北师大版七年级数学上册讲义-有理数（解析版）

第01讲有理数

学习目标

1.掌握正数和负数的数学含义;

2.掌握“0”的含义，能够正确理解“0”的含义;

3.掌握有理数的概念及分类;

4.能够正确的判断有理数的分类.

思维导图

知识点01正数和负数

正数：比—大的数；负数：在正数前面加上的数，既不是正数，也不是负数.

【答案】0；负号；0.

知识点02相反意义的量

(1)在同一个问题中，用“+”和表示具有相反意义的量；

(2)若没有规定哪个量为正或负，习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等记为,把“后退、下降、

支出、零下温度”等记为;相反意义的量一是意义,二是要有数量.

【答案】+;相反.

知识点03有理数的分类

［正整数［占她将

卜自然数

整数＜。/

（1）按照性质分类：有理数负整数

‘正分数

分数

负分数

［工右钿*J正整数

正有理数

［正分数

（2）按照符号分类：有理数0

负有理数1普

［负分数

,有限小数-»可化为分数，是有理数

（3）小数分类：小数二口口,米/无限循环小数f可化为分数，是有理数

无限小数4

［无限不循环小数f不可化为分数，是有理数

和统称为非负数；和统称为非正数.

【答案】正数；0；负数；0.

题型精讲

题型01正负数的意义

【典例1】（2023•广西•统考中考真题）若零下2摄氏度记为-2。（2,则零上2摄氏度记为（）

A.-2℃B.0℃C.+2℃D.+4℃

【答案】C

【分析】根据正负数的实际意义可进行求解.

【详解】解：由题意可知零上2摄氏度记为+2。（2；

故选C.

【点睛】本题主要考查正负数的意义，熟练掌握正负数的意义是解题的关键.

，【变式1］（2023,广西南宁•统考二模）在-2,0,0.5,3四个数中，是负数的是（）

A.-2B.0C.0.5D.3

【答案】A

【分析】根据负数的定义即可求解.

【详解】解：由题意得，在-2,0,0,5,3四个数中，是负数的是-2,

故选A.

【点睛】此题主要正负数的定义，解题的关键是熟知负数的定义.

【变式2］（2023秋•广东肇庆•七年级统考期末）中国是世界上最早认识和应用负数的国家，比西方早一千

多年，在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，首次引入负数，如果收入100元记作+100元，贝55元

表示（）

A.支出45元B.收入45元C.支出55元D,收入55元

【答案】C

【分析】根据具有相反意义的量分析即可求解.

【详解】解：收入100元记作+100元，贝厂55元表示支出55元，

故选：C.

【点睛】本题考查了具有相反意义的量，理解负数表示相反意义的量是解题的关键.

题型02相反意义的量

【典例1】（2023•福建•统考中考真题）某仓库记账员为方便记账，将进货10件记作+10,那么出货5件应

记作.

【答案】-5

【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示.

【详解】解：回"正"和"负"相对，

团进货10件记作+10,那么出货5件应记作-5.

故答案为：-5.

【点睛】本题主要考查了正数和负数，理解"正"和"负"的相对性，确定一对具有相反意义的量是解题关键.

【变式1］（2023春・上海宝山•六年级校考期中）若将"收入100元"记为"+100"元，则"支出400元"可记为

__________兀・

【答案】-400

【分析】根据"正"和"负"是表示互为相反意义的量解答即可.

【详解】解:回"收入100元”记为"+100”元，

贝广支出400元"可记为"-400”元，

故答案为：-400.

【点睛】本题考查了正数和负数的定义.解本题的根据是掌握正数和负数是互为相反意义的量.

【变式2］（2023春•上海松江•六年级统考期中）如果体重减少2千克记作"-2千克"，那么"增重2千克"表

示千克

【答案】+2

【分析】根据正负数的意义进行解答即可.

【详解】解：如果体重减少2千克记作"-2千克"，那么"增重2千克”表示+2千克.

