2023-2024学年9上数学期末考点（北师大版）猜题04 图形的相似（易错必刷30题8种题型专项训练）解析版

第4章图形的相似（易错必刷30题8种题型专项训练）比例的性质平行线分线段成比例相似多边形的性质相似三角形的性质相似三角形的判定相似三角形的判定与性质相似三角形的应用位似变换一．比例的性质（共2小题）1．对等式进行变形，则下列等式成立的是（）A．2x＝3y B．3x＝2y C． D．【答案】B【解答】解：∵，∴3x＝2y，A、2x＝3y，不成立，故A不符合题意；B、3x＝2y，成立，故B符合题意；C、∵＝，∴2x＝3y，不成立，故C不符合题意；D、∵x＝y，∴2x＝3y，不成立，故D不符合题意；故选：B．2．若，则的值为（）A． B．1 C．1.5 D．3【答案】A【解答】解：∵，∴＝＝＝，∴＝，故选：A．二．平行线分线段成比例（共1小题）3．如图，已知AB∥CD∥EF，则下列结论正确的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【答案】C【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴，故A错误，，故B错误；，即，故C正确；，即，故D错误．故选：C．三．相似多边形的性质（共1小题）4．如图，把一张矩形纸片沿着它的长边对折（EF为折痕），得到两个全等的小矩形．若小矩形的长与宽的比恰好等于原来矩形的长与宽的比，则小矩形的长与宽的比是（）A．2：1 B．3：2 C． D．【答案】D【解答】解：由折叠得：AE＝AD，由题意得：矩形ABFE与矩形ADCB相似，∴＝，∴AD•AE＝AB2，∴AD2＝AB2，∴＝2，∴AD：AB＝：1，故选：D．四．相似三角形的性质（共1小题）5．如图所示，若△DAC∽△ABC，则需满足（）A．CD2＝AD•DB B．AC2＝BC•CD C． D．【答案】B【解答】解：由CD2＝AD•DB，可得CD：AD＝BD：CD，由此得不出结论；由AC2＝BC•CD，可得AC：BC＝CD：AC，∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△DAC，故B选项正确；由得不出结论；由＝及∠BAC＝∠ADC＝90°可得结论，但题目中未提及．故选：B．五．相似三角形的判定（共5小题）6．如图，△ABC中，点D在线段AC上，连接BD，下列选项添加的条件中不能使△ABD与△ACB相似的是（）A． B．∠ADB＝∠ABC C．∠ABD＝∠C D．AB2＝AD•AC【答案】A【解答】解：在△ABD与△ABC中，由于∠A＝∠A，若添加∠ADB＝∠ABC或∠ABD＝∠C，满足“两角对应相等的两个三角形相似”，故要使△ABD与△ABC相似，可添加一个条件B或C．在△ABD与△ABC中，由于∠A＝∠A，若添加，即AB2＝AD•AC，满足“两边对应成比例夹角相等的两个三角形相似”，故要使△ABD与△ABC相似，可添加一个条件D．在△ABD与△ABC中，若添加，由于不能说明∠ADB＝∠ABC，也不能说明三边对应成比例，故要使△ABD与△ABC相似，不能添加一个条件A．故选：A．7．如图，△ABC中，∠A＝60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，BM，CN交于点O，连接MN．下列结论：①∠AMN＝∠ABC；②图中共有8对相似三角形；③BC＝2MN．其中正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．0个【答案】C【解答】解：∵BM⊥AC，CN⊥AB，∴∠ANC＝∠AMB＝90°，又∵∠A＝∠A，∴△ABM∽△ACN，∴，即，又∵∠A＝∠A，∴△AMN∽△ABC，∴∠AMN＝∠ABC，故①正确；由题可得，△ABM∽△ACN∽△OBN∽△OCM，△AMN∽△ABC，△BCO∽△NMO，∴图中共有8对相似三角形，故②正确；∵Rt△ACN中，∠A＝60°，∴∠ACN＝30°，∴AN＝AC，又∵△AMN∽△ABC，∴，即BC＝2MN，故③正确．故选：C．8．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？【答案】见试题解答内容【解答】解：设经过t秒时，以△QBP与△ABC相似，则AP＝2t厘米，BP＝（8﹣2t）厘米，BQ＝4t厘米，∵∠PBQ＝∠ABC，∴当＝时，△BPQ∽△BAC，即＝，解得t＝2（s）；当＝时，△BPQ∽△BCA，即＝，解得t＝0.8（s）；即经过2秒或0.8秒时，△QBP与△ABC相似．9．