2024年江苏省淮安市盱眙某中学中考数学模拟试卷（附答案解析）

2024年江苏省淮安市吁胎实验中学中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题

目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1.（3分）-2的倒数是（）

B.-2

2.（3分）下列事件是必然事件的是（）

A.四边形内角和是360°

B.端午节奏龙舟，红队获得冠军

C.掷一枚均匀骰子，点数是6的一面朝上

D.射击运动员射击一次，命中靶心

3.（3分）下列计算正确的是（）

A.a+a2=a3B.cT'a3—a67

C.（2a%）3=6a3/?3D.a6ji-a4=*a2

4.（3分）下列图形是棱锥侧面展开图的是（）

5.（3分）实数a,b,c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（）

a0bc

A.c（b-a）<0B.b（c-a）<0C.a（b-c）>0D.a（c+6）>0

6.（3分）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心。的光线相交于

点尸，点尸为焦点.若/1=155°,Z2=30°,则N3的度数为（）

V

A.45°B.50°C.55°D.60°

7.（3分）如图，ZVIBC内接于是。。的直径，若NB=20°,则NCAO的度数是（)

c.

AD

A.60°B.65°C.70°D.75°

8.(3分）已知点M（-3,tz-2),N(-1,a）,P（1,a）在同一个函数图象上，则这个函数图象可能

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分,共24分，不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相

应位置上）

9.（3分）“五一”假期我市共接待游客约4370000人次,将4370000用科学记数法表示为.

10.（3分）分解因式3/-12=.

32

11.（3分）方程-=---的解为_______________________.

x2-x

12.（3分）如图，点A是反比例函数y=］（x>0）的图象上一点，过点A作ACLx轴，垂足为点C,延长

AC至点B,使BC=2AC,点。是y轴上任意一点，连接AD,BD,若的面积是6,则k=.

13.（3分）己知。、b是方程无2+3无+1=0的两根，贝iJa2+4a+6-3=.

14.（3分）《九章算术》第一章“方田”介绍了扇形面积计算方法，其中这样一道题：“今有宛田，下周三

十步，径十六步，问为田几何？”意思是：有一块扇形状的田，弧长为30步，其所在圆的直径是16

步，则这块田的面积为平方步.

15.（3分）如图，两个边长相等的正六边形的公共边为8。，点A,B,C在同一直线上，点O1,01分别

为两个正六边形的中心，贝!Isin/OMC的值为.

16.（3分）如图，菱形A8CD中，ZABC=60°,AB=8,点P是直线AD上一动点，点E在直线P8上,

若/BEC=NBCP,则CE的最小值是

三、计算与解答（本大题共有11小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字

说明、证明过程或演算步骡）

17.（10分）（1）计算：V12-4sin60°+（^）-1-（2024-TT）0；

（2（x-3）<x-8

（2）解不等式组：1+久、’.

—2->%-1

18.（8分）先化简，再求值：（1+2）+马吉/，其中龙=夜+2.

19.（8分）如图，在口A8CD中，点E,E在对角线AC上，ZCBE=ZADF.

20.（6分）为弘扬中华优秀传统文化，学校举办“经典诵读”比赛，将比赛内容分为“唐诗”“宋词”“元

曲”三类（分别用A,B,C依次表示这三类比赛内容）.现将正面写有A,B,C的三张完全相同的卡

片背面朝上洗匀，由选手抽取卡片确定比赛内容.选手小明先从三张卡片中随机抽取一张，记下字母后

放回洗匀，选手小梅再随机抽取一张，记下字母.请用画树状图或列表的方法，求小明和小梅抽到同一

类比赛内容的概率.