故答案为：+2.

【点睛】本题主要考查了相反意义的量，解题的关键是理解题意，掌握具有相反意义的量.

题型03正负数的实际应用

【典例1】(2023•甘肃武威•统考中考真题)近年来，我国科技工作者践行"科技强国"使命，不断取得世界级

的科技成果，如由我国研制的中国首台作业型全海深自主遥控潜水器"海斗一号"，最大下潜深度10907米,

填补了中国水下万米作业型无人潜水器的空白；由我国自主研发的极目一号国型浮空艇"大白鲸”，升空高度

至海拔9050米，创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界记录.如果把海平面以上9050米记作

"+9050米"，那么海平面以下10907米记作“米”.

【答案】-10907

【分析】根据正负数表示相反的意义解答即可.

【详解】解：把海平面以上9050米记作"+9050米"，则海平面以下10907米记作-10907米，

故答案为：-10907.

【点睛】此题考查了正负数的理解：在一个事件中，规定一个量为正，则表示相反意义的量为负，正确理

解正负数表示一对相反的意义的量是解题的关键.

【变式1](2023•浙江•七年级假期作业)一袋食品的包装袋上标有300g±5g的字样，它的含义是.

【答案】这袋食品的质量与标准质量300g相比，超重不超过5g,不足也不超过5g

【分析】利用生活中的数学知识，利用土表示比标准质量可能多也可能少解决本题即可.

【详解】解：±5表示比300g超重不超过5g,不足也不超过5g.

故答案为：这袋食品的质量与标准质量300g相比，超重不超过5g,不足也不超过5g.

【点睛】本题考查了有理数中正负数的实际应用，把正数和负数与日常生活相联系是解答本题的关键.

【变式2](2023秋•安徽亳州•七年级统考期末)某商店出售的一种袋装大米，在包装上标有：10(kg)±0.1(kg),

这袋大米最轻的重量是kg.

【答案】9.9

【分析】根据正负数的意义计算即可.

【详解】团包装上标有：10(kg)±0.1(kg),

回这袋大米最轻的重量是W(kg)-O.l(kg)=9.9(kg).

故答案为：9.9.

【点睛】本题考查了正负数的意义，正确理解是解题的关键.

题型04有理数的概念

22

【典例1】(2023春•黑龙江哈尔滨•七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习)在-3.5,亍，0.3070809,

0,万中，有理数有()个.

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】根据有理数的定义，即可求解，分数与整数统称为有理数.

【详解】解：在一3.5,—,0.3070809,0,万中，有理数有—3.5,—,0.3070809,0,共4个

77

故选：C.

【点睛】本题考查了有理数的定义，理解有理数的定义是解题的关键.

【变式1】（2023春•上海•六年级专题练习）在数万，0,0.13,3.1415926,25中，有理数有（）个.

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】根据有理数的概念进行解答.

【详解】解：兀不是有理数；

0,25,是整数，属于有理数；

是分数，属于有理数；

0.13,3.1415926,是有限小数，属于有理数；

故有理数有0,0.13,3.1415926,25,共5个.

故选：D.

【点睛】本题考查的是认识有理数问题，关键是能判断一个数是否是有理数.

【变式2］（2023,全国•七年级假期作业）下列各数中，负有理数有（）个

42

—1,2.5,H—，0,—n,120,—1.732,—

37

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根据负有理数的分为负整数和负分数，逐一进行判断即可得到答案.

2

【详解】解：负有理数有-1、-1.732、共3个，

故选C.

【点睛】本题考查了有理数分类，解题关键是掌握负有理数包括负整数和负分数.

题型050的意义

【典例1】（2023・浙江•七年级假期作业）下面关于0的说法，正确的是（）

A.0既不是正数也不是负数B.0既不是整数也不是分数

C.。不是有理数D.0的倒数是0

【答案】A

【分析】依据倒数，有理数相关概念以及有理数分类判断即可.

