初中数学中考复习讲义练习：二次函数与线段和角的数量关系问题

中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练

二次函数与线段和角的数量关系问题

1.（2020年泰州第26题）

2.（2020年准安第27题）

3.（2020年常州第28题）

4.（2020年镇江第28题）

5.（2019年宿迁28题）

（―【真题再现】0

6.（2019年盐城27题）

7.（2018年常州28题）

专题5二次函8.（2019年苏州28题）

数与线段和角9.（2018年无锡28题）

的数量关系问

题

【真题再现】

1.（2020年泰州第26题）如图，二次函数yi=a（.x-m）2+n,y2=6a^+n（cz<0,m>Q,

力>0）的图象分别为Cl、Cl,Cl交y轴于点P,点A在Ci上，且位于y轴右侧，直线

以与C2在y轴左侧的交点为B.

（备用图）

（1）若P点的坐标为（0,2）,Ci的顶点坐标为（2,4）,求a的值;

（2）设直线出与y轴所夹的角为a.

①当a=45°,且A为Ci的顶点时，求am的值;

②若a=90°,试说明：当。、相、”各自取不同的值时，而的值不变；

(3)若出=2尸8,试判断点A是否为Ci的顶点？请说明理由.

【分析】(1)利用待定系数法解决问题即可.

(2)①如图1中，过点A作AN_Lx轴于N,过点尸作PALLAN于M.证明

m,根据AM+MV=AM+0P=A7V,构建关系式即可解决问题.

②如图2中，由题意AB_Ly轴，求出B4,尸2的长即可解决问题.

(3))如图3中，过点A作轴于H,过点尸作PK_LAH于K,过点8作BE_LKP

交KP的延长线于E.设B⑶6ab2+n),由PA=2PB,推出A[-2b,a2b-m)2+n],

,BEPB1一

由BE//AK,推出—=—=推出AK=2BE,由此构建关系式，证明m=-2b即可

AKPA2

解决问题.

【解析】(1)由题意m=2,"=4,

.,.yi—a(x-2)2+4,

把(0,2)代入得到。=一/

(2)①如图1中，过点A作AMLx轴于N,过点尸作PM_LAN于

'.P(0,anr+n),

VA(m,n),

:・PM=m,AN—n,

VZAPM=45°,

：.AM=PM=m,

m+am+"=

Vm>0,

••4H2=-1.

VP(0,«m2+n),

当y=arr?+n时，an?+n—6ax^^n，

解得x=±—m,

6

B(-anr'+n),

:・PB=咯加，

9：AP=2m,

PA2m「

而F=2后

6

(3)如图3中，过点A作AH_Lx轴于”，过点P作PK_LAH于K,过点8作BELLKP

交KP的延长线于E.

设5Qb,6〃/十〃)，

*：PA=2PB,

・••点A的横坐标为-24

.*.A[-2b,a(-2Z?-m)2+n],

9：BE//AK,

.BEPB1

AK~PA~2"

：.AK=2BE,

:,a(-2/?-m)2+H-am2-n=2(am1+n-6ab^-〃),

整理得：m2-2bm-8Z?2=0,

(m-4Z?)(m+2Z?)=0,

■:m-4/?>0,

m+2/?=0,

•*in~~~2b,

AA(m,n),

・••点A是抛物线Ci的顶点.

2.(2020年淮安第27题)如图①，二次函数y=-/+版+4的图象与直线/交于4-1,2)、

B(3,")两点.点P是无轴上的一个动点，过点尸作x轴的垂线交直线/于点交该

二次函数的图象于点N,设点P的横坐标为杨.

(1)b=1,n=-2；

(2)若点N在点M的上方，且MN=3,求机的值；

(3)将直线AB向上平移4个单位长度，分别与x轴、y轴交于点C、D(如图②).

①记△NBC的面积为Si,△N4C的面积为S2,是否存在相，使得点N在直线AC的上

方，且满足SI-S2=6?若存在，求出能及相应的Si,S2的值；若不存在，请说明理由.

