2024年高考数学模拟试卷一(天津专用)

冲刺2024年高考数学模拟试卷一（天津专用）

真题重组卷01

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.（2023•天津•统考高考真题）已知集合。={1,2,3,4,5},A={1,3},8={1,2,4},则C"JA=()

u

A.{1,3,5}B.{1,3}c.{1,2,4}D.{1,2,4,5)

2.（2021•天津•统考高考真题）已知aeR,则“a>6”是“以>36”的（)

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

，c=l*,则（）

3.（2022.天津.统考高考真题）己知〃=2O.7,b=ir

A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

（2021・天津.统考高考真题）若2〃=5"=10,则」+：=

4.

ab

A.-1B.Ig7C.1D.log10

7

5.（2022.天津.统考高考真题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方

形，直三棱柱的底面是顶角为120。，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（）

A.23B.24C.26D.27

6.（2023•天津•统考高考真题）已知3｝为等比数列，S为数列｛a｝的前"项和，a=2S+2,则a的

nnnn+ln4

值为（）

A.3B.18C.54D.152

7.（2021.天津•统考高考真题）已知双曲线工-£=l（a>0/>0）的右焦点与抛物线y2=2px（p>0）的焦点重

G2z?2

合，抛物线的准线交双曲线于A,8两点，交双曲线的渐近线于C、。两点，若=则双曲线的

离心率为（）

A.5/2B.8C.2D.3

8.（2021.天津.统考高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为

两个圆锥的高之比为1:3,则这两个圆锥的体积之和为（）

A.3兀B.4兀C.9nD.12K

（cos（2兀％—2兀〃）.x<a

9.（2021・天津•统考高考真题）设〃sR,函数/x）二”、，若/⑴在区间（0,+8）

［犬2-2（Q+1）X+Q2+5,x>a

内恰有6个零点，则〃的取值范围是（）

a-1露盟B.

C［2,：u］，3）D.2）吟3）

第II卷（非选择题）

二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对

的给5分。

10.（2021.天津.统考高考真题）i是虚数单位，复数:

11.（2022.天津.统考高考真题）（«+；j的展开式中的常数项为.

12.（2023天津统考高考真题）过原点的一条直线与圆C:（x+2）2+y2=3相切，交曲线yz=2px（p>0）于

点P,若|。同=8,则P的值为.

13.（2023•天津•统考高考真题）若函数/（x）=ax2-2x-x2一办+1有且仅有两个零点，则a的取值范围

为.

14.（2021•天津•统考高考真题）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，

则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为。和!，且每次活动中甲、

O5

乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为，3次活动中，甲

至少获胜2次的概率为.

2

15.(2021•天津•统考高考真题)在边长为1的等边三角形ABC中，。为线段BC上的动点，且交

AB于点E.DFIIAB且交AC于点/，则12BE+DFI的值为;(DE+DF)-DA的最小值为.

三、解答题：本题共5小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

16.(2022•天津统考高考真题)在AABC中，角A、8、C的对边分别为a,b,c.已知a=~j6,b=2c,cosA=—.

4

⑴求c的值；

⑵求sin3的值;

(3)求sin(2A-8)的值.

17.(2021・天津•统考高考真题)已知椭圆土+”=l(a>b>0)的右焦点为月，上顶点为B,离心率为至，

〃25

且阳=5

(1)求椭圆的方程；

(2)直线/与椭圆有唯一的公共点M,与y轴的正半轴交于点N,过N与8尸垂直的直线交X轴于点p.若

MP//BF,求直线/的方程.

3

18.（2022・天津・统考高考真题）直三棱柱ABC-ABC中，个=AB=AC=2,个，AB,AC，AB,£）为AB

的中点，E为44的中点，歹为CD的中点.

1

⑴求证：E/〃平面ABC；

（2）求直线BE与平面CCD所成角的正弦值；

（3）求平面ACD与平面CCD夹角的余弦值.

19.（2022.天津.统考高考真题）设M｝是等差数列，｛b｝是等比数列，且。=b=a-b=a-b=1.

nn112233

⑴求｛a｝与毋｝的通项公式；

nn

（2）设｛a｝的前n项和为S,求证：（S+a）b=Sb-Sb；

nnn+1n+1nn+1n+1nn

（3）求光［,+一（-1）左〃.

4=1

20.（2021-天津・统考IWJ考真题）已知。〉0,函数/（x）=ax-xex.

（D求曲线y=/a）在点（0"（0。处的切线方程:

（ID证明"%）存在唯一的极值点

（III）若存在〃，使得对任意XER成立，求实数匕的取值范围.

4

（参考答案）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第I卷（选择题）

二、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

123456789

AACCDCABA

第H卷（非选择题）

二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对

的给5分。

10.4-i11.1512.613.（3,0）。（0,1）。（1,讨）

14.2型51H

32720

三、解答题：本题共5小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

16.（15分）

【详解】（1）因为=b2+c2-2bccosA,即6=b2+c2+；bc,而b=2c,代入得6=3+。2+。2,解得:

C=1.

