《数字图像处理》课件1第5章

第5章图像复原与重建5.1退化模型

5.2代数恢复方法

5.3频率域恢复方法

5.4几何校正

5.5图像重建

5.6上机实验习题图像恢复是图像处理中一个重要的课题。图像复原的目的是从退化图像中重建原始图像，改善退化图像的视觉质量，在这一点上和图像增强是类似的，所不同的是图像复原过程需要根据图像退化的过程或现象建立一定的图像退化模型来完成。可能的退化现象有光学系统中的衍射、传感器的非线性失真、光学系统的像差、图像运动造成的模糊以及镜头畸变等。根据这个退化模型来选取相应的恢复算法对退化图像进行恢复，可以得到满意的图像。因此，图像复原和图像增强一样，都是为了改善图像视觉效果，以及便于后续处理。图像增强不考虑图像是如何退化的，只通过试探各种技术来增强图像的视觉效果。因此，图像增强可以不顾增强后的图像是否失真，而图像复原就完全不同，需知道图像退化的机制和过程的先验知识，据此找出一种相应的逆过程方法，从而得到复原的图像。如果图像已退化，应先作复原处理，再作增强处理。

图像复原主要取决于对图像退化过程的先验知识所掌握的精确程度。对图像复原结果的评价已确定了一些准则，这些准则包括最小均方准则、加权均方准则和最大熵准则等，这些准则是用来规定复原后的图像与原图像相比较的质量标准。目前，图像复原技术有多种类型。在给定模型条件下，图像复原技术可分为无约束和有约束两大类。按照处理的领域可分为频域和空域两大类许多图像复原技术在频域里进行，但越来越多的空域处理得到了应用。

本章着重介绍图像复原的主要方法，包括代数方法复原、运动模糊复原、逆滤波复原、维纳(Wiener)滤波复原、几何失真复原等。另外，在生物医学成像、地质探险等领域可以发现许多层析成像重建的应用，本章还将介绍计算机断层扫描的一维重建和三维形状复原的基本原理和方法。

5.1.1退化

景物成像过程中可能出现畸变、模糊、失真或混入噪声，使得所成图像降质，称之为图像“退化”。造成图像退化的原因很多，典型原因表现为：

(1)成像系统的像差、畸变、带宽有限等造成图像失真；

(2)由于成像器件拍摄姿态和扫描非线性引起的图像几何失真；

(3)运动模糊：成像传感器与被拍摄景物之间的相对运动，引起所成图像的运动模糊；5.1退化模型

(4)灰度失真：光学系统或成像传感器本身特性不均匀，造成同样亮度的景物成像灰度不同；

(5)辐射失真：由于场景能量传输通道中的介质特性如大气湍流效应、大气成分变化引起的图像失真；

(6)图像在成像、数字化、采集和处理过程中引入的噪声等。

图5.1.1所示为受正弦噪声干扰的图像退化示意图。

图5.1.1图像退化5.1.2退化的数学模型

图像恢复处理的关键是建立图像的退化模型，如图5.1.2所示，不同的环境造成图像退化的过程也不同。场景辐射能量在物平面上的分布用f(x，y)描述，通过成像系统H时，在像平面所得图像为H［f(x，y)］，如果再有加性噪声n(x，y)，则实际所得退化图像g(x，y)模型的数学形式为

g(x，y)＝H［f(x，y)］＋n(x，y)(5.1.1)

图5.1.2图像退化模型图像恢复可以看成是一个估计过程，因为加性噪声n(x，y)是一种具有统计性质的信息，其中H［·］是综合所有退化因素的函数。

如果估计出系统H，那么由给定的退化图像g(x，y)可以近似地恢复f(x，y)。可见，图像恢复的关键是确定系统H。一般而言，H是由某些元件或部件以一定方式构造而成的整体，是输入信号和输出信号之间的联系。

我们可以把物平面分布函数分解成d函数加权积分的形式，即

(5.1.2)

当H［f(x，y)］是线性算子时，有

(5.1.3)

其中，

h(x，y；a，b)＝H［d(x－a，y－b)］

为点扩展函数(PSF)，如果H［·］满足

H［f(x－a，y－b)］＝g(x－a，y－b) (5.1.4)

即具备空间位移不变性，则

h(x，y；a，b)＝h(x－a，y－b) (5.1.5)

