高考数学一轮复习题型与专项训练：平面向量（针对练习）

第五章平面向量与复数

5.1.2平面向量（针对练习）

针对练习

针对练习一平面向量的实际背景及基本概念

1.下列说法正确的是（）

A.若向量a与6共线且a与很不为零向量，则存在实数4,使得°=肪

B.零向量是没有方向的向量

C.任意两个单位向量的方向相同

D.同向的两个向量可以比较大小

2.在下列说法中：

①若a=b,b=c,则a=c；②零向量的模长是0;

③长度相等的向量叫相等向量；④共线是在同一条直线上的向量.

其中正确说法的序号是（）

A.①②B.②③C.②④D.①④

3.下列有关向量的命题正确的是（）

A.长度相等的向量均为相等向量

B.若A8C。是平行四边形，则必有=

C.非零向量a,b,c,等式•伍-c）恒成立

D.若非零向量a,b满足a"b,则。，b所在的直线平行或重合

4.下列说法错误的是（）

A.若@=0，则同=。B.零向量与任一向量平行

C.零向量是没有方向的D.若两个相等的向量起点相同，则终点必相同

5.下列说法正确的是（）

①有向线段三要素是始点、方向、长度；

②向量两要素是大小和方向；

③同向且等长的有向线段表示同一向量；

④在平行四边形ABCD中，AB=DC.

A.①B.①②C.①②③D.①②③④

针对练习二平面向量的线性运算

6.已知E分别是的边BC和AC的中点，若=AE=b,则（）

A.a+bB.b--a

3

C.2b--aD.3b-2a

7.如图所示，ABC中，点。是线段BC的中点，E是线段A。的靠近A的四等分点，则）

315131

A.-BA+-BCB.-BA+-BCC.-BA+-BCD.-BA+-BC

44444848

8.如图，ABC是等边三角形，O在线段上，且=E为线段AO上一点，若△ABE与

AACD的面积相等，则BE=（）

71

A.-AB——ACB.-AB+-ACC.-AB--ACD.--AB+-AC

661266363

9.在平行四边形ABCD中，AF=2FC,则。F=（

A.--AB+-ADB.--AB+-AD

3333

C.-AB--ADD.-AB--AD

3333

10.如图所示的AABC中，点O是线段AB上靠近A三等分点，点E是线段BC的中点，则反=(

A.--AB--ACB.-AB+-ACC.-AC--ABD.-AB+-AC

62622662

针对练习三平面向量的坐标运算

11.已知向量。=(1,-4),b=(2,3),则五-2了的坐标为()

A.(-3,-10)B.(-3,-2)

C.(-3,2)D.(3,-10)

12.向量0=(2,0),6=(1,2),则卜-20=()

A.-4B.V13C.4D.13

13.已知向量a=(l,优)，b=(-1,1)»c=(3,0),若a〃(6+c),则()

A.—1B.-C.2D.—2

14.设平面向量6=(1,2),6=(T,y),若则卜+0等于()

A.V5B.V10C.5D.10

15.已知向量a=（3,l）,5=（1,3）,且（a+b）J_（a-劝），则2的值为（）

A.-2B.-1C.1D.2

针对练习四平面向量的数量积（模长问题）

16.若同=\b\=1,且〃与Z?的夹角为60°,则归一同=（）

A.1B.V3C.及D.2

17.已知a,b为单位向量,且(2H-b)±b,则\a+b\=()

A.1B.6C.2D.75

18.已知同=3,卜|=2,0.万=一3,贝11,一叶=（）

A.B.19c.7TTD.1

1,Z?=2,a-Z?=73,则“./)=()

19.已知向量。：，万满足同=1

A.2B.1C.-1D.-2

20.已知向量满足忖=w==5,且忖+同=6,则“一》=（）

A.6B.8C.36D.64

针对练习五平面向量的数量积（夹角问题）

ab=^,\a-b\=^,则“与6的夹角为（）

21.已知忖=1,

A.120B.60C.30D.45

22.已知平面向量a,》满足a=（-l,2）,网=亚，卜-可=君，则a与人的夹角为（）

A.B.-C.-D.—

64312

23.已知〃二（一1,0）,。=2,b-^a-b^=-7,则a与6的夹角是（）

471e冗2TT-5万

A.-B.-C.D.—

63T6

24.已知向量a,b满足卜+»=石卜-6卜石忖，则a与6的夹角为（）

A.90B.60C.45D.30

25.已知|。|=行,|加=1,心（。-6）=1,则a与匕的夹角为（）

c兀/2兀c兀

A•兀B.-C.一D.-

433

针对练习六平面向量的投影

26.已知忖=2,。与）的夹角为60。，则匕在。上的投影为（）

A.1B.2C.-2D.-1

27.若向量满足同=2,（d+26）a=6,则b在。方向上的投影为（）

A.1B.-1C.--D.1

22

?

