平面向量的数量积及应用-2025年高考数学备考复习

第六章平面向量、复数

第3讲平面向量的数量积及应用

课标要求命题点五年考情命题分析预测

1.理解平面向量数量积2023全国卷乙T6；2022全

的概念及其物理意平面向量国卷乙T3；2022全国卷甲

义，会计算平面向量的数量积T13；2021新高考卷

的数量积.运算IIT15；2020北京T13；

本讲每年必考，主要

2.了解平面向量投影的2019全国卷IIT3

考查向量的数量积运

概念以及投影向量的2023新高考卷IT3；2023新

算、向量的夹角、模

意义.高考卷UT13；2023全国卷

长、垂直问题，一般

3.会用数量积判断两个甲T4；2022全国卷乙

以客观题形式出现，

平面向量的垂直关系.T3；2022新高考卷IIT4；

难度不大.预计2025

4.能用坐标表示平面向平面向量2022天津T14；2021新高

年高考命题稳定，常

量的数量积，会表示数量积的考卷IT10；2021全国卷甲

规备考的同时要关注

两个平面向量的夹角.应用T14；2021全国卷甲T14；

向量与三角、解析几

5.会用向量方法解决简2021全国卷乙T14；2020

何等的综合以及坐标

单的平面几何问题、全国卷IT14；2020全国卷

法在解题中的应用.

力学问题以及其他实IIT13；2020新高考卷

际问题，体会向量在IT7；2019全国卷。7

解决数学和实际问题平面向量2023全国卷乙T12；2020

中的应用.的应用天津T15

6学生用书P117

1.向量的夹角

定义图示范围共线与垂直

已知两个非零向量”，b,O是平面设。是。与6的0=0或兀Q③—

上的任意一点.作方="，7)B—b,夹角,则。的取a//b,

则①NAOB叫做向量。与6的/a7值范围是②—®0=1

夹角，记作<a,b>.[0,兀].a-Lb.

注意确定向量的夹角时应注意“共起点

思维拓展

1.两个向量夹角的范围为［0,n］,两条直线夹角的范围为［0,

2.(1)两个向量a,6的夹角为锐角力>0且向量a,5不共线；

(2)两个向量a,分的夹角为钝角力<0且向量a,b不共线.

2.平面向量的数量积

已知两个非零向量a与b的夹角为仇我们把数量⑤lai161cos。叫做向量。与b的

数量积，记作⑥crb.

注意零向量与任一向量的数量积为0.

3.投影与投影向量

如图，过屈的起点/和终点2,分别作向量而所在直线的垂线，垂足分别为1

4,Bi,得到出瓦，我们称上述变换为向量。向向量6⑦投影，兀瓦叫

做向量。在向量"上的⑧投影向量.2"C

设与b方向相同的单位向量为e,a与6的夹角为0,则1a|cos0e.

4.向量数量积的运算律

对于向量a,6,c和实数人有

(1)ab=ba；

(2)(Aa)b=X(a力)=a(A6)；

(3)(a+6)c=ac-\-bc.

注意(1)向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a力)/不一定等于优(>c),这

是由于(crb)表示一个与c共线的向量，a(b-c')表示一个与。共线的向量，而c与。

不一定共线.

(2)ab=ac(a#0)~^b=c,等式两边不能约去同一个向量.

(3)平方差公式、完全平方公式仍适用.

5.平面向量数量积的有关结论

已知非零向量a=(xi，yi),b=(X2,>2)，。与6的夹角为。.

几何表示坐标表示

数量积ab=Ia11bIcos0.ab=(9)X1X2+.V1V2.

模1a1=y/aa.1aI=®_

夹角cos.

-1a||b「-J/+必•1/+妫

a-Lb的充要条件ab=0.⑫X1X2+"V2=O.

的充要条件a=Xb(4£R).⑬砂2-X2"=0.

1ab|与1a61<1«11bI(当且仅当1xvxi+yxyi1<

1a1lb1的关a〃b时等号成立).

((+无)3+%).