（2）由（1）可求出。=2,而0<4<兀，所以sinA=>^-cos2A=又工=工，所以

sinAsinB

sinB=3=3-回.

aJ64

1

所以g<A<兀，故又sinA=J1-cos2A=",所以

（3）因为cosA4-

224

117乎所以

sin2A=2sinAcosA=2xx---——----,cos2A.=2cos2A—1=2x——1=——,ffj]sinB=

448168

cosB=vr-sin2B=叵

一4

回—回

故sin（2A一B）=sin2AcosB-cos2AsinB#JX

4848

17.（15分）

5

【详解】（1）易知点尸（c，。）、B（O,b）,故忸尸卜&2+拉=a=5

因为椭圆的离心率为e=c=2且,故。=2,

b=-Q2=1，

a5

因此，椭圆的方程为;+产=1;

⑵设点（）为椭圆5+刀=1上一点，

先证明直线儿W的方程为专+yp=l,

XX1

=1

联立°,消去y并整理得尤2—2XX+X2=0,A=4X2-4X2-0,

X20000

4"y2=I

在直线MN的方程中，令％=0,可得y=」［由题意可知y>0,即点NO,工

y01y

0v0

b1cl

直线B尸的斜率为k=—=所以，直线PN的方程为y=2x+—,

防c2%

iri、

在直线PN的方程中，令y=0,可得x=-『，即点尸一丁,0,

2%I2”J

y_2y2_1

因为MP//BF,则左=k,即-y1'1-2尤y°+l-2,整理可得（x+5y>=0,

MPBFX+0000

02y

0

所以，X=-5y,因为％+W=6V2=1,;.y>0,故y=@，尤=_巫,

005ooo0606

所以，直线/的方程为-也x+包y=l,即x-y+n=O.

66

18.（15分）

【详解】（1）证明：在直三棱柱ABC-ABC中，44,平面4BC,且ACLAB,则ACLA8

11111111111

6

以点4为坐标原点，"、阴、华所在直线分别为x、八z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则晨2,0,0）、8（220）、C（2,0,2）、々（0,0,0）、4（0,2,0）、£（0,0,2）、「（0,1,0）、"（1,0,0）、

则加=

易知平面ABC的一个法向量为帚=（1,0,0）,则E户./〃=0，故£7」切，

EF2平面ABC,故EFH平面ABC.

(2)解：Cd=(2,0,0),CD=(0,1,-2),西=(1,2,0),

设平面C7的法向量为则:2：：工=0

I111

.、___—EB*u4

取旷2,可得"=（。，2，1），3……面犷丁

4

因此，直线BE与平面eq。夹角的正弦值为丁

（3）解：AC=（2,0,2）,AD=（0,l,3,

11

(\\v-AC=2x+2z=0

设平面ACZ）的法向量为j仔lx,y,z),贝i"422,

1222\v-AD=y=0

l12

u-v1>/10

取X=1,可得>=(1,0,-1),则c°s<2=和=一尸=一而,

2

因此，平面AC。与平面CCO夹角的余弦值为回

1110

19.（15分）

【详解】（1）设L｝公差为d,毋｝公比为%则a=—）d,b=q，i,

nnnn

7

I1+d-4=1

由q-b=a-b=1可得|nd=q=2(d=q=O舍去)，

2233[1+2d-q2=1

所以a=2n—l,b=2〃T；

nn

(2)证明：因为匕=26*0,所以要证(S+a)b=Sb-Sb,

n+1nn+1n+1nn+1n+1nn

即证(S+4)b=S,2b-Sb,即证S+4=2S-S,

n+ln+1nn+1nnnn+1n+1n+1n

即证。=s-s,

n+1n+1n

而。=S-S显然成立，所以(S+o)b=Sb-S-b.

n+1n+1nn+1n+1nn+1n+1nn

(3)因为—(—l)2i。~\b+「Q—(—1)2^a~\b

L2k2后一1」2k-l>-2k+\2k」2k

二(4左一1+4左一3)x22k—2+[4k+l-(4k-1)]x221=244,

所以WL「Q-(-l)ka~]b=Z[(Q-(-I)2k-\a)b+(Q-(一1)2左Q)b]

Lk+lk」k2k2k—12k—12k+l2k2k

k=lk=l

二2人4j

k=i

设T工2k4

n

k=l

所以T=2x4+4x42+6x43+…+2〃x4〃，

n

贝!J4T=2x42+4x43+6x44+—I-2nx4«+i,

n

作差得-3T=2(4+42+43+44+-.+4”)-2小4”+1=丝支应-2"4“+1

«1—4

(2-6几)4〃+1-8

--------------,

3

所以丁=(6-2)4〃+I+8,

〃9

所以光「a-(-!)=卜=(6-2)4角+8

Lk+ik」k9

女=1

20.(15分)

【详解】(I)f'(x)=a-(x+Dex,则洋