青岛市七年级数学下册相期末压轴题易错题试卷及答案

一、解答题

1.在平面直角坐标系中，已知点43,5),8(7,5),连接A8,将向下平移6个单位得

线段C£),其中点A的对应点为点C.

(1)填空：点。的坐标为，线段平移到扫过的面积为.

(2)若点p是>轴上的动点，连接尸。.

①如图，当点尸在y轴正半轴时，线段尸。与线段AC相交于点E,用等式表示三角形

PEC的面积与三角形ECD的面积之间的关系，并说明理由.

②当尸。将四边形ACDB的面积分成1:3两部分时，求点P的坐标.

解析：(1)(7,-1)；24；(2)①S,；见解析；②/或尸(0,20)

“PEC4ECD卜4)

【分析】

(1)由平移的性质得出点c坐标，AC=6,再求出AB,即可得出结论；

(2)①过p点作PF_L4c交于尸，分别用CE表示出两个三角形的面积，即可得到答

案；②根据题意，可分为两种情况进行讨论分析：⑴当尸。交线段AC于E,且尸。将

四边形ACD3分成面积为1:3两部分时；当PD交AB于点G,即将四边形ACD8分成面

积为1:3两部分时；分别求出点P的坐标即可.

【详解】

解：(1)1•点A(3,5),将AB向下平移6个单位得线段CD,

.C(3,56),

即：C(3,1),

由平移得，AC=6,四边形ABOC是矩形，

(3,5),B(7,5),

AB=73=4,

/.CD=4,

二点。的坐标为：(7,-1)；

­,-5.=9・4>4、6=24,

即：线段AB平移到CD扫过的面积为24:

故答案为：(7,-1)；24；

(2)①过尸点作PF,AC交AC于尸，则PF=3,如图：

△PEC222

又S=-CExCD=-CEx4=2CE,

邸CD22

S=-S.

APEC4'CD

②(/)当尸。交线段AC于E,且尸。将四边形ACDB分成面积为1:3两部分时,

连接PC,延长DC交了轴于点尸，则/

3

又「S=-5

APEC4^ECD

△PEC42

921

S=S+S=—+6=——，

APCDAPECA£CD22

121

BP-xCZ)xPF=—,

22

CD=4,

・“4

2117

PO=PF-OF=—\=—,

44

17

m—).

4

(//)当PD交AB于点G,PO将四边形ACDB分成面积为1:3两部分时,

过P点作2M_L交DB的延长线于点M,

则PM=HB,

■■S=xBDxPM=x6x7=21,

△PDB22

S=1x24=6,

AGBD4

^-xBDxBG=6,

2

BD=6,

BG=2,

又S=S-S=21-6=15,

^PGB"DBAGBD

IPIxBGxPH=15,

2

PH=15,

PO=PH+OH=15+5=20,

■■■F(0,20).

17

综上所述，P(0,3)或尸(0,20).

4

【点睛】

此题是几何变换综合题，主要考查了平移的性质，矩形的判定，三角形的面积公式，用分

类讨论的思想是解本题的关键.

2.如图，在平面直角坐标系中，点A(2,6),8(4,3),将线段AB进行平移，使点A刚好落

在x轴的负半轴上，点B刚好落在y轴的负半轴上，A,B的对应点分别为A,B',连接

A4'交V轴于点C,33'交x轴于点D.

(1)线段可以由线段AB经过怎样的平移得到？并写出A，，8'的坐标；

(2)求四边形的面积；

(3)P为y轴上的一动点(不与点C重合)，请探究NPCV与的数量关系，给出结

论并说明理由.

yA

备用图

解析：(1)向左平移4个单位，再向下平移6个单位，A(-2,0),9(0,-3)；(2)24；

(3)见解析

【分析】

(1)利用平移变换的性质解决问题即可.

(2)利用分割法确定四边形的面积即可.

(3)分两种情形：点p在点C的上方，点P在点C的下方，分别求解即可.

【详解】

解：(1)•.•点42,6),5(4,3),

又•••将线段42进行平移，使点A刚好落在x轴的负半轴上，点8刚好落在，轴的负半轴

上，

，线段A9是由线段向左平移4个单位，再向下平移6个单位得到，

,Aze2,0),.

