九年级数学中考规律探究题(附答案)

专题6数学规律探究问题MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\r1\h根据一列数或一组图形的特例进行归纳，猜想，找出一般规律，进而列出通用的代数式，称之为规律探究。解决此类问题的关键是：“细心观察，大胆猜想，精心验证”。 一、数式规律探究 通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同位置的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。数式规律探究是规律探究问题中的主要部分，解决此类问题注意以下三点：1.一般地，常用字母n表示正整数，从1开始。2.在数据中，分清奇偶，记住常用表达式。正整数…n-1,n,n+1…奇数…2n-3,2n-1,2n+1,2n+3…偶数…2n-2,2n,2n+2…3.熟记常见的规律①1、4、9、16......n2②1、3、6、10……数列的变化规律③1、3、7、15……2n-1④1+2+3+4+…n=⑤1+3+5+…+(2n-1)=n2数列的和⑥2+4+6+…+2n=n(n+1)数式规律探究反映了由特殊到一般的数学方法，解决此类问题常用的方法有以下两种：1.观察法例1.观察下列等式：①1×=1-②2×=2-③3×=3-④4×=4-……猜想第n个等式为（用含n的式子表示）分析：将等式竖排：1×=1-n=12×=2-n=23×=3-n=34×=4-n=4观察相应位置上变化的数字与序列号的对应关系（注意分清正整数的奇偶）易观察出结果为：n×=n-例2.探索规律：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729……，那么32009的个位数字是。分析：这类问题，主要是通过观察末位数字，找出其循环节共几位，然后用指数除以循环节的位数，结果余几，就和第几个数的末位数字相同，易得出本题结果为：32.函数法例3.将一正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成更小的正三角形…，如此继续下去，结果如下表：所剪次数1234…n正三角形个数471013…an则an=（用含n的代数式表示）分析：对结果数据做求差处理（相邻两数求差，大数减小数）正三角形个数：4、7、10、13第一次求差：333第一次求差结果相等（均匀变化），用一次函数y=kx+b表示把（1、4）（2、7）代入y=kx+b解之得：y=3x+1∴an=3n+1例4.有一组数：1、2、5、10、17、26……请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为。分析：对这组数据做求差处理：原数125101726 第一次求差：13579第二次求差：2222第二次求差结果相等（非均匀变化），用二次函数y=ax2+bx+c表示把（1、1）（2、2）（3、5）代入y=ax2+bx+c解之得y=x2-2x+2∴an=n2-2n+2∴当n=8时，an=50数式规律练习一（基础题）：1.观察下列等式：1×3=12+2×1；2×4=22+2×2；3×5=32+2×3……请将你猜想到的规律用含自然数n(n≥1)的代数式表示出来：。2.观察下列各式：=2；=3；=4……请你将猜想到的规律用含正整数n(n≥1)的代数式表示出来为。3.观察下列等式：71=7，72=49，73=343，74=2041……由此可判断7100的个位数字是。4.瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据，，，……中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门，按此规律第七个数据是。5.已知a1=+=，a2=+=，a3=+=……按此规律，则a99=。6.已知=1-，=-，=-……，则+++…+=；用相同思路探究：++…+=。数式规律练习二（拔高题）：1．（2016•甘肃）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，…依此类推，那么第9个三角形数是__________，2016是第________个三角形数．2.（2016•湖北荆州）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现有等式Am=（i，j）表示正奇数m是第i组第j个数（从左往右数），如A7=（2，3），则A2015=（）A．（31，50） B．（32，47） C．（33，46） D．（34，42）3．（2015•山东日照）观察下列各式及其展开式：（a+b）2=a2+2ab+b2（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab……请你猜想（a+b）10的展开式第三项的系数是（） A．36 B． 45 C．55 D．664．（2015•山东）已知：，，，…，观察上面的计算过程，寻找规律并计算．5．