北师大版数学八年级上册1.1探索勾股定理 同步练习（培优卷）（附答案解析）

北师大版八年级数学上册1.1探索勾股定理同步练习（培优卷）班级：姓名：一、选择题1．如图，在Rt△ABC中，点D，E分别是边AC、AB上的两点，连接BD，CE，CD＝AE，已知BC＝6，AB＝8，则BD+CE的最小值是（）A．136 B．10 C．9.6 D．5+452．已知等腰三角形ABC，AB=AC，点D是BC上一点，若AB=10，BC=12.则△ABD的周长可能是（）A．15 B．20 C．28 D．363．如图，已知△ABC中，AB=AC=4，BC=6，在BC边上取一点P（点P不与点B、C重合），使得△ABP成为等腰三角形，则这样的点P共有（）.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图折叠，使点A和点B重合，则折痕DE的长是（）A．3 B．3.5 C．3.75 D．45．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正三角形，再把较小的两张正三角形纸片按图2的方式放置在最大正三角形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．直角三角形的面积B．较小两个正三角重叠部分的面积C．最大正三角形的面积D．最大正三角形与直角三角形的面积差6．如图，等边△ABC的边长为2，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC的中点，则EM+CM的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．37．如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上一点，若AE=2，则EM+CM的最小值为（）A．26 B．27 C．28 D．328．如图，在边长为1正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，3AE=EB，有一只蚂蚁从E点出发，经过F、G、H，最后回点E点，则蚂蚁所走的最小路程是（）A．2 B．4 C．22 D．9．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，3），点C的坐标为（1，0），且∠AOB=30°点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为（）A．2 B．3 C．7 D．1110．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）95 B．185 C．165二、填空题11．等边△ABC的边长为2，过点C作直线l∥AB，P为直线l上一点，且AP=3AB，则点P到BC所在直线的距离是12．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，点E，F分别在边AB，AC上，将△AEF沿直线EF翻折，点A落在点P处，且点P在直线BC上.则线段CP长的取值范围是.13．如图，在直角坐标系中，点A（2，2），C（4，4）是第一象限角平分线上的两点，点B的纵坐标为2，且BA＝CB，在y轴上取一点D，连接AB，BC，AD，CD，使得四边形ABCD的周长最小，则这个周长的最小值为．14．在△ABC中，BC=6，高线AD=4，则△ABC周长的最小值为．15．如图，已知等边△ABC的边长为4，点P是边BC上一点，CP＝3，则AP＝，若点Q是边AC上一点，BQ＝AP，则AQ＝.三、解答题16．如图，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD＝5，BC＝10点E是CD的中点，求AE的长．17．一个25米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时的AO距离为24米，如果梯子的顶端A沿墙下滑4米，那么梯子底端B也外移4米，对吗？为什么？18．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC.点D为直线BC上一动点（点D不与点B、C重合），以AD为直角边在AD右侧作等腰直角三角形ADE，使∠DAE=90°，连结CE.（1）探究：如图①，当点D在线段BC上时，证明BC=CE+CD.（2）应用：在探究的条件下，若AB=2，CD=1，则△DCE的周长为.（3）拓展：①如图②，当点D在线段CB的延长线上时，BC、CD、CE之间的数量关系为.②如图③，当点D在线段BC的延长线上时，BC、CD、CE之间的数量关系为.19．在平面直角坐标系xOy中，对于点P给出如下定义：点P到图形G1上各点的最短距离为d1，点P到图形G2上各点的最短距离为d2，若d1已知点A(6，0)，（1）在点D(−6，0)，E(3，0)，（2）在点G(−2，−1)，H(2，2)，（3）点C(m，①当m=8时，是否存在满足条件的点P，如果存在请求出满足条件的点P的坐标，如果不存在请说明理由；②若点P在△OAB内，请直接写出满足条件的m的取值范围．20．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线A－C－B－A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求此时t的值；（2）若点P恰好在∠BAC的平分线上，求t的值．

