2023年广东省肇庆市高考数学模拟试卷及答案解析

2023年广东省肇庆市高考数学模拟试卷

选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1.（5分）已知，为虚数单位.若二=黑，则复数z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.（5分）”xW3”是“X2-7X+12》0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.（5分）△NBC中，点”为NC上的点，且力M=5MC,^BM=XBA+[iBC,贝以-p的值

是（）

4.（5分）在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据:

X-2-1123

y0.240.512.023.988.02

在以下四个函数模型（a,b为待定系数）中，最能反映x,y函数关系的是（）

A.y—a+bxB.y-a-V-C.y—a+\o§,bxD.y—a+lf

5.（5分）假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响.若在两次射击

I6

中至多命中一次的概率是云，则该射手每次射击的命中率为（）

9233

A.—B.=C.一D.一

25554

6.（5分）已知（1+x）I°=QO+QI（2+X）+。2（2+x）2+--•+mo（2+x）10,则49=（）

A.-10B.10C.-45D.45

7.（5分）正方体棱长为4,点E为边5C的中点，动点M在正方体表面

上运动，并且总保持则动点〃的轨迹的周长为（）

A.3V2B.6C.6V2D.12V2

11

8.（5分）已知函数/（x）=ln（/+1）-2Xf若。=/（，。04可），b=f（log56）,c=f（log64）,

则a,b,c的大小关系正确的是（）

A.b>a>cB.a>b>cC.c>b>aD.c^>a>b

二.多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）

第1页共17页

9.（5分）如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A,Bi,比为椭圆的顶点，F为

右焦点，延长治尸与481交于点P，若/囱尸均为钝角，则该椭圆的离心率可能为（）

1

D.

4

TT

10.（5分）已知向量。=（2,1）,b=（-3,1）,贝I」（

-»-»

A.（。+b）_LQ

B.|a+2b|=5

c.向量会在向量力上的投影是苧

D.向量就勺单位向量是（等，络）

11.（5分）若直线ax+力=0与圆，+产_4工+2=0有公共点，则（）

A.Ina^zlnbB.|a|W|b|

C.（〃+b）（6Z-b）WOD.aWb

12.（5分）已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M、N,若线段MN的最小值为百-1,

则（）

A.正方体的外接球的表面积为12n

47r

B.正方体的内切球的体积为三

C.正方体的棱长为2

D.线段的最大值为2百

三.填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13.（5分）已知集合/={x|x>0},5={x|x2^1},贝!.

14.（5分）已知公差不为0的等差数列{斯},满足。8。14=。4。10,且数列{即}的前〃项和S”

的最大值为48,则该数列的公差"=.

15.（5分）某医疗队甲、乙、丙等8名护士站成一排照相，其中甲、乙2人之间要站2人，

乙、丙2人之间也要站2人，则共有种不同的排列方式.（用数字作答）

第2页共17页

16.（5分）若曲线。：夕=^2（。>0）与曲线C2：y="存在公切线，则a的取值范围为.

四.解答题（共6小题，满分70分）

17.（10分）在△/BC中，角/、B、C所对的边分别为a,b,c,且6-c=l,cosA=

AABC的面积为2VL

（I）求a,b,c的值；

（II）求cos（2C+/）的值.

18.（12分）如图，正方体/BCD-H夕。。的棱长为4,点E、F为棱CD、的中点.

（1）求证：C尸〃平面"ED'；

（2）求直线皮£到平面NCF所成角的正弦值.

19.（12分）已知正项等比数列｛斯｝的前〃项和为S“，ai=2,2s2=及+。3.

（1）求数列｛斯｝的通项公式；

（2）设bn=萼1,求数列｛d｝的前〃项和.

20.（12分）某校高一年级组织“知识竞答”活动.每位参赛者第一关需回答三个问题，第

一个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得20分，回答错误

得-10分；第三个问题回答正确得30分，回答错误得-20分.规定，每位参赛者回答

这三个问题的总得分不低于30分就算闯关成功.若某位参赛者回答前两个问题正确的概

21

率都是］回答第三个问题正确的概率是5,且各题回答正确与否相互之间没有影响.

