2025年高考数学二轮复习：双变量问题【含答案】

专题19：双变量问题

1.已知函数f(x)=-Inx-ax2+x+l(tz>0).

（I）若/（尤）是定义域上的单调函数，求实数0的取值范围;

（n）若/（X）在定义域上有两个极值点玉…2,证明：/（^q）+f（x2）>5-2ln2.

【角翠析】(I)/(x)=-Inx-ax2+x+1,

令g(x)=2凉-兀+1(%>0)则4=1-8a

<2>0,/.对称轴％>0

4a

①当a.：时，A„0,1?(%)..0,

8

•，.f\x\,0,故f(x)在(0,+00)单调递减.

②当0<a,时，△>0,

8

方程2/_*+1=0有两个不相等的正根X,尤2

不妨设&<尤2，则当xe（0,%）U（X2+00）时，f（x）<0,

当Ke®,%））时，r（x）>0,这时不是单调函数.

综上，a的取值范围是a」.

8

（II）由（I）知，当4£（0令9了（九）有极小值点玉和极大值马，

/(再)+/(%)=—/叫—aXl+玉一I破2~滤+%2+2

=—+Inx2)一~(玉一1)一—(%2—1)+(玉+%)+2

——历(玉/)—(玉+々)+3=伍(2a)H---F35

24a

令g(a)=历(2a)+—+3,«G(0,-],

4a8

贝I]当aw(0,J时，g，(x)=---^-=^^L<0,

8a4a4a

：.g(a)在(o,3单调递减，

8

所以g(a)>g《)=5-2ln2,

故+f{x2)>5-2ln2.

2.已知函数f(x)=~-x+abvc(a>0)

(1)若。=1,求/⑺的图象在(1,f(1))处的切线方程;

(2)若/(尤)在定义域上是单调函数，求”的取值范围；

(3)若了(尤)存在两个极值点菁，x2,求证：/(%,)+/(x2)>一3+；力2.

【解析】(1)«=1,/(1)=-1,函数f(x)=不无2_x+alnx(a>0),

可得r(x)=x-l+L

X

..(⑴=1,

.•・切线方程为2x-2y-3=。；

(2)r(x)=x-l+-依题意有f1(x)..O或［⑺,,0在(0,+s)上恒成立,

X

22

即④—x+x或a..-x+x在(0,+oo)上恒成立，

显然④-炉+x不可能恒成立，

CI...一尤2+%,

解得a.」；

4

(3)S/,(x)=x-l+-,尸(x)=0得x2-X+Q=0,即%1,%是尸(x)=0的两根，

X

xxa

：.玉+工2=-19i2=9

12121211

xx=xnxx+xxx——

f(i)+f(2)i一%+a1i+万”2~2+al曲2=万(玉+x2)―(玉2)~i2+。/%/=—1^+=——-a+alna

9

由已知a<一,—ci>—ITICI>Iri—=-21rl2,

444

7C7c历2

cilnci>—2。例2>------,

2

£/、//、3+2历2

•■­/(再)+/(9)>------------

3.设函数y(x)—In---%2+QX[CI>0)■

ax

(1)若/⑴在定义域上为单调函数，求°的取值范围；

(2)设玉，%为函数/(%)的两个极值点，求了&)+/(%2)的最小值.

【解析】(1)((幻=-2龙~"+%>0,a>0)

X

设g(无)=2尤2-办+1.

①△=〃_8,,0,即0<a,,2应时，g(x)..O恒成立，0,

.J(x)在(0什)上为减函数；

②△>(),即a>20时，g(x)=0在(0,+oo)上有两相异实根，

，/(%)在(0,+8)上不是单调函数，不合题意，

综上，0<a„2后；

(2)由(1)知，Xj,%为2/-QX+1=0的两根，%+工2=m，芭*2=g

f(%)+/(%)=历~7%;++历~7/+CIX2=欣2—8ln(2H-----F1■

cCxxax24

设〃(a)=/〃2-8历a+d+l,则〃(a)=("4)("一4),

42a

:.h(a)在(2立，4)上单调递减,在(4,S)上单调递增，

:.h(a)min=h(4)=5—15加2,

/(X1)+/(X2)的最小值为5—15历2・

4.已知函数/（尤）=2/nx+^x2-G（a为常数）.