（2015•·湖北省孝感市）观察下列等式：1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，则1+3+5+…+2015＝．6．按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，…，若x、y、z表示这列数中的连续三个数，猜想x、y、z满足的关系式是．二、图形规律探究由结构类似、位置不同的几何图案的图形数量之间有一定的规律，可以由一个通用的代数式来表示，这种探索图形结构的规律试题我们称为规律探究问题。解决思路有两种：一种是数图形，将图形转化为数字规律，再用函数法、观察法解决问题；另一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律，常用“拆图法”解决问题。（1）（2）（3）例5．如图，由若干火柴棒摆成的正方形，第①图用了4根火柴，第②图用了7根火柴棒，第③图用了10根火柴棒，依次类推，第⑩图用根火柴棒，摆第n个图时，要用（1）（2）（3）分析：本例①可拆为即1+3=4（根）第②拆为即1+32=7（根）；第③图可拆为即1+33=10(根)由此可知，第⑩图为1+310=31（根），第n个图为：（3n+1）根。例6．按如下规律摆放三角形：则第④堆三角形的个数为；第（n）堆三角形的个数为。△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△①②③分析：把图拆为横向和纵向两部分，就横向而言，三角形个数就是3，5，7…这是奇数从小到大的排列，其表达式为：2n+1；就纵向而言，三角形个数依次增加一个：第①堆有2个，第②堆有3个，第③堆有4个，所以第（n）堆的个数就为（n+1）个。所以第n堆三角形的总个数为：（n+1）+(2n+1)即(3n+2)个。图形规律练习一（基础题）：1.如图是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是________，第个“广”字中的棋子个数是________2．观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有个．3．用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖__________块，第个图形中需要黑色瓷砖__________块（用含的代数式表示）．（1）（1）（2）（3）4．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第个图形需要黑色棋子的个数是．5．如图5，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第4幅图中有个，第n幅图中共有个．………第1幅第2幅第3幅第n幅图5图形规律练习二（拔高题）：如图，已知Rt△ABC中，AC=3，BC=4，过直角顶点C作CA1⊥AB，垂足为A1，再过A1作A1C1⊥BC，垂足为C1，过C1作C1A2⊥AB，垂足为A2，再过A2作A2C2⊥BC，垂足为C2，…，这样一直做下去，得到了一组线段CA1，A1C1，，…，则CA1=如图，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2015次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（）A.2015πB,3019.5πC.3018πD.3024π在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3……按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3……在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3……则正方形A．B．C． D．已知，正六边形在直角坐标系的位置如图所示，，点在原点，把正六边形沿轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，经过2015次翻转之后，点的坐标是.5.如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为()A.B.C.D.6．如图，△，△，△，…，△，都是等腰直角三角形．其中点，，…，在轴上，点，，…，，在直线上．已知，则的长为．7．如图放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为1的等边三角形，点A在轴上，点O，B1，B2，B3，…都在直线上，则点A2015的坐标是8．在直角坐标系中，正方形A1B1C1O，A2B2C2C1、…、AnBnCnCn-1按如图所示的方式放置，其中点A1、A2、A3、…、An均在一次函数y=kx+b的图象上，点C1、C2、C3、…、Cn均在x轴上．若点B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），则点An的坐标为()