1．【答案】A【解析】【解答】解：过点A作AF⊥AC，并使得AF＝BC，连接EF，则∠FAC＝90°，∴∠FAE+∠EAC＝90°，∵在Rt△ABC中，∠BAC+∠BCD＝90°，∴∠FAE＝∠BCD，∵AF＝CB，AE＝CD，∴△BCD≌△FAE（SAS），∴EF＝BD，∴BD+CE＝EF+CE，连接CF，即可得知CF的长度即为EF+CE的最小值，也就是BD+CE的最小值，∵AB＝8，BC＝6，∠ABC＝90°，∴AF＝BC＝6，AC＝10，∴CF＝AF2+A∴BD+CE的最小值是136.故答案为：A.【分析】过点A作AF⊥AC，并使得AF＝BC，连接EF，则∠FAC＝90°，由同角的余角相等可得∠FAE＝∠BCD，证明△BCD≌△FAE，得到EF＝BD，连接CF，可得CF的长度即为EF+CE的最小值，也就是BD+CE的最小值，据此求解.2．【答案】C【解析】【解答】解：如图，当点D是BC的中点时，∵D是BC的中点，AB=AC，∴AD⊥BC，由勾股定理，AD=A此时C△ABDC△ABC当点D无线趋近于点B的时候，△ABD的周长趋近于20，只有C选项的值在范围内.故答案为：C.

【分析】当点D是BC的中点时，先求出周长20，再利用变化趋势判断。3．【答案】B【解析】【解答】解：根据题意，使得△ABP成为等腰三角形，分AP=BP、AB=BP、AB=AP三种情况分析：当AP=BP时，点P位置再分两种情况分析：第1种：点P在点O右侧，AO⊥BC于点O∴AO=设OP=x∴AP=∵AB=AC=4∴BO=∴BP=BO+OP=3+x∴7+∴x=−2，不符合题意；第2种：点P在点O左侧，AO⊥BC于点O设OP=x∴AP=∴BP=BO−OP=3−x∴7+∴x=2，点P存在，即BP=1；当AB=BP时，BP=AB=4，点P存在；当AB=AP时，AP=AB=4，即点P和点C重合，不符合题意；∴符合题意的点P共有：2个故答案为：B.【分析】分三种情况分析讨论，在BC边上取一点P(点P不与点B、C重合)，使得△ABP成为等腰三角形，即AP=BP、AB=BP，AB=AP；根据等腰三角形的性质分别对三种情况逐个分析，设OP=x，利用勾股构造方程求解，再判断即可.4．【答案】C【解析】【解答】解：∵∠C=90°，BC=6，AC=8，∴AB=由折叠可得：AE=BE，BD=AD=5，设BE=x，则AE=x，CE=8−x，∴∴x=∴DE=故答案为：C.【分析】由勾股定理求解AB，由对折可得AE=BE，BD=AD=5，设BE=x，则AE=x，CE=8−x，利用勾股定理求解x，再利用勾股定理可得答案.5．【答案】B【解析】【解答】解：设直角三角形的斜边长为c，较短直角边长为a，较长直角边为b，

由勾股定理得：c2=a2+b2，

阴影部分的面积为：32c−bc−a，

较小两个正三角形重叠部分的边长为：a+b-c，

则较小两个正三角形重叠部分的面积为：∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正三角形重叠部分的面积，即等于阴影部分的面积.

故答案为：B.

