

EH长.

15.2022年北京冬奥会已经越来越近了，这是我国重要历史节点的重大标志性活动，更是全国人民的一次冰雪运动

盛宴，与此同时北京冬奥会吉祥物冰墩墩也受到人们的喜爱，关于冰墩墩的各种周边纪念品：徽章、风铃、抱枕、

公仔正在某商场火热销售中.已知徽章和抱枕的价格相同，公仔的单价是风铃的两倍，且徽章和风铃的单价之和不

超过120元.元旦节期间，徽章的销售数量是公仔数量的2倍，风铃和抱枕的销售数量相同，其中徽章和风铃共卖

出120件，抱枕和公仔的销售总额比风铃和徽章的销售总额多2200元,则徽章和风铃销售总额的最大值是元.

三、解答题（共8题）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

16计算:-3tan300--2.

2(%——)<-x+2

17.解不等式组〈并写出它的非负整数解.

11〜

XX<—F2x

23

18.先化简，再求值:

己知ci—b=5,求3（。切+。一2Z?）—+。）一（。%—56—1）的值.

19.如图NB=NC=90°,E为3c上一点，AE平分/R4D，DE平货NCDA.

XT

/NE

A匕----B

（1）求NAED的度数；

（2）求证：E是5c的中点.

20.如图，在VA3C中，点。AC边上一点，连结3D并延长到点E，过点E作所〃6C交AC于点E交

AB于点G.

A

(1)若BD=DE,求证：CD=DF■,

⑵若BG=GE,ZACS=70。,NE=25。,求NA的度数.

21.当机取何值时，关于x的方程|x-1=6机+5(x-㈤的解是非负数？

22.已知关于x的一元二次方程/一4研+3加=0.

(1)求证：该方程总有两个实数根；

(2)若加>0,且该方程的两个实数根的差为2,求加的值.

23.如图，。是VABC的外接圆，AD是(O的直径，ADJ.BC于点、E.

(1)求证：ZBAD=ZCAD；

(2)连接80并延长，交AC于点尸，交C。于点G,连接GC.若CO的半径为5,OE=3,求GC和OF

的长.

24.如图，正常水位时，抛物线形拱桥下水面宽为20m,此时拱桥的最高点到水面的距离为4m.

-I••»<।」茎

(1)把拱桥看作一个二次函数的图象，建立恰当的平面直角坐标系，求出这个二次函数的表达式；

(2)当水面宽10m时，达到警戒水位，如果水位以0.2m/h速度持续上涨，那么达到警戒水位后，再过多长时

间此桥孔将被淹没？

25.探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线，画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过

程.结合已有的学习经验，请探究下面函数的性质.

2

己知函数丁=&,其中%与1成反比例，y2=x+6%,且当x=2时，y=4.

%

(2)列表，写出表中a,6的值：a=,b=

描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象.

X-6-5-4-3-2-1012

2757

y0a420b

~888

1131

(3)已知函数y=-§x+2的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接求出方程=+2的近似

解(结果保留一位小数).

26.已知：在矩形ABCD中，AB=6,AD=2y/3,尸是3C边上的一个动点，将矩形ABCD折叠，使点A与点P

重合，点。落在点G处，折痕为E7L

(1)如图1,当点P与点C重合时，则线段E3=,EF=；

(2)如图2,当点P与点3,C均不重合时，取取的中点0,连接并延长P0与G厂的延长线交于点连接

PF,ME,MA.

①求证：四边形"EPF是平行四边形；

②当tanNMAD=g时，求四边形"EM的面积.

27.数学概念：我们把存在内切圆与外接圆的四边形称为双圆四边形.例如，如图①，四边形ABC。内接于。

且每条边均与。尸相切，切点分别为E,F,G,H,因此该四边形是双圆四边形.

D

(1)双圆四边形的对角的数量关系是,依据是

(2)直接写出双圆四边形的边的性质.(用文字表述)

(3)在图①中，连接GE,HF,求证：GE1HF.

(4)根据双圆四边形与四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系，在图②中画出双圆四边形的大致区

域，并用阴影表示.

(5)已知P,M分别是双圆四边形ABC。的内切圆和外接圆的圆心，若AB=2,BC=4,ZB=90°,则尸/的长

为.

