2023-2024学年7上数学期末考点（北师大版）考点串讲01 有理数及其运算（10大考点）

七年级期末大串讲复习第一章

有理数及其运算第一章有理数及其运算期末复习思维导图知识大全考点精析技巧总结思维导图知识大全考点1有理数的概念和分类题型一正负数典例1：（2023秋•盐田区期中）若向前走5步表示为+5步，则向后3步应表示为（）A．﹣3步 B．+3步 C．﹣8步 D．+2步【答案】A【解答】解：向前走5步表示为+5步，则向后3步应表示为﹣3步，变式1：（2023春•鲁甸县校级期末）一种面粉的质量标识为“25±0.25千克”，则下列面粉中合格的有（）A．25.28千克

B．25.18千克

C．24.69千克

D．24.25千克【答案】B【解答】解：∵一种面粉的质量标识为“25±0.25千克”，∴合格面粉的质量的取值范围是：（25﹣0.25）千克～（25+0.25）千克，即合格面粉的质量的取值范围是：24.75千克～25.25千克，故选项A不合格，选项C不合格，选项B合格，选项D不合格．题型二有理数分类变式2：（2023秋•河北区期中）下列说法错误的是（）A．负整数和负分数统称为负有理数

B．正整数、0、负整数统称为整数

C．正有理数与负有理数组成全体有理数

D．2.5是小数，也是分数【答案】C【解答】解：A、负整数和负分数统称为负有理数，正确，故A不符合题意；B、正整数、负整数和0统称为整数，正确，故B不符合题意；C、正有理数和负有理数还有0统称为有理数，错误，故C符合题意；D、2.5是小数，也是分数，正确，故D不符合题意；考点3数轴题型三

数轴典例3：（2023秋•南关区校级期中）数轴上一点A向右移动4个单位长度到达点B，将点B再向左移动2个单位长度到达点C．若点C表示的数是﹣3，则点A表示的数是（）A．﹣3

B．﹣2

C．﹣5

D．2【答案】C【解答】解：﹣3+2﹣4＝﹣5，即点A表示的数是﹣5．变式3：（2023秋•南山区校级期中）若数轴上的点A表示的数﹣2，则与点A相距5个单位长度的点表示的数是（）A．±7 B．±3 C．3或﹣7 D．﹣3或7【答案】C【解答】解：在数轴上与﹣2的距离等于5的点表示的数是﹣2+5＝3或﹣2﹣5＝﹣7．题型四

相反数和倒数的相关概念题型五

相反数性质运用典例5：（2023秋•旅顺口区期中）已知a、b互为相反数，那么a﹣5+b＝

．【答案】﹣5．【解答】解：∵a、b互为相反数，∴a+b＝0，∴a﹣5+b＝0﹣5＝﹣5．故答案为：﹣5．变式5：（2023秋•顺德区校级月考）已知|a+4|+|3﹣b|＝0，则a+b＝

．【答案】﹣1．【解答】解：因为|a+4|+|3﹣b|＝0，所以|a+4|＝0，|3﹣b|＝0，那么a+4＝0，3﹣b＝0，即a＝﹣4，b＝3，则a+b＝﹣4+3＝﹣1．考点5绝对值典例6：（2023秋•鼓楼区校级期中）绝对值大于1而小于4的整数有（）A．2个

B．3个

C．4个

D．5个【答案】C【解答】解：绝对值大于1而小于4的整数有±2，±3，故共有4个，变式6：（2023秋•旅顺口区期中）下列各式正确的是（）A．|5|＝|﹣5|

B．5＝﹣|﹣5|

C．﹣|5|＝|﹣5|

D．﹣5＝|﹣5|【答案】A【解答】解：A选项，5＝5，符合题意；B选项，5≠﹣5，不符合题意；C选项，﹣5≠5，不符合题意；D选项，﹣5≠5，不符合题意；题型七

绝对值分非负性典例7：（2023秋•济南期中）已知|a+2|+|b﹣1|＝0，则ab的值是（）A．2

B．1

C．﹣2

D．﹣1【答案】C【解答】解：∵|a+2|+|b﹣1|＝0，∴a+2＝0，b﹣1＝0，解得a＝﹣2，b＝1，则ab＝（﹣2）×1＝﹣2．变式7：（2023秋•镇平县月考）若|a﹣2|与|m+n+3|互为相反数，则a+m+n＝（）A．5

B．﹣5

C．1

D．﹣1【答案】D【解答】解：∵|a﹣2|与|m+n+3|互为相反数，∴|a﹣2|+|m+n+3|＝0，而|a﹣2|≥0，|m+n+3|≥0，∴a﹣2＝0，m+n+3＝0，解得a＝2，m+n＝﹣3，∴a+m+n＝2﹣3＝﹣1，考点6：有理数加减法运算（一）加法法则

⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。⑶一个数同0相加，仍得这个数。（二）加法运算定律（1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a