28.已知|a|=l,与非零向量6同向的单位向量为e,且〈a,6〉=§",向量.在b上的投影向量为（）

1T111T

A.-bB.—eC.—eD.—b

2222

29.已知向量。=（3,-1）/=（1,0）,则b在d方向上的投影是（）

A.-1B.--C.D.3

1010

30.向量a=(-M)在向量。=(-3,-4)上的射影为()

A.昱B.一变C.-D.--

2255

针对练习七平面向量的共线定理的推论

31.如图，在AABC中，点。是8C的中点，过点。的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,

N.VzAB=mAM,AC=nAN.则"?+"=()

A.1B.2C.1D.3

32.如图，在，ABC中，AD"C,E是加上一点，若由口B+^C,则实数之的值为()

A.3B.4C.5D.6

33.如图，在△ABC中，AN=：NC,p是3N上的一点，若AP=。根+；)A5+/c,实数机的值为(

)

34.如图，在-ABC中，点。是的中点，过点。的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M、N,

^AB=^AM,AC=nAN,贝()

A.1B-iC.2D.3

35.如图，已知点G是△A3C的重心，过点G作直线分别与A3、AC两边交于M、N两点（M、N与

及C不重合），^AB=xAM,AC=yAN,则占的最小值为（）

A—BcD

&2-I-1-?

第五章平面向量与复数

5.1.2平面向量（针对练习）

针对练习

针对练习一平面向量的实际背景及基本概念

1.下列说法正确的是（）

A.若向量a与6共线且a与b不为零向量，则存在实数力,使得”劝

B.零向量是没有方向的向量

C.任意两个单位向量的方向相同

D.同向的两个向量可以比较大小

【答案】A

【解析】

【分析】

根据向量得实际背景及基本概念，依次判断各项正误.

【详解】

与6为非零向量，且共线，.••存在实数2,使得a=肪,A正确；

零向量的长度为0,方向是任意的，故B错误；

任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，故C错误；

不管是同向的向量还是不同向的向量，都不能比较大小，故D错误.

故选：A.

2.在下列说法中：

①若a=6,b=c,则"=。；②零向量的模长是0;

③长度相等的向量叫相等向量；④共线是在同一条直线上的向量.

其中正确说法的序号是（）

A.①②B.②③C.②④D.①④

【答案】A

【解析】

【分析】

根据相等向量、共线向量、零向量的定义判断即可；

【详解】

解：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，若a=b,b=c,贝3=c,故③错

误，①正确，

模为0的向量叫做零向量，故②正确，

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也称为共线向量，规定零向量

和任意向量平行，故④错误；

故选：A

3.下列有关向量的命题正确的是（）

A.长度相等的向量均为相等向量

B.若ABC。是平行四边形，则必有AB=8

C.非零向量a,b,c,等式=亘成立

D.若非零向量a,Z,满足0//b,则a,6所在的直线平行或重合

【答案】D

【解析】

【分析】

由相等向量的概念可判断A；结合图形和相等向量概念可判断B；由数量积的性质

可判断C；由共线向量的概念可判断D.

【详解】

由相等向量概念可知A错误；

由图知，为相反向量，B错误；

记a/=/l,b.c=〃，则伍==显然,a,c不共线时，C错误;

由平行向量的概念可知，D正确.

故选：D

4.下列说法错误的是（）

A.若°=0，则同B.零向量与任一向量平行

C.零向量是没有方向的D.若两个相等的向量起点相同，则终点

必相同

【答案】C

【解析】

【分析】

对A,根据模长的定义判断即可；

对BC,根据零向量的性质判断即可；

对D,根据相等向量的性质判断即可

【详解】

对A,零向量的模长为0,故A正确；

对B,零向量与任一向量平行，故B正确；

对C,零向量的方向是任意的，故C错误；

对D,相等向量若起点相同则终点相同，D正确；

故选：C

5.下列说法正确的是（）

①有向线段三要素是始点、方向、长度；

②向量两要素是大小和方向；

③同向且等长的有向线段表示同一向量；

④在平行四边形A8CD中，AB=DC.