系1

1.以下说法正确的是(A)

A.两个向量的数量积是一个实数，向量的加法、减法、数乘运算的运算结果是向量

B.由ab—0可得a=0或b—0

C.(.ab)c=a(be)

D.已知两个非零向量。与A的夹角为仇若“力>0,贝!为锐角

2.［教材改编］已知向量。=(1+x,x-3),b=(1-x,2),。力=-4,则。+25与A的

夹角为(B)

A.-B.-C.—D.—

3434

解析因为〃力=—4,所以(1+x)(1—x)+2(%—3)=—4,得x=l.所以〃=(2,

-2),b=(0,2),所以a+26=(2,2),Ia+2b\=^22+22=2V2,IftI=2,

所以cos<o+2b,b>=：a+2b>必=^^=也.又<“+2①z，>e［0,兀］,所以a+2b与b的

Ia+2b\\bI2V2x22

夹角为工.故选B.

4

3.［2022全国卷甲］已知向量”=(m,3),b=(1,m+1).若<z_Lb,则m=—；

解析aXA,•*.ab=m-\-3(m+1)=4冽+3=0,解得加=-

4

4.已知点/(-1,1),8(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则荏在前方向上的投

影向量为弓｝.

解析依题意，得前=(5,5),则与而同向的单位向量6=丁新=仔，争，AB=

(2,1),则四在加方向上的投影向量为誓「要喙争=誓呼，争=

5.［易错题］已知平面内三个向量〃，b,c两两夹角相等，且I〃I=I〃I=1,IcI=3,

则Ia~\~b~\~cI=2或5.

解析当a,b,c共线时，Ia+fi+cl=l〃l+l〃l+lcl—5;当a,b,c两两夹角

为g时，ab=—^fac=bc=—^.Ia+b+cI=

I222I

JIaI+IZJI+IcI+2ab+2a.e+2b.e=Jl+1+9—1—3—3=2.

6学生用书P119

命题点1平面向量的数量积运算

例1(1)［2023全国卷乙］正方形的边长是2,E是的中点，则前•前=

(B)

A.V5B.3C.2V5D.5

解析解法一由题意知，EC=lB+BC=^AB+AD,ED=EA+AD=~^AB+AD,所以

EC~ED=(,-AB+AD)-(一工荏+而)=IADI2一!|ABI\由题意知I与I=

224

IABI=2,所以前•彷=4-1=3,故选B.

解法二以点N为坐标原点，AB,前的方向分别为x,y轴的正方向建立平面直角坐标

系，则E(1,0),C(2,2),。(0,2),则前=(1,2),前=(-1,2),

FC-ED=-l+4=3,故选B.

(2)［2022全国卷甲］设向量a,b的夹角的余弦值为点且IaI=1,I6I=3,贝!］(2a+

b)b=11.

解析(2«+Z>)b=2ab+b2=2\aIIbIcos<«,b>+IbI2=2xW^+32=ll.

方法技巧

求非零向量a,6的数量积的方法

1.定义法：ab=IaII6Icos0.

2.基底法：选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别表

示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解.

3.坐标法：已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，利用。力=

XIM+JH/求解.

训练1(1)［2022全国卷乙］已知向量a,b满足IaI=1,IbI=V3,I”-26I=3,则

ab=(C)

A.-2B.-lC.lD.2

解析由|a—2bI=3,可得Ia-2bI2=«2-4«/>+462=9.

又IaI=1,IbI=V3,所以a力=1,故选C.

(2)［全国卷II］已知方=(2,3),AC=(3,f),IBC\=1,则通•就=(C)

A.l3B.—2C.2D.3

解析因为前=前一四=(1,Z-3),所以IBCI=J1+(t-3)2=1,解得/=3,

所以由=(1,0),所以乐・丽=2xl+3x0=2,故选C.

命题点2平面向量数量积的应用

角度1向量的模问题

例2(1)［2022全国卷乙］已知向量0=(2,1),b=(-2,4),则I“一8I=

(D)

A.2B.3C.4D.5

解析由题意知〃一〃=(2,1)—(—2,4)=(4,—3),所以Ia~bI=

,+(-3)2=5.故选D.

(2)［2023新高考卷n］已知向量a,b满足Ia-bI=V3,Ia+b\=I2a-bI,贝！］

IbI=_V3_.

解析由|a-bI=V3,得〃2—2a，〃+〃2=3,即2ab=a1-\-b2—3①.由Ia-\~bI=

I2a—bI,得/+2〃力+〃2=4〃2一而力+小，整理得，a2=2ab,结合①，得〃2=层+〃2

-3,整理得，肥=3,所以IbI=V3.

方法技巧

求平面向量模的两种方法

利用如下公式转化求解.

