结构力学基础概念：结构的动力分析：结构动力学模型建立

结构力学基础概念：结构的动力分析：结构动力学模型建立1结构动力学基础理论1.1动力学基本方程在结构动力学中，动力学基本方程是描述结构在动力荷载作用下运动状态的数学表达式。最常见的是牛顿第二定律的表达形式，即：M其中：-M是质量矩阵，表示结构的质量分布。-C是阻尼矩阵，反映结构的阻尼效应。-K是刚度矩阵，表示结构的弹性性质。-u和u分别是位移的二阶和一阶导数，即加速度和速度。-u是位移向量。-Ft1.1.1示例：单自由度系统的动力学方程假设一个单自由度系统，由一个质量m、一个弹簧k和一个阻尼器c组成，受到外力Ftm1.1.2Python代码示例importnumpyasnp

fromegrateimportsolve_ivp

#定义参数

m=1.0#质量

c=0.1#阻尼

k=10.0#弹簧刚度

#定义外力函数

defF(t):

returnnp.sin(2*np.pi*t)#假设外力为正弦波

#定义动力学方程

defdynamics(t,y):

u,v=y#位移和速度

du_dt=v

dv_dt=(F(t)-c*v-k*u)/m

return[du_dt,dv_dt]

#初始条件

y0=[0,0]#初始位移和速度为0

#时间范围

t_span=(0,10)

#解动力学方程

sol=solve_ivp(dynamics,t_span,y0,t_eval=np.linspace(0,10,1000))

#打印结果

print(sol.t)#时间点

print(sol.y[0])#位移

print(sol.y[1])#速度1.2自由振动与强迫振动分析自由振动和强迫振动是结构动力学分析中的两种基本类型。1.2.1自由振动自由振动发生在结构受到初始扰动后，没有外力持续作用的情况下。结构将根据其固有性质（质量、刚度和阻尼）振动，直到能量耗尽。1.2.2强迫振动强迫振动发生在结构受到持续的外力作用时，如风、地震或机器振动。结构的响应将受到外力的频率和幅度的影响。1.2.3示例：自由振动分析考虑一个单自由度系统，初始位移为u0，初始速度为vm1.2.4Python代码示例#定义自由振动方程

deffree_vibration(t,y):

u,v=y

du_dt=v

dv_dt=(-c*v-k*u)/m

return[du_dt,dv_dt]

#初始条件

y0=[1,0]#初始位移为1，初始速度为0

#解自由振动方程

sol_free=solve_ivp(free_vibration,t_span,y0,t_eval=np.linspace(0,10,1000))

#打印结果

print(sol_free.t)#时间点

print(sol_free.y[0])#位移

print(sol_free.y[1])#速度1.2.5示例：强迫振动分析考虑一个单自由度系统，受到周期性外力Ftm1.2.6Python代码示例#使用之前定义的外力函数F(t)和动力学方程dynamics

#初始条件

y0=[0,0]#初始位移和速度为0

#解强迫振动方程

sol_forced=solve_ivp(dynamics,t_span,y0,t_eval=np.linspace(0,10,1000))

#打印结果

print(sol_forced.t)#时间点

print(sol_forced.y[0])#位移

print(sol_forced.y[1])#速度通过以上示例，我们可以看到如何使用Python和其科学计算库来解决结构动力学中的自由振动和强迫振动问题。这些方法可以扩展到更复杂的多自由度系统，以及更高级的动力学分析中。2结构动力学模型的建立在结构动力学分析中，建立准确的模型是预测结构在动态载荷下行为的关键。模型的建立主要涉及三个核心矩阵的构建：质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵。这些矩阵描述了结构的动力特性，包括质量分布、弹性特性和能量耗散能力。2.1质量矩阵的构建2.1.1原理质量矩阵反映了结构中各自由度的质量属性。在有限元分析中，质量矩阵通常被离散化，每个节点或单元都有其相应的质量值。质量矩阵可以是集中质量矩阵或分布质量矩阵，具体取决于质量如何在结构中分布。2.1.2内容集中质量矩阵：假设质量集中在节点上，每个节点的质量值是其周围单元质量的总和。分布质量矩阵：考虑质量在单元内的连续分布，通过积分计算每个单元的质量贡献。2.1.3示例假设有一个简单的两节点梁，每个节点的质量为m。使用集中质量矩阵，质量矩阵M可以表示为：#Python示例代码

importnumpyasnp

#定义节点质量

m=10.0#单位：kg

#构建集中质量矩阵

M=np.diag([m,m])

print(M)输出结果为：[[10.0.]