A.①B.①②C.①②③D.①②③④

【答案】D

【解析】

【分析】

根据有向线段的定义、向量的定义、以及向量的几何意义可判断每个说法的正误，

从而找出正确选项.

【详解】

①始点、方向、长度可以确定一条有向线段，即有向线段三要素是始点、方向、长

度，故①正确；

②根据向量的定义知，向量的两要素是大小和方向，故②正确；

③同向且等长的有向线段表示的向量大小相等，方向相同，故为同一向量，故③正

确；

④•.•四边形ABC。是平行四边形，...48〃。。，S.AB=DC,故A8=DC,故④正确.

故选：D.

针对练习二平面向量的线性运算

6.已知。，E分别是..ABC的边3c和AC的中点，若AD=a,AE=b,则BE=（）

A.a+bB.b-；a

_3

C.2b——aD.3b—2a

【答案】D

【解析】

【分析】

根据平面向量线性运算法则计算可得；

【详解】

解：因为£）,E分别是ABC的边BC和AC的中点，

所以BE=BC+CE=2Z）C-；AC=2（AC-A£））-jAC

3

=-AC-2AD=3AE-2AD=3b-2a.

2

故选：D.

7.如图所示，ABC中，点。是线段的中点，E是线段A。的靠近A的四等分

点，则BE=（）

A

313——1

A.-BA+-BCB.-BA+-BCC.-BA+-BCD.-BA+-BC

44444848

【答案】D

【解析】

【分析】

根据向量加减法的三角形法则计算即可.

【详解】

解：由题意可得：BE=BA+AE，AE=^AD,AD=A2+皿'BD^BC.

31

/.BE=-BA+-BC,

48

故选：D.

8.如图，ABC是等边三角形，。在线段3C上，且=E为线段AD上一

点，若A4BE与八48的面积相等，贝!（）

71

A.-AB——ACB.-AB+-ACC.-AB--ACD.--AB+-AC

661266363

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意，可得E为中点，根据向量的线性运算法则，即可得答案.

【详解】

,.•£）在线段BC上，且8£>=2£>。，

•q--V

•.°ACD~2ABD，

又E为线段AD上一点，若"BE与△ACO的面积相等,

S&ABE=|SAABD,则E为AD的中点，

12111

又AO=—A3+—AC,AE=-AD=-AB+-AC,

33263

^VXBE^AE-AB=--AB+-AC,

63

故选：D

9.在平行四边形A3CD中，AF=2FC,则OE=()

A.--AB+-ADB.--AB+-AD

3333

C.-AB--ADD.-AB--AD

3333

【答案】D

【解析】

【分析】

利用平面向量线性运算法则计算可得;

【详解】

2

解：因为AF=2FC,所以A尸=§AC,

00O1

^VXDF=DA+AF=-AD+^AC=-AD+-^AB+AD^=-AB--AD.

故选：D

10.如图所示的AABC中，点。是线段AB上靠近A三等分点，点E是线段的

中点，则屁=（）

A.--AB--ACB.-AB+-ACC.-AC--ABD.-AB+-AC

62622662

【答案】B

【解析】

【分析】

依题意可得。8=BE=；(AC-A孙根据平面向量的加减运算可得.

【详解】

011

由已知可得。B=B£=-BC--(AC-AB),

Q111

所以£)E=D3+BE=§A3+j(AC-A3)=qA3+/AC.

故选：B.

针对练习三平面向量的坐标运算

11.已知向量。=(1,-4),6=(2,3),则23的坐标为()

A.(-3,-10)B.(-3,-2)

C.(-3,2)D.(3,-10)

【答案】A

【解析】

【分析】

依据向量的坐标运算规则解之即可.

【详解】

a-2%=(1,一4)-2(2,3)=(1,-4)-(4,6)=(-3,-10)

故选：A

12.向量i(2,o),6=(1,2),贝中一2%()

A.-4B.713C.4D.13

【答案】C

【解析】

【分析】

先求出d-2a再由模长公式求解卜-2匕|即可.

【详解】

a-2b=(O,-4),则卜一26卜4

故选：c.

13.已知向量。=(l,〃z),[=(—1,1),c=(3,0),若a//(b+c),则机=()

A.—1B.-C.2D.—2

【答案】B

【解析】

【分析】

首先求出B+泮勺坐标，再根据向量共线的坐标表示计算可得.

【详解】

解：因为。=(1,加)，b-(-1,1)»c=(3,0),

所以I+乙=(-1,1)+(3,0)=(2,1)，又a〃(b+c),

所以2〃z=lxl,解得m=；.