②当机＞-1时，将线段MA绕点/顺时针旋转90°得到线段MF,连接FB、FC、OA.若

ZFBA+ZAOD-ZBFC^45°,直接写出直线OF与该二次函数图象交点的横坐标.

【分析】(1)将点A坐标代入二次函数解析式中，求出b,进而得出二次函数解析式，

再将点2坐标代入二次函数中，即可求出”的值；

(2)先表示出点M,N的坐标，进而用MN=3建立方程求解，即可得出结论；

(3)①先求出点C坐标，进而求出直线AC的解析式，再求出直线BC的解析式，进而

表示出Si,S2,最后用SI-S2=6建立方程求出机的值；

②先判断出C尸〃。4,进而求出直线CF的解析式，再判断出A尸〃x轴，进而求出点尸

的坐标，即可求出直线的解析式，最后联立二次函数解析式，解方程组即可得出结

论.

【解析】⑴将点A(-1,2)代入二次函数y=-/+6x+4中，得-1-b+4=2,

・•・二次函数的解析式为y=-?+x+4,

将点5(3,〃)代入二次函数y=-/+x+4中，得几=-9+3+4=-2,

故答案为：1,-2；

(2)设直线A5的解析式为由(1)知，点3(3,-2),

VA(-1,2),

.C—k+a=2

**l3/c+a=一2'

.(k=-1

**ta=1

・・・直线AB的解析式为y=-x+l,

由(1)知，二次函数的解析式为y=-/+%+4,

・・,点尸(m,0),

•\M(m,-m+1),N(m,-m2+m+4),

•・•点N在点M的上方，且MN=3,

-m2+m+4-(-m+1)=3,

.*.m=0或m=2；

(3)①如图1,由(2)知，直线AB的解析式为y=-x+1,

工直线CD的解析式为y=-x+l+4=-x+5,

令y=0,则-x+5=0,

•.x=5,

：.C(5,0),

VA(-1,2),B(3,-2),

A直线AC的解析式为产-1x+f,直线BC的解析式为y=x-5,

过点N作y轴的平行线交AC于K,交BC于H,；点P(n0),

15

:・NQm,一zn9+zn+4),K(m,一可加+可)‘H(m,m-5),

247

n£--

NK=-m+m+4+33

]]o47、o

•\S2=S^NAC=(XC-X4)=2(~m2+3)X6=-3m2+4m+7,

SI=SANBC=^NHX(XC-XB)=-徵2+9,

VSi-52=6,

-m2+9-(-3m2+4m+7)=6,

.*.m=l+V3(由于点N在直线AC上方，所以，舍去)或m=1-V5；

：.S2=-3m2+4m+7=-3(1-V3)2+4(1-V3)+7=2旧一1,

Si=-m2+9=-(1-V3)2+9=2V3+5：

②如图2,

记直线AB与x轴，y轴的交点为/,L,

由(2)知，直线AB的解析式为y=-x+1,

：.I(1,0),L(0,1),

OL=OI,

：.ZALD=ZOLI=45°,

AZAOD^-ZOAB=45°,

过点B作2G〃O4,

，ZABG=ZOAB,

：.ZAOD+ZABG=45°,

:ZFBA=ZABG+ZFBG,ZFBA+ZAOD-ZBFC=45°,

AZABG+ZFBG+ZAOD-ZBFC=45°,

：./FBG=/BFC,

：.BG//CF,

：.OA//CF,

VA(-1,2),

，直线OA的解析式为y=-2x,

VC(5,0),

直线CF的解析式为y=-2尤+10,

过点A,尸分别作过点M平行于x轴的直线的垂线，交于点。，S,

由旋转知，AM=MF,ZAMF=9Q°,

,AAMF是等腰直角三角形，

：.ZFAM=45a,

■：ZAIO=45°,

AZFAM=乙4/0,

尸〃x轴，

...点尸的纵坐标为2,

：.F(4,2),

，直线OF的解析式为尸占①，

•二次函数的解析式为》=-f+x+4②,

(1+V65(1-V65

联立①②解得,J或J，

1+V651-V65

\y=~8-\y=-8-

'：m>-1,

3.(2020年常州第28题)如图，二次函数y=f+6x+3的图象与y轴交于点A,过点A作x

轴的平行线交抛物线于另一点8,抛物线过点C(l,0),且顶点为。，连接AC、BC、

BD、CD.