A.(，)B.(,)C.(,)D.(,)9．如图，在平面直角坐标系中有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如

（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0），…，根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为(

)A.（14，8）B.（14，7）C.（14，6）D.（15，6）10.如图所示，直线OP经过点P（4，），过x轴上的点1、3、5、7、9、11……分别作x轴的垂线，与直线OP相交得到一组梯形，其阴影部分梯形的面积从左至右依次记为S1、S2、…、Sn，则Sn关于n的函数关系式是

．11.如图所示，

在函数（x＞0）的图象上都是等腰直角三角形，

斜边都在x轴上，则=______12.如图，以边长为1的正方形ABCD的边AB为对角线作第二个正方形AEBO1，再以边BE为对角线作第三个正方形EFBO2，如此作下去，…，则所作的第n个正方形的面积Sn＝（）A.B.C.D.13.如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，∠A＝30º，BC＝1．过点C作CC1⊥AB于C1，过点C1作C1C2⊥AC于C2，过点C2作C2C3⊥AB于C3，…，按此做法进行下去，则ACn＝（）

A.B.C.D.14.如图，点A1，A2，A3，A4在射线OA上，点B1，B2，B3在射线OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3，A2B1∥A3B2∥A4B3．若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为（）A.21B.10.5C.10D.8.5（一）数式规律探究1．（2015•甘肃）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，…依此类推，那么第9个三角形数是__________，2016是第________个三角形数．考点：数的变化规律．分析：根据所给的数据发现：第n个三角形数是1+2+3+…+n，由此代入分别求得答案即可．解：第9个三角形数是1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，1+2+3+4+…+n=2016n（n+1）=4032，n=63．故答案为：45，63．点评：此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．2.（2015湖北荆州）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现有等式Am=（i，j）表示正奇数m是第i组第j个数（从左往右数），如A7=（2，3），则A2015=（）A．（31，50） B．（32，47） C．（33，46） D．（34，42）考点：数的变化规律．分析： 先算出2015是第1008个正奇数，然后判断第1008个数在第几组，再判断是这一组的第几个数．解：2015是第=1008个数，设2015在第n组，则1+3+5+7+…+（2n﹣1）≥1008，即≥1008，解得：n≥，当n=31时，1+3+5+7+…+61=961；当n=32时，1+3+5+7+…+63=1024；故第1008个数在第32组，第1024个数为：2×1024﹣1=2047，第32组的第一个数为：2×962﹣1=1923，则2015是（+1）=47个数．故A2015=（32，47）．故选B．点评： 此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．3．（2015•山东日照）观察下列各式及其展开式：（a+b）2=a2+2ab+b2（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4……请你猜想（a+b）10的展开式第三项的系数是（） A．36 B． 45 C．55 D．66考点： 式的变化规律、完全平方公式和多项式乘法．.分析： 观察归纳总结得到展开式中第三项系数即可．解：（a+b）2=a2+2ab+b2；（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5（a+b）7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab第8个式子系数分别为：1，8，28，56，70，56，28，8，1；第9个式子系数分别为：1，9，36，84，126，126，84，36，9，1；第10个式子系数分别为：1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1，则（a+b）10的展开式第三项的系数为45．故选B．点评：此题如了解杨辉三角形，做题更为流畅。4.（2015•山东）观察下列关于x的单项式，探究其规律：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，….按照上述规律，第2015个单项式是（）A.2015x2015. B.4029x2014.C.4029x2015. D.4031x2015.【答案】C考点：数字的变化规律．分析解答：根据这组数的系数可知它们都是连续奇数，即系数为（2n－1），而后面因式x的指数是连续自然数，因此关于x的单项式是，所以第2015个单项式的系数为2×2015－1=4029，因此这个单项式为.故选C5.（2015•山东）已知：，，，…，观察上面的计算过程，寻找规律并计算．【答案】210分析：对于（b＜a）来讲，等于一个分式，其中分母是从1到b的b个自然数相乘，分子是从a开始递减1相乘，共b个数相乘．因此其规律是：；；；……；C106==210．考点：规律探索(排列组合的应用)6．（2015·湖北省孝感市）观察下列等式：1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，则1+3+5+…+2015＝．