21.（8分）某校初三年级两个班要举行韵律操比赛.两个班各选择8名选手，统计了他们的身高（单位:

cm）,数据整理如下：

aA班168171172174174176177179

2班168170171174176176178183

b.每班8名选手身高的平均数、中位数、众数如下：

班级平均数中位数众数

1班173.875174174

2班174.5mn

根据以上信息，回答下列问题:

（1）写出表中Ml,W的值；

（2）如果某班选手的身高的方差越小，则认为该班选手的身高比较整齐.据此推断：在1班和2班的

选手中，身高比较整齐的是班（填“1”或"2”）；

（3）1班的6位首发选手的身高分别为171,172,174,174,176,177.如果2班已经选出5位首发

选手，身高分别为171,174,176,176,178,要使得2班6位首发选手的平均身高不低于1班6位首

发选手的平均身高，且方差尽可能小，则第六位选手的身高是,

22.（8分）在矩形A8CD中，AD>AB.

（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作O。：先在上确定点E,使BE=BC,再在CD上确定点

0,使以。为圆心的圆经过点E和点C.

（2）在（1）的条件下，若AB=3,BC=5,则。。的半径长为

DAD

BCBC

图1备用图

23.（8分）如图，在一个18米高的楼顶上有一信号塔。C,李明同学为了测量信号塔的高度，在地面的A

处测的信号塔下端。的仰角为30°,然后他正对塔的方向前进了18米到达地面的2处，又测得信号塔

顶端C的仰角为60。，于点E,E、B、A在一条直线上.请你帮李明同学计算出信号塔CD

的高度（结果保留整数，V3«1.7,V2«1.4）

24.（10分）如图，△ABC内接于G）。，是。。的直径，E为A8上一点，BE=BC,延长CE交于

点D,AD=AC.

（1）判断A。与OO的位置关系，并说明理由;

1

⑵若tan/ACE=*OE=3,求BC的长.

25.（10分）某服装店经销A,B两种T恤衫，进价和售价如下表所示：

品名AB

进价（元/件）4560

售价（元/件）6690

（1）第一次进货时，服装店用6000元购进A,B两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？

（2）受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了

10元，但两种T恤衫的售价不变.服装店计划购进A,8两种T恤衫共150件，且8种T恤衫的购进

量不超过A种T恤衫购进量的2倍.设此次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元.

①请求出W与m的函数关系式；

②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由.

26.（12分）综合与实践

在一次综合实践活动课上，王老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何仅通过折纸的

方法来确定正方形一边上的一个三等分点.

【操作探究】

“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：

第1步：如图1所示，先将正方形纸片ABC。对折，使点A与点8重合，然后展开铺平，折痕为EF；

第2步：将边沿CE翻折到GC的位置；

第3步：延长EG交于点H,则点H为4。边的三等分点.

证明过程如下：连接CH,

,/正方形ABCD沿CE折叠，

；./D=/B=/CGH=90°，①_______________,

又,：CH=CH,

ACGHmACDH,

:.GH=DH.

由题意可知E是AB的中点，设AB=6(个单位)，

DH=x,贝AE=BE=EG=3,

在Rt△AEH中，可列方程：

②_______________________,(方程不要求化简)

解得：③_______,即”是边的三等分点.

“破浪”小组是这样操作的：

第1步：如图2所示，先将正方形纸片对折，使点A与点8重合，然后展开铺平，折痕为EF；

第2步：再将正方形纸片对折，使点B与点。重合，再展开铺平，折痕为AC,沿。E翻折得折痕。E

交AC于点G；

第3步：过点G折叠正方形纸片ABC。，使折痕

【过程思考】

(1)“乘风”小组的证明过程中，三个空的所填的内容分别是

①：,②：,③：;

(2)结合“破浪”小组操作过程，判断点M是否为AB边的三等分点，并证明你的结论；

【拓展提升】

如图3,在菱形ABC。中,AB=5,8D=6,E是8。上的一个三等分点，记点。关于AE的对称点为。'，

射线与菱形ABC。的边交于点P,请直接写出£>'尸的长.

图3（图3备用图）

1

27.（14分）已知（xi,yi）,（X2,”）是抛物线Cl：y=+bx（Z?为常数）上的两点，当如+式2=0

时，总有yi=y2.

（1）①求人的值；

②当〃-2WxW〃+l,y的最大值是2〃，求。的值.

（2）将抛物线。平移后得到抛物线C2：y=-i（x-m）2+l（m>0）,当0WxW2时，探究下列问题：

①如果对抛物线G上的任意一点尸，在抛物线C2上总存在一点。，使得点尸、。的纵坐标相等，求相

的取值范围.