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE；（1）求证：△ABE∽△ECD；（2）若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长；（3）当△AED∽△ECD时，请写出线段AD、AB、CD之间数量关系，并说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，∴∠AEB+∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠BAE，∴△ABE∽△ECD；（2）解：Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝5，∴BE＝3，∵BC＝5，∴EC＝5﹣3＝2，由（1）得：△ABE∽△ECD，∴，∴，∴CD＝；（3）解：线段AD、AB、CD之间数量关系：AD＝AB+CD；理由是：过E作EF⊥AD于F，∵△AED∽△ECD，∴∠EAD＝∠DEC，∵∠AED＝∠C，∴∠ADE＝∠EDC，∵DC⊥BC，∴EF＝EC，∵DE＝DE，∴Rt△DFE≌Rt△DCE（HL），∴DF＝DC，同理可得：△ABE≌△AFE，∴AF＝AB，∴AD＝AF+DF＝AB+CD．10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点P从点A沿AC向C以2cm/s的速度移动，到C即停，点Q从点C沿CB向B以1cm/s的速度移动，到B就停．（1）若P、Q同时出发，经过几秒钟S△PCQ＝2cm2；（2）若点Q从C点出发2s后点P从点A出发，再经过几秒△PCQ与△ACB相似．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设经过t秒钟S△PCQ＝2cm2，由题意得，AP＝2t，CQ＝t，则PC＝8﹣2t，由题意得，×（8﹣2t）×t＝2，整理得，t2﹣4t+2＝0解得，t＝2±，则P、Q同时出发，经过（2±）秒钟S△PCQ＝2cm2；（2）设再经过n秒△PCQ与△ACB相似由题意得，AP＝2n，CQ＝2+n，则PC＝8﹣2n，当△PCQ∽△ACB时，＝，即＝，解得，n＝1.6，当△PCQ∽△BCA时，＝，即＝，解得，n＝，综上所述，点Q从C点出发2s后点P从点A出发，再经过1.6秒或秒秒△PCQ与△ACB相似．六．相似三角形的判定与性质（共14小题）11．如图，△ABC中，点D，E分别是边AB，AC上的点，DE∥BC，点H是边BC上的点，连接AH交线段DE于点G，且BH＝DE＝12，DG＝8，S△ADG＝12，则S四边形BCED＝（）A．24 B．22.5 C．20 D．25【答案】B【解答】解：如图所示：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，又∵BH＝DE＝12，DG＝8，∴，又∵DE＝DG+GE，∴GE＝12﹣8＝4，又∵△ADG与△AGE的高相等，∴，又∵S△ADG＝12，∴，又∵S△ADE＝S△ADG+S△AGE，∴S△ADE＝12+6＝18，又∵，∴，又∵S四边形BCED＝S△ABC﹣S△ADE，∴，故选：B．12．如图，将△ABC沿射线AC方向平移一定的距离，平移后的三角形记为△A′B′C′，边A′B′刚好经过边BC的中点D，已知△ABC的面积为16，则阴影部分△A′DC的面积为（）A．8 B．6 C．5 D．4【答案】D【解答】解：∵点D是BC的中点，∴CD＝BC，由平移得：AB∥A′B′，∴∠B＝∠A′DC，∠A＝∠DA′C，∴△ABC∽△A′DC，∴＝（）2＝（）2＝，∵△ABC的面积为16，∴△A′DC的面积＝△ABC的面积＝4，故选：D．13．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，AC与BD相交于点O，则△ABO的面积与△CDO的面积的比为（）A．1：2 B． C．1：4 D．【答案】C【解答】解：设小方格的边长为1，由图可知，AB∥CD，∴△ABO∽△CDO，且AB＝，CD＝2，∴S△ABO：S△CDO＝（AB：CD）2，∴S△ABO：S△CDO＝（：2）2＝1：4，故选：C．14．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，交AB于点D，过D作BC的平行线交AC于M，若BC＝3，AC＝2，则DM＝（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCB，∵DM∥CB，∴∠MDC＝∠DCB，∴∠MDC＝∠ACD，∴MD＝MC，∵DM∥BC，∴∠ADM＝∠B，∠AMD＝∠ACB，∴△ADM∽△ABC，∴＝，∴＝，∴DM＝，故选：B．15．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，在△ABC的内部，作一个正方形PQRS，若BC＝3，AD＝2，则正方形PQRS的边长为（）A． B． C．1 D．