®a1=a'a=1aIIaI=，aa；

公式法②|a±b1=J(a±ft)2=Ja2±2ab+b2；

③若a=(x,y),贝11辍1=Jx2+y2.

利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出

几何法

向量，再利用余弦定理等求解.

角度2向量的夹角问题

例3⑴［2023全国卷甲］已知向量a,b,c满足\a\=\b\=1,IcI=V2,且〃+〃

+c=0,则cosVa-c,b-c>=(D)

解析•.,a+〃+c=0,c=—a—b,等式两边同时平方得2=a2+〃2+2q.〃=i+i+2〃.〃,

:.ab=0.

角军法一,：a—c—a—(—a—b)=2a+从b-c=b—(—a-b)=a+2b,(a—

22

c),。-c)=(2a+b)•(a+2b)=2a+5a-b+2b=4f且Ia-cI=I2a+bI=

J(2a+6)2=V4+1=V5,Ib—cI=Ia+2bI=J(a+2b)2=C1+4=正,

..cos<a—c,b—c>=-----：~：----故选D.

Ia—cI-Ib-cI5

解法二如图，令市=a,~OB=b,则沅=c,：.CA=a~c,CB=b-

c,\AB\=&,\AC\^\BC\=V5,在△48C中，由余弦定

理得cos<a—c,/>—c>=cos<G4,CB>—cosZACB=S+=-,故

'2V^5xV155'

选D.

解法三如图，令向量〃，〃的起点均为0,终点分别为4,B,以65,南的方向分别为

%,>轴的正方向建立平面直角坐标系，则〃=(1,0),b=(0,1),c=—a—b=

(—1,—1),所以〃一c=(2,1),b—c=(1,2),则cos<〃一c,b—c>=

(a-c)•(b—c)2+24“、江「

==

Ia-cI-Ift-CIVWg?故选D,

(2)［2022新高考卷n］已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若<a,c>=

<b,c>,则餐(C)

A.-6B.-5C.5D.6

解析解法一由题意，得。=〃+加=(3+/，4),所以〃，c=3x(3+0+4x4=25+

3t,"c=lx(3+力+0x4=3+/.因为V〃，c>=<b,c>,所以cosVa,c>=cos<bf

c>,即一^=-^，即誓=3+7,解得f=5.故选C.

Ia\\cIIb\\cI5

解法二因为<〃，c>=<b,c>,且。=〃+必，所以由向量加法的平行四边形法则得|

a\=t\b\,易知IaI=5,IbI=1,所以t=5.

方法技巧

求平面向量夹角问题的三种方法

定义法当a,。是非坐标形式时，由COS6=TT求解.

1a\\b\

若〃=(X1,yO,b=(X2,丁2),贝ICOS<4,分〉,

^+用心+必<ab>

坐标法

£［0,兀］.

解三角可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解.注意向量夹角与三角形内角的关

形法系.

角度3向量的垂直问题

例4(1)［2023新高考卷I］已知向量〃=(1,1),b=(1,-1).若(〃+劝)±(〃+

油)，则(D)

A.A+/z=1B.2+〃=—1

C.4〃=lD.%〃=—1

解析因为〃=(1,1),b=(1,—1),所以〃+劝=(1+2,1—2),a+曲=(1+

1—〃),因为(〃+劝),L(〃+〃〃),所以(〃+劝),(〃+〃〃)=0,所以(1+2)

(1+/z)+(1—2)(1—=0,整理得加=—1.故选D.

(2)［全国卷H］已知单位向量〃，〃的夹角为60。，则在下列向量中，与〃垂直的是

(D)

A.a+2〃B.2a+bC.a~2bD.2a-b

解析解法一由题意，得(rb=IaIIbIcos60c)='|.对于A,(a+26)-b—ab-\-2b2—

g+2=|#),故A不符合题意；对于B,力=2a力+加=1+1=2¥0,故B不符合

题意；对于C,(a—2b)b=ab—2/>2=^—2=—|■加，故C不符合题意；对于D,(2a—

b)力=2"力一小=1-1=0,所以(2a-b)Lb,符合题意.故选D.

解法二根据条件，分别作出向量b与A,B,C,D四个选项对应的向量的位置关系，如

图所示.

ABCD

由图易知，只有选项D满足题意.故选D.