②在①的条件下，设抛物线C2与无轴交于A,2两点，与y轴交于点C,抛物线C2的顶点为点E,△

ABC外接圆的圆心为点R直接写出所长的取值范围

2024年江苏省淮安市吁胎实验中学中考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题

目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1.（3分）-2的倒数是（）

11

A.2B.-2C.-D.-4

22

【解答】解：：-2X（-1）=1,

•••-2的倒数是―全

故选：D.

2.（3分）下列事件是必然事件的是（）

A.四边形内角和是360°

B.端午节奏龙舟，红队获得冠军

C.掷一枚均匀骰子，点数是6的一面朝上

D.射击运动员射击一次，命中靶心

【解答】解：四边形内角和是360°是必然事件，则A符合题意；

端午节奏龙舟，红队获得冠军是随机事件，则8不符合题意；

掷一枚均匀骰子，点数是6的一面朝上是随机事件，则C不符合题意；

射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，则。不符合题意；

故选：A.

3.（3分）下列计算正确的是（）

A.a+a2=a3B.a2,a3=a6

C.（2a%）3=6a3Z>3D.a6ji-a4=a1

【解答】解：A、不是同类项，故不能合并，故A不符合题意.

B、原式=/,故8不符合题意.

C、原式=8a%3,故C不符合题意.

D、原式=/,故。符合题意.

故选：D.

4.（3分）下列图形是棱锥侧面展开图的是（)

【解答】解：四棱锥的侧面展开图是四个三角形.

故选：D.

5.(3分)实数mb,。在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是()

--------•------•------------------•---------A

a0bc

A.c(Z?-a)<0B.b(c-〃)<0C.a(Z?-c)>0D.a(c+Z?)>0

【解答】解：由数轴可得QVOVbVc,

贝!J》-。>0,c-〃>0,b-c<0,c+Z?>0,

那么c>0,b(c-〃)>0,a(Z?-c)>0,a(c+Z?)<0,

则A,B,。均不符合题意，。符合题意，

故选：C.

6.(3分)如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心。的光线相交于

点尸，点尸为焦点.若Nl=155°,N2=30°,则N3的度数为()

【解答】解：・・・A3〃0R

：.ZUZOFB=ISO°,

VZ1=155°,

：.ZOFB=25°,

VZPOF=Z2=30°,

：.Z3=ZPOF+ZOFB=300+25°=55°.

故选：C.

7.(3分)如图，△ABC内接于O。，A。是O。的直径，若NB=20°,则NC4。的度数是()

B.65°C.70°D.75°

【解答】解：连接3。,

VAD是。。的直径,

/.ZABD=90°,

VZABC=20°，

:./CBD=ZABD-/ABC=70°,

：.ZCAD=ZCBD=10a，

8.(3分)已知点M(-3,a-2),N(-l,a),P(1,a)在同一个函数图象上，则这个函数图象可能

【解答】解：由N(-l,a),P(1,a)在同一个函数图象上，可知图象关于y轴对称，故选项A、D

不符合题意;

由M(-3,a-2),N(-l,a),可知在y轴的左侧，y随尤的增大而增大，故选项B符合题意;

故选：B.

二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相

应位置上)

9.(3分)“五一”假期我市共接待游客约4370000人次，将4370000用科学记数法表示为4.37X106.

【解答】解：4370000=4.37X106,

故答案为：4.37X106.

10.(3分)分解因式3x2-12=3(X-2)(X+2).

【解答】解:3/-12

=3(%2-4)

=3(尤-2)(x+2),

故答案为：3(x-2)(x+2).

11.(3分)方程2=-----的解为x=1.

【解答】解：原方程去分母得：6-3x=2x,

解得：x=

检验：当尤=。时，x(2-x)#0,

故原方程的解为x=称,

故答案为：x=1.

12.(3分)如图，点A是反比例函数y=((x>0)的图象上一点，过点A作ACLx轴，垂足为点C,延长

AC至点8,使BC=2AC,点。是y轴上任意一点，连接A。，BD,若△A2D的面积是6,则24.