（1）求这位参赛者仅回答正确两个问题的概率；

（2）求这位参赛者回答这三个问题的总得分彳的分布列和期望；

（3）求这位参赛者闯关成功的概率.

21.（12分）已知抛物线C：F=2px（0>0）的焦点是尸，若过焦点的直线与。相交于P,

。两点，所得弦长甲a的最小值为4.

（1）求抛物线C的方程；

第3页共17页

(2)设/,3是抛物线C上两个不同的动点，。为坐标原点，若04,03,OMLAB,

M为垂足，证明：存在定点N,使得也小为定值.

22.(12分)已知函数/(久)=(a,6CR),在点(1,7(1))的切线为y=l.

CvILrC人

(I)求函数/(x)的单调区间；

(II)若XI，X2是函数g(x)=kx)■久2(keR)的两个极值点，证明：)〉0.

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2023年广东省肇庆市高考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1.（5分）已知i为虚数单位.若2=鬻，则复数Z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

r劭凭、到5+2i（5+2t）（l-305-15i+2i+6ll-13i1113.

【斛答】解：…广—10-=』-=而一五1，

故复数z在复平面内对应的点的坐标为（/,-盆），故在第四象限.

故选：D.

2.（5分）“xW3”是"x2-7x+1220”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解答】解：'々2-7x+1220,解得xW3或x、4,

则“xW3”是“X2-7X+12N0”的充分不必要条件，

故选：A.

3.（5分）△45。中，点M为4。上的点，且ZM=*MC,若=入B4+118c,则入-四的值

是（）

112

A.1B.-C.-D.一

233

T1T

【解答】解：AM=^MC,

所以4M=^4C,

所以BM=BA+AM=BA+^AC=BA+^BC-BA）=^BA+jBC,

若俞=入晶+嬴，

则入=-|,n=A-尸

故选：C.

4.（5分）在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据:

X-2-1123

第5页共17页

y0.240.512.023.988.02

在以下四个函数模型(a,6为待定系数)中，最能反映x,y函数关系的是()

A.y=a+bxB.y=a+—C.y=a+log尽D.y=a+bx

【解答】解：由表格数据作出散点图如下：

yA

8・

4•

2・

Oix

数据散点图和指数函数图象类似，故选项。最能反映X、V的函数关系，

故选：D.

5.(5分)假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响.若在两次射击

I6

中至多命中一次的概率是云，则该射手每次射击的命中率为()

9233

A.-B."C.~D.一

25554

【解答】解：假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响.

设该射手每次射击的命中率为P,

[6

•・,在两次射击中至多命中一次的概率是正，

**-1-p2=提解得P-

3

，该射手每次射击的命中率为

故选：C.

6.(5分)已知(1+x)i°=ao+ai(2+x)+。2(2+X)2+--•+QIO(2+X)10,则。9=()

A.-10B.10C.-45D.45

【解答】解：(1+x)1°=[-1+(2+X)]1°=QO+QI(2+X)+。2(2+X)?+,•+QIO(2+X)1°,

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则09=%"-1)=-10,

故选：A.

7.（5分）正方体AS。-/181cLDi棱长为4,点£为边3c的中点，动点M在正方体表面

上运动，并且总保持则动点M的轨迹的周长为（）

A.3V2B.6C.6V2D.12a

【解答】解：由正方体的特点可知30iJ_平面/。囱，

点E为边BC的中点，

在48,ABi上分别取点尸，Q,分别是所在棱的中点，

连接尸£,PQ,EQ,贝!!尸£〃/C,EQ//B1C,

，平面481c〃平面PEQ,

.*.8r）i_L平面尸£0,

：.M的轨迹为△PEQ.

:正方体棱长为4,，/。=4企，

-1

:.PE=刿C=2也

:ZEQ的周长为3PE=6五.

故选：C.

