高考理数一轮课件4第四章三角函数解三角形24-第七节正弦定理和余弦定理

第七节

正弦定理和余弦定理总纲目录教材研读1.正弦定理和余弦定理考点突破2.解三角形3.三角形面积考点二利用正弦、余弦定理判断三角形的形状考点一利用正弦、余弦定理解三角形考点三与三角形面积有关的问题教材研读1.正弦定理和余弦定理2.解三角形在△ABC中,已知a、b和A时,解的情况如下:

上表中,若A为锐角,当a<bsinA时无解;若A为钝角或直角,当a≤b时

无解.

A为锐角A为钝角或直角图形

关系式a=bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的个数

一解

两解

一解

一解

3.三角形面积设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,面积为S.(1)S=

ah(h为边a上的高).(2)S=

absinC=

acsinB

=

bcsinA.1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若sin(A+B)=

,a=3,c=4,则sinA=

()A.

B.

C.

D.

B答案

B在△ABC中,sinC=sin(A+B)=

,由

=

得sinA=

,故选B.2.已知a,b,c分别是△ABC三个内角A,B,C的对边,b=

,c=

,B=

,那么a等于

()A.1

B.2

C.4

D.1或4C答案

C在△ABC中,由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB,即7=a2+3-2a×

×cos

,所以a2-3a-4=0,解得a=4或a=-1,又因为a>0,所以a=4.故选C.3.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=

,则△ABC的面积是

()A.3

B.

C.

D.3

C答案

C

c2=(a-b)2+6即c2=a2+b2-2ab+6①.由C=

及余弦定理得c2=a2+b2-ab②,由①和②得ab=6,∴S△ABC=

absinC=

×6×

=

,故选C.4.(2017北京朝阳一模,10)在△ABC中,A=

,BC=3,AB=

,则C=

.答案

解析根据正弦定理得

=

,∴

=

,∴sinC=

,∴C=

或

(舍去).5.(2017北京房山一模,10)在△ABC中,a=4,b=

,c=

,则角B=

.答案

解析由题意可得cosB=

=

=

,∴B=

.6.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=4,sinC=2sinA,sinB=

,则a=

2

,S△ABC=

.答案2;

解析∵sinC=2sinA,∴c=2a=4,∴a=2,∴S△ABC=

×2×4×

=

.考点一利用正弦、余弦定理解三角形考点突破典例1

(2017北京东城一模,15)在△ABC中,∠C=

.(1)若c2=5a2+ab,求

;(2)求sinA·sinB的最大值.解析(1)由余弦定理及已知得c2=a2+b2-2ab·cos

=a2+b2+ab=5a2+ab,所以b2=4a2,所以b=2a.由正弦定理

=

,得

=

,所以

=2.(2)由已知得A+B=

,所以sinA·sinB=sinA·sin

=sinA·

=

sin2A+

cos2A-

=

sin

-

.因为0<A<

,所以

<2A+

<

,所以当2A+

=

,即A=

时,sinA·sinB取得最大值

.易错警示解有关三角形的题目的注意事项(1)在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更适合,或是

两个定理都要用,要抓住能够利用某个定理的信息.一般地,如果式子中

含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的

正弦或边的一次式,要考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑

两个定理都有可能用到.(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角范围的限制.1-1

(2018北京海淀高三期末,15)如图,在△ABC中,点D在AC边上,且

AD=3DC,AB=

,∠ADB=

,∠C=

.(1)求DC的值;(2)求tan∠ABC的值.

解析(1)∠DBC=∠ADB-∠C=

-

=

,故∠DBC=∠C,DB=DC.设DC=x,则DB=x,DA=3x.在△ADB中,由余弦定理得AB2=DA2+DB2-2DA·DB·cos∠ADB,即7=(3x)2+x2-2·3x·x·

=7x2,解得x=1(舍负),即DC=1.(2)在△ADB中,由余弦定理得cos∠ABD=

=

=-

,又∠ABD∈(0,π),故sin∠ABD=

,故tan∠ABD=-3

.故tan∠ABC=tan

=

=

=-

.典例2设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=

asinA,则△ABC的形状为

()A.锐角三角形

B.直角三角形C.钝角三角形

D.不确定考点二利用正弦、余弦定理判断三角形的形状B答案

B解析由已知及正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin2A,即sin(B+C)=sin2A,又sin(B+C)=sinA,∴sinA=1,∴A=

.故选B.解析由已知及正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin2A,即sin(B+C)=sin2A,又sin(B+C)=sinA,∴sinA=1,∴A=

.故选B.方法技巧判断三角形形状的常用技巧若已知条件中有边又有角,则(1)化角为边:利用正弦定理、余弦定理、因式分解、配方等得出边的

关系,从而判断三角形的形状.(2)化边为角:利用正弦定理、余弦定理、三角恒等变形得出内角的关

系,从而判断三角形的形状.此时要注意应用“△ABC中,A+B+C=π”这

个结论.2-1若将本例条件中的“bcosC+ccosB=asinA”改为“2sinAcosB=

sinC”,试判断△ABC的形状.解析解法一:2sinAcosB=sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,即sin(A-B)=0,因为-π<A-B<π,所以A=B,故△ABC为等腰三角形.解法二:由条件及正弦定理得2acosB=c,再由余弦定理得2a·

=c⇒a2=b2⇒a=b,即△ABC为等腰三角形.2-2若将本例条件中的“bcosC+ccosB=asinA”改为“acosA=bcosB”,试判断△ABC的形状.解析由条件及正弦定理,得sinAcosA=sinBcosB⇒sin2A=sin2B,又A、B均为△ABC的内角,所以2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B=

.所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.典例3

(2017北京朝阳二模,15)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,

且b=c,2sinB=

sinA.(1)求cosB的值;(2)若a=2,求△ABC的面积.考点三与三角形面积有关的问题解析(1)因为2sinB=

sinA,所以2b=

a.所以a=

,又b=c,所以cosB=

=

=

.(2)因为a=2,所以b=c=

,又因为cosB=

,所以sinB=

.所以S△ABC=

a·c·sinB=

×2×

×

=

.规律总结(1)求三角形ABC的面积时,常用公式S=

absinC=

acsinB=

bcsinA,一般根据已知角具体选择.(2)解决与面积有关的问题,一般要利用正弦定理、余弦定理进行边和

角的转化.3-1

(2018北京朝阳高三期中,17)在△ABC中,A=

,

=

.(1)试求tanC的值;(2)若a=5,试求△ABC的面积.解析(1)因为A=

,

=

,所以

=

=

,所以7sinC=3

sin

,所以7sinC=3

,所以7sin