2025年高考数学复习大题题型归纳：圆锥曲线中的定点、定直线和定圆问题（原卷）

第09讲圆锥曲线中的定点、定直线和定圆问题

考法呈现

直线过定点

存在定点满足某条件★1.定点问题

圆过定点问题

为题型一：定点问题

考法一,：直线过定点

例题分析

【例1】

丫2-.2—1

已知椭圆。宏+与=l(a>b>0)过点(2,0),且椭圆C的禺心率为(.

⑴求椭圆C的方程；

(2)若动点P在直线%=-1上，过P作直线交椭圆C于两点，且P为线段MN的中点，再过P作直线

证明：直线/恒过定点，并求出该定点的坐标.

直线过定点问题常用方法如下：

(1)“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；

(2)“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方

程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；

(3)求证直线过定点(xo,次)，常利用直线的点斜式方程y—yo=A(x—无0)或截距式y=Ax+分来证明.

窗变式训练

【变式1-1】已知椭圆。《+/=15>6>0)过点力(—2,1),且离心率6=今

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点Z作与y=t/(t<0)相切的两条直线，分别交椭圆C于P,。两点，求证：直线PQ恒过定点.

【变式1-2】已知双曲线C：5一，=1(a>0,b>0)的离心率为2,P(4,6)在C上.

(1)求双曲线C的方程；

(2)不经过点尸的直线/与。相交于M,N两点，且PM，PN,求证：直线/过定点.

【变式1-3】已知。为坐标原点，抛物线C：>2=4久，点力(—2,0),设直线/与C交于不同的两点P,Q.

(1)若直线轴，求直线P4的斜率的取值范围；

(2)若直线/不垂直于x轴，且NP40=/Q4。，证明：直线/过定点.

考法二：存在定点满足某条件

的例题分析

【例2】已知椭圆C0+[=l(a>0)经过点(-1,|),过点T《后,0)的直线交该椭圆于P,Q两点.

(1)求△OPQ面积的最大值，并求此时直线PQ的方程；

(2)若直线PQ与x轴不垂直，在乂轴上是否存在点S(s,0)使得NPST=4QST恒成立？若存在，求出s的值；若不

存在，说明理由.

定点满足某条件：

⑴设出该点坐标；

(2)把满足的条件当做已知条件，结合其他条件求出点的坐标。

变式训练

【变式2-1】已知双曲线。捻一盘=l(a>0,b>0)的右焦点，右顶点分别为F,A,8(0,b),|明=1,点M

在线段2B上，且满足|BM|=百|河川，直线。M的斜率为1,。为坐标原点.

(1)求双曲线C的方程.

(2)过点F的直线[与双曲线C的右支相交于P,Q两点，在x轴上是否存在与F不同的定点E,使得|EP|-|FQ|=

|EQ|“FP|恒成立？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

【变式2-2】已知点M到点“0,0的距离比它到直线/：y=-2的距离小/记动点M的轨迹为£.

⑴求£的方程；

(2)若过点下的直线交E于力(巧,乃)，B(>2，y2)两点，则在x轴的正半轴上是否存在点尸，使得以，P8分别

交E于另外两点C,D,且方=3而？若存在，请求出尸点坐标，若不存在，请说明理由.

【变式2-3】已知双曲线Q：5―A=l(a>0,6>0),4(2,0),B(—也―乎)，。(|，孚)，口(一1,。)，以4,0)

五点中恰有三点在Q上.

(1)求。的方程；

(2)设P是。上位于第一象限内的一动点，则是否存在定点Q(m,0)(m<0),使得NPQA+*P4E=今若存在,

求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

考法三：圆过定点问题

M例题分析

【例3】已知椭圆C1J+5=l(a>b>0)的离心率为?，且直线y=X+b是抛物线C2：y2=4%的一条切线.

(1)求椭圆的的方程;

(2)过点S(0,-0的动直线L交椭圆Ci于48两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点T,使得以

为直径的圆恒过定点T?若存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理由.

圆锥曲线中圆过定点问题的解法：充分利用圆的几何特征，即圆过定点，可依据直径所对圆周角为直角,

转化为两条线段的垂直，进而转化为两个向量垂直，即两向量的数量积等于0,从而建立方程求解.

B变式训练

【变式3-1】知椭圆的盘+，=1((1>6>0)的离心率是苧，上、下顶点分别为48.圆。:%2+y2=2与久

轴正半轴的交点为P,且方•丽=-1.

(1)求E的方程；

(2)直线/与圆。相切且与E相交于M,N两点，证明：以MN为直径的圆恒过定点.

【变式3-2】已知椭圆C「+/=l(a>b〉0)的左、右焦点分别为Fi，F2,A,8分别是C的右、上顶点,

且。是。上一点，△BF?。周长的最大值为8.

⑴求C的方程；

(2)C的弦DE过尸1，直线AE,AD分别交直线x=—4于"，N两点,尸是线段MN的中点，证明：以PD为直

径的圆过定点.

【变式3-3】已知椭圆。。+，=1（（1>6>0）的离心率为,，长轴的左端点为4（一2,0）.