【详解】A.0既不是正数，也不是负数，故此选项正确，符合题意；

B.0是整数，不是分数，故此选项错误，不符合题意；

C.。是有理数，故此选项错误，不符合题意；

D.0不存在倒数，故此选项错误，不符合题意.

故选A.

【点睛】本题考查了有理数，0是重要的数字，掌握有理数的相关概念和分类是解题的关键.

【变式1】（2023秋,全国•七年级专题练习）下列结论中正确的是（）

A.0既是正数，又是负数B.0是最小的正数

C.0是最大的负数D.0既不是正数，也不是负数

【答案】D

【分析】根据。这个实数的相关知识，进行判断即可.

【详解】解：0既不是正数，也不是负数；

。是整数，也是有理数；

。是最小的自然数；

。还是正数和负数的分界线；

故选：D.

【点睛】本题考查了有理数0的相关知识，熟知：①既不是正数，也不是负数；②是整数，也是有理数;

③是最小的自然数；④是正数和负数的分界；是解本题的关键.

【变式2]（2023秋•云南昭通•七年级校考阶段练习）下列说法正确的是（）

A.整数就是自然数B.。不是自然数

C.正数和负数统称有理数D.0是整数而不是负数

【答案】D

【分析】根据有理数的分类即可作出判断.

【详解】4、整数为正整数，。及负整数，自然数为正整数与0,说法错误，不符合题意，此选项错误；

8、0是自然数，说法错误，不符合题意，此选项错误；

C、正数，0和负数统称为有理数，说法错误，不符合题意，此选项错误；

。、0是整数而不是负数，说法正确，符合题意，此选项正确.

故选：D.

【点睛】本题考查了有理数，掌握有理数与自然数和整数的区别，以及。的意义是本题关键.

题型06有理数的分类

【典例1]（2023•江苏•七年级假期作业）请把下列各数填入相应的集合中:

1225

5.2,0,—,-22,2005,-0.3030030003—,——.

273

正数集合：{...};

分数集合：｛...｝;

整数集合：｛...｝;

有理数集合：｛...｝.

1qr\r\c

【答案】一，5.2,—，2005；—95.2,—,—；0,—22,2005；—,5.2,0,—，—22,2005,—.

27273273

【分析】根据有理数的分类，可得答案.

1?25

【详解】解：5.2,0,―,—22,2005,-0.3030030003-,

1?2

正数集合：｛-,5.2,―,2005,.•.）；

分数集合：｛j15.2,?y2,5

整数集合：｛0,-22,2005,

1?25

有理数集合：｛5，520,,—22,2005,——,•••）.

jr\r\«QQq

故答案为：—,5.2,—,2005；—,5.2,—,――；0,—22,2005；—,5.2,0,—,—22,2005,——.

27273273

【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握各自的定义是解本题的关键.

213

【变式1］（2023•江苏•七年级假期作业）把下列将数填入相应的集合中：-23,0.5,28,0,4,1,

【答案】见解析

【分析】根据有理数的分类解答即可.

【详解】解：如图所示：

负数集合分数集合

【点睛】本题考查了有理数，掌握有理数的分类是解答本题的关键.

n?2

【变式2](2023•全国•七年级假期作业)把下列各数分别填入相应的集合内：2,-3.14,-5,―,

-0.1212212221...,

⑴正数集合：｛…｝;

⑵负数集合：｛...｝;

(3)整数集合：｛…｝；

(4)分数集合：｛...｝；

【答案】⑴2,In，-22

(2)-3.14,-5,-0.1212212221...

(3)2,-5

22

⑷-3.14,—

【分析】根据有理数的分类方法求解即可.

rr22

【详解】(1)解：正数有：2,y,―,

n22

故答案为：2,y；

(2)解：负数有：-3.14,-5,-0.1212212221...；

故答案为：-3.14,-5,-0.1212212221...；

(3)解：整数有：2,-5；

故答案为：2,-5；

22

(4)解：分数有：-3.14,—；

22

故答案为：-3.14,y.