(2)S=6x9-2x-x2x3-2x1x6x4=24.

四边形ABB'A'22

(3)连接

「5(4,3),9(0,—3),

/.BBr的中点坐标为(2,0)在1轴上，

.•.0(2,0).

v42,6),

二.A£)//y轴，

同法可证。。3),

:.OC=OBr,

'：A!OVCB',

A!C=ArB',

同法可证，B"=B，D,

..ZADB=NZM'8,ZACB'=NAFC,

当点尸在点。的下方时，

・・,ZPCA'+NACB'=180。，AA'B'C+/DAB，=90°，

NPC4'+90。-N44'=180。，

:.ZPCA'-ZA'DB'=90°,

当点夕在点。的上方时，/PC4'+/4OV=90。.

本题考查坐标与图形变化一平移，解题的关键是理解题意，学会有分割法求四边形的面

积，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考常考题型.

3.问题情境：

在平面直角坐标系xOy中有不重合的两点A(x]，/)和点B(x2，y2)，小明在学习中发

现，若Xi，则ABIIy轴，且线段AB的长度为|V]-4；若％=力，贝1MBIIx轴，且线

段AB的长度为|x「X2l；

(应用)：

(1)若点A(-1,1)、B(2,1),则ABIIx轴，AB的长度为.

(2)若点C(1,0),且CDIIy轴，且CD=2,则点。的坐标为.

(拓展)：

我们规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点M(X],%),N(x2,y2)之间的折线距

离为d(M,N)=|x1-x2|+|y1-y2|；例如：图1中，点/M(-1,1)与点N(1,-2)

之间的折线距离为d(M,N)=|-1-1|+|1-(-2)|=2+3=5.

解决下列问题：

(1)如图1,已知E(2,0),若F(-1,-2),则d(E,F)；

(2)如图2,已知E(2,0),H(1,t),若d(E,H)=3,则t=.

(3)如图3,已知P(3,3),点Q在x轴上，且三角形。PQ的面积为3,则d(P,Q)

解析：【应用】：⑴3；(2)(1,2)或(1,-2)；【拓展】：(1)=5；(2)2

或-2；(3)4或8.

【分析】

(应用)(1)根据若、=丫2,则ABIIx轴，且线段AB的长度为区飞|,代入数据即可得

出结论；

(2)由CDIIy轴，可设点。的坐标为(1,m),根据CO=2,可得|0-m|=2,故可求

出m,即可求解；

(拓展)(1)根据两点之间的折线距离公式，代入数据即可得出结论；

(2)根据两点之间的折线距离公式结合d(E,H)=3,即可得出关于t的含绝对值符号

的一元一次方程，解之即可得出结论；

(3)由点Q在x轴上，可设点Q的坐标为(x,0),根据三角形的面积公式结合三角形

OPQ的面积为3即可求出x的值，再利用两点之间的折线距离公式即可得出结论；

【详解】

(应用)：

(1)AB的长度为|-1-2|=3.

故答案为：3.

(2)由811y轴，可设点。的坐标为(1,m),

•••CD=2,

|0-m|=2,解得：m=±2,

二点。的坐标为(1,2)或(1,-2).

故答案为：(1,2)或(1,-2).

(拓展)：

(1)d(E,F)=|2-(-1)|+|0-(-2)|=5,

故答案为：=5.

(2)-：E(2,0),H(1,t),d(E,H)=3,

|2-l|+|0-t\=3,解得：t=±2.

故答案为：2或-2.

(3)由点Q在x轴上，可设点Q的坐标为(x,0),

三角形OPQ的面积为3,

1|x|x3=3,解得：x=+2.

2

当点Q的坐标为(2,0)时，d(P,Q)=|3-2|+|3-0|=4；

当点Q的坐标为(-2,0)时，d(P,Q)=|3-(-2)|+|3-0|=8.

故答案为：4或8.

【点睛】

本题是三角形综合题目，考查了新定义、两点间的距离公式、三角形面积等知识，读懂题

意并熟练运用两点间的距离及两点之间的折线距离公式是解题的关键.