【解答】解：过点。作QELA8交的延长线于E,如图:

：x>0,点A在第一象限,

n>Q,k=mn,

尤轴于点C,

OC=m,AC=nf

.\BC=2AC=2nf

AB=BC+AC=3〃，

・.・AC_L%轴，DELAB,NQOC=90°,

四边形ODEC为矩形，

:・DE=OC=m,

•••△ABO的面积是6,

SAABD=%B・DE=6,

1

即：一・3〃=6,

2

・・tnn=4,

・・k=m/i=4.

故答案为：4.

13.（3分）已知。、人是方程/+3%+1=0的两根，则.2+4〃+。-3=-7.

【解答】解：是方程W+3x+l=0的根，

〃2+3〃+1=0,

a--3。-1,

6z2+4tz+Z?-3=-3〃-1+4。+/?-3=〃+b-4,

：纵b是方程尤2+3x+l=0的两根，

.".a+b--3,

c^+^a+b-3=-3-4—-7.

故答案为：-7.

14.（3分）《九章算术》第一章“方田”介绍了扇形面积计算方法，其中这样一道题：“今有宛田，下周三

十步，径十六步，问为田几何？”意思是：有一块扇形状的田，弧长为30步，其所在圆的直径是16

步，则这块田的面积为120平方步.

【解答】解：...扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，

1

这块田的面积S=±x30x8=120（平方步），

故答案为：120.

15.（3分）如图，两个边长相等的正六边形的公共边为8D,点A,B,C在同一直线上，点Oi,O2分别

V21

为两个正六边形的中心，则sin/°MC的值为一不―

【解答】解:如图，连接。2C,过。2点作SELBC,垂足为E,设正六边形的边长为a,则。1A=O1B

OiC=a,

在RtZk02CE中，02c=a,ZC6>2£=30°,

：.EC=1O2C=^a=BE,OiE=^OiC=^-a,

.15

••A_C=2。+々4=

22

；.A02=yjAE+O2E=47a,

F5

・・・•/。浜二危OoE二抚号二a答J2・1

16.（3分）如图,菱形ABC。中，ZABC=60°,AB=8,点P是直线上一动点，点E在直线PB上,

若/BEC=/BCP,则CE的最小值是_丁

【解答】解：连接AE,作aABE的外接圆O。，连接OE,OB,OC,0A.

・・•四边形A5CD是菱形,

：.AB=BC,AD//CB,

：.ZBAD=1SO°-ZABC=120°,

•?ZBEC=/BCP,ZCBE=ZPBC,

:.XEBCs^CBP,

.BCEB

•.—,

BPBC

:・Bd=BE*BP,

：.A/=BE・BP,

.ABBP

••=,

BEAB

•IZABE=ZABP,

：.△ABEs△尸BA,

ZAEB=ZBAP=120°,

・••点E在。。上运动，

9：OA=OB,ZAOB=120°,

：.ZOBA=ZOAB=30°,

；.OA=O8=竽,

216V3

0C=>JOB+BC-S-

：EC》OC-0E=学,

:.EC的最小值为日N

三、计算与解答（本大题共有11小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字

说明、证明过程或演算步骡）

17.(10分)(1)计算：V12-4sin60°+(j)-1-(2024-TT)0；

（2（久-3）<%-8

（2）解不等式组：1+久、，.

—>x—1

【解答】解：⑴原式=2百-4X学+3-1

=2V3-2V3+3-1

=2；

'2(%-3)<%-80

(2)亨>%-1(2)

由①得：尤W-2,

由②得：x<3

不等式组的解集是：xW-2.

18.（8分）先化简，再求值：（1+2），二号匕其中尤=a+2.

【解答】解：（1+怎）+4含芹

_x—22（%—5）

一%-5*（%_2）2

2

x=2;

当x=/+2时,

原式=历算=&.

19.（8分）如图，在口A8C。中，点E,尸在对角线AC上，ZCBE=ZADF.