【点睛】本题主要考查了有理数的分类，熟知有理数的分类方法是解题的关键.

题型07带“非”字的有理数

【典例1】(2023•江苏•七年级假期作业)把下列各数-1.5,0,-0.101,3,-5填在相应集合里.

非正数集合：｛.•.)；

分数集合：｛-｝;

整数集合：｛

【答案】一1.5,0,-0.101,-5；-1.5,-0.101；0,3,-5.

【分析】根据有理数的分类逐个分析判断即可求解.

【详解】非正数集合：｛-L5,0,-0.101,-5…｝;

分数集合：｛一1.5,-0.101...)；

整数集合：｛0,3,-5...｝.

故答案为：-1.5,0,-0.101,-5；-1.5,-0.101；0,3,-5.

【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键.

【变式1](2023・浙江•七年级假期作业)把下列各数填入相应集合的括号内.

1171

+6.5—2—,0.5,0,—3.2,13,—9,5—,—1,—3.6,一

323

⑴正分数集合：｛

(2)整数集合：｛

(3)非负数集合：｛...).

【答案】⑴+6.5,0.5,51；

(2)0,13,-9,-1；

171

(3)+6.5,0.5,0,13,5-,y.

【分析】(1)根据正分数的定义：比。大的分数叫正分数，正数前面常有一个符号通常可以省略不写,

据此逐一进行判断即可得到答案；

(2)根据整数的定义：整数是正整数、零、负整数的集合，据此逐一进行判断即可得到答案；

(3)根据非负数的定义：正数和零总称为非负数，据此逐一进行判断即可得到答案

【详解】(1)解：根据正分数的定义，正分数有：+6.5,0.5,5^,

2

故答案为：+6.5,0.5,51；

(2)解：根据整数的定义，整数有：0,13,-9,-1,

故答案为：0,13,-9,-1；

1TT

(3)解：根据非负数的定义，非负数有：+6.5,0.5,0,13,5-,

23

、17T

故答案为：+6.5,0.5,0,13,5—,—.

【点睛】本题考查了有理数的分类，解题关键是理解正分数，整数，非负数的定义，并正确区别.

【变式2](2023・江苏•七年级假期作业)请把下列各数填在相应的集合内：k-5,0.34,-2：,20,-1,

z2

0.

正数集合｛......｝;

负整数集合｛……｝;

整数集合｛......｝;

分数集合｛......｝;

非正数集合｛……｝;

非负整数集合｛……｝.

【答案】0.34,20；-5,-1；-5,0,20,-1；0.34,-21；-5,-2^,0,-1；0,20.

【分析】根据有理数的分类逐个分析判断即可求解.

【详解】正数集合0.34,20,

负整数集合上5,-1,

整数集合「5,0,20,-1,•••）；

分数集合0.34,-2；,…｝;

非正数集合｛-5,-2《，0,-1,...）；

非负整数集合｛0,20,...）.

故答案为：~0.34,20；—5,—1；—5,0,20,—1；0.34,—2—；—5,-2—,0,—1；0,20.

【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键.

强化训练

一、选择题

1.（2023•江西•统考中考真题）下列各数中，.聚藜是（）

A.3B.2.1C.0D.-2

【答案】A

【分析】根据有理数的分类即可求解.

【详解】解：3是正整数，2」是小数，不是整数，。不是正数，-2不是正数,

故选：A.

【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键.

2.（2023春•黑龙江绥化•六年级校考阶段练习）下列说法正确的是（）

A.。既是正数又是负数B.0是最小的正数

C.0既不是正数也不是负数D.0是最大的负数

【答案】C

【分析】根据有理数的分类判断即可.

【详解】00既不是正数也不是负数，

故选C

【点睛】本题考查了零的属性，熟练掌握。既不是正数也不是负数是解题的关键.

