安徽界首地区2023-2024学年中考适应性考试数学试题含解析_第1页
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文档简介

安徽界首地区2023-2024学年中考适应性考试数学试题考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1.若m,n是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个不同实数根,则代数式m2﹣m+n的值是()A.﹣1 B.3 C.﹣3 D.12.下列各式计算正确的是()A. B. C. D.3.某反比例函数的图象经过点(-2,3),则此函数图象也经过()A.(2,-3) B.(-3,3) C.(2,3) D.(-4,6)4.-3的倒数是()A.3 B.13 C.-15.如图,已知AB∥CD,DE⊥AC,垂足为E,∠A=120°,则∠D的度数为()A.30° B.60° C.50° D.40°6.如图,在▱ABCD中,BF平分∠ABC,交AD于点F,CE平分∠BCD,交AD于点E,若AB=6,EF=2,则BC的长为()A.8 B.10 C.12 D.147.《孙子算经》是中国传统数学的重要著作,其中有一道题,原文是:“今有木,不知长短,引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳量之,不足一尺.木长几何?”意思是:用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺;将绳子对折再量木头,则木头还剩余1尺,问木头长多少尺?可设木头长为x尺,绳子长为y尺,则所列方程组正确的是()A. B. C. D.8.规定:如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根,且其中一个根是另一个根的2倍,则称这样的方程为“倍根方程”.现有下列结论:①方程x2+2x﹣8=0是倍根方程;②若关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程,则a=±3;③若关于x的方程ax2﹣6ax+c=0(a≠0)是倍根方程,则抛物线y=ax2﹣6ax+c与x轴的公共点的坐标是(2,0)和(4,0);④若点(m,n)在反比例函数y=的图象上,则关于x的方程mx2+5x+n=0是倍根方程.上述结论中正确的有(

)A.①② B.③④ C.②③ D.②④9.如图,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB’C’D’,图中阴影部分的面积为().A. B. C. D.10.随机掷一枚均匀的硬币两次,至少有一次正面朝上的概率为()A. B. C. D.二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11.使分式x212.在平面直角坐标系的第一象限内,边长为1的正方形ABCD的边均平行于坐标轴,A点的坐标为(a,a).如图,若曲线与此正方形的边有交点,则a的取值范围是________.13.若一个棱柱有7个面,则它是______棱柱.14.已知是方程组的解,则a﹣b的值是___________15.已知函数是关于的二次函数,则__________.16.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=45°,CD⊥AB于点D,点P在线段DB上,若AP2-PB2=48,则△PCD的面积为____.17.如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,AB=3,BC=2,tanA=,则CD=_____.三、解答题(共7小题,满分69分)18.(10分)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作半圆⊙O,交BC于点D,连接AD,过点D作DE⊥AC,垂足为点E,交AB的延长线于点F.(1)求证:EF是⊙O的切线.(2)如果⊙O的半径为5,sin∠ADE=,求BF的长.19.(5分)已知AC,EC分别是四边形ABCD和EFCG的对角线,直线AE与直线BF交于点H(1)观察猜想如图1,当四边形ABCD和EFCG均为正方形时,线段AE和BF的数量关系是;∠AHB=.(2)探究证明如图2,当四边形ABCD和FFCG均为矩形,且∠ACB=∠ECF=30°时,(1)中的结论是否仍然成立,并说明理由.(3)拓展延伸在(2)的条件下,若BC=9,FC=6,将矩形EFCG绕点C旋转,在整个旋转过程中,当A、E、F三点共线时,请直接写出点B到直线AE的距离.20.(8分)计算:21.(10分)如图,AB为⊙O的直径,点C,D在⊙O上,且点C是的中点,过点C作AD的垂线EF交直线AD于点E.(1)求证:EF是⊙O的切线;(2)连接BC,若AB=5,BC=3,求线段AE的长.22.(10分)某校决定加强羽毛球、篮球、乒乓球、排球、足球五项球类运动,每位同学必须且只能选择一项球类运动,对该校学生随机抽取进行调查,根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图:运动项目

频数(人数)

羽毛球

30

篮球

乒乓球

36

排球

足球

12

请根据以上图表信息解答下列问题:频数分布表中的,;在扇形统计图中,“排球”所在的扇形的圆心角为度;全校有多少名学生选择参加乒乓球运动?23.(12分)某高中进行“选科走班”教学改革,语文、数学、英语三门为必修学科,另外还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理(分别记为A、B、C、D、E、F)六门选修学科中任选三门,现对该校某班选科情况进行调查,对调查结果进行了分析统计,并制作了两幅不完整的统计图.请根据以上信息,完成下列问题:该班共有学生人;请将条形统计图补充完整;该班某同学物理成绩特别优异,已经从选修学科中选定物理,还需从余下选修学科中任意选择两门,请用列表或画树状图的方法,求出该同学恰好选中化学、历史两科的概率.24.(14分)在“双十一”购物街中,某儿童品牌玩具专卖店购进了两种玩具,其中类玩具的金价比玩具的进价每个多元.经调查发现:用元购进类玩具的数量与用元购进类玩具的数量相同.求的进价分别是每个多少元?该玩具店共购进了两类玩具共个,若玩具店将每个类玩具定价为元出售,每个类玩具定价元出售,且全部售出后所获得的利润不少于元,则该淘宝专卖店至少购进类玩具多少个?