【解答】证明：：四边形ABC。是平行四边形,

J.AD//BC,AD=BC,

:・NDAF=NBCE,

在△AO厂与△C3E中,

AADF=Z-CBE

AD=CB,

^DAF=乙BCE

：.AADF^ACBE(ASA),

NAFD=NCEB,

：.BE//DF.

20.（6分）为弘扬中华优秀传统文化，学校举办“经典诵读”比赛，将比赛内容分为“唐诗”“宋词”“元

曲”三类（分别用A,B,C依次表示这三类比赛内容）.现将正面写有A,B,C的三张完全相同的卡

片背面朝上洗匀，由选手抽取卡片确定比赛内容.选手小明先从三张卡片中随机抽取一张，记下字母后

放回洗匀，选手小梅再随机抽取一张，记下字母.请用画树状图或列表的方法，求小明和小梅抽到同一

类比赛内容的概率.

【解答】解：用树状图法表示所有等可能出现的结果如下：

开始

小明

共有9种等可能出现的结果，其中小明和小梅抽到同一类比赛内容的有3种，

所以小明和小梅抽到同一类比赛内容的概率为2=--

93

21.（8分）某校初三年级两个班要举行韵律操比赛.两个班各选择8名选手，统计了他们的身高（单位:

cm）,数据整理如下：

o.l班168171172174174176177179

2班168170171174176176178183

b.每班8名选手身高的平均数、中位数、众数如下：

班级平均数中位数众数

1班173.875174174

2班174.5mn

根据以上信息，回答下列问题：

（1）写出表中机，〃的值；

（2）如果某班选手的身高的方差越小，则认为该班选手的身高比较整齐.据此推断：在1班和2班的

选手中，身高比较整齐的是1班（填“1”或"2”）；

（3）1班的6位首发选手的身高分别为171,172,174,174,176,177.如果2班已经选出5位首发

选手，身高分别为171,174,176,176,178,要使得2班6位首发选手的平均身高不低于1班6位首

发选手的平均身高，且方差尽可能小，则第六位选手的身高是170cm.

【解答】解：（1）2班数据从小到大排列为168、170、171、174、176、176、178、183

从中可以看出一共八个数,第四个数据为174、第五个数据为176,所以这组数据的中位数为：(174+176)

+2=175,故机=175；

其中176出现的次数最多，所以这组数的众数为176,故“=176；

故答案为：175、176.

(2)根据方差的定义可以知道，方差越大，一组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性也越小，反

之亦然.

1班的身高分布于168-179,2班的身高分布于168-183,

从中可以看出，1班的数据较2班的数据波动较小，更加稳定，所以1班的选手身高比较整齐，

故答案为：1.

(3)(171+172+174+174+176+177)4-6=174(厘米)

设2班第六位选手的身高为x厘米，

则(171+174+176+176+178+x)+62174,

x2169,

据此，第六位可选的人员身高为170、183,

若为170时，2班的身高数据分布于170-178,若为183时，2班的身高数据分布于171-183,

从中可以看出当身高为170时的数据波动更小,更加稳定,

所以第六位选手的身高应该是170厘米,

故答案为：170.

22.(8分)在矩形ABC。中，AD>AB.

(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作OO：先在上确定点E,使BE=8C,再在CD上确定点

O,使以。为圆心的圆经过点E和点C.

(2)在(1)的条件下，若AB=3,BC=5,则。。的半径长为_|_

ADAD

CBC

图1备用图

【解答】解：(1)如图1,以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交于点£,连接CE,再作线段CE

的垂直平分线，交于点。，以点。为圆心，OC的长为半径画O。,

则OO即为所求.

图1

（2）连接BE,OE,

由（1）可得，BE=BC=5,

•••四边形A8CO为矩形，

：.AD=BC^5,CZ）=AB=3,ZA=Z£>=90°,

：.AE=y/BE2-AB2=4,

：.DE^AD-AE^l.

设O。的半径长为r,

贝!]OE=OC=r,OD=3-r,

在RtADOE中，由勾股定理得，OE2=OD2+D号,

即/=（3-r）2+12,

解得r=

二。。的半径长为|.