（1）若了⑴是定义域上的单调函数，求〃的取值范围；

（2）若/（x）存在两个极值点巧,x2,且1%-々I”。求的取

值范围.

【解析】（1）/（x）=2lnx+^x2-ax（x>0）,

“、2x2-ax+2

J（x）=—x—u=---------,

XX

设g（x）—ax+2,xe（0,+oo）,

是定义域上的单调函数，函数g（尤）的图象为开口向上的抛物线,

..广（工）..0在定义域上恒成立,即g（无）..0在（0,饮）上恒成立.

又二次函数图象的对称轴为片多且图象过定点（。,2）,

a

3”。或，2>,解得：a,,2A/2.

2[a2-8„0

实数”的取值范围为（-8,272];

（2）由（1）知/（x）的两个极值点再，马满足必—ox+2=0,

所以%・工2=2,xx+x2-a,

不妨设0<西<0<X2,则/（尤）在（占，多）上是减函数，

，/（%）>/（无2）,

•'-I/Ui）-/U2）l

=/（尤1）T（无2）

__12Zz_119、

=21nxi+——ax1—（2lnx2+—x2—ax2）

=一（%；—X2）—（X]+%2）（玉一X?）+21〃—-

2x2

2

=-（X2-V）+2Z«—

2x、

12

=—xj---2o—212nx2/+2历2,

2x2

令/=则，>2,又|菁-%21=%2-"—«19

x2

22

BPx2-x2-2,,0,解得夜<马,,2,:.2<t=x2,,4.

、/L12

双h(t)=-t----2lnt+21n2(2<t„4),

2t

则〃《)=与<>0⑺在(2,4]上单调递增，

2t

h(2)=0,h(4)=--2ln2,h(t)e(0,--2ln2],

22

BP|/(AI)-/(X2)|G(0,|-2Zn2],

所以|/(%)-/(%2)1的取值范围为)(0,|-2ZM2].

5.已知函数/(尤)=x2—1+a/n(l—x),aeR.

（I）若函数/（尤）为定义域上的单调函数，求实数〃的取值范围；

（II）若函数/⑺存在两个极值点%,且不＜%.证明：奴＞3.

x2玉

【解析】（I）函数的定义域为ED,求导：

r,...ci—2x2+2x—a

f(x)=2x-----=------------5%<1，

1-xl-x

令g(%)=—2f+2无一Q,贝=4—4(—2)(—〃)二4-8〃，

当4-8%0时，即则-2x2+2x-q,0恒成立，

则f（x）在（f,l）上单调减函数，

当4-8a＞0时，即a＜；,则-2x2+2x-a=0的两个根为王=--2a

1+J1-2。

X2~2，

当%£（-8,石）时,广（无）＜0,函数/⑺单调递减，

当xe（占，1）,r（x）＞0,函数了⑺单调递增，不符合题意，

综上可知：函数/⑴为定义域上的单调函数，则实数〃的取值范围［；,

+8）；

(II)证明：由函数有两个极值点，则/(x)=0,在x<l上有两个不等

的实根，

BP-2x2+2x—a=0,在x<\有两个不等式的实根，西，尤2，

贝|J=布1+4加(1―%)=(占-1)(々+1)+2芯々/及(1一%)=_(]+&)+2升历(1-公)，

x2x2x2

同理可得：,区)--(1+x2)+2x2ln(l-x2),

玉-

贝|J'(%)_AW=(/一玉)+2xjn(l一七)一2x2ln(l—x2),

x2%

=2X2-l+2(l-x2)Znx2-2x2ln(l—x2),

令g(%)=2x—1+2(1—x)lnx—2xln(l—x),xG(^,1)9

求导，g'(x)=—2ln[x(l—x)]+—+2',xe(—,1),

x1-x2

由％£(L1)5贝Ij2+遂土>0,贝lJg'(x)>09

2x1—x

则g(无)在尤e(；,1),上单调递增，

则g(x)>gg)=。,

贝|J/⑺)(%2)-0,

x2%

.•.班成立.

x2%

6.已知函数f(x)=lnx・

(1)若曲线g(x)=/(x)+q-1在点(2,g(2))处的切线与直线x+2y-1=0

X

平行，求实数a的值.