因此，对于空间位移不变系统，退化模型可描述为

(5.1.6)

图像复原是在已知g(x，y)、h(x，y)和n(x，y)的一些先验知识的条件下，求得f(x，y)。

图像复原根据退化原因，建立相应的数学模型，从被污染或畸变的图像信号中提取所需要的信息，沿着使图像降质的逆过程恢复图像本来面貌。实际的复原过程是设计一个滤波器，使其能从降质图像g(x，y)中计算得到真实图像的估值

(x，y)，并根据预先规定的误差准则，最大程度地接近真实图像f(x，y)。图像的退化/复原过程模型如图5.1.3所示。

广义上讲，图像复原是一个求逆问题，逆问题经常存在非唯一解，甚至无解。为了得到逆问题的有用解，需要有先验知识以及对解的附加约束条件。

图5.1.3图像的退化/复原过程模型

图像复原的目的是在假设具备有关g、H和n的某些知识的情况下，寻求估计原图像的方法。这种估计应在某种预先选定的最佳准则下，具有最优的性质。

本节集中讨论在均方误差最小意义下，原图像的最佳估计，因为它是各种可能准则中最简单易行的。事实上，由它可以导出许多实用的恢复方法。5.2代数恢复方法5.2.1无约束复原

由式(5.1.1)可得退化模型中的噪声项为

n＝g－Hf (5.2.1)

当对n一无所知时，有意义的准则函数是寻找一个

，使得

在最小二乘意义上近似于g，即要使噪声项的范数尽可能小，也就是使

(5.2.2)

为最小，这一问题可有效地看成求标准函数

(5.2.3)

关于

最小的问题。

令

(5.2.4)

可推出

(5.2.5)

令M＝N，则H为一方阵。设H－1存在，则式(5.2.5)化为

(5.2.6)

式(5.2.6)就是逆滤波恢复法的表达式。对于位移不变产生的模糊，可以通过在频率域进行去卷积加以说明，即

(5.2.7)

若H(u，v)有零值，则H为奇异的，无论H－1或(H'H)－1都不存在。这会导致恢复问题的病态性或奇异性。

5.2.2约束最小二乘复原

为了克服恢复问题的病态性质，常需要在恢复过程中施加某种约束，即约束复原。令Q为f的线性算子，约束最小二乘法复原问题是使形式为

的函数在约束条件

时为最小。这可归结为寻找一个

，使下面的准则函数最小：

(5.2.8)其中，l为一个常数，称为拉格朗日系数。一般要求极小值的解法，令

对

的导数为零，有

(5.2.9)

解得

(5.2.10)

其中，γ＝1/l。这是求约束最小二乘复原图像的通用方程式。

通过指定不同的Q，可以得到不同的复原图像。下面根据通用方程式给出几种具体恢复方法。

1.能量约束恢复

若取线性运算

Q＝I

(5.2.11)

则得

(5.2.12)

此解的物理意义是在约束条件为式(5.2.2)时，恢复图像能量‖f‖2为最小。也可以说，当用g表示复原f时，能量应保持不变。事实上，上式完全可以在

的条件下使

最小推导出来。

2.平滑约束恢复

把

看成x，y的二维函数，平滑约束是指原图像f(x，y)为最光滑的，那么它在各点的二阶导数都应最小。顾及二阶导数有正有负，约束条件是应用各点二阶导数的平方和最小。Laplacian算子为

(5.2.13)

则约束条件为

(5.2.14)

式(5.2.13)还可用卷积形式表示如下：

(5.2.15)

式中

(5.2.16)

于是，复原就是在约束条件式(5.2.2)下使

为最小。令Q＝C，最佳复原解为

(5.2.17)

3.均方误差最小滤波(维纳滤波)

将f和n视为随机变量，并选择

Q＝R－1/2fR1/2n(5.2.18)

使

最小，其中

Rf＝e{ff'}

Rn＝e{nn'}

分别为信号和噪声的协方差矩阵。可推导出

(5.2.19)

一般把γ≠1时称为含参维纳滤波，γ＝1时称为标准维纳滤波。在用统计线性运算代替确定性线性运算时，最小二乘滤波将转化成均方误差最小滤波。尽管两者在表达式上有着类似的形式，但意义却有着本质的不同。在随机性运算情况下最小二乘滤波是对一族图像在统计平均意义上给出最佳恢复的；而在确定性运算的情况下，最佳恢复是针对一幅退化图像给出的。5.2.3加权中值滤波