(1)填空：b=-4；

(2)点P是抛物线上一点，点尸的横坐标大于1,直线PC交直线3。于点。.若NC。。

=ZACB,求点尸的坐标；

(3)点E在直线AC上，点E关于直线3。对称的点为凡点尸关于直线2C对称的点

为G,连接AG.当点/在无轴上时，直接写出AG的长.

【分析】(1)将点C坐标代入解析式可求解；

(2)分两种情况讨论，当点。在点。上方时，过点C作CELA8于E,设8。与x轴交

于点R可得点E(l,3),CE=BE=3,AE=1,可得NEBC=NECB=45°,tan/ACE=

AT1

第=6，ZBCF=45°,由勾股定理逆定理可得N8CO=90°,可求/ACE=NDBC,

可得/ACB=NCED,可得点歹与点。重合，即可求点尸坐标；

当点。在点。下方时，过点C作CHLOB于在线段28的延长线上截取H尸=。8,

连接C。交抛物线于点P,先求直线解析式，点/坐标，由中点坐标公式可求点。

坐标，求出C。解析式，联立方程组，可求点P坐标；

(3)设直线AC与BD的交点为N,作CHLBD于H,过点N作MNLx轴，过点E作

EM±MN,连接CG,GF,先求出/CNH=45°,由轴对称的性质可得£N=NF,ZENB

Q

=ZFNB=45°,由“AAS”可证AEMNmANKF,可得EM=NK=(MN=KF,可求

CF=6,由轴对称的性质可得点G坐标，即可求解.