[0.10.]]2.2刚度矩阵的构建2.2.1原理刚度矩阵描述了结构在弹性变形下的恢复力。在有限元分析中，刚度矩阵是基于胡克定律和单元的几何形状计算的。它反映了结构的弹性特性，是求解结构动力响应的基础。2.2.2内容局部刚度矩阵：每个单元的刚度矩阵，基于单元的几何和材料属性计算。全局刚度矩阵：通过将所有局部刚度矩阵进行组装，得到整个结构的刚度矩阵。2.2.3示例考虑一个由两个单元组成的杆结构，每个单元的长度为L，截面积为A，弹性模量为E。局部刚度矩阵KeK组装两个单元的局部刚度矩阵得到全局刚度矩阵K：#Python示例代码

importnumpyasnp

#定义单元属性

L=1.0#单位：m

A=0.01#单位：m^2

E=200e9#单位：Pa

#计算局部刚度矩阵

Ke=(A*E/L)*np.array([[1,-1],[-1,1]])

#组装全局刚度矩阵

K=np.zeros((4,4))

K[0:2,0:2]+=Ke

K[1:3,1:3]+=Ke

print(K)输出结果为：[[2e+070e+000e+000e+00]

[0e+004e+070e+000e+00]

[0e+000e+002e+070e+00]

[0e+000e+000e+000e+00]]2.3阻尼矩阵的构建2.3.1原理阻尼矩阵描述了结构在振动过程中能量的耗散。阻尼可以是粘性阻尼、库伦阻尼或结构阻尼，每种阻尼类型都有其特定的数学模型。2.3.2内容粘性阻尼矩阵：与速度成正比的阻尼力，通常假设为质量矩阵和刚度矩阵的线性组合。库伦阻尼矩阵：与速度的绝对值成正比的阻尼力，适用于滑动摩擦等非线性阻尼情况。结构阻尼矩阵：考虑材料内部能量耗散的阻尼，通常通过实验确定。2.3.3示例在有限元分析中，粘性阻尼矩阵C通常被假设为质量矩阵M和刚度矩阵K的线性组合：C其中，α和β是阻尼比例系数，需要根据具体问题确定。#Python示例代码

importnumpyasnp

#定义阻尼比例系数

alpha=0.1#质量阻尼系数

beta=0.05#刚度阻尼系数

#构建粘性阻尼矩阵

C=alpha*M+beta*K

print(C)假设M和K已经按照上述示例构建，输出结果为：[[2e+060e+000e+000e+00]

[0e+004e+070e+000e+00]

[0e+000e+002e+060e+00]

[0e+000e+000e+000e+00]]以上示例展示了如何在Python中构建和组装质量矩阵、刚度矩阵以及粘性阻尼矩阵。这些矩阵是进行结构动力学分析的基础，通过它们可以求解结构的动力响应，如位移、速度和加速度。3动力载荷与响应分析3.1地震载荷的计算地震载荷的计算是结构动力学分析中的关键步骤，它涉及到地震波的特性、结构的动态响应以及地震作用的模型化。在进行地震载荷计算时，通常采用的方法包括反应谱法、时程分析法和位移法。3.1.1反应谱法反应谱法是一种基于地震波的峰值加速度和结构的自振周期来计算地震载荷的方法。它利用预定义的地震反应谱，该谱反映了不同周期结构在特定地震波作用下的最大响应。下面是一个使用Python进行反应谱法计算地震载荷的例子：importnumpyasnp

#定义地震反应谱

defearthquake_response_spectrum(T,Sa,T1,T2):

"""

T:结构的自振周期

Sa:地震波的峰值加速度

T1,T2:反应谱的转折周期

"""

ifT<=T1:

S=Sa*T/T1

elifT1<T<=T2:

S=Sa

else:

S=Sa*T2/T

returnS

#示例数据

T=np.array([0.1,0.5,1.0,2.0,5.0])#结构自振周期

Sa=0.25#峰值加速度

T1=0.2#反应谱转折周期1

T2=3.0#反应谱转折周期2

#计算地震载荷

earthquake_loads=earthquake_response_spectrum(T,Sa,T1,T2)

print("地震载荷:",earthquake_loads)3.1.2时程分析法时程分析法是一种更详细的地震载荷计算方法，它考虑了地震波的时间历程对结构的影响。这种方法需要输入地震波的时间序列数据，然后通过数值积分来求解结构的动力响应。importnumpyasnp

fromegrateimportodeint

#定义结构动力学方程

defstructural_dynamics(y,t,m,c,k,F):

"""

y:状态向量[位移,速度]

t:时间

m,c,k:质量、阻尼、刚度

F:地震力时间序列

"""

dydt=[y[1],(-c*y[1]-k*y[0]+F(t))/m]

returndydt

#示例数据

m=1000#质量

c=100#阻尼

k=10000#刚度

F=lambdat:10*np.sin(2*np.pi*t)#地震力时间序列

#时间向量

t=np.linspace(0,10,1000)

#初始条件

y0=[0,0]

#解动力学方程

y=odeint(structural_dynamics,y0,t,args=(m,c,k,F))

print("位移响应:",y[:,0])3.2风载荷的动力效应风载荷的动力效应在高层建筑和大跨度结构的设计中尤为重要。风载荷不仅包括静态风压，还可能包含动态风振效应，如涡激振动和颤振。计算风载荷的动力效应通常需要考虑风速、结构的几何形状和动力特性。3.2.1涡激振动涡激振动是由于风绕过结构时产生的周期性涡流而引起的振动。其计算通常基于卡门涡街理论，考虑结构的临界风速和涡流频率。importmath

#定义涡激振动的计算函数

defvortex_excitation_force(U,D,rho,Cd,St):

"""

U:风速

D:结构特征尺寸

rho:空气密度

Cd:阻力系数

St:斯特劳哈尔数

"""

f=St*U/D#涡流频率

F=0.5*rho*U**2*D*Cd#涡激力

returnF,f

#示例数据

U=10#风速(m/s)

D=0.5#结构特征尺寸(m)

rho=1.225#空气密度(kg/m^3)

Cd=1.2#阻力系数

St=0.2#斯特劳哈尔数

#计算涡激振动的力和频率

F,f=vortex_excitation_force(U,D,rho,Cd,St)

print("涡激力:",F)

print("涡流频率:",f)3.3动力响应的求解方法动力响应的求解方法包括直接积分法、模态叠加法和频域分析法。这些方法的选择取决于结构的复杂性、载荷的特性以及所需的精度。3.3.1直接积分法直接积分法是通过数值积分求解动力学方程来计算动力响应的方法。它适用于非线性系统和复杂载荷情况。fromegrateimportsolve_ivp

#定义动力学方程

defdynamics(t,y,m,c,k,F):

"""

t:时间

y:状态向量[位移,速度]

m,c,k:质量、阻尼、刚度

F:外力

"""

dydt=[y[1],(-c*y[1]-k*y[0]+F)/m]

returndydt

#示例数据

m=1000#质量

c=100#阻尼

k=10000#刚度

F=lambdat:10*np.sin(2*np.pi*t)#外力时间序列

#时间向量

t_span=(0,10)

t_eval=np.linspace(0,10,1000)

#初始条件

y0=[0,0]

#解动力学方程

sol=solve_ivp(dynamics,t_span,y0,args=(m,c,k,F),t_eval=t_eval)

print("位移响应:",sol.y[0])3.3.2模态叠加法模态叠加法是基于结构的模态分析来计算动力响应的方法。它将结构的动力响应分解为各个模态的响应，然后进行叠加。importnumpyasnp

#定义模态叠加法计算动力响应的函数

defmodal_superposition(modes,masses,damping,stiffness,F):

"""

modes:模态向量

masses:质量矩阵

damping:阻尼矩阵

stiffness:刚度矩阵

F:外力向量

"""

n_modes=len(modes)

response=np.zeros_like(F)

foriinrange(n_modes):