解法三不妨设。=y),b=(1,0),则a+2b=(|,争，2a+b=(2,

V3),a~2b=(-|,y),2a~b=(0,再)，易知，只有(2aT)b=0,即(2«一

b)_U.故选D.

方法技巧

1.证明两个向量垂直的解题策略

先计算出这两个向量的坐标或表示出两个向量，然后根据数量积的运算公式，计算出这两

个向量的数量积为0即可.

2.已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值

根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数.

训练2(1)[2023广州市二检]已知两个非零向量0,4满足IaI=3I*I,(a+Z»)

_L6,则cos(«,b)—D)

1111

A.-B.--C.-D.--

2233

解析因为(«+/>).Lb,所以(a+b)b=0,即。力=一〃，所以IaI-IbIcos(a,

b)=-II2,即3I万I,I/(Icos{a,b)=~\b\2,则cos(«,b)=一(.故选口.

(2)[2021全国卷甲]若向量a,满足IaI=3,Ia-bI=5,ab=l,贝！JII=—

3V2.

解析由Ia~bI=5得(a-b)2=25,即/—2a力+加=25,结合IaI=3,ab=\,

得32-2x1+|bI2=25,所以IbI=3V2.

命题点3平面向量的应用

例5在日常生活中，我们会看到两人共提一个行李包的情况(如图).假金图

设行李包所受重力为G,所受的两个拉力分别为尸1,尸2.若IEI=胎媪制

IF2I,历与历的夹角为。，则下列结论不正确的是(D)取改现

A.IFiI的最小值为gIGI

B.当。时，|Fi|=|GI

C.当。=］时，IFiI=yIGI

D.当6=争寸，B在尸2方向上的投影数量为号

解析由题意知，IGI=IFX+F2I,且IGI为定值，因为II=I入I,所以

2222

IGI=IFiI+IF2I+2IFiIIF2I-cos6»=2IFiI(l+cos0),所以IEI』

IGI2

2(l+cos0)•

当Oe(0,兀)时，y=cos。单调递减，

所以关于9的函数y=IFi|2=单调递增,

2(l+cos0)

即。越大越费力，。越小越省力.

当0=0时，IBI.=|IGI;

当。=］时，IFiI=~ICI;

当。=争寸，|户1|=|GI.故A,B,C正确.

对于D选项，当。=争寸，E在尸2方向上的投影数量为IFlICOSy=IGICOSy=

一故D不正确.故选D.

方法技巧

用向量方法解决实际问题的步骤

训练3一条东西方向的河流两岸平行，河宽250bm,河水的速度为正东3km/h.一艘小货

船准备从河流南岸码头P处出发，航行到河流对岸对应点0(尸。与河流的方向垂直)的正

西方向并且与Q相距250m的码头M处卸货，若水流的速度与小货船航行的速度的合速度

的大小为5km/h,则当小货船的航程最短时，小货船航行速度的大小为(C)

A.3A/3km/hB.6km/h

C.7km/hD.3A/6km/h

解析连接尸由题意得，当小货船的航程最短时，其航线为线段尸"

设小货船航行的速度为%水流的速度为四，水流的速度与小货船航行的速度

的合速度为电，作出示意图，如图所示.一，,、

___

尸0=250百m,QM=250m.

在RtAPQW中，(根据“尸0与河流的方向垂直”得到△尸〃。的形状)

tanZPMQ=^=^-=V3,由题意NPMQe(0,]),

所以/尸儿@=gZMPQ=^,<vi,也>=畀合当，

易知y=V2-Vl,IVlI=3,IV2I=5,

2

所以|vI=J(v2~v1)2=JIv2I+IViI2-2%.172=[52+32-2x5x3cosm=

7,

所以小货船航行速度的大小为7km/h,故选C.

a学生用书P120

极化恒等式

例6(1)[2022北京高考]在△/8C中，/C=3,2C=4,/。=90。7为△43C所在平面内

的动点，且PC=1,则万•丽的取值范围是(D)

A.[—5,3]B,[—3,5]C.[—6,4]D,[—4,6]

解析解法一(极化恒等式)设的中点为M,而与而的夹角为0,由极化恒等式得

方•丽=丽2一工通2=(CM-CP)2-^=c^2+cp2_2CM-CPcos6*-—=—+1-5C0Se

4444

2c---->>

-q=l-5cos。，因为cos6*e[—l,1],所以PAPBe[—4,6].