【答案】A【解答】解：如图：设正方形PQRS的边长为x，∵AD是△ABC的高，SR∥BC，∴AE是△ASR的高，则AE＝AD﹣ED＝2﹣x，∵四边形PQRS是正方形，∴SR∥BC，∴△ASR∽△ABC，∴＝，∴＝，解得：x＝，∴正方形PQRS的边长为．故选：A．16．在▱ABCD中，E是BC边上的点，连接AE交BD于点F，若EC＝2BE．则AF：FE的值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解答】解：在菱形ABCD中，BE∥AD，AD＝BC，∴△BEF∽△DAF，∴BE：AD＝EF：AF，∵EC＝2BE，∴AD＝BC＝3BE，∴EF：AF＝，即AF：EF＝3．故选：A．17．如图，在△ABC中，CH⊥AB，CH＝5，AB＝10，若内接矩形DEFG邻边DG：GF＝1：2，则△GFC与四边形ABFG的面积比为（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：∵DG：GF＝1：2，∴设DG＝x，FG＝2x，∵四边形DEFG是矩形，∴FG∥DE，∴∠CGF＝∠A．∠CFG＝∠B，∴△CGF∽△CAB，∵CH⊥AB，FG∥DE，∴CH⊥FG，∴＝，∴＝，∴x＝2.5，经检验，x＝2.5是原方程的根，∴FG＝5，∴＝（）2＝，∴△GFC与四边形ABFG的面积比为＝1：3，故选：A．18．如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D为格点（即小正方形的顶点），AB与CD相交于点O，则AO的长为．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图所示：在△BDF和△ECF中，，∴△BDF≌△ECF（AAS），∴BF＝EF＝，又∵BF∥DA，∴△BFO∽△ADO，∴，又∵AD＝4，∴，在Rt△ABD中，由勾股定理得，，又∵AB＝AO+BO，∴AO＝，故答案为．19．如图，a∥b∥c，直线a与直线b之间的距离为，直线c与直线b之间的距离为2，等边△ABC的三个顶点分别在直线a、直线b、直线c上，则等边三角形的边长是2．【答案】2．【解答】解：如图，过点A作AD⊥直线b于D，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，作EG⊥直线c于G交直线a于F．则有∠AEC＝∠ADB＝∠AFE＝∠EGC＝90°，AE＝AD＝，∠EAF＝∠CEG＝30°，∴EF＝AE＝，∴EG＝，CG＝EG＝，CE＝2CG＝5，∴AC＝＝＝2．∴等边△ABC的边长为2．故答案为：2．20．如图，在等边三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，若△ABC的面积为48，则△DEF的面积为16．【答案】16．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，∴∠AFE＝∠BDF＝∠DEC＝90°，∴∠AEF＝90°﹣∠A＝30°，∠BFD＝90°﹣∠B＝30°，∠EDC＝90°﹣∠C＝30°，∴∠DFE＝180°﹣∠AFE﹣∠BFD＝60°，∠FDE＝180°﹣∠BDF﹣∠EDC＝60°，∠DEF＝180°﹣∠DEC﹣∠AEF＝60°，∴∠DFE＝∠FDE＝∠DEF＝60°，∴△DFE是等边三角形，∴DF＝EF，△ABC∽△DEF，在Rt△BDF和Rt△AFE中，∠BFD＝∠AEF＝＝30°，∴BD：DF：BF＝1：：2，AF：EF＝1：，∴AF：DF：BF＝1：：2，∴＝，∵△ABC∽△DEF，∴＝（）2＝（）2＝，∵△ABC的面积为48，∴△DEF的面积＝16，故答案为：16．21．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB．（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）若AD＝2DB，AE＝4，AC＝9，求BD的长．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB；（2）解：由（1）可知：△ADE∽△ACB，∴＝，设BD＝x，则AD＝2x，AB＝3x，∵AE＝4，AC＝9，∴＝，解得：x＝（负值舍去），∴BD的长是．22．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点E，DB平分∠ADC，且AB2＝BE•BD．（1）求证：△ABE∽△DCE；（2）AE•CD＝BC•ED．【答案】证明过程见解答部分．