(2)若〃(x)=/(x)-运心在定义域上是增函数，求实数b的取值范围.

X+1

(3)设机、neR*,且,此"，求证：3<|加心则

m+n2

【解析】(1)g(x)=lnx+--l,g'(无)=一(2分)

XXX

g(x)在点(2,g(2))处的切线与直线x+2y-l=0平行，

gf(2)=---=--=>a=4(4分)

242

(2)证：由砥)=法-幺曰得：〃(x),"+D-gT)/+2(l*+l

X+lX0+1)2X(X+1)2

hkx｝在定义域上是增函数，.•.如)>0在(0,+(»)上恒成立

.•"+2”加+1>0,即b<1+2无+1恒成立㈠分)

2x

X2+2x+1X11cX1rc

---------=-+—+1..2J-.—+1=2

2x22xV22x

当且仅当，时，等号成立

22x2

：.b„2,即6的取值范围是(-8,2](8分)

(3)证：不妨设m>n>0,贝

n

2(J)

要证2<1妈也I,即证巴口<妈也，即j_<1心(10分)

m+n2m+n2—+1n

n

设h(x)=bvc-2。T)(x>1)

x+1

由(2)知/z(x)在(1,+oo)上递增，:.h(x)>h(1)=0

2(--1)

故/心一__>0,.2〈产”叫成立(12分)

n生+]m+n2

n

7.已知函数o(x)=Inx・

（1）若曲线@（%）=°（%）+色-1在点（2,g（2））处的切线与直线3%+丁-1=0

x

平行,求°的值;

（2）求证函数小）=°（x）-生心在（0M）上为单调增函数;

X+1

（3）设加，nwR.,且加内，求证：m~n<|Inm—Inn

m+n—2—，

【解析】⑴g(x)=°(x)+—-1=Inx+—-l(x>0),g'(x)=---(x>0),

XXXX

曲线g(x)=°(x)+@-l在点(2,g(2))处的切线与直线3%+y-l=0平彳丁,

x

gf(2)=———=—3,解得a=14；

24

(2)证明：/(%)=0(元)———=Inx-~—(x>0),

x+1x+1

.,7、」25+1—1)(I)?

"/W~x(%+1)2一x(x+l)2'

；・函数/W=在(0,内》上为单调增函数；

X+1

(3)不妨设m>n>0贝

9n

m—n.Inm—Inn,

芟【止---<1——-——I,

m+n2

即证m-n<Inm—Inn

m+n21

--1In-2(--1)

只需证与一<即证/心〉」

生+]2几且+]

nn

、2(--1)

只需证伍生——-——>0,

〃-+1

n

设h(x)=府-2QT)(X>D,

X+1

由(2)得，/)在(1,+00)上是单调增函数，

x>l,/.h(x)>h(1)=0,

2(--1)

即庐一」—>0,

〃-+1

n

即।m-n<Inm—Inn

m+n2

...不等式s〈产”S成立.

m+n2

8.已知函数/(尤)=铛在点(T,/(f)处的切线方程为x+y+3=o.

X+1

(I)求函数/(尤)的解析式；

(II)设g(x)=Inx,求证：g(x)../(x)在无£[1,+oo)上恒成立;

(Ill)已知0<a<b,求证：Inb—Ina〉2a

b-acib

【解析】（I）将x=T代入切线方程得y=-2

化简得=T

q/.a(x2+1)-(cue+b)»2x

/w=~

,2a+2(。一a)2bb

J(-1)=----------------=一=一

442

角星彳导：a=2,b=—2.