故答案为：|.

23.（8分）如图，在一个18米高的楼顶上有一信号塔。C,李明同学为了测量信号塔的高度，在地面的A

处测的信号塔下端。的仰角为30°,然后他正对塔的方向前进了18米到达地面的8处，又测得信号塔

顶端C的仰角为60°,COLAB于点E,E、B、A在一条直线上.请你帮李明同学计算出信号塔8

的高度（结果保留整数，百切.7,V2«1.4）

.C

EBA

【解答】解：根据题意得：AB=18米，DE=18米，ZA=30°,ZEBC=60°,

在中，AE=TD^=AJ=18V3（米）

LCLTIOUV3

T

：.BE=AE-AB=（18百一18）（米），

在RZkBCE中，CE=8E-tan60°=（18。-18）-V3=（54-18百）（米），

；.CD=CE-DE=54-1873-18^5米.

24.（10分）如图，△ABC内接于O。，AB是O。的直径，E为AB上一点,BE=BC,延长CE交于

点D,AD—AC.

（1）判断A。与。。的位置关系，并说明理由；

1

（2）若tanNACE=g,OE=3,求8c的长.

【解答】解：(1)A。是O。的切线，理由：

是。。的直径，

/.ZACB=90°,

即NACE+N8CE=90°,

'：AD=AC,BE=BC,

：.ZACE=ZD,ZBCE=ZBEC,

又,：/BEC=ZAED,

：.ZAED+ZD^9Q°,

：.ZDAE^9Q°,

即ADLAE,

是半径，

是O。的切线；

1

(2)由tanNACE=可=tanNZ)可设AE*：”，贝!JAZ)=3〃=AC,

,?OE=3,

.•・。4=〃+3,A8=2〃+6,

BE=Q+3+3=〃+6=BC,

在Rt^ABC中，由勾股定理得,

AB2^BC1+AC1,

即（2〃+6）2=（〃+6）2+（3。）2,

解得。1=0（舍去），及=2,

BC=a+6=S.

25.（10分）某服装店经销A,B两种T恤衫，进价和售价如下表所示：

品名AB

进价（元/件）4560

售价（元/件）6690

（1）第一次进货时，服装店用6000元购进A,B两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？

（2）受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了

10元，但两种T恤衫的售价不变.服装店计划购进A,8两种T恤衫共150件，且8种T恤衫的购进

量不超过A种T恤衫购进量的2倍.设此次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元.

①请求出W与机的函数关系式；

②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由.

【解答】解：（1）设购进AT恤衫x件，购进恤衫y件，根据题意列出方程组为：

（x+y=120

（45%+60y=6000'

解啜：.

全部售完获利=（66-45）X80+（90-60）X40=1680+1200=2880（元）.

（2）①设第二次购进A种T恤衫机件，则购进B种T恤衫（150-机）件，根据题意150-即

优250,

W=（66-45-5）m+（90-60-10）（150-m）=-4m+3000（150^m^50）,

②服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由如下：

由①可知，W=-4m+3000（1502打》50）,

V-4<0,一次函数W随机的增大而减小，

当机=50时，W取最大值，W*=-4X50+3000=2800（元），

V2800<2880,

服装店第二次获利不能超过第一次获利.

26.（12分）综合与实践

在一次综合实践活动课上，王老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何仅通过折纸的

方法来确定正方形一边上的一个三等分点.

【操作探究】

“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：

第1步：如图1所示，先将正方形纸片ABC。对折，使点A与点3重合，然后展开铺平，折痕为

第2步：将BC边沿CE翻折到GC的位置；

第3步：延长EG交于点H,则点H为边的三等分点.

证明过程如下：连接CH,

,/正方形ABCD沿CE折叠，

ZD=ZB=ZCGH=90°,①CG=CB=

CD,

又,：CH=CH,

:,丛CGH丝丛CDH,

：.GH=DH.

由题意可知E是AB的中点，设A8=6(个单位)，

DH=x,则AE=BE=EG=3,

在■中，可列方程：②(6-X)2+32=(X+3)

L，(方程不要求化简)

解得:DH—2,即X是边的三等分点.