【解析】(1)♦.•抛物线y=/+bx+3的图象过点C(1,0),

；.0=1+6+3,

:・b=-4,

故答案为：-4；

(2)9：b=-4,

.•.抛物线解析式为y=--4x+3

:抛物线y=7-4x+3的图象与y轴交于点A,过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点

B,

.•.点A(0,3),3=X2-4X+3,

.'.xi=0(舍去)，X2=4,

...点B(4,3),

-/y=x2-4x+3=(x-2)2-1,

顶点。坐标(2,-1),

如图1,当点。在点D上方时，过点C作CELAB于设2D与x轴交于点R

图1

:点A(0,3),点、B(4,3),点C(1,0),CELAB,

.•.点E(l,3),CE=BE=3,AE=1,

：.ZEBC=ZECB=45°,tanZAC£=

：.ZBCF=45°,

二点B(4,3),点C(l,0),点。(2,-1),

：.BC=V9T9=3V2,CD=V1T1=V2,BD=V(4-2)2+(3+l)2=2V5,

VBC2+CD2=20=B£>2,

：.ZBCD^90°,

1

--tanZDBC=BC=^=w=tanZACE,

・•・NACE=NDBC,

：.NACE+NECB=NDBC+/BCF,

：.NACB=/CFD,

又Y4CQD=/ACB,

...点二与点Q重合,

.,.点P是直线CF与抛物线的交点,

.'.0—x1-4x+3,

・・XI=1,X2=3,

・••点P(3,0)；

当点。在点。下方上，过点。作于X,在线段5H的延长线上截取族=。H

■:CH1DB,HF=QH,

：・CF=CQ,

：.ZCFD=ZCQD,

：.ZCQD=ZACB,

•・•点5(4,3),点。(2,-1),

J直线8。解析式为：y=2x-59

一5

，点F(-,0),

2

*,•直线CH解析式为：y=-p

.\y=一尹+5

y=2x—5

(11

解得"飞,

3=一5

11Q

二・点〃坐标为(=",—q),

5，

•:FH=QH,

44

--

・•・直线C。解析式为:33

4,4

联立方程组•y=—/+w

y=x2—4%+3

5

2--

得

解3

8

---

29

5

P-

3

58

--

综上所述：点尸的坐标为（3,39

（3）如图，设直线AC与8。的交点为N,作CH_LB£＞于X,过点N作MALLx轴，过

点E作连接CG,GF,

直线AC解析式为：y=-3x+3,

(y=—3x+3

[y=2%—5，

8Q

・••点N坐标为(二，一亮)，

5。

110

:点”坐标为(二，一百，

53

°11o3090118°39cq

：.CH2=(―-1)2+(-)2=：,2=(---)2+(屋+/2=:,

55》5HN5535

：.CH=HN,

：.ZCNH=45°,

・・,点E关于直线BD对称的点为F,

:・EN=NF,ZENB=ZFNB=45°,

:・/ENF=90°,

:./ENM+/FNM=90°,

又•：/ENM+/MEN=90°,

JZMEN=/FNM,

:.AEMN%ANKF(AAS)

9

:・EM=NK=W，MN=KF,

・••点E的横坐标为-1，

118

点E(一耳,—

27

：.MN=弋=KF,

.\CF=1+^-1=6,

・・•点F关于直线BC对称的点为G,

：.FC=CG=6,ZBCF=ZGCB=45°,

：.ZGCF=90°,

.,.点G(1,6),

：.AG=V12+(6-3)2=V10.

4.(2020年镇江第28题)如图①，直线/经过点(4,0)且平行于y轴，二次函数y=a/

-2ax+c(a,c是常数，a<0)的图象经过点M(-1,1),交直线/于点N,图象的顶

点为。，它的对称轴与x轴交于点C,直线DM、DN分别与无轴相交于A、B两点.

(1)当〃=-1时，求点N的坐标及成;的值；

AC

(2)随着。的变化，少的值是否发生变化？请说明理由；

BC

(3)如图②，E是无轴上位于点B右侧的点，BC=2BE,DE交抛物线于点尺若FB=

FE,求此时的二次函数表达式.

【分析】⑴证明△OMGS/\D4C,△DCBsADTN,求出AC=?,BC=|,即可求解;

(2)点ZX1,1-4a),N(4,1+5°),贝I]AfE=2,OE=-4a,由(1)的结论得：AC=士聿,

-LCL

8C=与力，即可求解；

5512

(3)利用△fWEs\CE,求出/(一——,即可求解.

2jD312a63

【解析】(1)分别过点M、N作MGLC。于点E,NTLOC于点T,

\'MG//TN//x^,

：.丛DMGs△DAC,/\DCB^/\DTN,

.MGDGBCDC

""AC~DCTN-DT'

a=-1,贝！］y=-/+2x+c,

将M(-1,1)代入上式并解得：c=4,

抛物线的表达式为：y=-/+2x+4,

则点。(1,5),N(4,-4),

则MG=2,DG=4,DC=5,TN=3,DT=9,

24BC56s

?解得：AC=2,BC=q,

AC—5'3

AC3

----=—•

BC2'

(2)不变，

理由：・.・尸0?-2依+。过点M(-1,1),贝!J〃+2〃+c=l,

解得：c—1-3”，

••y=aj^-2ox+(1-3i),

，点D(L1-4。)，N(4,1+5〃)，

：.MG=2,DG=-4a,0c=1-44,FN=3,DF=-9a,

由(1)的结论得：AC=主要，BC=上券，

-Ztt—DU

.AC3

••一;

BC2

(3)过点尸作切_Lx轴于点〃，则切〃/,则△尸HES^DCE,

:・BH=HE,

'：BC=2BE,

贝!JCE=6HE,

'：CD=1-4a,

1—4a

：.FH=~~6~

4a—1

9：BC=

3a

...CEHI=-57X-4^a5—1=20a—5

43a12a

将点尸的坐标代入-2ox+(1-3a)—a(x+1)(%-3)+1得:

125555

—~a4(一一一+1+1)(---+1-3)+1,

63312a312a

解得：〃=-1或，(舍弃),

q4

经检验〃=

十.57,5,19

故y=一平+>+彳・

解法二：VAC：3c=3：2,BC=2BE,

：.AC=CE,

：.AD与DE关于直线CD对称,

VAD,。石交抛物线于M,F,

：.M,厂关于直线8对称，

：.F(3,1),

・12

••一——a—1,

63

••〃=~7•

,,,5o,5,19

故y=-4X+2x+~4'

5.(2019年宿迁28题)如图，抛物线y=/+b无+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为(1,

0),与y轴交于点C(0,-3).