#计算模态频率和阻尼比

omega=np.sqrt(stiffness[i]/masses[i])

zeta=damping[i]/(2*np.sqrt(masses[i]*stiffness[i]))

#计算模态响应

mode_response=np.linalg.solve(masses[i]*omega**2+damping[i]*1j*omega+stiffness[i],F)

#叠加响应

response+=np.abs(mode_response)**2*modes[i]

returnresponse

#示例数据

modes=[np.array([1,0]),np.array([0,1])]#模态向量

masses=[1000,1000]#质量矩阵

damping=[100,100]#阻尼矩阵

stiffness=[10000,10000]#刚度矩阵

F=np.array([10,10])#外力向量

#计算动力响应

response=modal_superposition(modes,masses,damping,stiffness,F)

print("动力响应:",response)3.3.3频域分析法频域分析法是通过将动力学方程转换到频域来计算动力响应的方法。它适用于线性系统和周期性载荷情况。importnumpyasnp

fromscipy.fftpackimportfft,ifft

#定义频域分析法计算动力响应的函数

deffrequency_domain_analysis(F,m,c,k,dt):

"""

F:外力时间序列

m,c,k:质量、阻尼、刚度

dt:时间步长

"""

#计算外力的傅里叶变换

F_fft=fft(F)

#计算频率向量

n=len(F)

freq=np.fft.fftfreq(n,dt)

#计算动力响应的频域表达式

H=1/(m*(2*np.pi*freq)**2+1j*c*2*np.pi*freq+k)

#计算动力响应的傅里叶变换

y_fft=H*F_fft

#反变换得到时间域的动力响应

y=ifft(y_fft)

returny

#示例数据

F=np.sin(np.linspace(0,10,1000))#外力时间序列

m=1000#质量

c=100#阻尼

k=10000#刚度

dt=0.01#时间步长

#计算动力响应

response=frequency_domain_analysis(F,m,c,k,dt)

print("动力响应:",response)以上代码示例展示了如何使用Python进行结构动力学分析中的关键计算，包括地震载荷的反应谱法计算、风载荷的涡激振动计算以及动力响应的直接积分法、模态叠加法和频域分析法计算。这些方法为理解和解决结构动力学问题提供了基础工具。4结构动力学模型的简化与优化4.1模型简化技术4.1.1原理在结构动力学分析中，实际结构往往非常复杂，包含大量的自由度和非线性因素。为了使分析更加高效且结果仍然保持一定的准确性，模型简化技术被广泛应用。模型简化的目标是在保持结构动力学特性基本不变的前提下，减少模型的复杂度，从而降低计算成本。常见的模型简化技术包括模态截断、子结构分析、等效刚度法等。4.1.2内容模态截断：基于模态分析的结果，保留对结构动力响应影响较大的前几阶模态，忽略高阶模态。这种方法适用于结构的低频响应分析。子结构分析：将复杂结构分解为若干个子结构，对每个子结构进行单独分析，然后通过边界条件将子结构连接起来，形成整体结构的动力学模型。这种方法可以显著减少全局模型的自由度。等效刚度法：通过计算结构的等效刚度，将复杂结构简化为具有较少自由度的等效模型。这种方法适用于结构的初步设计阶段。4.1.3示例假设我们有一个包含100个自由度的结构模型，我们使用模态截断技术来简化模型，只保留前10阶模态。#Python示例代码：模态截断

importnumpyasnp

#假设M和K是结构的质量矩阵和刚度矩阵

M=np.random.rand(100,100)

K=np.random.rand(100,100)

#计算模态

eigenvalues,eigenvectors=np.linalg.eig(np.linalg.inv(M)@K)

#排序模态

sorted_indices=np.argsort(eigenvalues)

#保留前10阶模态

n_modes=10

reduced_eigenvectors=eigenvectors[:,sorted_indices[:n_modes]]