【分析】根据勾股定理得到c2=a2+b2，再根据正三角形的面积公式、平行四边形的面积公式推导计算即可.6．【答案】D【解析】【解答】解：连接BE，交AD于M'，

∵△ABC为等边三角形，AD为BC边上中线，

则AD⊥BC，即AD是BC的垂直平分线，

∴MB=MC，M'B=M'C，

∴EM+CM=EM+BM，EM‘+CM’=EM‘+BM’，

∵EM+BM>BE=EM‘+BM’，

∴当B、M、E在同一条直线上，EM+CM最小，

这时BE=BC2−EC2=27．【答案】C【解析】【解答】如图，连接BE交AD于一点M‘，连接CM’，BM，作BH⊥AC，

∵△ABC为等边三角形，

∴AD为垂直平分BC，

∴BE=BM'+M'E=BM'+M'C，

∵BE＜BM+ME=MC+ME，

∴EM+CM的最小值为BE，

∵EH=AH-AE=3-2=1，

BH=BC2−CH2=62−38．【答案】C【解析】【解答】解：延长DC到D'，使CD=CD'，G关于C对称点为G'，则FG=FG'，同样作D'A'⊥CD'，D'A'=DA，H对应的位置为H'，则G'H'=GH，再作A'B'⊥D'A'，E的对应位置为E'，则H'E'=HE．容易看出，当E、F、G'、H'、E'在一条直线上时路程最小，最小路程为EE'=(2AB)2+(2BC)2=故答案为：C．【分析】本题先根据轴对称的原理分别找出点G、H、E的对称位置G’、H’、E’，再根据两点之间线段最短可知当E、F、G’、H’、E’在同一直线上上时路程最小，最后借助直角三角形利用勾股定理计算即可。9．【答案】C【解析】【解答】解：如图，过点C作C关于OB的对称点C′，连接AC′与OB相交，则AC′与OB的交点即所求的点P，PA+PC的最小值=AC′，过点C′作C′D⊥OA于D，∵点C的坐标为（1，0），且∠AOB=30°，∴∠OCC′=90°-30°=60°，OC=1，CC′=2×1×12∴CD=12，C′D=3∵顶点B的坐标为（3，3），点C的坐标为（1，0），∠OAB=90°，∴AC=3-1=2，∴AD=2+12=5在Rt△AC′D中，由勾股定理得，AC′=C'D2+AD故答案为：C．【分析】过点C作C关于OB的对称点C′，连接AC′与OB相交，根据轴对称确定最短路线得AC′与OB的交点即为所求的点P，PA+PC的最小值=AC′，过点C′作C′D⊥OA于D，求出CC′，∠OCC′=60°，再求出CD、C′D，然后求出AD，再根据勾股定理列式计算即可得解．10．【答案】B【解析】【解答】连接BF，由折叠可知AE垂直平分BF，∵BC=6，点E为BC的中点，∴BE=3，又∵AB=4，∴AE=AB∵12∴12∴BH=125，则BF=24∵FE=BE=EC，∴∠BFC=90°，∴CF=BC2−B故答案为：B．【分析】连接BF，由折叠可知AE垂直平分BF，根据勾股定理求得AE=5，利用直角三角形面积的两种表示法求得BH=125，即可得BF=245，再证明∠BFC=90°，最后利用勾股定理求得CF=11．