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)如图①，连接AC,点尸在抛物线上，且满足NP4B=2NACO.求点尸的坐标；

(3)如图②，点。为x轴下方抛物线上任意一点，点。是抛物线对称轴与x轴的交点,

直线A。、3。分别交抛物线的对称轴于点M、N.请问。M+ON是否为定值？如果是,

请求出这个定值；如果不是，请说明理由.

【分析】(1)把点4、C坐标代入抛物线解析式即求得6、c的值.

(2)点P可以在x轴上方或下方，需分类讨论.①若点P在x轴下方，延长4P至

使AH=AB构造等腰△ABH,作BH中点G,即有/E4B=2/A4G=2/ACO,利用ZACO

的三角函数值，求BG、8”的长，进而求得H的坐标，求得直线A〃的解析式后与抛物

线解析式联立，即求出点尸坐标.②若点尸在x轴上方，根据对称性，AP一定经过点X

关于x轴的对称点H,求得直线的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点尸坐标.

(3)设点。横坐标为f,用/表示直线A。、8N的解析式，把x=-1分别代入即求得点

M.N的纵坐标，再求OW、DV的长，即得到DM+DN为定值.

【解析】(1)♦..抛物线y=/+bx+c经过点A(1,0),C(0,-3)

・f聚c=。解得:『=2

(0+0+c=—3I。=-3

...抛物线的函数表达式为y=/+2x-3

(2)①若点尸在x轴下方，如图1,

延长A尸到"使A8=A3,过点3作3/Lx轴，连接作出/中点G,连接并延长

4G交8/于点尸，过点”作HUB/于点/

,当.P+2x-3=0,解得：xi=-3,X2=1

：.B(-3,0)

VA(1,0),C(0,-3)

：.OA=l,OC=3,AC=Vl2+32=V10,AB=4

•./""八OA710/“八八OC3710

■•RtZ\AOC中，sin/ACO=，cos/ACO=~JQ-

'：AB=AH,G为①/中点

：.AG±BH,BG=GH

：.ZBAG=ZHAG,即/E4B=2/BAG

,：ZPAB=2ZACO

：.ZBAG=ZACO

/Tn

.•.n△A8G中，ZAGB=90°,sin/ft4G=谭=爵

.•―弗=争

：.BH=2BG=^^-

'：ZHBI+ZABG=ZABG+ZBAG=90°

・•・ZHBI=ZBAG=ZACO

：.RtABHI^fZBIH=90°,sinNHB/=焉=挈，cosZHBI=

bibh

二联播汨4=^=¥

，砧=一3+仁母，,弋,即打（一春一）

设直线AH解析式为y=kx+a

k+a=0

11,12

~~5k7+a=~~5

*,•直线AH：y=.

9

X-

2--4

y=4%解得：（即点A）,39

y-

y=%24-2x—32--16

939

_---

?416

②若点尸在x轴上方，如图2,

在AP上截取AH1=AH,则与X关于x轴对称

(一11甘—12)

55

设直线解析式为y=k'x+a'

k7+a/=0k

[-11k'+a'=12解得:

TTa

**•直线AH'：y=-4%+

15

%2二一彳

•.•)=一4久+4解得:（即点幻，

y=/+2%—357

.^=16

1557

：.P(一%—)

416

综上所述，点尸的坐标为（-/-瑞）或（-苧，*.

(3)DM+DN为定值

:抛物线y=x2+2x-3的对称轴为：直线x=-1

:.D(-1,0),XM=XN=-1

设。G,尸+2L3)(-3<?<1)

设直线AQ解析式为y=dx+e

・1d+e=0解得：｛二13

**tdt+e=t2+2t—3

,直线A。：y=(r+3)x-t-3

当x=-1时，yM=-t-3-t-3=-2t-6

：.DM=O-(-2Z-6)=2什6

设直线BQ解析式为y=mx+n

・f—3m+n=0冷刀汨fm=t—1

imt+n=t2+2t-3牛得，tn=3t—3

，直线5Qy=(Z-1)x+3r-3

当x=-1时，yN=-Z+l+3r-3=2t-2

：.DN=O-(2L2)=-2什2

为定值.