2024年北京师大附中中考数学模拟测试试卷（一）

一、选择题（本大题共8小题，共24分）

1.下图中标注的角可以用/。来表示的是（）

C'

【答案】D

【解析】

【分析】根据角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示.其中顶点字母要写在中

间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个

角.角还可以用一个希腊字母（如/a,ZP，/丫、…）表示，或用阿拉伯数字（/I,Z2...）表示，进而得出符

合题意的答案.

【详解】解：A、标注的角须三个字母表示，故此选项不符合题意；

B、标注的角须三个字母表示为NAOB,故此选项不符合题意；

C、标注的角须三个字母表示为/COD,故此选项不符合题意；

D、标注的角可以表示为NO,故此选项正确；

故选：D.

【点睛】此题主要考查了角定义以及表示方法，正确表示角是解题关键.

2.要使二次根式&有意义，则a的值可以为（）

A.OB.-1C.-2D.-4

【答案】A

【解析】

【分析】根据二次根式有意义的条件进行求解即可.

【详解】要使二次根式&有意义，则。之0,

四个选项中，只有选项A中的。满足题意，

故选：A

【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于。是解题的关

键.

3.下列说法正确的是（）

A.一个有理数的绝对值一定大于它本身

B,只有正数的绝对值等于它本身

C.负数的绝对值是它的相反数

D.一个数的绝对值是它的相反数，则这个数一定是负数

【答案】C

【解析】

【分析】根据绝对值的意义逐项判断即得答案.

【详解】解：A、一个有理数的绝对值不一定大于它本身，如正数和零的绝对值都是它本身，故本选项说法错误,

不符合题意；

B、只有正数和零的绝对值等于它本身，故本选项说法错误，不符合题意；

C、负数的绝对值是它的相反数，故本选项说法正确，符合题意；

D、一个数的绝对值是它的相反数，则这个数是负数或0,故本选项说法错误，不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查了有理数的绝对值，正数和零的绝对值等于它本身，负数的绝对值是它的相反数，熟练掌握绝

对值的意义是关键.

4.如图，在中，AD是直径，ZABC=35°,则NCLD等于（）

A.75°B.65°C.55°D.45°

【答案】C

【解析】

【分析】由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得NADC的度数，又由是的直径，根据

直径所对的圆周角是直角，即可求得答案.

【详解】解：•••加。=35。，

ZADC^ZABC=35°,

：AD是直径，

NACD=90。，

ACAD=90°-ZADC=55°.

故选C.

【点睛】此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质.此题难度不大，注意数形结合思想的应用.

5.学校组织春游，安排给九年级三辆车，小明和小慧都可以从这三辆车中任选辆乘坐，小明和小慧乘坐同一辆车

的概率是（）

【答案】B

【解析】

【分析】列举出所有乘车情况，然后看在同一辆车的情况占总情况数的多少即可.

【详解】列表如下（三辆车分别用1,2,3表示）：

123

1(1,1)(2,1)(3,1)

2(1,2)(2,2)(3,2)

3(1,3)(2,3)(3,3)

所有等可能的情况有9种，其中小明和小慧同车的情况有3种，

31

...小明和小慧乘坐同一辆车的概率是一=—,

93

故选：B.

【点睛】此题考查了基本概率的求法，解题的关键是熟练掌握求概率的方法，包括列表法和树状图法.

6.如果q=6-1，那么代数式+的值为（）

a-1a~-1

A.3B.6。.乎D.6-2

【答案】B

【解析】

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果,

把a的值代入计算即可求出值；

【详解】原式=（匕+-一）•（“f

a—1a—1a

a—1a

=a+1,

当。=百-1时，原式=百一1+1=6.

故选：B.

【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键；

7.如图，在四边形ABCD中，AD//BC,AB=CD,/B=60°,AD=2,3C=8,点尸从点3出发沿折线

BA—AD—DC匀速运动，同时，点。从点8出发沿折线BC—CD匀速运动，点P与点。的速度相同，当二者相

遇时，运动停止，设点P运动的路程为x,V3PQ的面积为y,则y关于x的函数图象大致是（）

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、一次函数、解直角三角形等知识，此类问题关键是，要弄

清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解.作AELBC、DF于点E,F,证明点尸与点。的

运动的路程相同，分为当点尸在上运动，点。在3C上运动时，当点尸在AD上运动，点。在5c上运动时,

当点尸在CD上运动，点。在。。上运动时，三种情况讨论.