4

解法二以C为坐标原点，CA,C2所在直线分别为X轴，y轴建立平面直角坐标系，则

A(3,0),B(0,4),设尸(x,y),则工2+产=],对=(3-x)一口，丽=

(~x,4~y),所以P4PB=x2—3x+f—4y=(x—|)2+(y~2)2~又(x-|)2+

(y-2)2表示圆/+俨=1上一点到点eg,2)距离的平方，圆心(0,0)到点(|,2)

的距离为去所以丽•丽G[(|-1)2-y,(|+1)2-$],即丽•丽G[-4,6],故选D.

解法三以C为坐标原点，CA,C3所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则

A(3,0),B(0,4),因为尸C=l,所以尸在以(0,0)为圆心，1为半径的圆上，所

以设点P坐标为(cosa,sina),则P4-PB=(3—cosa,—sina)■(—cosa,4—sina)

—1—3cosa—4sina—1—5sin(a+9)(其中tanp=；).因为sin(a+9)£[—1,1],所

4

以丽•丽引一4,6],

(2)[全国卷II]已知△48C是边长为2的等边三角形，尸为平面/8C内一点，则丽・(丽

+PC)的最小值是(B)

34

A.一2B.--C.--D.-1

23

解析解法一如图，取8C的中点。，则丽+玩=2而，则而•(而十

PC)=2万•丽.在中，取ND的中点。，则2且『方=2\P0\2~

BDC

|II』2IP0I2-1

由于点尸在平面内是任意的，因此当且仅当点尸，。重合时，I而I取得最小值，即

2方•访取得最小值一|.故选B.

解法二如图，以等边三角形/2C的底边的中点O为坐标原点，BC,|

所在直线为x轴，8c的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则/卡7/

(0,V3),B(-1,0),C(1,0)..

-B~~qc；

设尸(x,y),则同=(-X,V3-J),而=(-1-X,一y)，PC=

(1-x,-y),所以而♦(PB+PC)=(—x,V3-y)♦(-2x,-2y)=2x2+2(y-

3

-易知当>=手时，PA­(,PB+PC)取得最小值，最小值为一|.故选

VT32x=0,B.

方法技巧

极化恒等式：〃力=；［(〃+办)2—(〃一胆2］.

几何意义：向量明力的数量积等于以这组向量所对应的线段为邻边的平行四边形的“和对

角线长''与"差对角线长”的平方差的

4

应用：(1)在048CD中，0为AC,BD的交点、,则有屈•通=工(4I

4

AOI2-4|OB|2)=|Z0|2-IOBI2.A\

(2)如图，在△48C中，若〃是2c的中点，则万•前=前2一；近2.._

训练4［2023山东青岛二中5月模拟］如图，在四边形48CD中，NB=60。,AB=3,BC=

6,且而=4近，ADAB=-l，则实数泄值为若M,N是线段8C上的动点，且

IMNI=1,则询•丽的最小值为—技

IXDI=得I而I=1,因此彳=粤工=：.取MV的中点£,连接则丽+

22|BCI6

~DN=2DE,DM-~DN=-\(,'DM+DN')2-(丽一丽)？］=朝2-2而2=尻2_,注意到线

4LJ44

段MN在线段上运动时，DE的最小值等于点。到直线3c的距离，AB-sinB=~,

因此屁2一工的最小值为(延)2_工=兰，即丽.丽的最小值为兰.

42422

■思维帮•提升思维快速解题

三角形“四心”的向量表示与运用

角度1垂心的向量表示与运用

例7[2023山西朔州模拟]已知H为的垂心，若屈=1标+|而，贝I]sin/8/C=_

V6

T—■

解析如图，连接BH,CH,因为用=1荏+]就，所以丽=瓦?+毋=

一|南+|尼，丽=%?+而=3同一3前.由//为4/2。的垂心，得丽次

=0,即(一|京+：正)AC=Q,可次口(IAC|2=|\AC\-\AB\

cosABAC,即cos/B/C=?^①，同理有由•屈=0,即(-XF-|^C)AB=0,可

S\AB\35

^\AB\2=|\AC\\AB\cosZBAC,即cosZBAC=-1②，①x②得cos'ZBAC

359I24cI

=1,得sin2/8/C=l—cos2/BNC=l-,=a又sin/3/C>0,所以sinN3/C=[.

方法技巧

1.垂心的定义：三角形三条高的交点称为该三角形的垂心.