⑴求C的方程；

（2）过椭圆C的右焦点的任一直线/与椭圆C分别相交于M,N两点，且如%NN与直线x=4,分别相交于

D,E两点，求证：以。E为直径的圆恒过x轴上定点，并求出定点.

弘题型二：定直线问题

F越£例题分析

22

【例4】已知力式―3,0）和42（3,0）是椭圆）a+方=1（£1>匕>0）的左、右顶点，直线】与椭圆〃相交于M,N

两点，直线/不经过坐标原点0,且不与坐标轴平行，直线与直线42M的斜率之积为-也

⑴求椭圆〃的标准方程；

（2）若直线。河与椭圆〃的另外一个交点为S,直线&S与直线A2%相交于点P,直线尸。与直线/相交于点Q,

证明：点Q在一条定直线上，并求出该定直线的方程.

动点在定直线上问题的解题策略：

①从特殊入手，初步确定动点所在的直线，再证明一般情况下也在该定直线上即可；

②从动点的坐标入手，直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到动点的横纵坐标

关系，进而得出定直线方程.

变式训练

【变式4-1】已知椭圆C0+，=l(a>b>0)右焦点分别为尸2,4(2,1)是C上一点，点B与力关于原点。对称,

△ABF2的面积为历.

(1)求C的标准方程；

(2)直线〃MB,且交C于点D,E,直线4D与BE交于点P.

证明：①直线4。与BE的斜率乘积为定值；

②P点在定直线上.

【变式4-2］已知8(-1,0),。(1,0)为小43。的两个顶点，P为AABC的重心，边力C,AB上的两条中线长度之和

为6.

⑴求点P的轨迹C的方程.

(2)已知点N(—3,0),E(—2,0),F(2,0),直线PN与曲线C的另一个公共点为Q,直线EP与FQ交于点M,求证：当

点P变化时，点M恒在一条定直线上.

【变式4-3】已知椭圆办+5=1。>6〉。)的离心率为手，且过点A(2,fb).

(1)求椭圆C的方程；

(2)点4关于原点。的对称点为点B,与直线平行的直线/与C交于点M,N,直线与BN交于点P,点P是否

在定直线上？若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由.

治题型三：定圆问题

总例题分析

已知双曲线C:=l(a>0)的左、右焦点分别为％,B，且B到C的一条渐近线的距离为值.

⑴求C的方程；

(2)过C的左顶点且不与％轴重合的直线交C的右支于点B,交直线久=［于点P，过％作P4的平行线，交直线3七

于点Q,证明：Q在定圆上

动圆问题的解题策略：

①求动点的轨迹方程，刚好轨迹是圆；

②转化为动点到定点的距离为定值；

③先通过条件找到定圆，再证明点事该圆上的点；

④用含参的式子表示出动点的横坐标和纵坐标，通过计算得出横纵坐标的平方和为常数。

1变式训练

【变式5-1】已知双曲线C：捺一/=1(。>0,。>0)的右焦点为F，一条渐近线的倾斜角为60。，且C

上的点到尸的距离的最小值为1.

⑴求C的方程；

(2)设点。(0,0),M(0,2),动直线/：y=kx+zn与C的右支相交于不同两点A,B,且乙4FM=NBFM,过点。

作。Hl/,H为垂足，证明：动点H在定圆上，并求该圆的方程.

【变式5-2】设点。(0,0),M(0,2),动直线，:y=kx+m与C的右支相交于不同两点4B,S.AAFM=/.BFM,

过点。作。H12,H为垂足，证明：动点H在定圆上，并求该圆的方程.

22万

19.已知椭圆C：a+£=l(a>b>0),离心率e=亨，左、右顶点与上顶点围成的三角形的面积为2企.

(1)求椭圆C的方程；

⑵A/,N,A,B为椭圆上不同的四点，且均与椭圆右顶点P不重合，1<MN.^AB=一1，kpM，kpN=1，kpA+kpB=

2,证明：直线MN和直线的交点在一个定圆上.

【变式5-3】双曲线。胃一9=1((1>0/〉0)的左顶点为4焦距为4,过右焦点F作垂直于实轴的直线交

C于B、。两点，且△力BD是直角三角形.

⑴求双曲线C的方程；

(2)已知M,N是C上不同的两点，MN中点的横坐标为2,且MN的中垂线为直线1,是否存在半径为1的定圆E,

使得/被圆E截得的弦长为定值，若存在，求出圆E的方程；若不存在，请说明理由.

用真题专练

1.在平面直角坐标系久Oy中，已知动圆C与圆。1：/一2久+产=o内切，且与直线％=-2相切，设动圆圆

心C的轨迹为曲线E.

(1)求E的方程；

(2)已知P(4,yo)(yo>。)是曲线E上一点，AB是曲线E上异于点P的两个动点，设直线24、PB的倾斜角分别为

*8,且a+0=与，请问：直线AB是否经过定点？若是，请求出该定点，若不是，请说明理由.

,,.2"2

2.已知椭圆C:%+*=l(a>b>0)的禺心率是学点力(―2,0)在C上.

⑴求C的方程；

⑵过点(—2,3)的直线交C于P,Q两点，直线2P,AQ与y轴的交点分别为M,N,证明：线段MN的中点为定点.