4.在平面直角坐标系中，已知线段A8,点A的坐标为(1，-2),点8的坐标为(3,0),如图

1所示.

⑴平移线段A8到线段C。，使点A的对应点为，点3的对应点为C，若点C的坐标为

（-2,4）,求点。的坐标；

⑵平移线段A8到线段C。，使点C在y轴的正半轴上，点。在第二象限内（A与。对

应，8与c对应），连接如图2所示.若S=7（S表示ABCD的面积），求

ABCDABCD

点C、。的坐标；

S2（

⑶在（2）的条件下，在y轴上是否存在一点P,使不"二w（s”「八表示4PCD的面积）？若存

\BCD

在，求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

解析：⑴。（-4,2）；（2）C（0,4）、D（-2,2）；⑶存在点尸，其坐标为'，-1］或（0,等

【分析】

（1）利用平移得性质确定出平移得单位和方向；

（2）根据平移得性质，设出平移单位，根据％BCD=7（S建立方程求解，即可）；

S2

（3）设出点P的坐标，表示出PC用丁=可，建立方程求解即可.

‘BCD

【详解】

（I）,.'B（3,0）平移后的对应点。（一2,4）,

•,•设3+i=-2,0+Z?=4,

a=-5fb=4

即线段A5向左平移5个单位，再向上平移4个单位得到线段C。,

A点平移后的对应点。（-4,2）；

⑵1,点c在y轴上，点。在第二象限，

二线段AB向左平移3个单位，再向上平移y个单位，,C（0,y）,D（-2,-2+y）

连接

s=s+s—s=

‘BCD'BOCCODBOD

1<9Bx（?C+|oCx2-|oBx（-2+y）=7,y=4

C（0,4）、£）（-2,2）；

⑶存在

设点P（0,m）,/.PC^\4-m\

9,PCD2

s3

△BCD

•'­—14-mIx2=—x7

23

14一加I」,

3

2T26

m=—或加=—

33

••・存在点P，其坐标为或

【点睛】

本题考查了线段平移的性质，解题的关键在利用平移的性质，得到点坐标的关系、图形面

积的关系，根据面积的关系，从而求出点的坐标.

5.如图1,在平面直角坐标系中，点A为x轴负半轴上一点，点B为x轴正半轴上一点，

C（O,a）,D（b,a）,其中a、b满足关系式：|。+4|+3-.一1）2=0.

（Da=，b=,ABCD的面积为；

（2）如图2,石AC_L3C于点C,点P是线段。C上一点，连接BP,延长BP交AC于点Q.

当NCPQ=NCQP时，求证：BP平分ZA8C；（提示：三角形三个内角和等于180）

（3）如图3,若ACL8C,点E是点A与点B之间上一点连接CE,且CB平分NEC。问

NBEC与NBCO有什么数量关系？请写出它们之间的数量关系并请说明理由.

解析：（1）-4；-3；6；（2）证明见解析；（3）NBEC=2NBCO,理由见解析.

【详解】

分析：（1）求出CD的长度，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解；

（2）根据等角的余角相等解答即可；

（3）首先证明NACD=ZACE,推出NDCE=2ZACD,再证明NACD=ZBCO,

ZBEC=ZDCE=2ZACD即可解决问题；

--1|a+4|+(b-a-1)2=0,

a=-4,b=-3,

:点、C(0,-4),D(-3,-4),

CD=3,且CDIIx轴,

二△BCD的面积=LX4X3=6-

2

故答案为-4,-3,6.

(2)如图2中，

/.ZCBQ+ZCQP=90°,

又:ZABQ+ZCPQ=90°,

/.ZABQ=ZCBQ,

BQ平分NCBA.

理由：-/AC±BC,

/.ZACB=90°,

/.ZACD+ZBCF=90°,

/CB平分NECF,

/.ZECB=ZBCF,

/.ZACD+ZECB=90°,

,/ZACE+ZECB=90°,

ZACD=ZACE,

/.ZDCE=2ZACD,

,/ZACD+ZACO=90°,ZBCO+ZACO=90°,

/.ZACD=ZBCO,

C(0,-4),D(-3,-4),

/.CDIIAB,

ZBEC=ZDCE=2ZACD,

ZBEC=2ZBCO,

点睛：本题考查了坐标与图形性质，三角形的角平分线，三角形的面积，三角形的内角和

定理，三角形的外角性质等知识，熟记性质并准确识图是解题的关键.