“破浪”小组是这样操作的：

第1步：如图2所示，先将正方形纸片对折，使点A与点8重合，然后展开铺平，折痕为EF；

第2步：再将正方形纸片对折，使点B与点。重合，再展开铺平，折痕为AC,沿。£翻折得折痕。E

交AC于点G；

第3步：过点G折叠正方形纸片ABCD,使折痕MN//AD.

【过程思考】

(1)“乘风”小组的证明过程中，三个空的所填的内容分别是

①：CG=CB=CD,②：(6-x)2+32=(x+3)2,③：2；

(2)结合“破浪”小组操作过程，判断点M是否为边的三等分点，并证明你的结论；

【拓展提升】

如图3,在菱形ABC。中,AB=5,B£）=6,E是8。上的一个三等分点，记点。关于AE的对称点为O',

射线即,与菱形ABC。的边交于点尸，请直接写出。'歹的长.

图3（图3备用图）

【解答】【过程思考】解：（1）结合①下面两个三角形全等，可以得到该空为CG=CB=CD此时可根

据（HL）推断出两个三角形全等；

根据在直角三角形中三边满足勾股定理，即A〃+AE2=EH2,则（6-x）2+32=（尤+3）2；

将（6-尤）2+32=（x+3）2化简可得36-12x+/+9=/+6x+9,

移项合并同类项得：36=18%,

解得x=2,即DH=2,

故答案为：①CG=CB=CD,②（6-x）2+32=（x+3）2,③2；

（2）点M是边的三等分点，证明如下：

由第1步的操作可知E,尸分别是AB,CD的中点，

\'ABCD是正方形，

：.AB//CD,AB=CD,

：.ZAED=ZCDG,NEAG=ZDCG,

：.AAEG^/\CDG,

.AGAE1

JCG-CD—2’

"."MN//AD,

#AGAM1

9CG~BM~2

AM1

相—=一，

AB3

:•点〃是A3边的三等分点；

【拓展提升】解：连接AC交8。于点0,如图,

：.0D=0B=专BD=3,ZAOD=ZAOB^90°,

・・•四边形ABC。为菱形，

二ZADB=ZABD=NDBC,

：.A0=7AB2-BD2=4,

分两种情况：①当DE=抑=2时，如图，连接A。，AE,AD与BD交点N,

由对称性可知，DE=DE'=2,ZAD'E=ZADB=ZABD,ZEND'=ZANB,

:.AEND's二ANB,

tANAB5

,,EN-ED'-2

设EN=2x,则AN=5x,即ON=2x-1,

在△AN。中，AN2=AO2+ON2,

即(5无)2=4?+(2x-1)

解得：X1=-1(合)，x2=

・・・EN=奔

9：ZED'A=/DBC=/ADB,/NED』/FEN

：.AENDrsAEFB,

.EFEN

「EB-ED「

.厂厂ENxEB68

9•EF=~ED^=^

r

*・DF-——21—/2一——2r

7

②当。E=4时，连接A。',AE,

f

由对称性可知，AD'=AD=5fD'E=DE=4,ZADE=ZADE=ZABD,ZAEDNAEF,

过点A作ANSE于点N,如图，

VZADfF=ZEBF,ZAFD'=ZBFE,

：.AAFD's^EFB,

.EFBE2

AF-ADr~5'

设M=2x,则A尸=5x,

在△AEO和AANE中，

^AEO=乙AEN

Z-AOE=LANE=90°,

AE=AE

：.AAEO^AANE(AAS),

：.OE=EN=\,

：.NF=2x-1,AN=AO=4,

222

在△ANV中，AF=AN+NFf

即（5x）2=42+（2x-1）2,

解得：xi=-1（舍），%2=奈,

34

EF=2x=五，

即D'F=4-步羿

2650

综上，D'F的长为五或五.

27.（14分）已知（xi,yi）,（冗2,”）是抛物线Cl：y=-^2+bx（Z?为常数）上的两点，当月+式2=0

时，总有yi=».