3.（2023•湖南•统考中考真题）中国是最早采用正负数表示相反意义的量、并进行负数运算的国家.若收入

500元记作+500元，则支出237元记作（）

A.+237元B.-237元C.0元D.-474元

【答案】B

【分析】根据相反意义的量的意义解答即可.

【详解】国收入500元记作+500元，

国支出237元记作-237元，

故选民

【点睛】本题考查了相反意义的量，正确理解定义是解题的关键.

732

4.（2023春•上海宝山•六年级校考阶段练习）在下列各数：-15,13,0,1,—,-丁一万，2—,0.36中，

负有理数的个数是（）

A.2个艮3个C.4个D5个

【答案】A

【分析】根据负有理数的定义进行逐一判断即可.

3

【详解】解：-15,-t是负有理数；

732

13,0,1,—,-2-,0.36都是正有理数；

一万不是有理数；

故选A.

【点睛】本题主要考查了有理数的分类，熟知负有理数的定义是解题的关键.

5.（2023•湖南永州•统考中考真题）我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有"今两算得失相反，

要令正负以名之“、如：粮库把运进30吨粮食记为"+30”,贝「-30”表示（）

A.运出30吨粮食B.亏损30吨粮食C.卖掉30吨粮食D.吃掉30吨粮食

【答案】A

【分析】根据题意明确"正"和"负"所表示的意义，再根据题意即可求解.

【详解】解：粮库把运进30吨粮食记为"+30”,贝广-30”表示运出30吨粮食.

故选：A

【点睛】本题考查了正负数的意义，理解"正"和"负"分别表示相反意义的量是解题关键.

二、填空题

6.（2023・全国•七年级假期作业）在有理数-3,0,-1.2,5中，分数有,非负整数有.

【答案】-1.20,5

【分析】根据有理数的分类进行填空即可.

【详解】分数有：-1.2；

非负整数有：0,5.

故答案为：-1.2；0,5.

【点睛】本题考查的是有理数，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义

与特点，注意整数和正数的区别，注意。是整数，但不是正数是解题的关键.

29

7.（2023・全国•七年级假期作业）有理数-1.7,-17,0,-5-,-1,,-0.001,2003中，负分数有

个.

【答案】4

【分析】根据“比。小的分数为负分数，小数可以化为分数"即可得出答案.

2o

【详解】解：负分数有：-1.7,-51,-j,-0.001,共4个，

故答案为：4.

【点睛】本题考查了有理数的分类，解题的关键是掌握负分数的定义.

8.（2023•浙江•七年级假期作业）如图是丹江口市2022年12月16日气象预报截图，预报显示当天最高气

温5回，最低气温-1回，这一天我市的温差是0.

【答案】6

【分析】直接根据正负数的意义计算即可.

【详解】团当天最高气温5囿最低气温-1囿

团这一天我市的温差是5-(-1)=6(0),

故答案为丘

【点睛】本题考查了正负数在现实生活的应用，熟练掌握正负数的意义是解答本题的关键.在一对具有相

反意义的量中，规定其中一个为正，则另一个就用负表示.

134

9.(2023•江苏,七年级假期作业)在数+8.3、-4,-0.8、--、0、90、-一、+24|中，是正数，

53------------

是整数，是分数.

134

【答案】+8.3、90V、0、90、-|-24|+8.3、-0.8、>-y

【分析】根据整数，正数，分数的概念求解即可.

【详解】一卜24|=-24,

正数：+8.3、90；

整数：T、0、90、-|-24|；

134

分数：+8.3、—0.8>—、---.

53

134

故答案为：+8.3、90；-4>0、90、-|-24|；+8.3、-0.8、>-y.

【点睛】此题考查了有理数的分类，整数，正数，分数的概念，解题的关键是熟练掌握整数，正数，分数

的概念.