6.如图，在平面直角坐标系中，点A、3的坐标分别为(1,0)、卜2,0),现同时将点43分

别向上平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A、5的对应点C、D,连接AC、

BD、CD.

(1)若在了轴上存在点连接M4、MB,使，演了$必犯，求出点M的坐标；

(2)若点p在线段8。上运动，连接尸C、PO,求S=SAPCD+SAP。B的取值范围；

(3)若p在直线8。上运动，请直接写出/CPO、NDCP、NBOP的数量关系.

-2O\Ix

解析：(1)(0,4)或(0,-4)；(2)2<S<3；(3)答案见解析

【解析】

(1)先根据，刖“=5口配℃，得出AAB/W的高为4,再根据三角形面积公式得到M点的坐

(2)先计算出S梯形OBDC=5,再讨论：当点P运动到点B时，SAP℃的最小值=2,当点P

运动到点D时，SAP℃的最大值=3，即可判断$=$«阳5+$"。8的取值范围的取值范围；

(3)分类讨论：当点P在BD上，如图1,作PEIICD,根据平行线的性质得

CDIIPEIIAB,则NDCP=ZEPC,ZBOP=ZEPO,易得NDCP+ZBOP=ZEPC+ZEPO=ZCPO：

当点P在线段BD的延长线上时，如图2,同样有NDCP=ZEPC,ZBOP=ZEPO,由于

ZEPO-ZEPC=ZBOP-ZDCP,于是NBOP-ZDCP=ZCPO；同理可得当点P在线段DB的延长

线上时，ZDCP-ZBOP=ZCPO.

解：(1)由题意，得c(0,2)

DABDC的高为2

若S△飒二S必皿，则△ABM的高为4

又二点M是y轴上一点

•・•点M的坐标为(0,4)或(0,-4)

(2),/B(-2,0),0(0,0)

08=2

由题意，得c(0,2),D(-3,2)

0C=2,CD=3

OB+CD

xOC=——x2=5

梯形OBDC2

点p在线段BD上运动,

当点尸运动到端点B时，"CO的面积最小，为葭BOxCO：2x2=2

22

当点尸运动到端点。时，△PC。的面积最大，为:xCDxCO=：x3x2=3

22

S=S"%D+SAPOB=$梯杉0SDC-SAPC0=5-SAPCO

-S的最大值为5—2=3,最小值为5—3=2

故S的取值范围是：2<S<3

（3）如图：

当点尸在射线8。上运动时，NCPO=NBOP-NDCP

当点尸在射线上运动时，

NCPO=NDCP-NBOP

点睛：本题主要考查坐标与图形的性质及三角形的面积.利用分类讨论思想，并构造辅助线

利用平行线的性质推理是解题的关键.

7.如图，在长方形中，。为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为Q,。），点C的

坐标为（0,6）且。、6满足4n+0-12|=0,点B在第一象限内，点P从原点出发，以每

秒2个单位长度的速度沿着O-C-8-4-。的线路移动.

备用图

（1）点B的坐标为;当点P移动5秒时，点p的坐标为

(2)在移动过程中，当点尸到了轴的距离为4个单位长度时，求点尸移动的时间；

(3)在。-C-B的线路移动过程中，是否存在点p使AOBP的面积是20,若存在直接写

出点尸移动的时间；若不存在，请说明理由.

25

解析：(1)(8,12),(0,10)；(2)2秒或14秒；(3)存在，t=2.5s或

【分析】

(1)由非负数的性质可得。、b的值，据此可得点B的坐标；由点P运动速度和时间可得

其运动5秒的路程，得到。P=10,从而得出其坐标；

(2)先根据点P运动"秒判断出点P的位置，再根据三角形的面积公式求解可得；

(3)分为点P在。C、BC上分类计算即可.