考点：数字与式的规律．.分析：根据1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，可得1+3+5+…+（2n﹣1）=n2，据此求出1+3+5+…+2015的值是多少即可．解：因为1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，所以1+3+5+…+2015=1+3+5+…+（2×1008﹣1）=10082=1016064故答案为：1016064．点评：此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：1+3+5+…+（2n﹣1）=n2．7．(2015·黑龙江)填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出a+b+c=__________．考点：数字的变化规律分析：观察发现，左上角+4=左下角，左上角+3=右上角，右下角的数是左下角与右上角两个数的乘积减去1的差，根据此规律列式进行计算即可得解．解：根据左上角+4=左下角，左上角+3=右上角，右下角的数是左下角与右上角两个数的乘积减去1的差，可得6+4=a，6+3=c，ac+1=b，可得：a=10，c=9，b=91，所以a+b+c=10+9+91=110，故答案为：110点评：本题是对数字变化规律的考查，仔细观察前三个图形，找出四个数之间的变化规律是解题的关键．当然也可以从其他角度寻找规律，比如对角线上的数的规律是3、4、5、6……8.（2015山东济宁）若,,,…… 则【答案】－n(n+1)(4n+3)分析：根据各个式子的特点可知：第一个等式中，右边相乘的第一个数是－1，第二个数是1+1，第三个数是等号左边最后一个数3×2+1；第二个等式中，右边相乘的第一个数是－2，第二个数是2+1，第三个数是等号左边最后一个数5×2+1；第三个等式中，右边相乘的第一个数是－3，第二个数是3+1，第三个数是等号左边最后一个数7×2+1；……第n个等式中，右边相乘的第一个数是－n，第二个数是n+1，第三个数是等号左边最后一个数（2n+1）×2+1=4n+3；因此结果为是－n(n+1)(4n+3).考点：式的规律探究9．（2015•广东省）观察下列一组数：，，，，，…，根据该组数的排列规律，可推出第10个数是.【答案】.【考点】探索规律题（数字的变化类）.【分析】观察该组数的排列规律为：分母为奇数，分子为自然数，第个数为，所以，第10个数是。当然也可以从其他角度寻找规律。10．（2015•安徽省,第13题，5分）按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，…，若x、y、z表示这列数中的连续三个数，猜想x、y、z满足的关系式是．考点：规律型（数字的变化类）．.分析：首先判断出这列数中2的指数各项依次为1，2，3，5，8，13，…，从第三个数起，每个数都是前两数之和；然后根据同底数的幂相乘，底数不变，指数相加，可得这列数中的连续三个数，满足xy=z．解：∵21×22=23，22×23=25，23×25=28，25×28=213，…，∴x、y、z满足的关系式是：xy=z．故答案为：xy=z．点评：此题主要考查探寻数列规律问题，考查同底数幂的乘法法则，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出x、y、z的指数的特征．11.（2015•浙江滨州）根据要求，解答下列问题.（1）解下列方程组(直接写出方程组的解即可):1.2.3.（2）以上每个方程组的解中，x值与y值的大小关系为.（3）请你构造一个具有以上外形特征的方程组，并直接写出它的解.【答案】（1）①②③（2）x=y分析：（1）快速利用代入消元法或加减消元法求解；（2）根据（1）发现特点是x=y；（3）类比①②③写出符合x=y的方程组，直接写出解即可.解：（1）123（2）x=y.（3）酌情判分,其中写出正确的方程组与解各占1分.考点：消元法解二元一次方程组，规律探索（二）图形规律探索1.（2015湖南邵阳）如图，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2015次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（）A.2015πB,3019.5πC.3018πD.3024π考点： 旋转的性质；弧长的计算．.分析： 首先求得每一次转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算即可．解：转动一次A的路线长是：，转动第二次的路线长是：，转动第三次的路线长是：，转动第四次的路线长是：0，转动第五次A的路线长是：，以此类推，每四次循环，故顶点A转动四次经过的路线长为：+2π=6π，2015÷4=503…3顶点A转动2015次经过的路线长为：6π×504=3024π．故选：D．点评： 本题主要考查了探索规律问题和弧长公式的运用，发现规律是解决问题的关键．2.（2015湖北鄂州）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3……按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3……在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3……则正方形A A．B．C． D．考点：1.正方形的性质；2.解直角三角形．【答案】D.3．(2015·河南)如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2015秒时，点P的坐标是（）A.（2014，0）B.（2015，－1）C.（2015，1）D.（2016，0）PPO第8题O1xyO2O3【解析】本题考查直角坐标系中点坐标的规律探索.解∵半圆的半径r=1，∴半圆长度=π，∴第2015秒点P运动的路径长为：×2015，∵×2015÷π=1007…1，∴点P位于第1008个半圆的中点上，且这个半圆在x轴的下方.