如果在中值滤波窗口内适当选择各点的权重，加权中值滤波比简单的中值滤波能更好地从受噪声污染的图像中恢复出阶跃边缘以及其他细节。

加权中值滤波的基本原理是改变窗口中变量的个数，可以使一个以上的变量等于同一点的值，然后对扩张后的数字集中求值。如在窗口内，中间点取奇数，两边点取对称数，也就是位于窗口中间的像素重复两次，位于窗口边缘的两个像素重复一次，形成新的序列，然后对新的序列再作常规中值滤波处理。其数学形式很简单，也很容易实现，但滤波窗口和权重的选择比较关键。

5.3.1逆滤波恢复法

逆滤波恢复法也称反向滤波法，是一种无约束恢复的图像恢复技术，也是频域恢复处理中的一种。

对于线性位移不变系统，

(5.3.1)5.3频率域恢复方法

上式两边进行傅立叶变换，得

G(u，v)＝F(u，v)H(u，v)＋N(u，v) (5.3.2)

式中，G(u，v)，F(u，v)，H(u，v)和N(u，v)分别是g(x，y)，f(x，y)，h(x，y)和n(x，y)的二维傅立叶变换。H(u，v)称为系统的传递函数。从频率域角度看，它使图像退化，因而反映了成像系统的性能。

通常在无噪声的理想情况下，上式可简化成

G(u，v)＝F(u，v)H(u，v) (5.3.3)

则

(5.3.4)

1/H(u，v)称为逆滤波器。对上式再进行傅立叶反变换可得到f(x，y)。但实际上碰到的问题都是有噪声的，因而只能求F(u，v)的估计值：

(5.3.5)

然后再作傅立叶逆变换，得

(5.3.6)

这就是逆滤波复原的基本原理。其复原过程可归纳如下：

(1)对退化图像g(x，y)作二维离散傅立叶变换，得到G(u，v)。

(2)计算系统点扩散函数h(x，y)的二维傅立叶变换，得到H(u，v)。

这一步值得注意的是，通常h(x，y)的尺寸小于g(x，y)的尺寸。为了消除混叠效应引起的误差，需要把h(x，y)的尺寸延拓。

(3)计算

。

(4)计算

的逆傅立叶变换，求得复原图像

。

若噪声为零，则采用逆滤波恢复法能完全再现原图像。若噪声存在，而且H(u，v)很小或为零时，则噪声被放大。这意味着退化图像中小噪声的干扰在H(u，v)较小时，会对逆滤波恢复的图像产生很大的影响，有可能使恢复的图像和f(x，y)相差很大，甚至面目全非。

因此通常情况下的滤波器往往不是1/H(u，v)，而是关于u和v的某个非线性的恢复转移函数M(u，v)。经过以上的分析，图像的退化和恢复过程(模型)大致可用图5.3.1来表示。

图5.3.1实际的逆滤波处理在进行恢复处理的过程中，u，v平面不可避免地会出现一些点或区域使得H(u，v)＝0，或者H(u，v)非常小，在这种情况下，即使没有噪声也不能准确地恢复退化图像。一般情况下，H(u，v)在u，v平面随着离原点的距离的增加而迅速下降，而噪声N(u，v)变换比较平缓。根据这些特点我们采取了一种简便的方法，在选取恢复转移函数M(u，v)时，如果u2＋v2≤w2，则取值1/H(u，v)，否则为K(常数)。

解决该病态问题的唯一方法就是避开H(u，v)的零点即小数值的H(u，v)。常采用两种途径解决：

一是在H(u，v)＝0及其附近，人为地仔细设置H－1(u，v)的值，使N(u，v)*H－1(u，v)不会产生太大影响。

二是使H(u，v)具有低通滤波性质：

(5.3.7)

其中D0为逆滤波的截止频率。

由于逆滤波恢复过程需要在频域中进行，因此要通过二维傅立叶变换将图像由空域变换到频域。一般采取连续两次调用一维离散快速傅立叶变换(FFT)的方法来实现，即先沿f(x，y)的每一个x对y求变换再乘以N得到F(x，v)，完成第一步变换；然后再将得到的F(x，v)沿f(x，v)的每一个v对x求变换即可得到f(x，y)的最终变换F(u，v)。