11

8.(5分)已知函数/(x)=ln(♦+1)-2%,右耳)，b=f(log56),c=f(log64),

贝!JQ,b,c的大小关系正确的是（）

A.b>a>cB.a>b>cC.c>b>aD.c'>a>b

【解答】解：因为/（x）—In（"+1）—2Xf

一一1ii

所以/（-X）=历（£*+1）+尹=加（/+1）-x+2X（"+1）—飞=f（%）,

所以/G）为偶函数，

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因为「（X）=岛■一±=*—£Y，

当x>0时，，（x）>0,函数单调递增，当x<0时，/G）<0,函数单调递减，

1

因为a=/。。以可）=f（log45）,b=f（log56）,c=f（log64）,且

因为/g4+/g6>2j/g4」g6,

故/g4./g6〈（她产）2=应等V（等）2=（/g5）2,

乙42

…g56啮一耦=啮耦/,

所以log45>logs6>1>loge4,

则a>b>c.

故选：B.

二.多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）

9.（5分）如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A,Bi,比为椭圆的顶点，F为

右焦点，延长历尸与/为交于点P，若/囱尸为为钝角，则该椭圆的离心率可能为（）

【解答】解：由题意设N(。，0),51(0,b),Bi(0,-6),F(c,0),

TT

贝！MB】=(-a,b),FB2=(-C,-b),

—>—>

且484比为向量4%与尸坊的夹角，

因为/B1PB2为钝角，

则4看「而2<0，即(-a，为•(-c,-b)<0,

即ac-b2<Q,又b2=a2-c2,

-1-V5-1+V5

所以后_qc-02>0,即e2+e_]V0,解得-----<e<------,

rE_i

又0<e<l,所以0<eV±i—=0.617,

故选：BCD.

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10.（5分）已知向量会=（2,1）,b=（-3,1）,则（）

TTT

A.（。+b）,La

B.\a+2b\=5

c.向量会在向量力上的投影是:

D.向量就勺单位向量是（等，珞）

—T

【解答】解：；a+6=（—1,2）,a=（2,1）,

TTT_

二.（a+b）,a=-2+2=0,

TTTd

（a+b）1a,即A正确；

a+2b=（—4,3）,.*.|a+2h|=5,即5正确；

TT__

—>—>CL,b—5A/1o

Q在b上的投影是=—r==—即C错误；

\b\V102

向量a的单位向量为：==（一二，］）,或—2=（一2普，一噂）,即。错误.

55

|a|55\a\

故选：AB.

11.（5分）若直线ax+力=0与圆x2+y2_4x+2=0有公共点，则（）

A.Ina^lnbB.同W|6|

C.（a+b）（a-b）<0D.aWb

【解答】解：圆的标准方程为(x-2)2+y=2,圆心为(2,0),半径为鱼,

因为直线ax+by=0与圆x2+/-4x+2=0有公共点,

所以三W

Va2+b2

解得。2W户,即（a+b）（a-b）WO,

等价于同W|6|,所以/、力错误,

故选：BC.

12.(5分)已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M、N,若线段的最小值为遮-1,

贝IJ()

A.正方体的外接球的表面积为12n

第9页共17页

B.正方体的内切球的体积为三

C.正方体的棱长为2

D.线段的最大值为28

【解答】解：设正方体的棱长为a,则正方体的外接球的半径为对角线的一半，即R=字,

内切球为棱长的一半，即片多

由于“和N为外接球和内切球上的动点，

对于C：所以MN加九=—1,解得Q=2.故C正确；

对于Z：所以外接球的表面积为S=4•兀•（遮尸=12兀，故4正确；

对于3：内切球的体积为u=*•兀♦13=等，故8正确；

对于。：线段MN的最大值为-^―+万=5+1,故。错误.

故选：ABC.

三.填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13.（5分）已知集合4={x|x>0},S={x|x2^l},则/A8=（0,11.

【解答】解：••1={x|x>0},8={x|-IWXWI},

：.A（~]B=（0,1].

故答案为：（0,1].