【详解】解：如图，作AEL3C、于点E，F，

在四边形ABCD中，AD//BC,AB=CD,AD=2，BC=8,

：.EF=2,BE=CF=3,AE=DF,

ZB=60°,

：.AB=CD=6,AE=DF=36•

1•点P与点。的速度相同,

点P与点。的运动的路程相同，

当点尸在AB上运动，点。在3c上运动时，如图:

1662

y———xx—x——x，

-224

当x=6时，y=9A/3，

故可排除A、C两个答案；

当点尸在AD上运动，点。在3c上运动时，如图:

y—_—1xxx23、W3—----x,

22

当％=8时，、=孚义8=12百；

当点尸在上运动，点。在。C上运动时，如图:

PD=QC=x-8,PC=6-(x-8)=14-x,

J=1X8X73^7-1X^-1X8X^XQX-4^|=-473X+4473,

可以排除。答案，

故选：B.

二、填空题（共24分）

8.若分式工一有意义，则了的取值范围是

x+1

【答案】XW—1

【解析】

【分析】根据分式有意义的条件进行求解即可.

详解】解：..•分式二一有意义，

X+1

x+lwO,

XH—1,

故答案：XW—1.

【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为。是解题的关键.

X2

9.方程一、+——=4的解是.

x~l1—X

【答案】X=-

3

【解析】

【分析】解分式方程即可得出答案.

【详解】方程两边同乘（尤T）,得x—2=4（x—1）,

2

解得x=—,

3

经检验，％=2是原方程的解，

3

­,2

故答案为：X——.

3

【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键.

10.在函数y=-工的图象上有两点（-3,w）、（-1,”），则函数值?，”的大小关系是—.

X

【答案】

【解析】

【分析】由反比例函数左V0,则当XV0时，y随X的增大而增大，根据性质可得答案.

【详解】y=--,k=-l<Q,

x

当x<o时，y随x的增大而增大，

•，•%<力，

故答案为：为<%•

【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，掌握“反比例函数的图象在二四象限时，在每一象限内，y随工的增

大而增大”是解题的关键.

2

11.直线y=Ax（左<。）与双曲线丁=一一交于4（%,乂）,：8（9,多）两点在第二象限），贝1J2%%+3%%的值为

【答案】10

【解析】

【分析】本题为反比例函数与正比例函数的综合.根据反比例函数上点的坐标特征推出占与%,乙与为的关系，

直线与双曲线交点的特征推出X1与％,%与%的关系是解答本题的关键.

2

先根据点401，%）,8（>2，乃）是双曲线y=-一上的点可得出为•丹=%2,%=-2,再根据直线y=kx*<0）与双

2

曲线y=—-交于点4（%1以）,8（支2/2）两点可得41=-々，%=—%，再把此关系代入所求代数式进行计算即可.

X

2

【详解】解：•・•点是双曲线y=上的点，

X

%•X=%2.%=—2，

2

直线丁=kx（k<0）与双曲线y=-一交于点A（%1，y）8（%2,月）两点，

x

即A5两点关于原点对称.

.,・西=—々J=一%，

二.2%1》2+3元2yl--2九2y2-3%2y2=—5%2y2=10，

故答案为：10.

12.Rt△跳下和RtADFG是一副三角尺，且B£=DG,按如图所示的方式恰好放置在矩形A5CD内，点E、G

DC

分别在边AD、上，点5、。恰好与矩形的顶点重合，则二二=.

【答案】"+1

3

【解析】

【分析】过点E作“W〃CD,证明,DM/gqWG,得到DM=FN,MF=GN,证明，.月0ES.石45,得至i]

MFEF1DC

设斯=x，板=、’利用的\山2,求出x，y的数量关系’进而求出节的值.

【详解】解：过点E作肱V〃CD,交A£>,5C分别于M,N,

•.•四边形A3CD为矩形，

四边形DCNM和四边形AMNB均为矩形，

ZDMF=ZFNG=ZFMA=ZEAB=90°,CD=MN=AB,DM=CN；

,：RtABEF和RtADFG是一副三角尺，

DF=FG,ZDFG=NFEB=90°,NFBE=30°,

ZMFD+ZMDF=ZGFN+ZMFD=90°,ZBEA+ZMFE=NABE+NBEA=90°,

/.NMDF=ZGFN,ZMFE=ZABE,

DMF^.FNG（AAS）,

:.DM=FN,MF=GN,

设DM=x,MF=y,

则：DM=FN=x,MF=GN=y,

：.DF2^DM2+MF2^x2+y2,DG2=DF2+FG2=2DF2=2x2+2y2,MN=FM+FN=x+y,

•：BE=DG,

：.BE-^Ix1+2y2,

'：ZFMA=ZEAB,NMFE=ZABE,

：.4FMES4EAB,

.MFEF

"AE-5E'