实验证明，当退化图像的噪声较小，即轻度降质时，采用逆滤波复原的方法可以获得较好的结果。通常，H(u，v)在离频率平面原点较远的地方数值较小或为零，因此图像复原在原点周围的有限区域内进行，即将退化图像的傅立叶谱限制在H(u，v)没出现零点而且数值又不是太小的有限范围内。5.3.2维纳滤波复原法

逆滤波复原方法数学表达式简单，物理意义明确，但存在上面讲到的缺点，且难以克服。因此，在逆滤波理论基础上，不少人从统计学观点出发，设计了一类滤波器用于图像复原，以改善复原图像的质量。

维纳(Wiener)滤波也叫最小二乘方滤波，是一种有约束的恢复处理方法，也是频域恢复处理中的一种，它是使原始图像与恢复图像之间的均方差最小的恢复方法。Wiener滤波恢复的思想是在假设图像信号可近似看做平稳随机过程的前提下，按照使恢复的图像与原图像f(x，y)的均方差最小的原则来恢复图像。

图像恢复准则为f(x，y)和

之间的均方误差e2达到最小，即

(5.3.8)

当采用线性滤波来恢复图像时，问题变为寻找点扩散函数hw(x，y)，使

或

满足式(5.3.8)的图像恢复准则。

由Andrews和Hunt推导的满足这一要求的传递函数为

(5.3.9)

则有

(5.3.10)

这里，H*(u，v)是成像系统传递函数的复共轭，H(u，v)就是维纳滤波器的传递函数，Pn(u，v)是噪声功率谱，Pf(u，v)是输入图像的功率谱。

采用维纳滤波器的复原过程步骤如下：

(1)计算图像g(x，y)的二维离散傅立叶变换得到G(u，v)；

(2)计算点扩散函数hw(x，y)的二维离散傅立叶变换。同逆滤波一样，为了避免混叠效应引起的误差，应将尺寸延拓；

(3)估算图像的功率谱密度Pf(u，v)和噪声的谱密度Pn(u，v)；

(4)计算图像的估计值

；

(5)计算

的逆傅立叶变换，得到恢复后的图像

。

这一方法有如下特点：

(1)当H(u，v)→0或幅值很小时，分母不为零，不会造成严重的运算误差；

(2)在信噪比高的频域，即Pn(u，v)<<Pf(u，v)时，

(5.3.11)

(3)在信噪比很小的频域，即|H(u，v)|<<Pn(u，v)/Pf(u，v)时，

(5.3.12)

对于噪声功率谱Pn(u，v)，可在图像上找一块恒定灰度的区域，然后测定区域灰度图像的功率谱作为Pn(u，v)。

图5.3.2为维纳滤波器应用实例，图(a)是航拍得到的受大气湍流严重影响的城市图像，图(b)是用维纳滤波器恢复出来的图像，城市景物变得清晰可辨。前面两种滤波方法是在频域中进行的，也是线性滤波方法，可以看到在去除噪声的同时也使图像的边缘变得模糊了。中值滤波是一种去除噪声的非线性处理方法，它是由图基(Turky)在1971年提出的。在某些条件下可以做到既去除噪声又保护图像边缘。中值滤波对图像边缘有较好的保护作用，但是它也有其固有的缺陷，如果使用不当，会损失许多图像细节。实验表明，中值滤波对椒盐噪声的滤除非常有效，但对点、线等细节较多的图像却不太实用。

图5.3.2维纳滤波器的应用

图5.3.3退化图像

选用退化的标准检测图像Lina为处理对象，如图5.3.3所示。分别用逆滤波、维纳滤波和加权中值滤波对退化图像进行处理，图5.3.4所示为恢复的图像。其中加权中值滤波选用的滤波窗口为5×5，权重为7。

从图5.3.4可以看到逆滤波、维纳滤波恢复的效果基本上满意，而中值滤波恢复的效果不太好。而且由于维纳滤波在进行恢复时对噪声进行了处理，因此其恢复效果要比逆滤波要好，尤其是退化图像的噪声干扰较强时效果更为明显。同时可以看出中值滤波方法并不适合此种退化图像。