14.（5分）已知公差不为0的等差数列{。“},满足。8。14=。皿10,且数列{斯}的前〃项和S”

的最大值为48,则该数列的公差

【解答】解：根据题意，设等差数列{斯}的公差为力

若a8al4=。4。10,则有（ai+7d）（ai+13d）=（ai+3d）（ai+9d）,

变形可得aid=-8d2,

又由d中0,则ai=-8d,

则S〃=M+竺平=?（〃一孝）2—华，

若数列{斯}的前n项和Sn的最大值为48,必有d<0,

且当"=8或9时，出取得最大值，

贝I]&=S9=-36d=48,

4

解可得d=-y

第10页共”页

故答案为：-全

15.(5分)某医疗队甲、乙、丙等8名护士站成一排照相，其中甲、乙2人之间要站2人,

乙、丙2人之间也要站2人，则共有480种不同的排列方式.(用数字作答)

【解答】解：根据题意，分2步进行分析：

①，先排甲乙丙三人，由于甲、乙2人之间要站2人，乙、丙2人之间也要站2人，

乙必须在甲乙中间，有2种排法，

②，在剩下5人中任选2人，安排在甲乙中间，在剩下的3人中任选2人，安排在乙丙

之间，剩下1人有2种安排方法，则剩下5人有^52^32C21=240种安排方法，

则有2X240=480种不同的排列方式，

故答案为：480.

e2

16.(5分)若曲线Ci：y=ax2(a>0)与曲线存在公切线，则a的取值范围为」不

4

+8).

【解答】解：由(。〉0),得歹'=2ax,

由得V=^,

曲线G：(〃>0)与曲线。2：歹=产存在公共切线，

设公切线与曲线G切于点(xi,axi2),与曲线Q切于点(]2,i2),

则2的二尺叫"『,

冷一%1

可得2X2=XI+2,

X1

._e-T+1

••Q=f---，

2勺

记/(x)=穿，

则，⑴=e2+；/,

当xe(0,2)时，f(x)<0,f(X)递减；

当XC(2,+8)时，f(x)>0,f(x)递增.

当X=2时,f(X)min=q.

*

工。的范围是片，+°°).

4

故答案为：[;，+°°).

4

四.解答题(共6小题，满分70分)

第11页共17页

1

17.（10分）在△/BC中，角/、B、C所对的边分别为a,b,c,且6-c=l,cosA=

△ABC的面积为2VL

（I）求a,b,c的值；

（II）求cos（2C+A）的值.

【解答】解：（I）cosA-且/€（0,TT）,.*.sitL4=V1—cos2A=

•.•△48C的面积为2vL

.'.S—^bcsmA—^bcX.=2&,

••be6,

又b-c=',.*.Z>=3,c=2,

由余弦定理知，a2=b2+c2-26ccos/=9+4-2X3X2x1=9,

:・6Z=3,

综上，a=3,b=3,c=2.

,『.、_ac,32

（II）由（I）及正弦定理一工=-7,知3"方=——；，

sinAsine‘V，sine

3

解得sinC=^

,:c〈b,cosC=V1—sin^C=卷,

•.r万_.万万c4>/2756^/2O-2r~»\17

..sin2C=2sinCcosC=2xx不=>cos2C=2cos2C-1=寸,

yyQoilol

.//，、_，17156/22V223

・・cos（20+24）—COSZCCOSTI-sin2csiIL4=X亍---—X―———

oiDoi3z/

18.(12分)如图，正方体45CZ)-H笈CO的棱长为4,点£、F为棱CD、8C的中点.

(1)求证：CF〃平面8'ED'；

(2)求直线夕E到平面/CF所成角的正弦值.

【解答】(1)证明：取377的中点连接儿/尸，ME,

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则月0〃。。〃。£,且FA/=CE今四边形CEMF为平行四边形=CF〃腔，

又CFC平面8m,Affiu平面8切’

故CF〃平面B'ED'.

(2)如图所示，以点/为坐标原点，分别以/5、AD.血4,为x、y、z轴建立空间直角坐

标系，

/ic

、

则N(0,0,0),C(4,4,0),F(4,2,4),B'(4,0,4),E(2,4,0),

T->T

=ZF=(4,2,4),AC=(4,4,0),B'E=(—2,4,-4),

设£=(%,y,Z)为平面4cb的一个法向量,

则巧1"，即付丝=°，

(九1AF(九•/产=0

则有篇Ml。，令-2雨=(2,-2,7，

107clt、—4—8+44

=cosE,n>=——67—X375—=—ky.