•：ZFBE=30°,

•••EF^-BF,BEVBF2-EF2^—BF，

22

.MF_EF_1

,•石一康—国，

AE=y/3MF=氐,

AB2=BE2-AE2=2x2+2/-3/=2x2-y2,

'：MN=AB,

(x+»=2x?-y?,即：x2-2xy-2y2=0,

.•.x=(l+g)y或x=(l—(不符合题意，舍去)，

/.CD=MN=x+y=(2+^y,CG=CN-GN=DM-GN=x-y=^y,

.DC_(2+&b_(2+若)_2若+].

,,百一A一百一丁+'

故答案为：2叵+i.

3

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理.本题的综合性

较强，解题的关键是添加合适的辅助线，证明三角形全等和相似.

13.生活委员小刚对本班50名学生所穿校服尺码的数据统计如下：

尺码SMLXLXXLXXXL

频率0.050.10.20.3250.30.025

则该班学生所穿校服尺码为“XXL”的人数个.

【答案】15

【解析】

【分析】根据“XXL”所占的频率为0.3再乘以50即可求解.

【详解】解：由表中数据可知，“XXL”所占的频率为0.3,

该班学生所穿校服尺码为“XXL”的人数为：0.3x50=15人，

故答案为：15人.

【点睛】本题考查了用频率估算整体的思想，属于基础题，计算细心即可.

14.如图，正六边形ABCDE尸中，G,H分别是边A尸和DE上的点，GF=^AB=2,ZGCH=60°.则线段

EH长.

【答案】y

【解析】

【分析】作GP//A5交BC于点尸，AN1/BC交GP于点、N.可证明四边形A3PN为平行四边形,ANG为等边

三角形，从而可得PG,PC的长度，再证明_PCGS_DHC,即可求得DH,从而得出EH.

【详解】解：作GP//AB交2C于点P,AN//BC交GP于&N.

四边形A8PN为平行四边形，

PN=AB=6,

,/六边形ABCDEF为正六边形,

：.ZBAF=ZB=ZBCD^ZD=120°,AF=AB^BC=CD=6,

/.ZBAN=ZNAG=ZAGN=60°,ZCPG=ZD=120°,

•••▲ANG为等边三角形，

NG=AN=AG=6—2=4,

PG=PN+NG=6+4=10,

•/ZPCG+ZDCH=ZBCD-ZGCH=120°-60°=60°,

ZDHC+ZDCH=180°-ZD=180°-120°=60°,

：.ZPCG=ZDHC,

1/ZCPG=ZD,

•••PCGs^DHC,

,PCPG

••一,

DHCD

VPC=BC-BP=2,PG=10,CD=6,

：.DH=~,

5

EH=ED-HD=6--=—.

55

【点睛】本题考查正多边形，平行四边形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判

定.能正确作出辅助线，构造相似三角形是解题关键.

15.2022年北京冬奥会已经越来越近了，这是我国重要历史节点的重大标志性活动，更是全国人民的一次冰雪运动

盛宴，与此同时北京冬奥会吉祥物冰墩墩也受到人们的喜爱，关于冰墩墩的各种周边纪念品：徽章、风铃、抱枕、

公仔正在某商场火热销售中.已知徽章和抱枕的价格相同，公仔的单价是风铃的两倍，且徽章和风铃的单价之和不

超过120元.元旦节期间，徽章的销售数量是公仔数量的2倍，风铃和抱枕的销售数量相同，其中徽章和风铃共卖

出120件，抱枕和公仔的销售总额比风铃和徽章的销售总额多2200元,则徽章和风铃销售总额的最大值是元.

【答案】6100

【解析】

【分析】本题考查了方程和不等式的应用，解题关键是根据题意中的数量关系，设未知数，列出方程，根据等式的

性质进行变形，整体代入求解.

设徽章和抱枕的价格为a元，风铃的价格为b元，公仔的价格为2b元，公仔的销售数量为加件，徽章的销售数量

为2w件，则风铃和抱枕的销售数量为(120-2m)件，根据题意列出方程求解即可.