图5.3.4图像复原

图5.3.5中值滤波

选用含有椒盐噪声的退化图像Lina，如图5.3.5所示。用加权中值滤波进行恢复，滤波窗口为3×3，权重为5。

从图5.3.5可以看出来加权中值滤波对椒盐噪声非常有效。5.3.3去除由匀速运动引起的模糊

当成像传感器与被摄景物之间存在足够快的相对运动时，所摄取的图像就会出现“运动模糊”，运动模糊是场景能量在传感器拍摄瞬间(T)内在象平面上的非正常积累。假定f(x，y)表示无运动模糊的清晰图像，相对运动用x0(t)和y0(t)表示，则运动模糊图像g(x，y)是曝光时间内象平面上能量的积累：

(5.3.13)

对上式进行傅立叶变换，得到

(5.3.14)

定义

(5.3.15)

则有

G(u，v)＝H(u，v)·F(u，v) (5.3.16)

可见H(u，v)为运动模糊的传递函数。

如果考虑噪声，则有

G(u，v)＝H(u，v)F(u，v)＋N(u，v) (5.3.17)

变化到空间域为

g(x，y)＝h(x，y)*f(x，y)＋n(x，y) (5.3.18)

其中，h(x，y)为运动模糊的点扩展函数。在x0(t)、y0(t)已知时，便可求得H(u，v)和h(x，y)，因此，f(x，y)可以恢复出来。

(1)由水平方向均匀直线运动造成的图像模糊的模型及其恢复用以下两式表示：

(5.3.19)

(5.3.20)

式中，a为总位移量，T为总运动时间，m是x/a的整数部分，L＝Ka(K为整数)是x的取值范围，

(2)类似地，由垂直方向均匀直线运动造成的图像模糊的模型及其恢复用以下两式表示：

(5.3.21)

(5.3.22)

图5.3.6为沿水平方向匀速运动造成的模糊图像的恢复处理例子。

图5.3.6去除由匀速运动引起的模糊

图像在生成过程中，由于系统本身具有非线性或拍摄角度不同，会使生成的图像产生几何失真。几何失真一般分为系统失真和非系统失真。系统失真是有规律的、能预测的；非系统失真则是随机的。5.4几何校正

当对图像做定量分析时，就要对失真的图像先进行精确的几何校正(即将存在几何失真的图像校正成无几何失真的图像)，以免影响分析精度。基本的方法是先建立几何校正的数学模型；再利用已知条件确定模型参数；最后根据模型对图像进行几何校正。通常分两步：

(1)图像空间坐标的变换；

(2)确定校正空间各像素的灰度值(灰度内插)。5.4.1空间坐标变换

实际工作中常以一幅图像为基准(见图5.4.1(a))，去校正几何失真图像。通常基准图像f(x，y)是利用无畸变或畸变较小的摄像系统获得的，而把有较大的几何畸变系统所摄入图像用g(x'，y')表示。图像畸变形式是多样的，图5.4.1(b)所示是一种畸变情形。根据两幅图像中的一些已知对应点对(控制点对)建立函数关系，通过坐标变换实现失真图像的几何校正。

图5.4.1几何畸变设两幅图像坐标系统之间几何畸变关系能用解析式来描述：

x'＝h1(x，y) (5.4.1)

y'＝h2(x，y) (5.4.2)

若函数h1(x，y)和h2(x，y)已知，则可以从一个坐标系统的像素坐标算出在另一坐标系统的对应像素的坐标。而在未知情况下，通常h1(x，y)和h2(x，y)可用多项式来近似

(5.4.3)

(5.4.4)

式中，N为多项式的次数，aij和bij为各项系数。

当N＝1时，通常用线性变换表示：

x'＝a00＋a10x＋a01y

(5.4.5)

y'＝b00＋b10x＋b01y

(5.4.6)

更精确一些，可用二次多项式近似为

x'＝a00＋a10x＋a01y＋a11xy (5.4.7)

y'＝b00＋b10x＋b01y＋b11xy (5.4.8)