参考答案一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1、B【解析】

把m代入一元二次方程,可得,再利用两根之和,将式子变形后,整理代入,即可求值.【详解】解:∵若,是一元二次方程的两个不同实数根,∴,∴∴故选B.【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系,及一元二次方程的解,熟记根与系数关系的公式.2、B【解析】A选项中,∵不是同类二次根式,不能合并,∴本选项错误;B选项中,∵,∴本选项正确;C选项中,∵,而不是等于,∴本选项错误;D选项中,∵,∴本选项错误;故选B.3、A【解析】

设反比例函数y=(k为常数,k≠0),由于反比例函数的图象经过点(-2,3),则k=-6,然后根据反比例函数图象上点的坐标特征分别进行判断.【详解】设反比例函数y=(k为常数,k≠0),∵反比例函数的图象经过点(-2,3),∴k=-2×3=-6,而2×(-3)=-6,(-3)×(-3)=9,2×3=6,-4×6=-24,∴点(2,-3)在反比例函数y=-的图象上.故选A.【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征:反比例函数y=(k为常数,k≠0)的图象是双曲线,图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k,即xy=k.4、C【解析】

由互为倒数的两数之积为1,即可求解.【详解】∵-3×-13=1,∴故选C5、A【解析】分析:根据平行线的性质求出∠C,求出∠DEC的度数,根据三角形内角和定理求出∠D的度数即可.详解:∵AB∥CD,∴∠A+∠C=180°.∵∠A=120°,∴∠C=60°.∵DE⊥AC,∴∠DEC=90°,∴∠D=180°﹣∠C﹣∠DEC=30°.故选A.点睛:本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理的应用,能根据平行线的性质求出∠C的度数是解答此题的关键.6、B【解析】试题分析:根据平行四边形的性质可知AB=CD,AD∥BC,AD=BC,然后根据平行线的性质和角平分线的性质可知AB=AF,DE=CD,因此可知AF+DE=AD+EF=2AB=12,解得AD=BC=12-2=10.故选B.点睛:此题主要考查了平行四边形的性质和等腰三角形的性质,解题关键是把所求线段转化为题目中已知的线段,根据等量代换可求解.7、A【解析】

根据“用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺;将绳子对折再量木头,则木头还剩余1尺”可以列出相应的方程组,本题得以解决.【详解】由题意可得,,故选A.【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组,解答本题的关键是明确题意,列出相应的方程组.8、C【解析】分析:①通过解方程得到该方程的根,结合“倍根方程”的定义进行判断;②设=2,得到•=2=2,得到当=1时,=2,当=-1时,=-2,于是得到结论;③根据“倍根方程”的定义即可得到结论;④若点(m,n)在反比例函数y=的图象上,得到mn=4,然后解方程m+5x+n=0即可得到正确的结论;详解:①由-2x-8=0,得:(x-4)(x+2)=0,解得=4,=-2,∵≠2,或≠2,∴方程-2x-8=0不是倍根方程;故①错误;②关于x的方程+ax+2=0是倍根方程,∴设=2,∴•=2=2,∴=±1,当=1时,=2,当=-1时,=-2,∴+=-a=±3,∴a=±3,故②正确;③关于x的方程a-6ax+c=0(a≠0)是倍根方程,∴=2,∵抛物线y=a-6ax+c的对称轴是直线x=3,∴抛物线y=a-6ax+c与x轴的交点的坐标是(2,0)和(4,0),故③正确;④∵点(m,n)在反比例函数y=的图象上,∴mn=4,解m+5x+n=0得=,=,∴=4,∴关于x的方程m+5x+n=0不是倍根方程;故选C.点睛:本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,根与系数的关系,正确的理解倍根方程的定义是解题的关键.9、C【解析】