【解答】证明：（1）∵AB2＝BE•BD，∴AB：BE＝BD：AB，∵∠ABE＝∠DBA，∴△ABE∽△DBA，∴∠BAC＝∠BDC，∵BD平分∠ADC，∴∠ADB＝∠BDC＝∠BAC，∴△ABE∽△DCE；（2）由（1）中相似可得，AE：DE＝BE：CE，∵∠BEC＝∠AED，∴△ADE∽△BCE，∴∠EAD＝∠EBC，∠ADE＝∠BDC＝∠BCE，∴△BCD∽△AED，∴BC：AE＝CD：ED，AE•CD＝BC•ED．23．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB＝8，AD＝12，AF＝6，求AE的长．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ADF＝∠CED，∠B+∠C＝180°；∵∠AFE+∠AFD＝180°，∠AFE＝∠B，∴∠AFD＝∠C，∴△ADF∽△DEC；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB＝8．∵△ADF∽△DEC，∴＝，即＝，∴DE＝16．∵AD∥BC，AE⊥BC，∴AE⊥AD．在Rt△ADE中，∠EAD＝90°，DE＝16，AD＝12，∴AE＝＝＝＝4．24．如图所示，在▱ABCD中，AF平分∠BAD交直线BC于F，DE⊥AF交直线BC于E（1）求证：BE＝CF；（2）若点G为AB的中点，求的值．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAF＝∠AFB，又∵AF平分∠BAD，∠DAF＝∠BAF，∴∠AFB＝∠BAF，∴AB＝FB，又∵DE⊥AF，∴∠AHG＝∠AHD＝90°，又∵∠AHG+∠GAH＝90°，∠AHD＝∠DAH＝90°，∠GAH＝∠DAH，∴∠AGH＝∠ADH，又∵AD∥EF，AB∥DC，∴∠ADG＝∠DEC，∠EGB＝∠EDC，又∵∠AGD＝∠BGE，∴∠DEC＝∠EDC，∴DC＝EC，∵AB＝DC，∴EC＝BF，又∵EC＝BE+BC，BF＝CF+BC，∴BE＝CF；（2）如图所示：由（1）可知：AG＝AD，∵点G为AB的中点，∴AG＝AD＝，又∵AB＝DC＝BF＝EC，AD＝BC＝AG，∴AD＝BE＝BC＝CF＝，又∵∠AHD＝∠FHE，∠DAH＝∠EFH，∴△AHD∽FHE（AA），∴∴.七．相似三角形的应用（共4小题）25．四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图1是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点F、窥衡杆与四分仪的一边BC交于点H．图2中，四分仪为正方形ABCD．方井为矩形BEFG．若测量员从四分仪中读得AB为1，BH为0.5，实地测得BE为2.5．则井深BG为（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∵BE＝2.5，BH＝0.5，∴HE＝BE﹣BH＝2.5﹣0.5＝2，∵四边形BEFG是矩形，∴BG＝EF，∠BEF＝90°，∴∠ABH＝∠FEH＝90°，∵∠AHB＝∠EHF，∴△ABH∽△FEH，∴＝，∴＝，∴EF＝4，∴BG＝EF＝4，故选：A．26．如图，已知，M，N分别为锐角∠AOB的边OA，OB上的点，ON＝6，把△OMN沿MN折叠，点O落在点C处，MC与OB交于点P，若MN＝MP＝5，则PN＝（）A．2 B．3 C． D．【答案】D【解答】解：∵MN＝MP，∴∠MNP＝∠MPN，∴∠CPN＝∠ONM，由折叠可得，∠ONM＝∠CNM，CN＝ON＝6，∴∠CPN＝∠CNM，又∵∠C＝∠C，∴△CPN∽△CNM，＝，即CN2＝CP×CM，∴62＝CP×（CP+5），解得CP＝4，又∵＝，∴＝，∴PN＝，故选：D．27．明珠绿星数学社团想利用标杆测量楼高，小明先在N处竖立一根高1.6m的标杆MN，发现点B、M、P在同一直线上．测得PN＝0.5m，AN＝4.5m，已知，点A、N、P在同一直线上，MN⊥AP于点N，AB⊥AP于点A．则楼高AB为16m．【答案】16．【解答】解：∵MN⊥AP，AB⊥AP，∴∠BAP＝∠MNP＝90°，∵∠P＝∠P，∴△BAP∽△MNP，∴＝，∴＝，解得：AB＝16，∴楼高AB为16m，故答案为：16．28．综合实践活动在现实生活中，对于较高的建筑物，人们通常用图形相似的原理测量建筑物的高度．如图，九（1）班数学活动小组的同学们在综合实践课里测量学校里一栋教学楼MN的高度，他们在教学楼前的D处竖立一个长度为4米的直杆CD，测得DN等于18米，让同学调整自己的位置，使得他直立时眼睛A、直杆顶点C和高楼顶点M三点共线．此时测量人与直杆的距离BD＝3.2米，眼睛高度AB＝1.6米．请你根据以上测量数据求出这栋教学楼MN的高度．【答案】17.5米．【解答】解：如图：过点A作AH⊥MN于点H，交CD于点E，则四边形ABDE，四边形ABNH都是矩形．∴NH＝DE＝AB＝1.6米，AE＝BD＝3.2米，EH＝DN＝18米，∵CD＝4米，∴CE＝CD﹣DE