【详解】解：设徽章和抱枕的价格为。元，风铃的价格为万元，公仔的价格为沙元，公仔的销售数量为加件，徽

章的销售数量为2机件，则风铃和抱枕的销售数量为(120-2m)件，

根据题意列方程得，a(120-2m)+2/?m-Z?(120-2m)-2ma=2200,

化简得，勿zn—2而二60Q—60b—1100；

徽章和风铃销售总额为2松+8(120-2祖)=2ma-2bm+120b,

把2加—2而二60。一60/7—H00代入得60Q+60Z?—noo,

a-\-b<12Q,

当a+b=120时，徽章和风铃销售总额的最大，最大值是60x120—1100=6100(元)；

故答案为：6100.

三、解答题(共8题)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

16.计算：712+^-3tan30°-|-2|.

【答案】3+73

【解析】

【分析】根据特殊角三角函数值，负整数指数累，绝对值，以及二次根式的性质进行求解即可.

详解】解：712+^I-3tan30°-|-2|

=2A/3+5-3X--2

3

=2百+5-百-2

=3+6■

【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值，负整数指数塞，绝对值，以及二次根式的性质，实数的运算，熟知

相关计算法则是解题的关键.

2(x-—)<-x+2

2并写出它的非负整数解.

17.解不等式组《1]

X—X<—F2%

23

【答案】—非负整数解是0,1

9

【解析】

【分析】首先解两个一元一次不等式，然后求两个不等式解集的公共部分，最后写出不等式组的整数解.

2(%-—)<-x+2①

【详解】解：〈

11「不

x—x<—F2x(2)

23

解不等式①，得xWl,

2

解不等式②，得元〉—,

9

不等式组的解集是-2<xWl,

9

非负整数解是0,1.

【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练解答一元一次不等式和确定一元一次不等式组

的解集，在一元一次不等式组解集里确定非负整数解.

18.先化简，再求值：

已知a—Z?=5,求3(〃25+〃—2/?)—2(a%+a)—(a%—5Z?—1)的值.

【答案】Z?+l；6

【解析】

【分析】先根据整式加减运算法则进行化简，然后再代入数据计算即可.

【详解】解：3(a力+a—2Z?)—2(a%+a)——5Z?—1)

=3a2b+3a—6b—2ci^b—2a—a%+5b+1

=a—Z?+1,

a-b=5,

原式=5+1=6.

【点睛】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，准确计算，注意整

体代入思想.

19.如图N3=NC=90°,E为BC上一点,AE平分NR4。，DE平分NCZM.

(1)求NAXD的度数；

(2)求证：E是3c的中点.

【答案】(1)90°

(2)见解析.

【解析】

【分析】(1)利用已知条件可以得到/B4D+NSL=180°,想要求ZAED的度数，只需要根据三角形内角和定

理和角平分线的性质即可得到结论.

(2)过点E做石尸14),根据角平分线上的点到角的两边距离相等即可得结论.

【小问1详解】

解：VZB=ZC=90°,

DC//AB,

ZBAD+ZCDA=1SQ°,

平分NR4。，DE平分NCDA,

：.ZEAD=-/BAD,ZEDA=-ZCDA,

22

/.ZEAD+ZEDA=1(ZBAD+ZCDA)=90°,

ZAED=180°-(ZEAD+/EDA)=90°；

【小问2详解】

证明：过点E作EF工AD于点F，

平分NA1D，IB90?,EFJ.AD,

:.EF=EB.

；DE平分NCDA,ZC=90°,EFd,AD,

：.EF=EC.

:.EB=EC,即E是5c的中点.

【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，以及角平分线上的点到角两边距离相等的性质，熟记性质和定理并做

出辅助线是解题的关键.

20.如图，在VABC中，点。为AC边上一点，连结3D并延长到点E,过点E作所〃5C交AC于点F交

AB于点G.

（1）若BD=DE,求证：CD=DF；

⑵若BG=GE,ZACB=1Q°,ZE=25°,求NA的度数.

【答案】（1）见解析（2）60°

【解析】

【分析】（1）根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等）可知NOBC=NE,结合已知

BD=DE,NBDC=NEDF（对顶角相等），可证得_BDC与EDF（ASA）,即可根据全等三角形的性质定理

证得CD=D9.

（2）根据平行线的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和定理解答即可.