设B′C′与CD的交点为E,连接AE,利用“HL”证明Rt△AB′E和Rt△ADE全等,根据全等三角形对应角相等∠DAE=∠B′AE,再根据旋转角求出∠DAB′=60°,然后求出∠DAE=30°,再解直角三角形求出DE,然后根据阴影部分的面积=正方形ABCD的面积﹣四边形ADEB′的面积,列式计算即可得解.【详解】如图,设B′C′与CD的交点为E,连接AE,在Rt△AB′E和Rt△ADE中,,∴Rt△AB′E≌Rt△ADE(HL),∴∠DAE=∠B′AE,∵旋转角为30°,∴∠DAB′=60°,∴∠DAE=×60°=30°,∴DE=1×=,∴阴影部分的面积=1×1﹣2×(×1×)=1﹣.故选C.【点睛】本题考查了旋转的性质,正方形的性质,全等三角形判定与性质,解直角三角形,利用全等三角形求出∠DAE=∠B′AE,从而求出∠DAE=30°是解题的关键,也是本题的难点.10、D【解析】

先求出两次掷一枚硬币落地后朝上的面的所有情况,再根据概率公式求解.【详解】随机掷一枚均匀的硬币两次,落地后情况如下:至少有一次正面朝上的概率是,故选:D.【点睛】本题考查了随机事件的概率,如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率.二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11、1【解析】试题分析:根据题意可知这是分式方程,x2答案为1.考点:分式方程的解法12、-1≤a≤【解析】

根据题意得出C点的坐标(a-1,a-1),然后分别把A、C的坐标代入求得a的值,即可求得a的取值范围.【详解】解:反比例函数经过点A和点C.当反比例函数经过点A时,即=3,解得:a=±(负根舍去);当反比例函数经过点C时,即=3,解得:a=1±(负根舍去),则-1≤a≤.故答案为:-1≤a≤.【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点,关键是掌握反比例函数y=(k为常数,k≠0)的图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k,即xy=k.13、5【解析】分析:根据n棱柱的特点,由n个侧面和两个底面构成,可判断.详解:由题意可知:7-2=5.故答案为5.点睛:此题主要考查了棱柱的概念,根据棱柱的底面和侧面的关系求解是解题关键.14、4;【解析】试题解析:把代入方程组得:,①×2-②得:3a=9,即a=3,把a=3代入②得:b=-1,则a-b=3+1=4,15、1【解析】

根据一元二次方程的定义可得:,且,求解即可得出m的值.【详解】解:由题意得:,且,解得:,且,∴故答案为:1.【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义,关键是掌握“未知数的最高次数是1”且“二次项的系数不等于0”.16、6【解析】

根据等角对等边,可得AC=BC,由等腰三角形的“三线合一”可得AD=BD=AB,利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,可得CD=AB,由AP2-PB2=48

,利用平方差公式及线段的和差公式将其变形可得CD·PD=12,利用△PCD的面积=CD·PD可得.【详解】解:∵在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=45°,∴∠B=45°,∴AC=BC,∵CD⊥AB

,∴AD=BD=CD=AB,∵AP2-PB2=48

,∴(AP+PB)(AP-PB)=48,∴AB(AD+PD-BD+DP)=48,∴AB·2PD=48,∴2CD·2PD=48,∴CD·PD=12,∴△PCD的面积=CD·PD=6.故答案为6.【点睛】此题考查等腰三角形的性质,直角三角形的性质,解题关键在于利用等腰三角形的“三线合一17、【解析】

延长AD和BC交于点E,在直角△ABE中利用三角函数求得BE的长,则EC的长即可求得,然后在直角△CDE中利用三角函数的定义求解.【详解】如图,延长AD、BC相交于点E,∵∠B=90°,∴,∴BE=,∴CE=BE-BC=2,AE=,∴,又∵∠CDE=∠CDA=90°,∴在Rt△CDE中,,∴CD=.三、解答题(共7小题,满分69分)18、(1)答案见解析;(2).【解析】试题分析:(1)连接OD,AB为⊙O的直径得∠ADB=90°,由AB=AC,根据等腰三角形性质得AD平分BC,即DB=DC,则OD为△ABC的中位线,所以OD∥AC,而DE⊥AC,则OD⊥DE,然后根据切线的判定方法即可得到结论;(2)由∠DAC=∠DAB,根据等角的余角相等得∠ADE=∠ABD,在Rt△ADB中,利用解直角三角形的方法可计算出AD=8,在Rt△ADE中可计算出AE=,然后由OD∥AE,得△FDO∽△FEA,再利用相似比可计算出BF.试题解析:(1)证明:连结OD∵OD=OB∴∠ODB=∠DBO又AB=AC∴∠DBO=∠C∴∠ODB=∠C∴OD∥AC又DE⊥AC∴DE⊥OD∴EF是⊙O的切线.(2)∵AB是直径∴∠ADB=90°∴∠ADC=90°即∠1+∠2=90°又∠C+∠2=90°∴∠1=∠C∴∠1=∠3∴∴∴AD=8在Rt△ADB中,AB=10∴BD=6在又Rt△AED中,∴设BF=x∵OD∥AE∴△ODF∽△AEF∴,即,解得:x=19、(1),45°;(2)不成立,理由见解析;(3).【解析】