2.垂心的性质：设。是△/8C的垂心，尸为△48。所在平面内任意一点，则有⑴瓦?•布

^OBOC=OCOA；

(2)\OA\2+\BC\2=\OB\2+\CA\2=\OC\2+\AB\2；

(3)动点P满足族=2(,-AB----+*c----)或荏=市+%(,—0----+

IABICOS/.ABCIACIcos^ACBIABIcos^ABC

,'C----),4eR时，动点尸的轨迹经过△48C的垂心.

IACIcosZ-ACB

角度2重心的向量表示与运用

例8[2023广州一中诊断]如图，已知点G是△43。的重心，过G作直线与

AB,NC分别交于M,N两点，AM^xAB,AN^yAC,则？=—工

x+y37

解析由峪G,N三点共线得，存在实数力使得前+(1—2)AN=xAAB+y(1一

4AC,AO<A<1.

因为G是△43C的重心，所以方=工(屈+前)，所以I3,则

3[y(IT)=1,

1

故xy—————,x+y=———~,则3.A(1T)=?

v=-------J9A(1-A)'/32(1-2)'x-ry9A(1-2)

J3(1-A)

方法技巧

1.重心的定义：三角形三条中线的交点称为该三角形的重心.

2.重心的性质：设。是△/BC的重心，尸为平面内任意一点，则有(1)市+方+方=

0；(2)PO=|(PA+PB+PC)；(3)动点尸满足万=九CAB+AC)或加=。1+

入CAB+AC),Ae[0,+oo)时，动点尸的轨迹经过△/3C的重心.

角度3外心的向量表示与运用

例9[2023湖北荆门模拟]已知点。为△/BC所在平面内一点，在△N8C中，满足2卷•布

\AB\2,2前•布=\AC\2,则点O为该三角形的(B)

A.内心B.外心C.垂心D.重心

解析因为2通♦而=2IABIIAOIcosZOAB=\AB\2,所以IAOIcosZOAB=

|IABI,则向量而在向量方上的投影向量的长度为IABI的一半，所以点。在边的

中垂线上，同理，点。在边/C的中垂线上，所以点。为该三角形的外心，故选B.

方法技巧

1.外心的定义：三角形三边垂直平分线的交点称为该三角形的外心.

2.外心的性质：若。是△4BC的外心,则有(1)\OA\=\OB\=\OC\；

(2)(.OA+OB)AB=(OA+OC)-AC=(OB+OC)BC=0.

角度4内心的向量表示与运用

例10[2023四川南充阶段测试]已知。是△N3C所在平面内一点，且点。满足市•(濯丁

=0C-=0,则点。为△/BC的

IACI\BA\\BC\\CA\\CB\

(C)

A.外心B.重心C.内心D.垂心

解析解法一,仔丁分别是与荏，尼方向相同的单位向量，可令德7=而，

-^-=AE,连接即，则△/£>£为腰长是1的等腰三角形，点一一丽，所以

OAED=Q,所以NO为/C/3的平分线，同理80为/N8C的平分线，CO为//C3的平

分线，所以。为△/BC的内心.故选C.

解法二0A-(措:―/7)=°，即市•不驾=力:.苫不，即।市।•粤%°s(兀一

IABI\AC\IABI\AC\IABI

AOAB}=\0A\-^^-cos(.71-ZOAO,所以NO/B=/O/C,即NO是NB/C的平

IAC>I

分线，同理可得8。为//8C的平分线，CO为/NC3的平分线，所以。为△N8C的内心.

方法技巧

1.内心的定义：三角形三条内角平分线的交点称为该三角形的内心.

2.内心的性质：若。是的内心，尸为平面内任意一点，则有(1)aOA+bOB+cOC

=0(a,b,c分别是△ABC的三边5C,AC,45的长)；(2)动点尸满足AP=7(-4S-

IABI

或而=市+九(点一+41),2e［0,+00)时，动点尸的轨迹经过△N8C的

IACI\AB\MCI

内心.

训练5(1)［2023长春模拟］点。是平面a上一定点，点尸是平面a上一动点，A,B,C是

平面a上△NBC的三个顶点(点。，P,A,B,C均不重合)，以下命题正确的是—

①②③④.