∴此时点P的横坐标为：1008×2－1=2015，纵坐标为－1，∴点P(2015，－1).故选B4.观察图中“○”的个数，若第n个“龟图”中有245个“○”，则n=（） A． 14B．15 C． 16D．17考点：图形的变化类（规律型）．.分析： 第1个图形中小圆的个数为5；第2个图形中小圆的个数为7；第3个图形中小圆的个数为11；第4个图形中小圆的个数为17；则知第n个图形中小圆的个数为n（n﹣1）+5．据此可以再求得“龟图”中有245个“○”是n的值．解：第一个图形有：5个○，第二个图形有：2×1+5=7个○，第三个图形有：3×2+5=11个○，第四个图形有：4×3+5=17个○，由此可得第n个图形有：[n（n﹣1）+5]个○，则可得方程：[n（n﹣1）+5]=245解得：n1=16，n2=﹣15（舍去）．故选：C．点评： 此题主要考查了图形的规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键，注意公式必须符合所有的图形．5.（2015•浙江衢州）已知，正六边形在直角坐标系的位置如图所示，，点在原点，把正六边形沿轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，经过2015次翻转之后，点的坐标是.【答案】．【考点】探索规律题（图形的变化类之循环问题）；正六边形的性质；含30°角的直角三角形的性质．【分析】如答图，根据翻转的性质，每6次为一个循环组依次循环.∵…5∴经过2015次翻转之后，为第336个循环组的第5步.∵，∴B2015的横坐标为335×12+1=4031，纵坐标为.∴经过2015次翻转之后，点的坐标是．6.（2015•四川省内江市）如图是由火柴棒搭成的几何图案，则第n个图案中有_____根火柴棒．（用含n的代数式表示）考点：图形的变化类（规律型）．.分析：本题可分别写出n=1，2，3…所对应的火柴棒的根数．然后归纳即可得出最终答案．解：依题意得：n=1，根数为：4=2×1×（1+1）；n=2，根数为：12=2×2×（2+1）；n=3，根数为：24=2×3×（3+1）；…n=n时，根数为：2n（n+1）．点评： 本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的。7．（2015·湖南省益阳市）如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，…，则第n个图案中有______根小棒．考点： 规律型：图形的变化类．分析： 由图可知：第1个图案中有5+1=6根小棒，第2个图案中有2×5+2﹣1=11根小棒，第3个图案中有3×5+3﹣2=16根小棒，…由此得出第n个图案中有5n+n﹣（n﹣1）=5n+1根小棒．解：第1个图案中有5+1=6根小棒，第2个图案中有2×5+2﹣1=11根小棒，第3个图案中有3×5+3﹣2=16根小棒，…∴第n个图案中有5n+n﹣（n﹣1）=5n+1根小棒．故答案为：5n+1．点评： 此题根据图形的变化规律，得出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．8．（2015·湖南省衡阳市）如图，△，△，△，…，△，都是等腰直角三角形．其中点，，…，在轴上，点，，…，，在直线上．已知，则的长为．考点：图形的变化类（规律型）．.分析：分别写出n=1，2，3，4…时，OA1、OA2、OA3、OA4…的长度．然后归纳即可得出最终答案．解：OA1=1=20OA2=2=21OA3=4=22OA4=8=23……∴OA2015=220149．(2015•湖南株洲)“皮克定理”是来计算顶点在整点的多边形面积的公式，公式表达式为，孔明只记得公式中的S表示多边形的面积，和中有一个表示多边形那边上(含原点)的整点个数，另一个表示多边形内部的整点的个数，但不记得究竟是还是表示多边形内部的整点的个数，请你选择一些特殊的多边形(如图1)进行验证，得到公式中表示多边形内部整点个数的字母是；并运用这个公式求得如图2中多边形的面积是【试题分析】本题考点：找到规律，求出表示的意义；由图1的直角三角形的面积可以利用三角形面积公式求出为：4；而边上的整点为8，里面的点为1；由公式可知，为偶数，故，，即为边上整点的个数，为形内的整点的个数；利用矩形面积进行验证：，，代入公式＝6；利用长×宽也可以算出＝6，验证正确。利用数出公式中的，代入公式求得S＝17.5答案为：17.511.（2015•江苏徐州）如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为．考点： 正方形的性质．.分析： 首先求出AC、AE、HE的长度，然后寻找命题中隐含的数学规律，即可解决问题．解答： 解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=1，∠B=90°，∴AC2=12+12，AC=；同理可求：AE=（）2，HE=（）3…，∴第n个正方形的边长an=（）n﹣1．故答案为（）n﹣1．点评：该题主要考查了正方形的性质、勾股定理及其应用问题；应牢固掌握正方形有关定理并能灵活运用．10.（2015•山东东营）如图放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为1的等边三角形，点A在轴上，点O，B1，B2，B3，…都在直线上，则点A2015的坐标是【答案】(,)【解析】试题分析：由题意可知点B1的坐标为（，），所以点A1的坐标为（，）；点B2的坐标为（1，），所以点A2的坐标为（2，）；点B3的坐标为（，），所以点A3的坐标为（，）；点B4的坐标为（2，2），所以点A4的坐标为（3，2）；……所以点A2015的坐标为（+1，），即(,)考点：规律题.规律探究问题（拔高部分）1.在直角坐标系中，正方形A1B1C1O，A2B2C2C1、…、AnBnCnCn-1按如图所示的方式放置，其中点A1、A2、A3、…、An均在一次函数y=kx+b的图象上，点C1、C2、C3、…、Cn均在x轴上．若点B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），则点An的坐标为()