(1)由正方形的性质,可得,∠ACB=∠GEC=45°,求得△CAE∽△CBF,由相似三角形的性质得到,∠CAB==45°,又因为∠CBA=90°,所以∠AHB=45°.(2)由矩形的性质,及∠ACB=∠ECF=30°,得到△CAE∽△CBF,由相似三角形的性质可得∠CAE=∠CBF,,则∠CAB=60°,又因为∠CBA=90°,求得∠AHB=30°,故不成立.(3)分两种情况讨论:①作BM⊥AE于M,因为A、E、F三点共线,及∠AFB=30°,∠AFC=90°,进而求得AC和EF,根据勾股定理求得AF,则AE=AF﹣EF,再由(2)得:,所以BF=3﹣3,故BM=.②如图3所示:作BM⊥AE于M,由A、E、F三点共线,得:AE=6+2,BF=3+3,则BM=.【详解】解:(1)如图1所示:∵四边形ABCD和EFCG均为正方形,∴,∠ACB=∠GEC=45°,∴∠ACE=∠BCF,∴△CAE∽△CBF,∴∠CAE=∠CBF,,∴,∠CAB=∠CAE+∠EAB=∠CBF+∠EAB=45°,∵∠CBA=90°,∴∠AHB=180°﹣90°﹣45°=45°,故答案为,45°;(2)不成立;理由如下:∵四边形ABCD和EFCG均为矩形,且∠ACB=∠ECF=30°,∴,∠ACE=∠BCF,∴△CAE∽△CBF,∴∠CAE=∠CBF,,∴∠CAB=∠CAE+∠EAB=∠CBF+∠EAB=60°,∵∠CBA=90°,∴∠AHB=180°﹣90°﹣60°=30°;(3)分两种情况:①如图2所示:作BM⊥AE于M,当A、E、F三点共线时,由(2)得:∠AFB=30°,∠AFC=90°,在Rt△ABC和Rt△CEF中,∵∠ACB=∠ECF=30°,∴AC=,EF=CF×tan30°=6×=2,在Rt△ACF中,AF=,∴AE=AF﹣EF=6﹣2,由(2)得:,∴BF=(6﹣2)=3﹣3,在△BFM中,∵∠AFB=30°,∴BM=BF=;②如图3所示:作BM⊥AE于M,当A、E、F三点共线时,同(2)得:AE=6+2,BF=3+3,则BM=BF=;综上所述,当A、E、F三点共线时,点B到直线AE的距离为.【点睛】本题考察正方形的性质和矩形的性质以及三点共线,熟练掌握正方形的性质和矩形的性质,知道分类讨论三点共线问题是解题的关键.本题属于中等偏难.20、5【解析】

本题涉及零指数幂、负整数指数幂、绝对值、乘方四个考点.在计算时,需要针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果.【详解】原式=4-8×0.125+1+1=4-1+2=5【点睛】本题考查实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、乘方、绝对值等考点的运算.21、(1)证明见解析(2)【解析】

(1)连接OC,根据等腰三角形的性质、平行线的判定得到OC∥AE,得到OC⊥EF,根据切线的判定定理证明;(2)根据勾股定理求出AC,证明△AEC∽△ACB,根据相似三角形的性质列出比例式,计算即可.【详解】(1)证明:连接OC,∵OA=OC,∴∠OCA=∠BAC,∵点C是的中点,∴∠EAC=∠BAC,∴∠EAC=∠OCA,∴OC∥AE,∵AE⊥EF,∴OC⊥EF,即EF是⊙O的切线;(2)解:∵AB为⊙O的直径,∴∠BCA=90°,∴AC==4,∵∠EAC=∠BAC,∠AEC=∠ACB=90°,∴△AEC∽△ACB,∴,∴AE=.【点睛】本题考查的是切线的判定、圆周角定理以及相似三角形的判定和性质,掌握切线的判定定理、直径所对的圆周角是直角是解题的关键.22、(1)24,1;(2)54;(3)360.【解析】

(1)根据选择乒乓球运动的人数是36人,对应的百分比是30%,即可求得总人数,然后利用百分比的定义求得a,用总人数减去其它组的人数求得b;(2)利用360°乘以对应的百分比即可求得;(3)求得全校总人数,然后利用总人数乘以对应的百分比求解.【详解】(1)抽取的人数是36÷30%=120(人),则a=120×20%=24,b=120﹣30

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