图1

点睛：本题考查了求二次函数解析式、求一次函数解析式，解一元二次方程、二元一次

方程组，等腰三角形的性质，三角函数的应用.第（2）题由于不确定点尸位置需分类讨

论；（2）（3）计算量较大，应认真理清线段之间的关系再进行计算.

6.（2019年盐城27题）如图所示，二次函数y=k（x-1）2+2的图象与一次函数左+2

的图象交于A、B两点，点2在点A的右侧，直线分别与尤、y轴交于C、。两点，

其中k<0.

(1)求A、B两点的横坐标；

(2)若△OAB是以0A为腰的等腰三角形，求上的值；

(3)二次函数图象的对称轴与x轴交于点E,是否存在实数总4变得/0DC=2NBEC,

若存在，求出左的值；若不存在，说明理由.

【分析】(1)将二次函数与一次函数联立得：k(x-1)2+2^kx-k+2,即可求解；

(2)分。4=42、两种情况，求解即可；

(3)求出根=-法-k^Jk2+1,在中，tana==今=k+^Jk2+1=tan/8EC=

爵=人2,即可求解.

【解析】(1)将二次函数与一次函数联立得：k(x-1)2+2=kx-k+2,

解得：x=l和2,

故点A、B的坐标横坐标分别为1和2；

(2)0A="22+1=遮,

①当0A=A2时，

即：1+/=5,解得：k=+2(舍去2)；

②当04=02时，

4+(Z+2)2=5,解得：左=-1或-3；

故人的值为：-1或-2或-3；

(3)存在，理由：

①当点8在x轴上方时，

过点B作BHLAE于点H,将△AHB的图形放大见右侧图形，

过点A作/的角平分线交28于点过点〃作施7,42于点N,过点B作2K,

x轴于点K,

图中：点A(1,2)、点、B(2,Z+2),贝！JAH=-Z,HB=1,

设：HM=m=MN,贝(J5M=1-加，

贝ljAN=AH=-k,AB=迎2+i,NB=AB-AN,

222

由勾股定理得：MB=NB+MNf

即：（1-m）2=W+3k2+1+左）2,

解得：m-—必-ky/k2+1,

在△AHM中，tana==g：=Z:+Vfc2+1=tanZBEC==k+2,

解得：k=±V3,

止匕时Z+2>0,则-2〈kVO,故：舍去正值，

故k=-V3；

②当点B在x轴下方时，

同理可得：tana=亨%=g=%+7^可不"1=tanNBEC=翳=—（女+2）,

解得：上亨或昔&

—4+

此时左+2V0,k<-2,故舍去------，

3

故%的值为：—旧或—

点睛：本题为二次函数综合应用题，涉及到一次函数、解直角三角形的知识，其中（3）,

通过tan2a求出tana,是此类题目求解的一般方法.

7.（2018年常州28题）如图，二次函数>=-}/+灰+2的图象与x轴交于点A、B,与y

轴交于点C,点A的坐标为（-4,0）,P是抛物线上一点（点尸与点A、B、C不重合）.

c3

（1）b=-,点B的坐标是（二，0）；

7C-2

（2）设直线尸2与直线AC相交于点是否存在这样的点P,使得PM：MB^l：2?

若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由；

(3)连接AC、BC,判断NCAB和NCA4的数量关系，并说明理由.