1．已知h1(x，y)和h2(x，y)条件下的几何校正

若具备先验知识h1(x，y)、h2(x，y)，则希望将几何畸变图像g(x‘，y’)恢复为基准几何坐标的图像f(x，y)。几何校正方法可分为直接法和间接法两种。

1)直接法

先由

然后依次计算每个像素的校正坐标值，保持各像素灰度值不变，这样生成一幅校正图像，但其像素分布是不规则的，会出现像素挤压、疏密不均等现象，不能满足要求。因此最后还需对不规则图像通过灰度内插生成规则的栅格图像。

2)间接法

设恢复的图像像素在基准坐标系统为等距网格的交叉点，从网格交叉点的坐标(x，y)出发算出在已知畸变图像上的坐标(x'，y')，即

(x'，y')＝［h1(x，y)，h2(x，y)］ (5.4.9)

虽然点(x，y)的坐标为整数，但(x'，y')一般不为整数，不会位于畸变图像的像素中心，因而不能直接确定该点的灰度值，而只能由其在畸变图像的周围像素灰度内插求出，作为对应像素(x，y)的灰度值，据此获得校正图像。由于间接法内插灰度容易，所以一般采用间接法进行几何纠正。

2．h1(x，y)和h2(x，y)未知条件下的几何校正

在这种情况下，通常用基准图像和几何畸变图像上多对同名像素的坐标来确定h1(x，y)和h2(x，y)。

假定基准图像像素的空间坐标(x，y)和被校正图像对应像素的空间坐标(x'，y')之间的关系用二元多项式来表示为

(5.4.10)

(5.4.11)

式中，N为多项式的次数，aij和bij为各项待定系数。

1)线性畸变

可从基准图像上找出三个点(r1，s1)，(r2，s2)，(r3，s3)，它们在畸变图像上对应的三个点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)。把坐标分别代入上式，并写成矩阵形式，得

x1＝a00＋a10r1＋a01s1 (5.4.12)

x2＝a00＋a10r2＋a01s2 (5.4.13)

x3＝a00＋a10r3＋a01s3 (5.4.14)

(5.4.15)

y1＝b00＋b10r1＋b01r1

(5.4.16)

y2＝b00＋b10r2＋b01r2

(5.4.17)

y3＝b00＋b10r3＋b01r3

(5.4.18)

(5.4.19)

可解联立方程或矩阵求逆，得到系数aij和bij，这样h1(x，y)和h2(x，y)就确定了，则可用已知h1(x，y)和h2(x，y)的间接法校正几何失真的图像。

2)非线性畸变

常采用二次型函数近似的方法处理非线性畸变。此时，基准图像像素的空间坐标(x，y)和被校正图像对应像素的空间坐标(x'，y')之间的关系用二元多项式来表示为

x'＝a00＋a10x＋a01y＋a20x2＋a11xy＋a02y2(5.4.20)

y'＝b00＋b10x＋b01y＋b20x2＋b11xy＋b02y2(5.4.21)

由式(5.4.20)和(5.4.21)可知，式中包含12个未知数。在多于6对同名点坐标已知时，根据最小二乘法求解aij和bij，这样h1(x，y)和h2(x，y)就确定了，则可用已知h1(x，y)和h2(x，y)的间接法校正几何失真的图像。

5.4.2灰度校正

假设理想图像为f(x，y)，由于灰度失真因子D(x，y)的影响，实际得到的图像为g(x，y)，

g(x，y)＝D(x，y)f(x，y) (5.4.22)

灰度校正是要从畸变的图像g(x，y)中复原原始图像f(x，y)。一种最直接的方法是用光密度计测量出被拍摄景物中的某一部分区域S内真实的灰(亮)度数值C，而对应的图像灰度为gC(x，y)，则

D(x，y)＝gC(x，y)C|(x，y)∈S

代入图像复原方程，有

(5.4.23)

5.4.3像素灰度内插方法

常用的像素灰度内插法有最近邻元法、双线性内插法和三次内插法三种。

1.最近邻元法

在待求像素的四邻点中，将距离待求点最近的邻点灰度赋给待求像素。该方法最简单，但校正后的图像有明显锯齿状，即存在灰度不连续性。

2．双线性内插法

双线性内插法是利用待求像素四个邻点的灰度在二方向上作线性内插，计算比最近邻元法复杂些，计算量大，但没有灰度不连续性的缺点，结果令人满意。

设在图像获取或显示过程中可能产生图像的几何失真，如图5.4.2所示。

从图5.4.2可以看出，几何畸变是将无失真坐标系中的函数f(x，y)变换到另外一个坐标上，例如，原先在(x，y)点上的像素(灰度)变化到(u，v)，在图像上反映为有些位置被挤压，而另一些位置被扩张。我们希望找到这两个坐标系之间的关系，即