【小问1详解】

证明：EF//BC

：.NE=NDBC

在Hr5£>C和EZ*中，

NDBC=NE

<BD=DE

ZBDC=ZEDF

:.」EDF玛BDC(ASA)

CD=DF；

小问2详解】

解：EF//BC

：.NE=ZDBC=25。

又；BG=GE

：.NGBE=ZE=25。

：.ZABC=ZGBE+ZDBC=50°

在VABC中，

ZACS=70°

ZA=180°-ZABC-ZACB=180°-50°-70°=60°

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握

并熟练运用相关的性质定理是解题的关键.

21.当机取何值时，关于x的方程|x—1=6机+5(x—相)的解是非负数？

【答案】m<-l

【解析】

【分析】根据解的定义直接计算，非负即大于等于0.

,2

【详解】-x-l=6m+5(x-m),

2厂一厂1

—X—JX=6m—5m+1,

3

13।

-----x=m+i,

3

3

解得％=一百(加+1),

3

由题意得—⑪(m+1)20,

m+1<0

解得加<一1.

【点睛】此题考查含参数的一元一次方程，以及一元一次不等式，解题关键是先求出解，然后对解进行运算.

22.已知关于x的一元二次方程炉一43+3m2=().

(1)求证：该方程总有两个实数根;

（2）若m>0,且该方程的两个实数根的差为2,求相的值.

【答案】（1）见详解；（2）m=l

【解析】

【分析】（1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证；

（2）设关于x的一元二次方程龙2—47加+37〃2=0的两实数根为项,々，然后根据一元二次方程根与系数的关系

可得西+々=4加,再・马=3加之，进而可得（石—七丫=4,最后利用完全平方公式代入求解即可.

【详解】（1）证明：由题意得：”=1/=一4根,。=3根2,

A=/?2-4ac=16/n2-4xlx3/n2=4m2>

zn2>0»

A=4〃/>o，

该方程总有两个实数根；

2

（2）解：设关于X的一元二次方程无2—47%+37%2=0的两实数根为七,々，则有：x1+x2=4m,x1-x2=3m,

V|x,-x2|=2,

（石_9）~=（玉+无2y—4%九2=16m2-12m2=4,

解得：w=+1,

m>0,

m=1.

【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系

数的关系是解题的关键.

23.如图，。是VABC的外接圆，4。是（。的直径，4。13。于点£.

（1）求证：ABAD=ACAD-

（2）连接50并延长，交AC于点尸，交于点G,连接GC.若「0的半径为5,OE=3,求GC和Ob

的长.

OF

【答案】（1）见详解；（2）GC=6,=—

【解析】

【分析】（1）由题意易得BQ=CD，然后问题可求证；

（2）由题意可先作图，由（1）可得点£为的中点，则有OE=」CG,O七〃CG,进而可得

2

AOFs；CGF,然后根据相似三角形的性质可进行求解.

【详解】（1）证明：•；AD是O的直径，ADJ.BC,

BD=CD，

：.NBAD=NCAD；

（2）解：由题意可得如图所示：

由（1）可得点£为BC的中点,

:点。是BG的中点，

AOE=-CG,OE//CG,

2

：.AOF^CGF,

.OA_OF

,•布一瓦’

OE=3,

**•CG=6,

・・・。的半径为5,

OA=OG=5,

5OF

•・•一二_,

6GF

525

OF=—OG=—

1111

【点睛】本题主要考查垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理、三角形中位线

及相似三角形的性质与判定是解题的关键.

24.如图，正常水位时，抛物线形拱桥下的水面宽为20m,此时拱桥的最高点到水面的距离为4m.

(1)把拱桥看作一个二次函数的图象，建立恰当的平面直角坐标系，求出这个二次函数的表达式；

(2)当水面宽10m时，达到警戒水位，如果水位以0.2m/h的速度持续上涨，那么达到警戒水位后，再过多长时

间此桥孔将被淹没？

1

【答案】(1)y=--%29+4

25

(2)5h

【解析】

【分析】(1)以所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设所求表达式为

y=ax2+c,然后应用待定系数法求解即可；

(2)当水面宽10m时，在(1)所得函数解析式中，令x=5,可以求出达到警戒水位后拱桥最高点到水面的距

离，用这个距离除以水位上涨速度即可得解.

【小问1详解】

如图，建立平面直角坐标系.