【答案】3或23【解析】【解答】解：过点C作CD⊥AB于D，过点A作AE⊥l于E，如图1所示，∵AB=AC=BC=2，CD⊥AB于D，∴BD=AD=1，∴CD=2∵AE⊥l于E，∴AE=CD=∴AP=当P点EC的延长线上时，AP交BC于点F，如图1所示，∵AP=2AE∴∠APE=30°∵l∥AB，∴∠PCF=∠BAC=60°∴∠PFC=90°∴PF即为P点到BC所在直线的距离，∵PE=AP2∴PC=PE−CE=3−1=2，∴CF=1∴PF=2当P点CE的延长线上时，延长BC，过点P作PF⊥CF，交BC延长线于点F，如图2所示，∵PE=3，CE=1，∴PC=PE+CE=3+1=4，∵l∥AB，∴∠PCF=∠B=60°∵PF⊥CF，∴∠CPF=30°∴CF=∴PF=P综上所述，P点到BC所在直线的距离为3或23故答案为：3或23【分析】过点C作CD⊥AB于D，过点A作AE⊥l于E，根据等边三角形的性质得BD=AD=1，根据勾股定理算出CD的长，根据平行线间的距离相等可得AE的长，此题分类讨论：①当P点EC的延长线上时，AP交BC于点F，易得AP=2AE，从而可得∠APE=30°，根据平行线的性质得∠PCF=60°，故∠PFC=90°，所以PF就是点P到BC所在直线的距离；用勾股定理算出PE、CE，根据PC=PE-CE算出PC的长，最后再根据勾股定理即可算出PF的长；②当P点CE的延长线上时，延长BC，过点P作PF⊥CF，交BC延长线于点F，由线段的和差算出PC的长，根据平行线的性质得∠PCF=60°，根据三角形的内角和定理得∠CPF=30°，根据含30°角直角三角形的性质得CF的长，进而根据勾股定理算出PF的长.12．【答案】1≤CP≤5【解析】【解答】解：如图，当点E与点B重合时，CP的值最小，此时BP=AB=3，所以PC=BC-BP=4-3=1，如图，当点F与点C重合时，CP的值最大，此时CP=AC，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，根据勾股定理可得AC=5，所以CP的最大值为5，所以线段CP长的取值范围是1≤CP≤5.故答案为：1≤CP≤5.【分析】当点E与点B重合时，CP的值最小，此时BP=AB=3，然后根据PC=BC-BP进行计算；当点F与点C重合时，CP的值最大，此时CP=AC，在Rt△ABC中，由勾股定理求出AC，据此不难得到CP的范围.13．【答案】4+2【解析】【解答】解：∵点A（2，2），点B的纵坐标为2，∴AB∥x轴，∵OC是第一象限的角平分线∴∠BAC=45°，∵CA=CB，∴∠ACB=∠BAC=45°，∴∠B=90°，∵C（4，4）∴B（4，2），∴AB=BC=2，作C（4，4）关于y轴的对称点C′（-4，4），连接AC′交y轴于D′，则此时，四边形ABCD′的周长最小，且CD=C′D，则这个最小周长的值=AB+BC+AC′，∵C′（-4，4），A（2，2）∴AC∴四边形ABCD的最小周长值=AB+BC+AC故答案为：4+2【分析】先求出∠BAC=45°，再求出AB=BC=2，最后求解即可。14．【答案】16【解析】【解答】解：如图，过l∥BC，使BC与l的距离为4，再作B关于l的对称点B'，连接CB'交l于点A，过E作AE⊥BC，