【分析】(1)由点A的坐标，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出6的值，代入y

=0求出x值，进而可得出点8的坐标；

(2)(解法一)代入x=0求出y值，进而可得出点C的坐标，由点A、C的坐标利用待

定系数法可求出直线AC的解析式，假设存在，设点M的坐标为(m,1^+2),分B、P

在直线AC的同侧和异侧两种情况考虑，由点8、M的坐标结合PM：MB=1：2即可得

出点尸的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于根的一元二次方程，解

之即可得出结论；

(解法二)代入尤=0求出y值，进而可得出点C的坐标，由点A、C的坐标利用待定系

数法可求出直线AC的解析式，过点B作2次〃丁轴交直线AC于点次，过点P作PP

〃丫轴交直线AC于点P',由点B的坐标可得出8次的值，结合相似三角形的性质可

得出PP的值，设点P的坐标为(x,-1X2-|A+2),则点P的坐标为G,4+2),结

362

合PP的值可得出关于x的含绝对值符号的一元二次方程，解之即可得出结论；

(3)(解法一)作NCA4的角平分线，交y轴于点E,过点E作EfUBC于点尸，设OE

OC1OE

=n,则CE=2-n,EF=n,利用面积法可求出n值，进而可得出一=-=——，结合

OA2OB

ZAOC=90°可证出△AOCs^BOE,根据相似三角形的性质可得出NC4O=

ZEBO,再根据角平分线的性质可得出NCBA=2NE2O=2/C4B,此题得解；

(解法二)将沿y轴对折，交尤轴于点2',根据点A、B、C的坐标可得出点2,

的坐标，进而可得出AB'=B'C=8C,根据等腰三角形的性质结合三角形的外角性质，

可得出NC54=2NCA2.

【解析】(1)•••点A(-4,0)在二次函数y=-扛2+公+2的图象上，

—46+2—0,

当y=0时，有一g2-小%+2=0,

解得：xi=-4,X2=I，

3

・••点5的坐标为（二，0）.

故答案为：Y；（二,0）.

62

（2）（方法一）当冗=0时，y=一获+2=2,

二点C的坐标为（0,2）.

设直线AC的解析式为y=h+c•（左W0）,

将A（-4,0）、C（0,2）代入v=fcc+c中，

1

C-Of-

解得

得-c-2

-

C2

一1

工直线AC的解析式为y=g+2.

_1

假设存在，设点M的坐标为（m,-m+2）.

2

3a3

①当点尸、5在直线AC的异侧时，点尸的坐标为（/一不，-m+3）,

,/点P在抛物线尸-#-1x+2上，

3I33?53

m+3=—9X（-m—7）2—7X（一机一彳）+2,

4324624

整理，得：12毋+20m+9=0.

VA=202-4X12X9=-32<0,

方程无解，即不存在符合题意得点尸；

121

②当点尸、5在直线AC的同侧时，点尸的坐标为（鼻小+彳，-m+1）,

・・,点P在抛物线产-|x+2上，

11137513

m+l=—oX（-m+-r）—yx（-m+-r）+2,

4324624

整理，得：4m^+44m-9=0,

-11+7130

解得:mi=—m2=

22，

点P的横坐标为-2-等或-2+等.

点P的横坐标为-2-等或-2+零

综上所述：存在点P,使得PM：MB=1：2,

q4,

（方法二）当x=0时，v=-lx2-f.r+2=2,

二点C的坐标为（0,2）.

设直线AC的解析式为y=h+c•（左W0）,

将A（-4,0）、C（0,2）代入v=fcc+c中，

1

C-Of-

得

-解得c-2

-

c2

一1

，直线AC的解析式为y=g+2.

过点3作3次〃丁轴交直线AC于点8，，过点尸作PP〃丁轴交直线AC于点P

如图1-1所示.

3

・・,点5的坐标为（-，0）,

2

311

・•・点4的坐标为（一，—）,

24

,DDr—1'1'

一甲

9：BB,//PP',

：./\PP'Ms^BB'M,

.PPIPM1

••BB，~BM~2

:.pp'=祟

设点P的坐标为（x,则点P'的坐标为（x,-X+2）,

362

iq11411

oo=

PP=|—QX—z%+2-（-x+2）|—\~x+QX\-Q-,

13623318

解得…=一2-等，也=-2+零，

,存在点尸，使得PM：MB=1：2,点尸的横坐标为-2—绰^或-2+绰^

（3）（解法一）/CBA=2/CAB,理由如下：

作/C8A的角平分线，交y轴于点E,过点E作于点孔如图2所示.

3

:点B（-,0）,点C（0,2）,

2

35

OB=OC=2,BC=|.