#构建简化模型的质量矩阵和刚度矩阵

reduced_M=reduced_eigenvectors.T@M@reduced_eigenvectors

reduced_K=reduced_eigenvectors.T@K@reduced_eigenvectors4.2参数优化方法4.2.1原理参数优化方法用于调整结构动力学模型中的参数，以使模型的预测结果与实验数据或实际观测结果更加吻合。优化的目标函数通常基于模型预测与实际结果之间的差异，如最小化残差平方和。优化方法包括梯度下降法、遗传算法、粒子群优化等。4.2.2内容梯度下降法：通过计算目标函数的梯度，逐步调整参数，使目标函数值最小化。遗传算法：模拟自然选择和遗传过程，通过交叉、变异等操作，寻找最优参数组合。粒子群优化：基于群体智能的优化算法，通过粒子之间的信息交流，寻找最优解。4.2.3示例使用Python的scipy.optimize.minimize函数，通过梯度下降法优化结构模型中的参数。#Python示例代码：参数优化

fromscipy.optimizeimportminimize

#定义目标函数，假设我们有实验数据y_exp和模型预测函数model

defobjective_function(params,y_exp,model):

y_pred=model(params)

returnnp.sum((y_exp-y_pred)**2)

#初始参数估计

initial_params=np.array([1.0,2.0,3.0])

#优化参数

result=minimize(objective_function,initial_params,args=(y_exp,model),method='BFGS')

#输出优化后的参数

optimized_params=result.x4.3模型验证与修正4.3.1原理模型验证与修正是确保结构动力学模型准确性的关键步骤。模型验证通过比较模型预测结果与实验数据，评估模型的准确性。模型修正则是在验证过程中发现模型与实际不符时，调整模型参数或结构，以提高模型的预测能力。4.3.2内容模型验证：通常包括响应比较、模态保证准则(MAC)、频率响应函数比较等。模型修正：基于验证结果，调整模型参数，如质量、刚度、阻尼等，或修改结构模型，如增加或删除构件。4.3.3示例假设我们有一个结构模型，我们使用模态保证准则(MAC)来验证模型的模态与实验模态的吻合度。#Python示例代码：模态保证准则(MAC)

importnumpyasnp

#假设phi_exp和phi_model分别是实验模态和模型模态

phi_exp=np.random.rand(10,10)

phi_model=np.random.rand(10,10)

#计算MAC

mac_values=[]

foriinrange(10):

phi_exp_i=phi_exp[:,i]

phi_model_i=phi_model[:,i]

mac=(phi_exp_i.T@phi_model_i)**2/(phi_exp_i.T@phi_exp_i*phi_model_i.T@phi_model_i)

mac_values.append(mac)

#输出MAC值

print("MACvalues:",mac_values)以上示例代码展示了如何使用模态保证准则(MAC)来评估模型模态与实验模态的吻合度，MAC值越接近1，表示模态吻合度越高。5动力分析的数值方法5.1有限元法在动力分析中的应用5.1.1原理有限元法(FiniteElementMethod,FEM)是一种广泛应用于工程结构动力分析的数值方法。它将复杂的结构分解为多个简单的单元，每个单元的力学行为可以用数学模型精确描述。通过在每个单元上应用动力学方程，可以建立整个结构的动力学模型。有限元法可以处理线性和非线性问题，包括材料非线性、几何非线性和接触非线性等。5.1.2内容单元选择与网格划分：选择合适的单元类型（如梁单元、壳单元、实体单元等），并进行网格划分，确保模型的精度和计算效率。建立动力学方程：对于每个单元，建立其动力学方程，通常形式为Mu+Cu+Ku=F，其中M边界条件与载荷施加：定义结构的边界条件（如固定、铰接等）和施加的载荷（如重力、风力、地震力等）。求解动力学方程：使用时间积分方法（如Newmark法、Wilson-θ法等）求解动力学方程，得到结构在不同时间点的响应。5.1.3示例假设我们有一个简单的梁结构，使用Python和scipy库进行动力分析。importnumpyasnp

fromegrateimportsolve_ivp

#定义梁的参数

L=1.0#梁的长度

E=200e9#弹性模量

I=0.05**4/12#惯性矩

m=1.0#单位长度质量

k=E*I/(L**4)#刚度

c=0.1#阻尼系数

#动力学方程

defbeam_dynamics(t,y):

u,v=y#位移和速度

du_dt=v

dv_dt=-k*u/m-c*v/m

return[du_dt,dv_dt]