A.(，)B.(,)C.(,)D.(,)正确答案：A2.如图，在平面直角坐标系中有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如

（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0），…，根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为(

)A.（14，8）B.（14，7）C.（14，6）D.（15，6）正确答案：A3.如图所示，直线OP经过点P（4，），过x轴上的点1、3、5、7、9、11……分别作x轴的垂线，与直线OP相交得到一组梯形，其阴影部分梯形的面积从左至右依次记为S1、S2、…、Sn，则Sn关于n的函数关系式是

．思路：直线OP经过点P（4，），所以表达式为y=，由此可求得S1=，S2=，S3=5×，S4=7×，以此类推，Sn=(2n-1)×=(8n-4)4.如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为()A.B.C.D.正确答案：A5.（2011浙江）以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH．

（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；

（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=α（0°＜α＜90°），

①试用含α的代数式表示∠HAE；

②求证：HE=HG；

③四边形EFGH是什么四边形？并说明理由答：四边形EFGH的形状是正方形．

（2）解：①∠HAE=90°+a，

在平行四边形ABCD中AB∥CD，∴∠BAD=180°-∠ADC=180°-a，

∵△HAD和△EAB是等腰直角三角形，

∴∠HAD=∠EAB=45°，

∴∠HAE=360°-∠HAD-∠EAB-∠BAD=360°-45°-45°-（180°-a）=90°+a，

答：用含α的代数式表示∠HAE是90°+a．

②证明：∵△AEB和△DGC是等腰直角三角形，

∴AE=BE，DG=CG，

在平行四边形ABCD中，AB=CD，∴AE=DG，

∵△HAD和△GDC是等腰直角三角形，

∴∠HDA=∠CDG=45°，

∴∠HDG=∠HDA+∠ADC+∠CDG=90°+a=∠HAE，