4

故B'E与平面ACF所成角的正弦值为

19.(12分)已知正项等比数列｛斯｝的前〃项和为S〃,m=2,2s2=。2+的.

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

(2)设bn=空工,求数列也“｝的前〃项和.

an

【解答】解：(1)设数列｛即｝的公比为q(4>0),

•282=02+43,

.*.2(QI+〃2)=a\q+aiq,

:・q=2

rln

：.an=2•2t=2；

1

(2)由(1)可得：b九二(2?i—1)(2)",

设出篦｝的前〃项和为

第13页共17页

则T九=1x2+3x(讶)?+5x(2>+…+(2ti-3)x)n-^+(2n—1)x(,)"①,

1?1311

又A=1X(-)2+3x(-)3+-+(2n-3)x(-)n+(2n-1)x(-)n+1@,

乙乙乙乙乙

111111

由①-②得:-T=-+2x(-)2+2x(-)3+-+2x(-)n-(2n-1)x(-)n+1,

乙n乙乙乙乙乙

1-(2n-l)x(1)n+1,

=5+

即=1+1一([)",2一盘八一1)x

11

，Tn=3—4•(初一(2n—1)x(丹,

1

.♦.Tn=3-(2n+3)x(1)n.

20.（12分）某校高一年级组织“知识竞答”活动.每位参赛者第一关需回答三个问题，第

一个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得20分，回答错误

得-10分；第三个问题回答正确得30分，回答错误得-20分.规定，每位参赛者回答

这三个问题的总得分不低于30分就算闯关成功.若某位参赛者回答前两个问题正确的概

21

率都是回答第三个问题正确的概率是5,且各题回答正确与否相互之间没有影响.

（1）求这位参赛者仅回答正确两个问题的概率；

（2）求这位参赛者回答这三个问题的总得分己的分布列和期望；

（3）求这位参赛者闯关成功的概率.

【解答】解：（1）设事件4这位参赛者回答对第z•个问题册=1,2,3）,

•••p=「(&&&—)+—+—=221211121=i4

(2)t=-30,-20,0,10,20,30,50,60,

----------1

P(m=_30)=PGM24)=备

------1

P(W=-20)=PQM243)=S，

P也=0)=PGM24)=

P6=10)=PQM24)=g

P6=20)=PGM24)=a，

——1

P(《=30)=PQM24)=S，

第14页共17页

——1

PG=50)=P(&A24)=5,

PG=60)=P(4&&)=余2

的分布列为:

-30-2001020305060

P11121112

1899918999

、111?111219S

E(三)二-30x-jg—20xq+0xq+10xq+20xYg+30xg+50xg+60xg=­g-.

4

(3)由(2)得这位参赛者闯关成功的概率为P=P(^=30)+产6=50)+产6=60)=

21.(12分)已知抛物线C：y2=2px(0>0)的焦点是尸，若过焦点的直线与C相交于P,

。两点，所得弦长尸。|的最小值为4.

(1)求抛物线C的方程；

(2)设/,3是抛物线C上两个不同的动点，。为坐标原点，若。4,03,OMLAB,

M为垂足，证明：存在定点N,使得小小为定值.

【解答】解：⑴设直线尸。的方程为工=〃"+今/。1,》1),0(》2/2),

2

联立=my+2得f_2pmy+p=0,

ly2=2px

所以yi+y2=2pm,yry2=p2,

x\+xi=my\-\-§+mj2+g=m(y\+yi)+p=2pm1+p

所以|PQ|=尸尸|+尸°|=xi+9+工2+5=x\+xi+p=2pm2+2p=2/?(1+m2),

当机=0时，尸。|侬力=22=4,解得p=2,

所以抛物线的方程为/=4x.

(2)设直线AB的方程为X=W+S〃(X3J3),5(X4J4),

—>—»

因为CM_LO5,贝I」04・OB=0,即q心力3y4=0,

Vo22

所以­7"+>U2=0,解得>3歹4=-16,

44

X=tv+s

{y2=4%，得f-4夕-4m=0,

第15页共17页

所以y3y4=-4m=-I6,w=4,

则直线的