图5.4.2图像的几何失真

(x，y)＝T［u，v］

无失真图像坐标为(u，v)，它的灰度等于变换求得的(x，y)，但在(x，y)不是整数时，就要用周围点内插求出其值。双线性内插是在变换后的坐标(x，y)不在网格点上时，可用与之相邻的四个整数位置上的像素灰度进行插值(或代替)，比如用最接近像素代替。

待求像素灰度计算如下：

f(x，y)＝(1－a)(1－b)f(［x］，［y］)

＋(1－a)bf(［x］，［y］＋1)

＋a(1－b)f(［x］＋1，［y］)

＋abf(［x］＋1，［y］＋1)

(5.4.24)

该方法具有低通滤波性质，使高频分量受损，图像轮廓有一定模糊。

3.三次内插法

如果在变换后的坐标附近能找到16个邻点，则可采用此法。

设这16个邻点排成矩阵为

B＝f(［x］－1，［y］－1)f(［x］－1，［y］)f(［x］－1，［y］＋1)f(［x］－1，［y］＋2)

f(［x］，［y］－1)f(［x］，［y］)f(［x］，［y］＋1)f(［x］，［y］＋2)

f(［x］＋1，［y］－1)f(［x］＋1，［y］)f(［x］＋1，［y］＋1)f(［x］＋1，［y］＋2)

f(［x］＋2，［y］－1)f(［x］＋2，［y］)f(［x］＋2，［y］＋1)f(［x］＋2，［y］＋2)

则坐标点处灰度值近似为

f(x，y)＝ABC

A＝［S(1＋b)，S(b)，S(1－b)，S(2－b)］T

C＝［S(1＋a)，S(a)，S(1－a)，S(2－a)］

(5.4.25)

其中，

a＝x－［x］

b＝y－［y］

(5.4.26)

该算法计算量最大，但内插效果最好，精度最高。5.4.4传感器特性非均匀校正

由于传感器敏感元件材料和生产工艺等原因，线列或面阵红外成像器件各敏感单元响应率曲线的斜率和截距互不相同，同样场景(温度)会得到不同的灰度数值，表现在图像上有许多固定的噪声图案，影响图像的视觉效果和系统对红外目标的检测能力。

假定场景对传感器第i个敏感单元的光照度为x，Si为该敏感单元的输出强度信号。假设敏感单元的响应是线性的，Ki为斜率，Qi为直线的截距，即

Si(x)＝Ki(x)＋Qi

由于传感器特性非均匀，各敏感单元的参数Ki和Qi各不相同。校正的关键就是精确地测出每个敏感单元的Ki和Qi。一种直接的方法就是测量在x1和x2两个不同辐照度下传感器的每个敏感元的响应数值Si(x1)和Si(x2)，其中i表示敏感元序号，则有

Si(x1)＝Ki(x1)＋Qi

(5.4.27)

Si(x2)＝Ki(x2)＋Qi

(5.4.28)

将上两式联立，得

再代入可求出Qi。

这种方法测量起来比较困难，稳定、精确地测量辐照度要求有精密的辐射源和高精度的测量设备。

假定传感器敏感元输出信号强度与辐照度呈线性关系。选取两个定标点x1和x2，对所有敏感元输出信号Si(xj)求平均值：

(5.4.29)

其中，j为定标点序号1，2，…，N；N为敏感元个数。经计算可得校正后输出信号数值为

(5.4.30)

图像重建一般指由一个物体的多个(轴向)投影图重建目标图像的技术。由投影重建图像是图像复原中的一类特殊问题，它用若干个一维投影对二维(或更高维)物体进行重建。把投影看成是一种劣化过程，而重建则是一种复原过程——通过投影重建可以直接看到原来被投影物体某种特性的空间分布，比直接观察投影图直观，因此在许多科学领域都得到了应用。例如医疗放射学、核医学、电子显微、无线电和雷达天文学、光显微和全息成像学及理论视觉等。5.5图像重建