故选：B

14.设平面向量,=(1,2),b=(-4,y),若o,则卜+0等于()

A.75B.厢C.5D.10

【答案】C

【解析】

【分析】

利用平面向量垂直的坐标表示求出y的值，可求出的坐标，利用平面向量的模

长公式可求得结果.

【详解】

由已知可得a-b=2y-4=0,可得y=2,故。+6=(-3,4),因此，卜+(同一3『+4?=5.

故选：C.

15.已知向量。=(3,1),5=(1,3),且3+珠，(4-二),则』的值为()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【解析】

【分析】

求出a+b,a-Ab的坐标后可求4的值.

【详解】

a+b=（4,4）,。-劝=（3-2,1-32）,

由（〃+b）_L（〃一Xb）可得4（3—X）+4（l—3为=0,解得4=1,

故选：C

针对练习四平面向量的数量积（模长问题）

16.若口=M=1,且“与6的夹角为60。，则口―3=（）

A.1B.6C.72D.2

【答案】A

【解析】

【分析】

把模平方转化为数量积的运算求解.

【详解】

1

由已知“•6=COS6（T=5,

="1-I）?=J；-2:.力+：=Jl-2xg+1=1.

故选：A.

17.已知a,b为单位向量，且（2a-b）±b,则\a+b\=（）

A.1B.73C.2D.y/5

【答案】A

【解析】

【分析】

利用已知条件求出向量数量积为0,推出2“力=1,然后求解向量的模即可.

【详解】

a,b为单位向量，且（2a_b）_l_b,

可得（2a-6〉6=2a-6-片=0,

所以2小6=匕2=网=1,则卜+b|=Jcr_2q-6+=1

故选：A

18.已知同=3,忖=2,a.b=—3,则卜_4=（）

A.回B.19C.VnD.1

【答案】A

【解析】

【分析】

由卜-6卜及数量积的运算律计算可得.

【详解】

解：因为何=3,W=2,a-b=—3,

所以,一可=,(4—6)=\Ja2-2a-b+b2='同一_2。.6+卜1

22

=A/3-2-(-3)+2=A/19.

故选：A

19.已知向量d,6满足同=1,忖=2,卜-叶=豆，贝()

A.2B.1C.-1D.-2

【答案】B

【解析】

【分析】

利用向量数量积的运算律可得,-dJ一2。2+广，结合已知即可求..6.

【详解】

।|222

由〃一。=a-2a-b+b=5-2〃2=3,可得

故选：B

20.已知向量风6满足忖=忖=5,且n+同=6,则k-。|=()

A.6B.8C.36D.64

【答案】B

【解析】

【分析】

由题可得小6=-7,然后利用模长公式即得.

【详解】

因为卜+0=a+2a♦6+b=50+2a-6=36,

所以a为=-7.

因为k--2a-b+b2=50+2x7=64,

所以口_[=8.

故选：B.

针对练习五平面向量的数量积（夹角问题）

21.已知何=1,〃力=；，k贝卜与6的夹角为（）

A.120B.60C.30D.45

【答案】D

【解析】

【分析】

将卜一6卜5两边平方，代入卜|=1,°力=；化简可得忖，再根据向量的夹角公式求

解即可

【详解】

由卜—@=可得一b）=—,Bp|a|-2<2-£>+|/J|=—,故1—1+1|=—,即恸=^^,

设a与6的夹角为6,贝lJa/=W-Wcos6=g,即cosJ=当，X^e[0,180],故6=45

故选：D

22.已知平面向量a,6满足a=（T，2）,网=卜-6卜君，则d与人的夹角为（）

A.?B.-C.-D.—

64312

【答案】B

【解析】

【分析】

由。=（-1,2）求出|°|=君，由卜-6卜石两边平方求出6=5,再根据平面向量的夹

角公式可求出结果.

【详解】

因为〃=（-L2）,所以|a|=Jl+4=6,

因为网=可，卜-b卜君,

所以（人力=5,所以|a『+|b|2-2a-b=5,

所以5+10-2步5=5,所以。力=5,

572

所以cos<a,b>=---------

\aV\b\A/5X^10-V

兀

因为<4,5>G[0,7l],所以<Q,Z?>=—.

4

故选：B

23.已知a=（-l,&）,W=2,b.-7,则°与b的夹角是（）

A.2B.三C.寻D.

6336

【答案】D

【解析】

【分析】

根据给定条件，求出a包，再利用向量夹角公式计算作答.

