2024-2025学年八年级数学上册：多边形及其内角和 知识梳理与讲解

专题IL7多边形及其内角和（知识梳理与考点分类讲解）

第一部分【知识点归纳】

【知识点一】多边形及其相关概念

1.多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.如果

一个多边形由力（"是大于或等于3的自然数）条线段组成，那么这个多边形就叫做77边

形.

2.多边形的相关概念

（1）多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边.

（2）多边形的顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点.

（3）多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称

多边形的角.

（4）多边形的外角：多边形的一边和它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.

（5）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.

特别提醒：①多边形的边数、顶点数及角的个数相等；②把多边形问题转化成三角形问题

求解的常用方法是连接对角线.

【知识点二】正多边形

各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.正多边形必须满同时满足以下两个条

件：①各边都相等；②各角都相等.

【知识点三】凸多边形与凹多边形

如图①所示，画出四边形/BCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一

侧，这样的多边形成为凸多边形；

而图②就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画出CD所在的直线，整个多边形不都在

这条直线的同一侧，所以我们称它为凹多边形.

图①图②

试卷第1页，共6页

我们在学习中提到的多边形大都是凸多边形.

【知识点四】多边形内角和定理

_O）1QQO

〃边形的内角和等于（〃-2）xl80°.特别地，正〃边形每个内角的度数是^——x

n

【知识点五】多边形外角和定理

1.多边形的外角和：在多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外

角和.

2.多边形外角和定理：多边形的外角和等于360。.

第二部分【题型展示与方法点拨】

【题型1】由多边形内角和公式求度数

【例1】（23-24八年级上•河南许昌•阶段练习）

1.求图中的x的值

【变式1】（23-24七年级下•全国•假期作业）

2.若多边形的边数增加1,则其内角和的度数（）

A.增加180。B.为360。C.不变D.减少

【变式2］（2024・四川自贡・中考真题）

3.凸七边形的内角和是度.

【题型2】由多边形内角和公式求边数

【例2】（23-24八年级上•江西赣州・期末）

4.下面是正多边形〃和N的对话：

试卷第2页，共6页

求〃■和N的边数.

【变式1］（22-23八年级上•山东威海・期末）

5.如果一个正多边形每个内角都为140。，那么该正多边形的边数是（）

A.六B.七C.八D.九

【变式2】

6.若正多边形的内角和是1440。，则该正多边形的边数是.

【题型3】由多边形内角和与外角和度数求边数

［例3］⑵-24七年级下•福建泉州•期中）

7.已知一个多边形的内角和与外角和的差刚好等于一个十边形的内角和，求这个多边形的

边数.

【变式】（23-24八年级下•浙江温州•期中）

8.若〃边形的内角和等于外角和的3倍，则边数〃是（）

A.10B.9C.8D.7

【题型4】由多边形内、外角和公式求角度

【例4】⑵-24八年级下•湖南永州•期中）

9.一个正多边形的内角和是外角和的;倍，求这个正多边形一个内角的度数.

【变式1】（2024八年级下•全国•专题练习）

10.如图，在四边形/BCD中，AB//CD,是四边形/BCD的外角，且

NABE=ND,ZC=110°,则2/的度数是（）

【变式2】（23-24七年级下•江苏盐城•阶段练习）

11.如图，五边形4BCDE中，AB//CD,Z1>/2、/3分别是/3/E、NAED、ZEDC

的外角，则ZI+/2+/3等于.

试卷第3页，共6页

4X1B

DC

【题型5】由多边形对角线数量求角度或对角线条数

【例5】（23-24八年级上•安徽阜阳•期中）

（1）七边形的对角线条数为.

4x04x1

（2）三边形的对角线条数可表示为；一,四边形对角线条数可表示为；五边形的对角线

条数可表示为〒，…，〃边形的对角线条数可表示为.

（3）【规律应用】若一个多边形的内角和为1620。，求这个多边形的边数和对角线的条数.

【变式1】（23-24八年级上•河北唐山•期中）

13.若从一个正多边形的一个顶点出发，最多可以引6条对角线，则它的一个内角为（）

A.1080°B.720°C.140°D.135°

【变式2］（2024・陕西咸阳•三模）

14.已知某正多边形的每个外角均为72。，则该正多边形的对角线共有条.

【题型6】由多边形截角问题

［例6］（22-23八年级上•广东惠州•阶段练习）

15.阅读下题及解题过程.

如图（1）,我们知道四边形的内角和为（4-2）*180。=360。，现在将一张四边形的纸剪掉一

个角后，剩余纸所有内角的和是多少？

如图（2）,剩余纸为五边形，所以剩余纸所有内角的和为（5-2）x180。=540。.

上面的解答过程是否正确？若正确，说出你的判断根据；若不正确，请说明原因，并写出你

试卷第4页，共6页

认为正确的结论.

【变式1】（22-23八年级上•贵州安顺・期末）

16.将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则得到的多边形的内角和是

()

A.360°B.540°C.360°或540°D.360°或540°或

720°

【变式2］（23-24八年级下•全国•课后作业）

17.小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，结果得到的结果是

2022°,则少算的这个内角的度数为.