3.已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(-2代,0),离心率为代.

(1)求C的方程；

(2)记C的左、右顶点分别为4,42,过点(一4,0)的直线与。的左支交于MN两点，M在第二象限，直线

与N42交于点P证明:点P在定直线上.

4.已知动圆过定点(J,。)，且与直线x=-^相切，其中p>0.

(1)求动圆圆心。的轨迹的方程；

(2)设4、B是轨迹C上异于原点。的两个不同点，直线。4和。B的倾斜角分别为a和0,当a,/?变化且a+£

为定值。(0<9<71)时，证明直线4B恒过定点，并求出该定点的坐标.

5.已知双曲线C：摄一，=1(a>。，b>0)的左、右焦点分别为％,F2,尸为双曲线右支上的一点，I

为APFi4的内心，且厅7+2厄=2可.

(1)求。的离心率；

(2)设点7(久1，乃)为双曲线C右支上异于其顶点的动点，直线TFi与双曲线左支交于点S.双曲线的右顶点为

。(1,0),直线TD,SD分别与圆。：/+产=1相交，交点分别为异于点。的点N,判断直线MN是否

过定点，求出定点，如果不过定点，请说明理由.

6.椭圆£的方程为。+《=1,左、右顶点分别为力(—2,0),B(2,0),点尸为椭圆£上的点，且在第一象限，

4o

直线/过点尸

⑴若直线/分别交x,y轴于C,。两点，若PD=2,求PC的长；

⑵若直线/过点(-1,0),且交椭圆£于另一点。(异于点/,B),记直线4P与直线BQ交于点试问点M

是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，说明理由.

7.已知椭圆C：5+《=l(a>b>0)的短轴长为2a,离心率为冬

⑴求椭圆C的方程；

⑵过点P(4,l)的动直线I与椭圆C相交于不同的4B两点，在线段A8上取点Q,满足|4P|-|QB|=|AQ|■\PB\,

证明：点Q总在某定直线上.

8.已知椭圆C:《+M=1的离心率为孚.

2bz2

(1)求椭圆C的方程；

(2)当椭圆的焦点在x轴上时，直线I：y=kx-1与椭圆的一个交点为P(点P不在坐标轴上)，点P关于x

轴的对称点为。，经过点。且斜率为日的直线与/交于点M,点N满足PN〃x轴，MNLx轴，求证：点N

在直线y=yX+1上.

9.已知椭圆£5+'=l(a>b>0),广(2鱼,0)为椭圆E的右焦点，三点(苧，》(—言，号，中恰

有两点在椭圆E上.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)设点A,B为椭圆E的左右端点，过点M(2,0)作直线交椭圆E于P,Q两点(不同于A,B),求证：直线2P与直

线BQ的交点N在定直线上运动，并求出该直线的方程.

7

10.已知R是圆M：(%+V3)+产=8上的动点，点N(b,o),直线NR与圆M的另一个交点为S,点L在直

线MR上，MS//NL,动点L的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

⑵若过点P(-2,0)的直线/与曲线C相交于力，B两点，且力，B都在x轴上方，问：在久轴上是否存在定点Q,使

得△Q4B的内心在一条定直线上?请你给出结论并证明.

11.椭圆c：4+|=l(a＞b＞0)的离心率为区,且过点力(2,1).

ab2

(1)求椭圆C的方程和长轴长；

(2)点N在。上，且AM14V.证明：直线过定点.

2

12.在平面上，设椭圆「++y2=1(爪＞1),梯形/BCD的四个顶点均在「上，且力B//CD.设直线42

的方程为y=kx(keR)

第⑴题图第(2)题图

(1)若43为「的长轴，梯形ASCD的高为?，且。在N8上的射影为「的焦点，求m的值;

(2)设m=直线CD经过点P(0,2),求瓦•丽的取值范围;

22

13.已知椭圆C京+方=1Q＞。＞0)的左、右焦点分别为％(—1,0)、F2(l,0),且椭圆上存在一点P,满

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足PFi=gCOSZF1F2P=|

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)已知/、3分别是椭圆C的左、右顶点，过Fi的直线交椭圆C于”、N两点，记直线AM,BN的交点为

T,是否存在一条定直线/,使点T恒在直线/上？

22

14.已知椭圆C：a+£=l(a>b>0),若抛物线y2=4x的焦点F恰好为椭圆C的右焦点，且该抛物线与椭

(1)求C的标准方程；

(2)设4B是椭圆C的左、右顶点，过点尸作直线1与椭圆交于PQ(不同于4、B)两点，设直线力P与直线BQ

交于E点，求证：点E在定直线上.

15.在直角坐标平面内，已知4(-2,0),5(2,0),动点P满足条件：直线P4与直线P8的斜率之积等于;，记动

点P的轨迹为E.

(1)求E的方程；

(2)过点C(4,0)作直线1交E于M,N两点，直线4M与BN交点Q是否在一条定直线上？若是，求出这条直线方

程；若不是，说明理由.

16.已知双曲线C：5―，=1(a>0,b>0)实轴端点分别为力i(—a,0),A2(a