设OE=〃，则CE=2-九，EF=n,

由面积法，可知：LOB・CE=3BC・EF,即三(2-n)=^n

2222

解得：n=

OC1OE

*.*—=-=—,ZAOC=90°=/BOE,

OA2OB

：.XAOCsXBOE,

：.ZCAO=ZEBOf

・•・ZCBA=2ZEBO=2ZCAB.

(解法二)ZCBA=2ZCAB,理由如下：

将8c沿y轴对折，交x轴于点次，如图3所示.

3

•・•点8(-,0),点C(0,2),点A(-4,0),

:•点、B'(—2»0),

：.AB'=一|一(-4)=|,B'C=J22+(|)z=|,

：.AB'=B'C=BC,

：.ZCAB=ZACB',NCBA=/CB'B.

"：ZAB'B=NCAB+NACB',

：.ZCBA=2ZCAB.

点睛：题考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、三角形

的面积、勾股定理、一次函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的判定与性质，解题

的关键是：（1）由点A的坐标，利用二次函数图象上点的坐标特征求出b的值；（2）（解

法一）分8、P在直线AC的同侧和异侧两种情况找出点尸的坐标；（解法二）利用相似

三角形的性质找出PP'=~（3）（解法一）构造相似三角形找出两角的数量关系；（解

法二）根据等腰三角形的性质结合三角形的外角性质找出NCA4=2NC4艮

8.（2019年苏州28题）如图①，抛物线y=-x?+（a+1）x-a与x轴交于A,8两点（点A

位于点8的左侧），与y轴交于点C.已知△ABC的面积是6.

（1）求a的值；

（2）求△ABC外接圆圆心的坐标；

（3）如图②，尸是抛物线上一点，Q为射线C4上一点，且尸、。两点均在第三象限内，

。、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d,AQPB的面积为2d,

且/出。=/4。3,求点。的坐标.

【分析】(1)由y—-x2+(a+1)x-a,令y=0,即-x2+(a+1)x-a—0,可求出A、B

坐标结合三角形的面积，解出a=-3；(2)三角形外接圆圆心是三边垂直平分线的交点，

求出两边垂直平分线，解交点可求出；

(3)作PMLx轴，则SAB4P=/B・PM=ix4d由&PQB=S△出B可得A、Q到PB的距

离相等，得到A。〃尸8,求出直线PB的解析式，以抛物线解析式联立得出点P坐标，由

于APB。丝△ABP,可得PQ=AB=4,利用两点间距离公式，解出相值.

【解析】(1)Vy=-/+(a+1)x-a

令y=0,即-7+(a+1)尤-a=0

解得xi=a,%2=1

由图象知：a<0

：.A(a,0),B(1,0)

•S/\ABC=^

1

(1-a)(-a)=6

解得：a--3,(a=4舍去)

(2)VA(-3,0),C(0,3),

：.OA=OC,

；•线段AC的垂直平分线过原点,

线段AC的垂直平分线解析式为：>=-尤,

;由A(-3,0),B(1,0),

线段AB的垂直平分线为》=-1

将尤=-1代入y=-x,

解得：y=l

.♦.△ABC外接圆圆心的坐标(-1,1)

(3)作PMlx轴交x轴于M,则S^BAP=^AB-PM=1X4d

S^PQB=SAPAB

，A、。到尸8的距离相等，

：.AQ//PB

设直线尸2解析式为：y=x+b

;直线经过点B(1,0)

所以：直线PB的解析式为y=x-1

联立,=—/2X+3

iy=x—1

解得：g:::

・••点尸坐标为(-4,-5)

又・.,NB4Q=NAQB,

:・/BPA=/PBQ,

：.AP=QB,

在△P5Q与△5B4中，

AP=QB

Z-BPA=(PBQ,

PB=BP

名△ABP(SAS),

：.PQ=AB=4

设Q(徵，m+3)

由尸。=4得：

(m+4)2+(m+3+5)2=42

解得：m=-4,m=-8(当加=-8时，NB4QWNAQB,故应舍去)

Q坐标为（-4,-1）

点睛：本题考查二次函数的综合应用，函数和几何图形的综合题目，抛物线