【详解】

解：(1)a,b满足Ja-8+-12]=0,

0=8,b=12,

二点B(8,12)；

当点P移动5秒时，其运动路程为5x2=10,

OP=10,

则点P坐标为(0,10),

故答案为：(8,12)、(0,10)；

(2)由题意可得，第一种情况，当点P在。C上时，

点P移动的时间是：4+2=2秒，

第二种情况，当点P在弘上时.

点P移动的时间是：(12+8+8)+2=14秒，

所以在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，点P移动的时间是2秒或14

秒.

(3)如图1所示：

LOP»BC=20,即LX8XOP=20.

22

解得：OP=5.

此时t=2.5s

如图2所示；

J-PB»OC=20,gpJ-xl2xPB=20.

22

解得：BP=y.

CP=-

3,

J.此时t=Ws,

3

综上所述，满足条件的时间t=2.5s或告25s

【点睛】

本题考查矩形的性质，三角形的面积，坐标与图形的性质，解题的关键是明确题意，找出

所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题.

8.如图，直线ABII直线8,线段EFIICD,连接BF、CF.

（1）求证：ZABF+NDCF=ZBFC；

（2）连接BE、CE、BC,若BE平分NABC,BE1CE,求证：CE平分NBC。；

（3）在（2）的条件下，G为EF上一点，连接BG,若4BFC=NBCF,ZFBG=2ZECF,

ZCBG=70°,求NFBE的度数.

图1图2图3

解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）NFBE=35。.

【分析】

（1）根据平行线的性质得出NABF=NBFE,ZDCF=ZEFC,进而解答即可;

（2）由（1）的结论和垂直的定义解答即可；

（3）由（1）的结论和三角形的角的关系解答即可.

【详解】

证明：（1）ABWCD,EFIICD,

：.ABWEF,

ZABF=NBFE,

,/EFWCD,

/.ZOCF=NEFC,

/.ZBFC=NBFE+NEFC=Z.ABF+NDCF；

(2)8EJ_EC,

/.ZBEC=90°,

/.ZEBC+NBCE=90°,

由(1)可得：NBFC=NABE+NECD=90°,

/.ZABE+NECD=NEBC+NBCE,

,/BE平分NABC,

NABE=NEBC,

/.ZECD=NBCE,

/.CE平分NBCD；

(3)设NBCE=B，ZECF=R,

,/CE平分NBCD,

/.ZDCE=NBCE=B，

/.NDCF=NDCE-ZECF=B-y,

/.ZEFC=B-v，

,/ZBFC=NBCF,

/.ZBFC=NBCE+NECF=y+B，

/.ZABF=NBFE=2\,

,/ZFBG=2NECF,

ZFBG=2y,

/.NABE+NDCE=N8EC=90°,

/.ZABE=90°-P，

/.ZGBE=NABE-ZABF-ZFBG=900-p-2y-2y,

BE平分NABC,

ZCBE=NABE=90°-P，

ZCBG=NCBE+NGBE,

70°=90°-p+90°-P-2y-2v，

整理得:2Y+P=55",

ZFBE=NFBG+NGBE=2v+900-P-2y-2y=90°-(2v+P)=35°.

【点睛】

本题主要考查平行线的性质，解决本题的关键是根据平行线的性质解答.

9.如图，直线PQ//MN,点C是P。、脑V之间(不在直线PQ,MN上)的一个动点.

（1）如图1,若4与N2都是锐角，请写出NC与/I,N2之间的数量关系并说明理由；

（2）把直角三角形A8C如图2摆放，直角顶点C在两条平行线之间，CB与PQ交于点

D,C4与交于点E,胡与交于点尸，点G在线段CE上，连接。G,有

/AFN

ZBDF=ZGDF,求------的值；

/CDG

（3）如图3,若点D是MN下方一点,BC平分2PBD,40平分NG4D,已知

NPBC=25°,求+的度数.

解析：（1）见解析；（2）,；（3）75°

2

【分析】

（1）根据平行线的性质、余角和补角的性质即可求解.

（2）根据平行线的性质、对顶角的性质和平角的定义解答即可.

（3）根据平行线的性质和角平分线的定义以及三角形内角和解答即可.