第三部分【中考链接与拓展延伸】

1、直通中考

【例1】（2022•四川攀枝花•中考真题）

18.同学们在探索“多边形的内角和“时，利用了“三角形的内角和请你在不直接运用结论

“"边形的内角和为（"-2）/80。”计算的条件下，利用“一个三角形的内角和等于180。“，结合

图形说明：五边形4BCDE的内角和为540。.

【例2】（2024•四川遂宁,中考真题）

19.佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为1080。的正多边形图案,

这个正多边形的每个外角为（）

A.36°B.40°C.45°D.60°

2、拓展延伸

【例1】（23-24七年级下•江苏•期中）

试卷第5页，共6页

20.在平面内有〃个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，我们把具有这样性质的〃个点

构成的点集称为爱尔特希点集，如图，四边形NBCD的四个顶点构成爱尔特希点集，若平面

内存在一个点尸与A,B,C,。也构成爱尔特希点集，则44尸8=.

【例2】

21.一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分,

再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分：又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿

一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了45个48边形和一些多

边形纸片，则至少要剪的刀数是（）

A.2022B.2023C.2024D.2025

试卷第6页，共6页

1.(1)80

(2)110

【分析】本题主要考查了多边形内角和定理：

(1)根据四边形内角和为360度列出方程求解即可；

(2)根据五边形内角和为180。*(5-2)列出方程求解即可.

【详解】(1)解：由题意得，180-x+2x-50+90+60=360,

解得x=80；

(2)解：由题意得，x+x+20+x-10+x+90=180x(5-2),

解得x=110.

2.A

【分析】本题主要考查了多边形的内角和，掌握多边形的内角和公式("-2)/80。(”为多边

形的边数)成为解题的关键.

根据多边形的内角和公式("-2).180°("为多边形的边数)，然后进行判断解答.

【详解】解：设多边形的边数为〃，则原多边形的内角和为5-2).180。，

边数增加1后的多边形的内角和为("+1-2b180。，

.•.(n+l-2)-180°-(n-2)-180°=180°,

;其内角和的度数增加180。.

故选A.

3.900

【分析】本题主要考查了多边形内角和定理.应用多边形的内角和公式计算即可.

【详解】解：七边形的内角和=(〃-2*180。=(7-2*180。=900。，

故答案为：900.

4.M和N的边数分别是4和6

【分析】本题主要考查多边形的内角和，掌握多边形内角和的计算方法以及多边形的性质是

正确解答的关键.

根据对话和多边形的内角和公式列方程求解即可；

答案第1页，共9页

【详解】解：设M的边数为2〃，N的边数为3”，

由题意得：180。、(2〃一2)+180。、(3〃-2)=1080。

解得：77=2,

.•.2〃=4,3〃=6,

・•."和N的边数分别是4和6.

5.D

【分析】此题主要考查了多边形的外角与内角.首先根据求出外角度数，再利用外角和定理

求出边数.

【详解】解：•••正多边形的一个内角是140。，

它的外角是：180。-140。=40。，

360°+40°=9.

即这个正多边形是九边形.

故选：D.

6.10##+

【分析】本题考查了多边形内角和定理.根据〃边形内角和为("2).180。，列方程计算即

可.

【详解】解：设这个多边形的边数是"，

则(“-2).180。=1440。,

解得"=10.

故答案为：10.

7.这个多边形的边数为12.

【分析】设这个多边形的边数为"，根据题意得出方程("-2)*180。-360。=(10-2N180。,

求出方程的解即可.

【详解】解：设这个多边形的边数为〃，根据题意得：

(n-2)xl80°-360°=(10-2)x180°,

解得：〃=12.

答：这个多边形的边数为12.

8.C

答案第2页，共9页

【分析】本题主要考查了多边形的内角和以及多边形的外角和；利用多边形的外角和是360

度，一个“边形的内角和等于它外角和的3倍，则内角和是3x360。，而“边形的内角和是

-2)180。，则可得到方程，解方程即可.

【详解】根据题意列方程，得：

(”2)180°=3x360°,

解得："=8,

故选：C.

9.108°

【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，设此多边形的边数为〃，根据题意得出

(H-2)X180°=-X360°,求出〃的值即可.

3

【详解】解：・・•该正多边形的内角和等于外角和的2倍，

设此多边形的边数为〃，则有：(«-2)xl80o=-x360°,

解得：〃=5,

,(5-2)x180°

内角的度数为——』---------=108°.

5

10.C

【分析】本题考查了平行线的性质和多边形内角和定理，掌握边形内角和定理是解题的关

键.根据得出乙43。=70。，再求出40=110。，根据四边形的内角和定理解答即

可.

【详解】解：・・・45〃C。，ZC=110°,

:.ZABC+ZC=1SO°,

/ABC=70°,

vZABE是四边形ABCD的外角，

:.ZABE=1W°,

•・•/ABE=ND,

/.ZD=110°,

ZA=3600-ZABC-ZC-ZB=360°-70°-110°-110=70°.