∵直线l是BB'的中垂线，

∴AB'=AB，A'B'=A'B，

∵A'B'+A'C>B'C=AB+AC，

∴A'B+A'C>AB+AC，

∵直线l是BB'的中垂线，

∴∠B'AD=∠BAD，

∵l∥BC，

∴∠B'AD=∠ACB，∠BAD=∠ABC，

∴∠ABC=∠ACB，

∴△ABC为等腰三角形，

∴BE=EC=3，

∴AB=AC=AE2+BE2=5，

∴△ABC的周长=AB+AC+BC=5+5+6=16.

15．【答案】13；3或1【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴BC=AB=AC=4，如图，过A作AH⊥BC于H，∴BH=CH=2，∵CP＝3，∴PH=PC-CH=1，∵AH=A∴AP=A过B作BE⊥AC于E，当点Q在线段CE之间时，连接BQ，∴CE=AE=2，BE=AH=23∵BQ＝AP=13，∴EQ=B∴AQ=AE+EQ=2+1=3；当Q'在线段AE之间时，BQ∴EQ∴AQ'=AE-EQ∴AQ＝3或1.故答案为：13，3或1.【分析】由等边三角形的性质可得BC=AB=AC=4，过A作AH⊥BC于H，则BH=CH=2，利用勾股定理求出AH，AP；过B作BE⊥AC于E，当点Q在线段CE之间时，连接BQ，易得CE=AE=2，BE=AH=23，BQ＝AP=1316．【答案】解：如图，延长AE交BC于F．∵AB⊥BC，AB⊥AD，∴AD∥BC∴∠D=∠C，∠DAE=∠CFE，又∵点E是CD的中点，∴DE=CE．∵在△AED与△FEC中，∠D=∠C∠DAE=∠CFE∴△AED≌△FEC（AAS），∴AE=FE，AD=FC．∵AD=5，BC=10．∴BF=5在Rt△ABF中，AF＝AB∴AE=12【解析】【分析】延长AE交BC于F，易得AD∥BC，由平行线的性质得∠D=∠C，∠DAE=∠CFE，根据中点的概念可得DE=CE，证明△AED≌△FEC，得到AE=FE，AD=FC，则BF=BC-CF=BC-AD=5，利用勾股定理可得AF，进而可得AE.17．【答案】解：不对．理由：如图，依题意可知AB＝25(米)，AO＝24(米)，∠O＝90°，∴BO2＝AB2﹣AO2＝252-242，∴BO＝7(米)，移动后，A＇O＝20(米)，B＇O2＝(A＇B＇)2-(A＇O)2＝252-202＝152，∴B＇O＝15(米)，∴BB＇＝B＇O－BO＝15－7＝8(米)．【解析】【分析】根据勾股定理求出BO的长度，再根据移动后的三角形的勾股定理，求出BB＇的长度。18．【答案】（1）解：∵∠BAC=90°，∠DAE=90°，∴∠BAC=∠DAE．∵∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAE=∠CAE+∠DAC，∴∠BAD=∠CAE．∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE．∴BD=CE．∵BC=BD+CD，∴BC=CE+CD．（2）2+（3）BC=CD-CE；BC=CE-CD【解析】【解答】（2）应用：在Rt△ABC中，AB=AC=2，∴∠ABC=∠ACB=45°，BC=2，∵CD=1，∴BD=BC-CD=1，由探究知，△ABD≌△ACE，∴∠ACE=∠ABD=45°，∴∠DCE=90°，在Rt△BCE中，CD=1，CE=BD=1，根据勾股定理得，DE=2，∴△DCE的周长为CD+CE+DE=2+2故答案为：2+2.（3）拓展：①同探究的方法得，△ABD≌△ACE．∴BD=CE∴BC=CD-BD=CD-CE，故答案为BC=CD-CE；②同探究的方法得，△ABD≌△ACE．∴BD=CE∴BC=BD-CD=CE-CD，故答案为：BC=CE-CD．【分析】（1）由∠BAC=∠DAE=90°，易知∠BAD=∠CAE，根据SAS可证明△ABD≌△ACE，则BD=CE，根据线段间的等量代换证得BC=CE+CD。（2）在Rt△ABC中，先计算出BC，然后求得BD，在Rt△BCE中，再运用勾股定理求得DE，最后求出△DCE的周长。拓展：①同探究的方法得出△ABD≌△ACE，利用全等三角形性质可得BD=CE，进而得出BC=CD-CE。②同探究的方法得，△ABD≌△ACE，可得BD=CE，进而得出结论BC=CE-CD。19．【答案】（1）点E（2）点H（3）解：①存在，点P的坐标为（7，7），理由如下：∵点P是线段OA和OB的“等距点”，且线段OA在x轴上，线段OB在y轴上，∴可设点P（x，x）且x＞0，∵点P是点A和点C的“等距点”，∴AP∵点C（8，0），A(6，∴(x−8)2解得：x=7，∴点P的坐标为（7，7）；②满足条件的m的取值范围为−6<m<0．【解析】【解答】解：（1）根据题意得：AD=6−(−6)=12，AE=6−3=3，AF=(6−0)OD=6，OE=3，OF=3，∴AE=OE，∴点E(3，（2）根据题意得：线段OA在x轴