【详解】

解：（1）NC=N1+N2,

证明：过C作川MN,如下图所示，

/IIMN,

Z4=Z2（两直线平行，内错角相等），

/IIMN,PQIIMN,

•/IIPQ,

Z3=Z1（两直线平行，内错角相等），

Z3+Z4=N1+Z2,

ZC=Z1+Z2；

（2）ZBDF=NGDF,

'：ZBDF=NPDC,

ZGDF=NPDC,

■：ZPDC+ZCDG+ZGDF=180°,

ZCDG+2NPDC=180°,

ZPDC=9O°-1ZCDG,

2

由(1)可得，NPDC+NCEM=ZC=90°,

ZAEN=NCEM,

•，•ZAENZCEM_90°-/PDC_90°-(90°-5/CZ?G),

NCDG一4CDG~ZCDGNCDG2

(3)设BD交MN于J.

:BC平分NPBD,AM平分NOW,ZPBC=25°,

:.NPBD=2NPBC=50°,ZCAM=ZMAD,

■：PQIIMN,

：.ZBJA=NPBD=50°,

：.ZADB=NAJB-N」AD=50°-NJ/1D=50°-ZCAM,

由（1）可得，NACB=NPBC+NCAM,

：.ZACB+ZADB=NPBC+NC4/W+50°-ZCAM=25°+50°=75°.

【点睛】

本题考查了平行线的性质、余角和补角的性质，解题的关键是根据平行找出角度之间的关

系.

10.已知：如图，直线AB〃CD,直线EF交AB,8于P,Q两点，点M,点N分别是直线

（1）点、M,N分别在射线QC,QF上（不与点Q重合），当NAP/M+NQMN=90。时，

①试判断PM与M/V的位置关系，并说明理由；

②若力平分NEPM,ZMA/Q=20°,求NEPB的度数.（提示：过N点作AB的平行线）

（2）点M,N分别在直线CD,EF上时，请你在备用图中画出满足PM_LMN条件的图形,

并直接写出此时NAPM与NQMN的关系.（注：此题说理时不能使用没有学过的定理）

解析：（1）①PM_LMM理由见解析；②NEPB的度数为125。；（2）NAPM

+ZQ/W/V=90°或NAPMWQ/W/V=90°.

【分析】

（1）①利用平行线的性质得到NAPM=NPMQ,再根据已知条件可得到PMLMN；

②过点N作NHIICD,利用角平分线的定义以及平行线的性质求得NMNH=35。，即可求

解；

（2）分三种情况讨论，利用平行线的性质即可解决.

【详解】

解：（1）①PMLMN,理由见解析：

AB//CD,

：.ZAPM=NPMQ,

■：ZAPM+AQMN=90°,

：.ZPMQ+ZQMN=90°,

：.PMLMN；

②过点N作NHUCD,

■：AB//CD,

：.AB//NHWCD,

ZQMN=NMNH,ZEPA=NENH,

■：PA平分NEPM,

ZEPA=Z.MPA,

,/ZAPM+NQM/V=90°,

/.ZEPA+ZMA/H=90°,即NENH+NMNH=90°,

/.ZMNQ+ZMNH+ZMNH=90°,

,/ZMA/Q=20°,

/.ZMNH=35°,

/.ZEPA=NENH=NMNQ+ZMNH=55°,

/.ZEPB=180o-55°=125°,

.zEPB的度数为125°；

（2）当点M,N分别在射线QC,QF上时，如图:

E

1----------X--------------B

PMLMN,AB//CD,

/.ZPMQ+NQM/V=90°,ZAPM=4PMQ,

/.ZAPM+ZQMA/=90°；

当点M,/V分别在射线QC,线段PQ上时，如图:

PMLMN,AB//CD,

/.ZPM/V=90°,ZAPM=NPMQ,

/.ZPMQ-ZQM/V=90°,

/.ZAPM-ZQM/V=90°；

当点M,/V分别在射线QD,QF上时，如图:

PMLMN,AB//CD,

/.NPMQ+NQM/V=90°,ZAPM+APMQ=180°,

/.Z4PM+90°-NQM/V=180°,

/.ZAPM-ZQM/V=90°；

综上，ZAPM+ZQ/WN=90°或NAPM-ZQMN=90°.