2x-2

/(%)

x2+1

（ID由已知得圆…2=在［i,+oo）上恒成立

X+1

化简，+l)lnx..2x-2

即x2lnx+live-2x+2..0在［1,+oo)上恒成立

设h(x)=x2lnx+Znx-2x+2,

hr(x)=2xlnx+x+——2

x

X..1

2x/nx®,x+—2,

x

即〃(%)..0

:.h(x)在［1,+8)上单调递增，h(x)..h(1)=0

・•.g(x)..f(x)在xw［l,+00)上恒成立

(III)0vav〃

”1

a

2--2

由(n)知有—

a昌2+1

a

束攵壬里得Inb—Ina2a

a1+b2

IP八7n-4-Inb—lnala

・.刍OVQVZ?时，-----＞一~~7

b—QQ+Z?

9-已知函数f(x)=Inx+mx(m为常数).

(1)讨论函数/(尤)的单调区间；

(2)当黑,一半时，设g(x)=/(x)+]2的两个极值点X],%2(X<九2)，恰为

h(x)=21nx-ax—x2的零点，求y=(占-%)〃(二三)的最小值.

【解析】(1);(元)二+〃?=必，.>0,

XX

当m<0时，由l+mx>0解得尤<.L

9m

即当。<尤<-工时，­(x)>0,/(x)单调递增；

m

由1+mxvO解得%>一~-,即当%>^时,f\x)<0,/(%)单调递减；

mm

当相=0时，f(x)=->0,即/(%)在(0收)上单调递增；

x

当相>0时，l+mx>0,故/(%)>0,即/(%)在(0,y)上单调递增.

所以当相<0时，/⑴的单调递增区间为(。，-l)，单调递减区间为(--,+00)；

mm

当利..0时，/(尤)的单调递增区间为(O,-Kx)).

(2)由g(x)=Inx+mx+—x2g'W=—+m+x=X+mx+^,

2xx

由已知12+如+1=0有两个互异实根玉5%2,

由根与系数的关系得%+9=~m9%逮2—19

因为玉，工2(XV尤2)是4(%)的两个零点，

2

故h{xx)=2lrvc{-Xy—axx=Q①/z(x2)=2lruc2-x2-ax2=0②

由②-①得：Un——(x2一%之)_〃(%2—%)=0,

王2一一

21rl红

解得”———-(x2+x,),

x2-X]

因为“（2-2…，得旗4）=--2二±三-

、,尤2%+/2

2/zA

将。=-—^--（%+%）代入得：

x2—xi

21〃包

=—--2.^4^-[—--（%+%）]

2%1+%22%2一百

2bl红（殳-1）

=------^+-J—=——?_[/“三一=__?_[山三_2^],

x2一玉玉+x2x2—Xr石Xy+x2%2—%%1X2i

上1

所以y二（%一入2）〃（刍："）=2[ln--2———],

一2%强+]

=

设/=迨〉1,因为（玉+%2）2=玉2+々2+2玉％根?..2,

%.2

22

所以必+江三，所以王二=五+至5

2玉％2X2X13'

所以r+L2,所以（.2.

t2

构造尸"）=/〃”2弓，得F«）=[=

t+1t«+1）z（/+l）2

则/⑺=/加-23在[2,+⑹上是增函数，

t+1

所以F{x}min=F⑵=ln2一三1即y=（玉一%）〃（"；/）的最小值为21n2-g-

10.已知函数f（x）=Inx—mx（jneR）.

(I)讨论函数/⑴的单调区间；

(II)当血…之坐时,设g(%)=2/(x)+%2的两个极值点xx,x2(玉<x2)恰为

h(x)=Inx-ex2—bx的零点，求丫=(%-%)〃(胃)的最小值.

【解析】(/)函数f{x)=lnx-mx,/.fXx)=--m=-——,x>0；

xx

当m>0时，由1-mx>0解得x<L,

m

即当0<x<，时，r(x)>0,了⑺单调递增；

m

由1—mx<0解得即当尤>工时，r（x）<o,7（尤）单调递减；

mm

当〃z=0时，r（x）=->0,即/（x）在（0,a）上单调递增；

X

当“7<0时，1-血>0,故尸（尤）>0,即/（尤）在（0,+00）上单调递增；

当〃>0时，"X）的单调递增区间为（0一），单调递减区间为己，+8）；

m