（2）加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c）（三）减法法则减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b=a＋（﹣）b题型八

有理数的加减运算典例8：（2023秋•花都区校级期中）计算：（1）（﹣17）+23+（﹣53）+（+36）；（2）12﹣（﹣18）+（﹣7）﹣15．【答案】（1）﹣11；（2）8．【解答】解：（1）（﹣17）+23+（﹣53）+（+36）＝﹣17+23﹣53+36＝﹣11；（2）12﹣（﹣18）+（﹣7）﹣15＝12+18﹣7﹣15＝8．变式8：（2022秋•密云区期末）计算：（﹣20）+（+3）﹣（﹣5）﹣（+7）．【解答】解：（﹣20）+（+3）﹣（﹣5）﹣（+7）＝﹣20+3+5﹣7＝﹣27+8＝﹣19．考点7：有理数乘除法运算（一）乘法法则（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。（2）任何数同0相乘，都得0。（3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。（4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。（二）除法法则（1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。（3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。题型九

有理数的乘除法运算考点8：有理数的乘方法则运算

（1）正数的任何次幂都是正数

（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数

（3）0的任何正整数次幂都是0题型十：有理数的乘方考点点9：有理数的混合运算

（1）先乘方，再乘除，最后加减。（2）同级运算，从左到右的顺序进行。（3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。题型十一

有理数的混合运算考点10：科学计数法1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a是整数数位只有一位的数，n为正整数）。这种记数的方法叫做科学记数法。﹙1≤|a|＜10﹚

注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n－1

2.近似数的精确度：两种形式

（1）精确到某位或精确到小数点后某位。

（2）保留几个有效数字注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示

例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105

3.有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数。4.注：（1）用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字。例如：3.0×104的有效数字是3

。

（2）带有记数单位的近似数的有效数字，看记数单位前面的数字。

例如：2.605万的有效数字是2，6，0，5。题型十二

科学计数法【答案】B【解答】解：503000000＝5.03×108．故选：B．【答案】C【解答】解：11580000＝1.158×107，题型十三

有理数的实际应用典例13：（2023秋•青秀区校级期中）某展会期间有非常精彩的直升机花式飞行表演．表演过程中一架直升机A起飞后前5次表演的高度（单位：千米，规定上升为正，下降为负）为：+3.6，﹣2.4，+2.8，﹣1.5，+0.9．（1）这次表演过程中，直升机的最高高度是多少？（2）当直升机A完成上述5个表演动作后，直升机A的高度是多少千米？（3）若另一架直升机B在做花式飞行表演时，起飞后前4次的高度为：+3.8，﹣2，+4.1，﹣2.3．若要使直升机B在完成第5个动作后与直升机A完成5个动作后的高度相同，求直升机B的第5个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米？【解答】解：（1）（+3.6）+（﹣2.4）+（+2.8）＝4（千米）．答：这次表演过程中，直升机的最高高度是4千米；（2）（+3.6）+（﹣2.4）+（+2.8）+（﹣1.5）+（+0.9）＝3.4（千米）．答：直升机A的高度是3.4千米；（3）3.4﹣[（+3.8）+（﹣2）+（+4.1）+（﹣2.3）]＝﹣0.2（千米）．答：直升机B的第5个动作是下降，下降0.2千米．变式13：（2023秋•洪洞县期中）世界杯比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：m）：+10，﹣2，+5，﹣6，+12，﹣9，+4，﹣14．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上）（1）守门员最后是否回到球门线上？（2）守门员离开球门线的最远距离达多少米？（3）如果守门员离开球门线的距离超过10米（不包括10米），则对方球员挑射极可能造成破门．请问在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？

【解答】解：（1）+10﹣2+5﹣6+12﹣9+4﹣14＝0，答：守门员最后正好回到球门线上；（2）第一次10，第二次10﹣2＝8，第三次8+5＝13，第四次13﹣6＝7，第五次7+12＝19，第六次19﹣9＝10，第七次10+4＝14，第八次14﹣14＝0，19＞14＞13＞10＞8＞7，答：守门员离开球门线的最远距离达19米；（3）第一次10＝10，第二次10﹣2＝8＜10，第三次8+5＝13＞10，第四次13﹣6＝7＜10，第五次7+12＝19＞10，第六次19﹣9＝10，第七次10+4＝14＞10，第八次14﹣14＝0，答：对方球员有三次挑射破门的机会．常用技巧或结论有理数简便运算技巧（十五法）一、归类将同类数（如正数或负数）归类计算。二、凑整将和为整数的数结合计算三、对消将相加得零的数结合计算。四、对消将相加得零的数结合计算。五、分解将一个数分解成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式六、转化将小数与分数或乘法与除法相互转化七、变序运用运算律改变运算顺序八、约简将互为倒数的数或有倍数关系的数约简九、逆用正难则反，逆用运