【点睛】

本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等；两直线平行，

同旁内角互补；两直线平行，同位角相等等知识是解题的关键.

11.综合与实践

背景阅读：在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系有相交、平行，若两条不重合的

直线只有一个公共点，我们就说这两条直线相交，若两条直线不相交，我们就说这两条直

线互相平行两条直线的位置关系的性质和判定是几何的重要知识，是初中阶段几何合情推

理的基础.

已知：AMWCN,点B为平面内一点，于B.

问题解决：（1）如图1,直接写出NA和NC之间的数量关系；

（2）如图2,过点B作于点。，求证：NABD=NC；

（3）如图3,在（2）间的条件下，点E、F在。M上，连接BE、BF、CF,BF平分NDBC,

解析：（1）ZA+ZC=90°；（2）见解析；（3）105°

【分析】

（1）通过平行线性质和直角三角形内角关系即可求解.

（2）过点B作BGIIDM,根据平行线找角的联系即可求解.

（3）利用（2）的结论，结合角平分线性质即可求解.

【详解】

解：（1）如图1,设A/W与BC交于点。”4WIIC7V,

.t.NC=NAOB9

AB±BC,

/.ZABC=90°f

/.ZA+ZAOB=90°,

NZ+NC=90°,

故答案为：NA+NC=90。；

图2

,/BDJ.AM,

DB_LBG,

Z086=90°,

/.N4BD+NZBG=90°,

,/AB±BC,

/.ZCBG+N48G=90°,

ZABD=NCBG,

,/AMWC/V,

ZC=NCBG,

：.NABD=NC；

(3)如图3,过点B作BGIIDM,

图3

■rBF平分NOBC,BE平分NAB。，

ZDBF=ZCBF,ZDBE=ZABE,

由(2)知NABD=NCBG,

ZABF=NGBF,

设NDBE=a,NABF=6,

则N48E=a,NABD=2a=NCBG,

ZGBF=NAFB=6,

ZBFC=3NDBE=3a,

ZAFC=3a+6J

,/ZAFC+ANCF=180°fNFCB+N/VCF=180°,

ZFCB=NAFC=3a+6,

△BCF中，由NCBF+ABFC+NBCF=180°得：2a+6+3a+3a+6=180°,

,/AB±BCf

6+6+2a=90°,

/.a=15°,

ZABE=15°,

ZEBC=NABE+AABC=150+90°=105°.

故答案为：105。.

【点睛】

本题考查平行线性质，画辅助线，找到角的和差倍分关系是求解本题的关键.

12.已知，如图：射线PE分别与直线AB、CD相交于E、/两点，ZPED的角平分线与

直线A8相交于点M,射线交CD于点N,设/PE0=a°,=且

(a-35)2+|P-a|=0.

（1）a=,p=；直线AB与CD的位置关系是；

（2）如图，若点G是射线上任意一点，旦NMGH=NPNF,试找出/fW与NG5

之间存在一个什么确定的数量关系？并证明你的结论.