每一投影都是通过投射平行的X射线束(或其他穿透性的放射线束)穿过目标而获得的(如图5.5.1所示)。从许多不同的角度观察物体就可以得到平面投影。重建算法推算出物体中一个轴向的薄切片的图像，从而使人们可以得到以往只能经过大范围外科手术才能实现的对人体内部的观察。这些技术在医学成像(CT扫描仪)、天文学、雷达成像、地质探测及组装部件的无损测试等方面十分重要。

图5.5.1用X射线CT扫描仪进行图像重建图像重建的三种模型主要为透射模型、发射模型和反射模型。透射模型建立于能量通过物体后有一部分能量会被吸收的基础之上，透射模型经常用于X射线、电子射线及光线和热辐射的情况下，它们都遵从一定的吸收规则。发射模型用来确定物体的位置，并且这种方法已经广泛用于正电子检测，它是通过在相反的方向分解散射的两束伽马射线来实现的。这两束射线的渡越时间可用来确定物体的位置。反射模型可以用来测定物体的表面特征，例如光线、电子束、激光或趋声波等都可以用来进行这种测定。这三种模型是无损检测常用的数据获取方法。5.5.1计算机断层扫描的一维重建

计算机断层扫描的基本原理为从线性并排着的X线源发射一定强度的X线，把通过身体的X线用与X线源平行排列的X线检测器接收。然后把X线源和检测器组以体轴为中心一点一点地旋转，反复进行同样的操作。

利用这样求得的在各个角度上的投影数据，可以重建垂直于体轴的断面图像。从多个投影数据重建图像有多种方法，这里介绍最基本的傅立叶变换法。

图像f(x，y)的傅立叶变换为

(5.5.1)

其对x轴的投影可表示为

(5.5.2)

对其进行傅立叶变换，得

(5.5.3)

可见f(x，y)向x轴投影的傅立叶变换是和f(x，y)的傅立叶变换沿v＝0的断面一致的。因为傅立叶变换是正交变换，所以这一点对任意的方向都是成立的。若对多个方向上的投影数据分别进行傅立叶变换，就可求出沿着与这个方向相同的直线上的F(u，v)。如果把由它们计算出的F(u，v)进行傅立叶逆变换，就得到重建的图像f(x，y)。

因为投影数据的傅立叶变换得到的是极坐标形式的F(u，v)，因此为了求得在直角坐标系中的F(u，v)，就必须在(u，v)空间进行内插，或者按照极坐标进行傅立叶逆变换，在图像空间进行内插，得到重建的图像。5.5.2三维形状的复原

图像三维重建，是计算机图形学和数字图像处理技术在生物医学工程中的重要应用。它涉及到计算机图形学、数字图像处理、生物医学工程等多种技术，是一项多学科交叉的研究领域。三维图像可视化技术是从二维断层图像(如CT、MRI等)组成的三维规则数据场中获得三维结构信息，并利用计算机图形学方法进行图形绘制的技术。它为医生提供了逼真的显示手段和定量的分析工具，广泛地应用于医学辅助诊断、手术前计划、术中引导等各方面。

图像三维重建算法主要分为两大类：一类是通过几何单元拼接拟合物体表面来描述物体三维结构，称为基于表面的三维绘制方法(SurfaceFitting)，又称为间接绘制方法；另一类是直接将体素投影到显示平面的方法，称为基于体数据的体绘制方法，又称为直接体绘制方法(DirectVolumeRendering)。其中，表面绘制方法是基于二维图像边缘或轮廓线提取，并借助传统图形学技术及硬件来实现的；而体绘制方法则是直接应用视觉原理，通过对体数据的重新采样来合成三维图像的。

典型的直接体绘制方法是光线投射方法。为了测出三维物体的形状，可以一面将检测器沿物体中心线一点点地栘动，一面求出多个垂直于通过物体中心线的断面，然后把它们依次连接起来，如图5.5.2所示，即根据一系列二维图像的位置变化构成三维图像。

图5.5.2光线投射方法示意图一旦这样的物体三维信息被恢复，就可求出关于具有任意倾斜度平面的断面，或者可以由三维的任意方向来看物体，从而使对物体形状的判读变得非常容易。采用这种重建技术获得人体器官的三维图像，由各种各样的视点来观看人体器官的构像，对疾病的诊断特别重要。

从多个断面恢复三维形状的方法有：

1．Voxel法(体