①动点P满足费=瓦?+而+而，则△N8C的重心一定在满足条件的尸点的集合中；

②动点p满足加=瓦5+4(/一+/？)a>°)，则△48C的内心一定在满足条件的

IABIIACI

P点的集合中；

③动点p满足费=瓦?+%(，《£.0+I」：/a>o),则△48。的重心一定在满足条

IABIsinFIACIsinC

件的p点的集合中；

④动点P满足费=瓦5十%(.JB+,-/.c')

IABIcosBIACIcosC

aeR),则△/Be的垂心一定在满足条件的p点的集合中.

解析对于①，OP=OA+PB+PC,移项得一市+而=”=而+而，即方+而+玩=

0,则点P是△/BC的重心，故①正确.

对于②，因为动点尸满足而=瓦<+4(T^+T-)a>o),移项得而=力(菩丁+

潦p)Q>0),所以标与/8/C的平分线对应的向量共线，所以尸在NA4c的平分线

上，所以△/BC的内心在满足条件的尸点的集合中，②正确.

对于③，OP=OA+A(―—+-^—)Q>0),即存=%(―—+-^—),

IABIsinBIACIsinfIABIsinBIACIsinC

过点N作/D_L3C,垂足为。，贝II南Isin5=IACIsinC=AD,AP=^CAB+AC},

设M为3c的中点，则屈+左=2前，则而=言前，所以尸在5c的中线上，所以

△/2C的重心一定在满足条件的P点的集合中，③正确.

对于④，OP=OA+2.(-^—+-=^—)QeR),即9(―—+

'IABIcosBIACIcosC'IABIcosB

—),所以万•近=/l(竺BC+竺BC)=/t(_|BC|+|BC|)=0,所以

IACIcosCIABIcosBIACIcosC

AP1.BC,所以尸在边BC上的高所在的直线上，所以△/8C的垂心一定在满足条件的尸点

的集合中，④正确.故正确的命题是①②③④.

(2)［多选/2023安徽淮北师大附中模拟］数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》

一书中有这样一个定理：三角形的重心、垂心和外心共线.这条线就是三角形的欧拉线.在

△/BC中，0,H,G分别是外心、垂心和重心，。为3c边的中点，则下列四个选项中正

确的是(ABD)

K.GH=2OGB^GA+GB+GC=O

C.AH=ODD.S"BG=SMCG=S"CG

解析根据题意画出图形，如图所示.

对于B,连接G。，由重心的性质可得G为40的三等分点，且方=一2旗，

又。为3c的中点，所以林+就:=2而，所以g5+冠+屈=-2话+2而=

xfft

0,故B正确.

对于A,C,因为O为△48C的外心，。为2C的中点，所以On_L3C,所以AH〃OD,所

AJJAf

以△AHGS4DOG,所以迫=竺=丝=2,即G//=2OG,AH=2OD,故A正确，C不正

0GODDG

确.

对于D,延长47交3C于N,过点G作G£_L5C,垂足为£,则△。口"△。,，所以煞

nr,-1-11111

=第=3所以SdGC=rBCxGE=TBCx3xAN=$“BC,同理‘S坟GC=S“GB=+SAABC,所

以S"BG=sABCG=s"CG,故D正确.故选ABD.

1.［命题点2/多选］已知为，及是单位向量，且《19=热若向量〃满足《1"=2,则下列选项

正确的是(ABD)

A.Ie\—eiI=1

Be在e2上的投影向量的模为g

C.ei与e「e2的夹角为工

D.a在ei上的投影向量为2ei

解析ICL%I2=皆一2«厂。2+登=1,故Ie\—e2I=1,故A正确.

因为C1在《2上的投影向量为“殳。2=：«2,所以ei在%上的投影向量的模为3故B正确.

Ie2I22

因为Cl，(«L&)=lxlxCOS<ei,为一《2>=国一所以<C1,CL«2>=今故C

错误.

设g与〃的夹角为。，因为eva=2=IaIcos0,所以a在d上的投影向量为

(laicosO')«i=2«i,故D正确.

2.［命题点2/2022天津高考］在△49C中，CA=a,CB=b,AC=2DC,CB=2BE,用a,8

表示向量历，则反=_那一生；若同，历，则N/C2的最大值为

zz6

解析由题意知而=1且=),又而=2族，所以而=|荏=|。，则丽=屈-方=*一

—1a.

2

因为刀屁，AB^CB~~CA=b~a,

所以荏•丽=(b-a)-=0,化简整理，得3户+/—4=0,则3IbI2