（3）若将图中的射线加绕着端点P逆时针方向旋转（如图）分别与AB、CO相交于点

M和点N时，作/™B的角平分线MQ与射线而相交于点Q,问在旋转的过程中

1111

解析：（1）35,35,平行；（2）ZFMN+Z.GHF=180°,证明见解析；（3）不变，2

【分析】

（1）根据（a-35）2+\6-a\=0,即可计算a和6的值，再根据内错角相等可证ABUCD；

（2）先根据内错角相等证GHIIPN,再根据同旁内角互补和等量代换得出

ZFMN+NGHF=180°；

（3）作NPE/W］的平分线交MQ的延长线于R,先根据同位角相等证ERIIFQ,得

NFQM『NR,设立PER=NREB=X,ZPM1R=ZRM1B=y,得出NEPM『2NR,即可得

【详解】

解：(1)•・•(a-35)2+|&a|=0,

a=6=35,

ZPFM=NMF/V=35°,ZEMF=35°,

/.ZEMF:NMFN,

.'.ABWCD；

(2)ZFMN+NGHF=180°；

理由：由(1)得八BIICD,

/.ZMNF=NPME,

,/ZMGH=NMNF,

/.ZPME=NMGH,

/.GHWPN,

/.ZGHM=NFMN,

/ZGHF+NGHM=180°,

/.ZFMN+NGHF=180°；

ZFPN、r

(3)乙鱼।的值不变,为2,

理由：如图3中，作NPEMi的平分线交的延长线于R,

,/4BIICD,

NPEMyPFN,

,/ZPER=LZPEM,/PFQ=LNPFN,

212

/.ZPER=NPFQ,

/.ERWFQ,

图3

ZFQM『NR,

设NPER=4REB=x,ZPM/二NRM^y,

Ei-\y=x+AR

人」有：[2y=2x+ZEPM'

I1

可得NEPM『2NR,

zEPM『2NFQM],

.ZEPMZFPN

..----------i------------i-.7

NFQMJZQ

【点睛】

本题主要考查平行线的判定与性质，熟练掌握内错角相等证平行，平行线同旁内角互补等

知识是解题的关键.

13.已知，ABWCD,点E在CD上，点G,F在AB上，点”在AB,CD之间，连接FE,

EH,HG,ZAGH=Z.FED,FE1HE,垂足为E.

(1)如图1,求证：HGLHE；

(2)如图2,GM平分NHGB,EM平分ZHED,GM,EM交于点M,求证：ZGHE=

2ZGME；

图3

(3)如图3,在(2)的条件下，FK平分NAFE交CD于点、K,若NKFE：ZMGH=13：5,

解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）40°

【分析】

（1）根据平行线的性质和判定解答即可；

（2）过点H作HPIIZB,根据平行线的性质解答即可;

（3）过点H作HPIIZB,根据平行线的性质解答即可.

【详解】

证明：（1）C。，

/.ZAFE=NFED,

,/ZAGH=iFED,

/.NAFE=NAGH,

/.EFWGH,

/.ZFEH+NH=180°,

,/FELHE,

/.ZFEH=90°,

ZH=180°-ZFEH=90°,

HG±HE；

（2）过点M作MQIIAB,

'：ABWCD,

「•MQIICD,

过点H作HPIMB,

,/ABWCD,

/.HPWCD,

'：GM平分NHGB,

/.ZBGM=4HGM=1ZBGH,

2

,/EM平分NHED,

/.ZHEM=NDEM=LNHED,

2

,/MQIIAB,

/.NBGM=NGMQ,

,/MQIICD,

/.ZQME=NMED,

/.ZGME=4GMQ+NQME=NBGM+NMED,

,/HPWAB,

/.ZBGH=NGHP=2/BGM,

,/HPWCD,

/.ZPHE=AHED=2NMED,

/.ZGHE=NGHP+NPHE=2NBGM+2NMED=2(ZBGM+NMED),

/.ZGHE=N2GME；

(3)过点M作MQIIZB,过点H作HPII4B,

£3

由NKFE：ZMGH=13：5,设NKFE=13x,NMGH=5x,

由(2)可知：NBGH=2NMGH=10x,

ZAFE+NBFE=180°,

/.NAFE=180°-lOx,

FK平分NAFE,

ZAFK=NKFE=LzAFE,

2

即g(18O。-10x)=13x,

解得：x=5°,

/.ZBGH=lOx=5O°,

HPIIAB,HPIICD,

ZBGH=ZGHP=5O°,ZPHE=ZHED,

■：ZGHE=90",

：.ZPH£=ZGHE-ZGHP=90°-50°=40°,

ZHED=40°.

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质定理以及灵活构造平行线

是解题的关键.

14.综合与实践课上，同学们以“一个直角三角形和两条平行线”为背景开展数学活动，如

图，已知两直线。力，且。bqABC是直角三角形，ZBCA=90°,操作发现：

B

图1图2图3

（1）如图L若/1=48。，求N2的度数；

（2）如图2,若ZA=30。,/1的度数不确定，同学们把直线“向上平移，并把N2的位置改

变，发现N2-Nl=120。，请说明理由.

（3）如图3,若NA=30。，AC平分此时发现/I与N2又存在新的数量关系，请

写出/I与N2的数量关系并说明理由.