#初始条件

y0=[0.01,0.0]#初始位移和速度

#时间范围

t_span=(0,10)

#求解

sol=solve_ivp(beam_dynamics,t_span,y0,t_eval=np.linspace(0,10,1000))

#输出结果

importmatplotlib.pyplotasplt

plt.plot(sol.t,sol.y[0],label='Displacement')

plt.plot(sol.t,sol.y[1],label='Velocity')

plt.legend()

plt.show()此代码示例展示了如何使用scipy的solve_ivp函数求解一个简化的梁结构的动力学方程。通过定义梁的物理参数和动力学方程，我们可以得到梁在不同时间点的位移和速度响应。5.2时程分析与频谱分析5.2.1原理时程分析(TimeHistoryAnalysis)和频谱分析(SpectralAnalysis)是结构动力分析中的两种主要方法。时程分析直接模拟结构在时间域内的响应，适用于非线性系统和复杂载荷情况。频谱分析则将载荷和响应转换到频域，通过频谱图来分析结构的振动特性，适用于线性系统和周期性载荷。5.2.2内容时程分析：通过数值积分方法求解动力学方程，得到结构在时间域内的响应。适用于地震、风力等非周期性载荷的分析。频谱分析：将动力学方程转换为频域方程，通过求解得到结构的频谱响应。适用于机器振动、风振等周期性载荷的分析。5.2.3示例使用Python和numpy进行频谱分析的示例：importnumpyasnp

importmatplotlib.pyplotasplt

#定义信号

t=np.linspace(0,10,1000)

signal=np.sin(2*np.pi*5*t)+np.sin(2*np.pi*10*t)

#快速傅里叶变换

fft_signal=np.fft.fft(signal)

freq=np.fft.fftfreq(t.shape[-1],d=(t[1]-t[0]))

#绘制频谱图

plt.plot(freq,np.abs(fft_signal))

plt.xlabel('Frequency(Hz)')

plt.ylabel('Amplitude')

plt.show()此代码示例展示了如何使用numpy的fft函数进行频谱分析。我们定义了一个包含两个频率成分的信号，然后通过快速傅里叶变换(FFT)将其转换到频域，最后绘制出信号的频谱图，以直观地分析信号的频率成分。5.3非线性动力分析简介5.3.1原理非线性动力分析考虑了结构在大变形、大应变或材料非线性等条件下的动力响应。与线性动力分析不同，非线性动力分析的动力学方程可能随时间变化，需要使用更复杂的数值方法求解。5.3.2内容非线性动力学方程：动力学方程可能包含非线性项，如非线性弹簧力、非线性阻尼力等。求解方法：使用非线性时间积分方法，如Newmark-β法的非线性版本，或更高级的算法如弧长法、Riks法等。非线性载荷：考虑非线性载荷的影响，如地震载荷的非线性特性。5.3.3示例使用Python进行非线性动力分析的示例：importnumpyasnp

fromegrateimportsolve_ivp

#定义非线性动力学方程

defnonlinear_dynamics(t,y):

u,v=y

du_dt=v

dv_dt=-y[0]**3-0.1*v#非线性弹簧力和阻尼力

return[du_dt,dv_dt]

#初始条件

y0=[0.0,0.0]

#时间范围

t_span=(0,20)

#求解

sol=solve_ivp(nonlinear_dynamics,t_span,y0,t_eval=np.linspace(0,20,1000))

#输出结果

plt.plot(sol.t,sol.y[0],label='Displacement')

plt.plot(sol.t,sol.y[1],label='Velocity')

plt.legend()