故选：c

11.180°

答案第3页，共9页

【分析】本题考查了平行线的性质，多边形的外角和定理，是基础题，理清求解思路是解题

的关键.根据两直线平行，同旁内角互补得到以点3、点C为顶点的五边形的两个外角的度

数之和等于180。，再根据多边形的外角和定理列式计算即可得解.

Z4+Z5=180°,

根据多边形的外角和定理可得Zl+Z2+Z3+Z4+Z5=360°,

Zl+Z2+Z3=360°-180°=l80°.

故选：180。.

12.(1)14

—3)

⑵"4"^

⑶这个多边形的边数为11,对角线的条数为44.

【分析】此题考查多边形对角线计算公式，多边形内角和公式，图形类规律探究，

（1）根据各图形分别求出对角线条数，由规律即可得到答案；

（2）利用（1）的计算结果即可得到规律；

（3）设多边形的边数为〃，则列方程为（"-2*180。=1620。，解得〃=9,再根据（2）求出

对角线.

【详解】（1）三边形的对角线条数可表示为3x寸0,

4x1

四边形对角线条数可表示为；一,

五边形对角线条数可表示为亍，

六边形对角线条数可表示为三，

7x4

七边形对角线条数可表示为〒=14,

故答案为：14；

答案第4页，共9页

3x0

(2)三边形的对角线条数可表示为二，

2

4x1

四边形对角线条数可表示为k,

2

Sx?

五边形对角线条数可表示为亍，

n边形的对角线条数可表示为心二3,

2

以田以、，n(n-3\

故答案为：△——

2

(3)设多边形的边数为"，则

(“-2)x180。=1620°,解得”=11,

对角线为“'(Il-3=44(条)，

2

・•・这个多边形的边数为11,对角线的条数为44.

13.C

【分析】此题主要考查了多边形的对角线，多边形内角和公式及正多边形的内角，根据“边

形从一个顶点出发可引出(“-3)条对角线，求得多边形的边数，结合多边形内角和公式及正

多边形的内角求解是解决问题的关键.

【详解】解：设正多边形边数为"，由题意得："-3=6,

可得〃=9,

则内角和：180。、(9-2)=1260。，

•・.它的一个内角度数为：1260。+9=140。，

故选：C.

14.5

【分析】根据正多边形的每一个外角都相等，多边形的边数=360。+72。，进而求得多边形的

对角线条数.本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是

解题的关键.

【详解】解：这个正多边形的边数：360。+72。=5,

则对角线的条数是：1x5x(5-3)=5.

故答案为：5.

答案第5页，共9页

15.不正确，见解析，正确结论是将一张四边形纸剪掉一个角后，剩余纸所有内角的和是540。

或180。或360。.

【分析】一个多边形切去一个角后形成的多边形边数有三种可能：比原多边形边数小1、相

等、大1,由此即可解决问题，考虑到不过顶点，只有一种情形，据此分析即可得出答

案.

【详解】上面的解答不正确，出错的原因是思考问题不全面.除了题目中的解法外，还要补

充正确的解答如下：

如图（1）所示，剪掉一个角后，剩余纸的所有内角的和是180。；

如图（2）所示，剪掉一个角后，剩余纸的所有内角的和是360。.

所以将一张四边形纸剪掉一个角后，剩余纸所有内角的和是540。或180。或360。.

【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，解题的关键是记住一个多边形截去一个角后它的

边数可能增加1,可能减少1,或不变，掌握多边形的内角和公式是解题的关键.

16.D

【分析】本题考查了多边形的内角和，找出五边形纸片剪去一个角出现的情况，再根据〃边

形内角和公式（"-2）180。得出多边形的内角和，即可解题.

【详解】解：如图，将一个五边形沿虚线裁去一个角后得到的多边形的边数是4或5或6,

答案第6页，共9页

其中四边形内角和为360。，五边形内角和为（5-2）x180。=540。，六边形内角和为

（6-2）x180°=720°,

，得到的多边形的内角和是360。或540°或720°,

故选：D.

17.138°##138度

【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，解不等式，设多边形的边数是〃（”23,且〃

为整数），根据多边形内角和定理列出不等式（"-2>180。22022。，进而求出〃=14,再计算

出该多边形内角和即可得到答案.

【详解】解：设多边形的边数是〃（«>3,且〃为整数），

依题意得（"-2）/80。22022。，

7

解得〃213套.

•・・少算一个内角，且该内角小于180。，

・••〃=14.

•••多边形的内角和是（14-2）'180。=2160。，

•••少算的这个内角的度数为2160。-2022。=138。，

故答案为：138。.

18.答案见解析

【分析】

如下图，连接ND,AC,将五边形分成三个三角形，然后利用三角形的内角和定理求解

即可.

【详解】

解：连接ND,AC,

五边形4BCDE的内角和等于A4E。，"DC,A48c的内角和的和，

五边形ABCDE的内角和=180°x3=540°.

E

'C

答案第7页，共9页

【点睛】此题考查了三角形的