【详解】

由力（。叫=一7得：a-b-b2=-7»即有=-7+/=-3，而“=（T,0）,则

⑷=卜1）2+（同=石，

于是得8$〈4,6〉=:“?，=「3=又ow〈a涉）《兀，解得&力=?，

\a\\b\<3x226

所以a与6的夹角是黄.

故选：D

24.已知向量a,方满足卜+可=阎°-可=石W,则a与b的夹角为（）

A.90B.60C.45D.30

【答案】B

【解析】

【分析】

由向量a,匕满足卜+可=6,-可=6忖，求得“心二:忖且卜卜W,结合向量的夹角

公式，即可求解.

【详解】

因为向量九6满足卜+4=指卜_W=若忖，

由退卜一可=石忖，可得=/，即片=2。力，即。必=；修

又由卜+4=6b-可,可得了+1）+2a-b-3a+31}-6a-b,

即1+/+/=3/+3片—3片，解得即口=小

又因为c°s（m"雨=/

因为。#（a,b）180,所以04=60,即a与6的夹角为60.

故选：B.

25.已知|〃|=0,|切=l,a・（a—。）=1,则£与石的夹角为（)

,一兀―2兀71

A.兀B.-C.一D.

43

【答案】B

【解析】

【分析】

先由已知条件求出eb的值，再利用向量的夹角公式求解即可

【详解】

设a与6的夹角为巴

因为1。1=0,〃・（。一万）=1,

所以a—a・b=2—a・b=k得〃,很=1,

„a-b1V2

所以3。=雨=7T3，

因为8£[0,l],

所以6=9，

故选：B

针对练习六平面向量的投影

26.已知忖=2,。与b的夹角为60。，贝心在。上的投影为（）

A.1B.2C.-2D.-1

【答案】A

【解析】

【分析】

直接用定义即可求出.

【详解】

由题可得6在。上的投影为Wcos60o=2xg=L

故选：A.

27.若向量满足同=2,卜+2与3=6,则b在。方向上的投影为（）

A.1B.-1C.—D.；

22

【答案】D

【解析】

【分析】

根据（。+26）⑶=6求出°.匕，根据|小0$*。,6*=芳即可求投影.

【详解】

（a+2b\a=6=>|«|2+2a-b=6na.b=1,

7a-b

故〃在。方向上的投影wcos.〃,/?♦=-p-p=

\a\2,

故选：D.

7

28.已知|a|=l,与非零向量人同向的单位向量为e,且〈。力〉=§乃，向量.在b上的

投影向量为（）

1711T

A.-bB.——eC.-eD.--b

2222

【答案】B

【解析】

【分析】

根据向量的数量积的几何意义，利用公式，即可求得向量a在b上的投影向量.

【详解】

7

由题意，|a|=l,与非零向量8同向的单位向量为且〈“/〉=§万,

7Q•0COS——1

可得向量：在6上的投影向量为怨xe」3xe=」e.

HW2

故选：B.

29.已知向量。=(3,-1)*=(1,0),则6在d方向上的投影是()

A.-1B,一®C,巫D.

1010

【答案】c

【解析】

【分析】

6在。方向上的投影为Wcos(a,6)=/，将已知条件代入即可求解

【详解】

因为。=(3,-1),8=(1,0),

a-b33回

则6在a方向上的投影为Wcos(a,可

10

故选：C

30.向量。=(-1,1)在向量6=(-3,T)上的射影为()

A.包B.一变C1

225

【答案】D

【解析】

【分析】

利用数量积的几何意义直接求解即可

【详解】

向量。在向量6=(-3,T)上的射影为

a-b_(-l)x(-3)+lx(-4)__J_

W,(-3)2+(-4)25，

故选：D

针对练习七平面向量的共线定理的推论

31.如图，在AABC中，点。是的中点，过点。的直线分别交直线AB,AC于

不同的两点M,N.设AB=〃L4M,AC=nAN.则加+〃=()

A.1B.2C.；D.3

【答案】B

【解析】

【分析】

本题应用两个结论：

A0=：（A2+AC）,点。是的中点；

三点共线：若A、B、C三点共线，则瓦5=4而+〃而+〃=1.

【详解】

由题意得而=3（屈+尼）=：（m^M+n前）=^AM+^AN,

因为M、。、N三点共线，所以£+]=1,解得加+〃=2,

故选B.

32.如图，在ABC中，AD=ADC,E是BD上一点,若AE=?AB+，AC,则实数九