10.(2023秋•吉林长春•七年级统考期末)中国人很早就开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的

方程一章，在世界数学史上首次引入负数.下图是小明家长11月份的微信账单，如果收入3377.51元记作

+3377.51元，那么支出5333.73元记作元.

月账单年账单月账单年账单

笫誉v支出眄其他2北誉7O收入其他

共收入16笔，共计共支出92笔，共计

¥3377.51¥5333.73

【答案】-5333.73

【分析】根据收入和支出表示的是一对相反意义的量，即可得到答案.

【详解】回收入3377.51元记作+3377.51元,

团支出5333.73元记作-5333.73元.

故答案为：-5333.73

【点睛】本题考查了利用正负数解决实际问题的能力，关键是能理解正负数是表示一对相反意义的量.

三、解答题

【答案】见解析

【分析】根据非正数就是负数和0,非负数就是正数和0,整数包含正整数，负整数和0解决即可.

【详解】解：答案如图所示:

非负数整数

【点睛】本题主要考查有理数的分类，熟练掌握非负数、整数、非正数的定义是解题关键.

12.(2023•全国•七年级假期作业)将下列各数填入相应的大括号内:

4122

—13,0.1,—2.23,+27,0,—,15%,—1—,—.

527

⑴正数：｛•｝;

(2)负数：｛…｝;

(3)既不是正数也不是负数：｛

【答案】⑴01，+27,15%,―；

4J

(2)—13,-2.23,——,-1—；

(3)0

【分析】根据大于零的数是正数，可得正数集合；根据小于零的数是负数，可得负数集合.

22

【详解】(1)正数｛0.1,+27,15%,

22

故答案为：0.1,+27,15%,y；

-41

(2)负数｛—13,—2.23,--,-1—...｝；

..41

故答案为：-13,-2.23,--,-1—；

(3)既不是正数也不是负数：｛0…｝;

故答案为：0；

【点睛】本题考查了有理数，利用了有理数的分类.

13.(2023春•四川自贡•七年级自贡市第一中学校考阶段练习)把下列各数分别填入相应的集合里

3

-5,---0,-3.14,23,-(-6),0.010010001……(每两个1之间依次多一个"0")

⑴负数集合：｛……｝；

⑵分数集合：｛……｝；

(3)非负整数集合：｛......｝

【答案】⑴-5,-3.14

3

(2)-“-3.14

(3)0,-(-6),23

3

【分析】先计算-工和-(-6),然后根据负数，分数，非负整数的概念求解即可.

【详解】(1)-(-6)=6,

负数集合：｛-5,-3.14)；

3

(2)分数集合：｛-彳，-3.14)；

(3)非负整数集合：｛0,-(-6),23｝.

【点睛】此题考查了有理数的分类，解题的关键是熟练掌握负数，分数，非负整数的概念.

13

14.(2023秋•七年级单元测试)把下列各数填入相应的大括号内：+5,4.2,0,-5.37,---3

27

⑴自然数：｛...｝；

(2)整数：｛

(3)正分数：｛...｝；

(4)负有理数：｛...｝.

【答案】⑴+5,0

⑵+5,0,—3

（3）4.2,1

（4）--,-5.37,-3

2

【分析】根据自然数、整数、正分数、负有理数的定义即可得到结果.

【详解】（1）解：自然数有：+5,0；

故答案为：+5,0；

（2）解：整数有：+5,0,-3；

故答案为：+5,0,-3；

3

（3）解：正分数有：4.2,--

3

故答案为：4.2,—；

（4）解：负有理数有：-g,-5.37,-3；

故答案为：—5.37,—3.

【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握自然数、整数、正分数、负有理数的定义是解题的关键.

15.（2023春•云南普洱•七年级普洱一中校考开学考试）把下列各数填入相应的括号内：

34

1,-一,0,0.89,-9,-1.98,—,+102,-70,15%.

自然数:

负整数：｛

正分数：｛

负有理数:

43

【答案】1,0,+102；-9,-70；0.89,—,15%；-9,-1.98,-70；