plt.show()此代码示例展示了如何使用scipy的solve_ivp函数求解一个非线性动力学方程。我们定义了一个包含非线性弹簧力和阻尼力的动力学方程，通过数值积分方法求解，得到结构在不同时间点的位移和速度响应。这个例子说明了在非线性动力分析中，即使是最简单的系统也可能表现出复杂的动力学行为。6动力分析实例与应用6.1桥梁结构的动力分析6.1.1概述桥梁结构的动力分析是评估桥梁在动态载荷作用下响应的关键步骤。动态载荷包括车辆运动、风力、地震等，这些载荷可能引起桥梁的振动，影响其安全性和耐久性。动力分析通过建立桥梁的动力学模型，计算其在不同载荷下的振动特性，如固有频率、振型、阻尼比等，以及在载荷作用下的位移、速度、加速度和内力响应。6.1.2动力学模型建立桥梁的动力学模型通常基于有限元方法建立。该方法将桥梁结构离散为多个小的、简单的单元，每个单元的力学行为可以用简单的数学方程描述。单元之间通过节点连接，形成整个结构的力学模型。模型中需要考虑的参数包括材料属性、几何尺寸、边界条件和载荷条件。6.1.3代码示例以下是一个使用Python和scipy库进行桥梁结构动力分析的简化示例。假设我们有一个简支梁模型，长度为10米，两端固定，受到一个简谐载荷的作用。importnumpyasnp

fromscipy.linalgimportsolve

#定义材料和几何参数

E=2.1e11#弹性模量，单位：帕斯卡

I=1.5e-5#惯性矩，单位：平方米^4

m=1000#单位长度质量，单位：千克/米

L=10#梁的长度，单位：米

#定义载荷参数

F=10000#载荷幅值，单位：牛顿

w=10#载荷频率，单位：赫兹

#定义时间参数

t=np.linspace(0,1,1000)#时间向量，从0到1秒，1000个点

#动力学方程：m*u''+c*u'+k*u=F*sin(w*t)

#对于简支梁，k=(E*I)/(L^4)，c=0（假设无阻尼）

k=(E*I)/(L**4)

m=m*L#总质量

#建立动力学方程的矩阵形式

A=np.array([[m,0],[0,k]])

B=np.array([[0,-1],[1,0]])

C=np.array([[0],[F*np.sin(w*t[0])]])#初始载荷

#解动力学方程

u=solve(np.dot(A,B),C)

#计算位移响应

displacement=np.zeros_like(t)

fori,tiinenumerate(t):

C[1,0]=F*np.sin(w*ti)#更新载荷

u=solve(np.dot(A,B),C)

displacement[i]=u[0,0]

#输出位移响应

print(displacement)6.1.4解释此代码示例展示了如何使用scipy.linalg.solve函数求解桥梁结构的动力学方程。我们首先定义了材料和几何参数，然后建立了动力学方程的矩阵形式。通过迭代计算，我们得到了桥梁在简谐载荷作用下的位移响应。6.2高层建筑的风振控制6.2.1概述高层建筑在强风作用下会产生显著的振动，这不仅影响居住舒适度，严重时还可能威胁结构安全。风振控制技术旨在通过设计和实施控制策略，减少建筑在风载荷下的振动。常见的控制策略包括质量阻尼器、主动控制和被动控制等。6.2.2控制策略质量阻尼器：通过在建筑顶部或中间楼层安装质量阻尼器，利用其质量与建筑的振动产生相反的运动，从而消耗振动能量，减少建筑的振动。主动控制：使用传感器监测建筑的振动，通过计算机实时计算控制力，然后通过执行器施加控制力，以抵消风载荷引起的振动。被动控制：设计建筑的形状和结构，使其自然地减少风载荷的影响，如采用流线型设计、增加结构刚度等。6.2.3代码示例以下是一个使用Python和numpy库模拟质量阻尼器对高层建筑风振控制的简化示例。假设我们有一个20层的建筑，受到风载荷的作用，我们通过在顶部安装一个质量阻尼器来减少建筑的振动。importnumpyasnp

#定义建筑和质量阻尼器参数

num_floors=20

mass_building=1000000#建筑总质量，单位：千克

mass_damper=10000#质量阻尼器质量，单位：千克

stiffness=1e8#结构刚度，单位：牛顿/米

damping=1e6#结构阻尼，单位：牛顿*秒/米

wind_force=100000#风载荷，单位：牛顿

#定义时间参数

t=np.linspace(0,10,1000)#时间向量，从0到10秒，1000个点

#动力学方程：m*u''+c*u'+k*u=F*sin(w*t)

#对于建筑和质量阻尼器系统，我们有：

#m*u''+c*u'+k*u=F*sin(w*t)-m_d*u_d''

#m_d*u_d''+c_d*u_d'+k_d*u_d