设拱桥所在的二次函数的图象对应的表达式为丁=。d+。，由题意，可知图象的顶点坐标为(0,4)

VAB=20m

...点3坐标为(10,0)

4=c

••0=100〃+c

一1

a=----

・・・<25

c=4

1

...所求函数表达式为y=--X-9+4；

【小问2详解】

当水面宽10m时，

1,

...当x=5时，、=一不乂5~+4=3,

函数图象经过(5,3),

(4-3)^0.2=5.

答：当达到警戒水位后，再过5h此桥孔将被淹没.

【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数模型的建立方法、待定系数法求二次函数解析式的方法、

函数自变量与因变量的意义等是解题关键.

25.探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线，画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过

程.结合己有的学习经验，请探究下面函数的性质.

2

已知函数＞=三，其中％与X成反比例，y7=x+6x,且当X=2时，y=4.

(2)列表，写出表中a,6的值：a-，b=

描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象.

X-6-5-4-3-2-1012

2757

y0a420b

~888

11.3O1

(3)已知函数y=-x+2的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接求出方程一/+—/=_—x+2的近似

■3843

解(结果保留一位小数).

1,3o

【答案】(1)y=-x3+-x

84

25

（2）—,4,图见解析

8

（3）（=-4.7（-5~-4.5均可）,%=-2.6（-3~-2.5均可）,%=L3（1~L5均可）

【解析】

7_x2+6%_x3+6x2

【分析】(1)设％=—,得到'=-k—=—k—，然后代入x=2,y=4求出发即可;

X—

x

⑵分别将x=—5和无=2代入(1)中表达式中即可求出。和6的值；

(3)根据函数图像的交点横坐标即为联立函数解析式形成的方程的解即可作答.

【小问1详解】

k

解：设％=—，且%=/+6%,

%

232

_y2_x+6%x+6x

y为kk，代入X=2,y=4,

X

.8+6x4

4=-------

解得：k=8,

1,3,

丁关于x的函数解析式为y=—V+-f；

-84

【小问2详解】

13

解：将％=—5代入丁=313+4f，

.1/八33/八225

••ci——x(_5)H—x(_5)=—，

848

13

将％=2代入y=—工3+—%2,

84

/?=—x23+—x22=4,

84

【小问3详解】

4-2

39工犬+2的交点的横

+—x与函数y=-

3

坐标,

由(2)中图像可知，其交点有3个，从左至右横坐标依次标记为XI、X2、X3,

观察图像可知，方程的解为：xi=-4.7(-5~-4.5均可)，X2=-2.6(-3~-2.5均可)，尤3=1.3(1~1.5均可).

【点睛】本题主要考查一次函数及反比例函数的图象和性质，函数与方程的关系，会用描点法画出函数图象，利

用数形结合的思想得到函数的性质，进而求解高次方程是解题的关键.

26.已知：在矩形A3CD中，AB=6,AD=26，尸是5c边上的一个动点，将矩形A3CD折叠，使点A与点P

重合，点。落在点G处，折痕为EF.

ffll图2

(1)如图1,当点P与点C重合时，则线段防=,EF=；

(2)如图2,当点P与点8,C均不重合时，取E尸的中点O,连接并延长P0与G厂的延长线交于点M,连接

PF,ME,MA.

①求证：四边形"EPF是平行四边形；

②当tan/MAD=g时，求四边形AffiP尸的面积.

【答案】(1)2；4(2)①见详解；②迎8

3

【解析】

【分析】(1)过点E作户由翻折的性质可知：AE=CE,ZFEA=ZFEC,根据平行线的性质和等量代

换可得ZCFE=ZFEC,由等角对等边可得：CF=CE=AE,设AE=CE=CF=x,BE=6—x,在RtBCE中，

由勾股定理可得关于％的方程，解方程求得左的值，进而可得旗、的长，由矩形的判定可得四边形是

矩形，进而可求EH、EH的长，最后由勾股定理可得所的长；

(2)①根据折叠的性质可得MG〃PE,进而可得=根据已知条件可得QE=。/，从而证

/\FOM^/\EOP,进而根据全等三角形的性质和平行四边形的判定即可求证结论；

②连接E4与所交于点则所_14。且办=4以，又由①知：PO=OM,可得M4〃所，则M4LAP,

继而证NMM>=NB4B，根据三角函数求得PB,若设PE=x,则BE=6-x,根据勾股定理可得关于％的方程，

解方程可得？E的长，继而代入数据即可求解.

【小问1详解】

解：过点E作"H_LAB，

G

：.AE=CE,ZFEA=