2020年中考数学二轮复习：压轴四边形含解析

《四边形》

1.【习题再现】

课本中有这样一道题目：

如图1,在四边形口中，E,F,〃分别是46,CD,初的中点，AD=BC.求证：ZEFM

=ZFEM.(不用证明)

【习题变式】

(1)如图2,在“习题再现”的条件下，延长必BC,EF,AD与EF交汗HN,BC与EF

交于点R求证：2ANE=2BPE.

(2)如图3,在△/8C中，40/8点〃在/C上，AB=CD,E,尸分别是8G/〃的中点，

连接斯并延长，交物的延长线于点G,连接力，/EFC=60°.求证：//励=90°.

【习题变式】

解：（1）,:F,〃分别是必，物的中点,

:・MF〃BP,MF^BC，

AMFE=/BPE.

,:E,〃分别是初的中点，

C.ME//AN,ME=yAD，

,ZMEF=ZANE.

■:AD=BC,

：.ME=MF,

:・/EFM=/FEM,

：.ZANE=ZBPE,

(2)连接舐取加的中点〃，连接傲FH.

■:H,尸分别是物和初的中点,

：.HF//BG,HF=yAB，

:・/HFE=/FGA.

,:H,£分别是6〃，究的中点，

：.HE//AC,HE卷CD，

:・/HEF=/EFC=6G°.

,:AB=CD,

：.HE=HF,

：.Z//FE=ZEFC=6Q°,

・・・N4GF=60°,

VZAFG=ZEFC=60°,

•••△ZA?为等边三角形.

:・AF=GF,

,:AF=FD,

：.GF=FD,

：.ZFGD=ZFDG=30°,

：.ZAGD=60°+30°=90°.

2.（1）问题：如图1,在Rt△/阿中，ZBAC=90°,AB=AQ〃为勿边上一点（不与点氏

。重合），连接/〃，过点力作/并满足/£=/〃，连接以则线段M和线段CF的

数量关系是BD=CE,位置关系是BD1CE.

（2）探索：如图2,当，点为6c边上一点（不与点6,C重合），与Rt△/庞均

为等腰直角三角形，/BAC=/DAE=90：AB=AC,AD=AE.试探索线段Bl｝、切、DS

之间满足的等量关系，并证明你的结论；

（3）拓展：如图3,在四边形力及力中，ZABC=ZACB=ZADC=^L5°,若BD=3,CD=\,

请直接写出线段4?的长.

图1图2图3

解：(1)问题：在中，AB=AC,

：.ZB^ZACB=45a,

■:/BAC=NDAE=90°,

J.ABAC-ZDAC=ADAE-ZDAC,即/为

在△胡〃和△窃£中，

，AB=AC

-ZBAD=ZCAE«

AD=AE

：./\BAD^/\CAE(.SAS'),

故答案为：BD=CE,BDLCE；

(2)探索：结论：D^=Blf+Cl},

理由是：如图2中，连接比：

图2

•:/BAC=/DAE=9Q°,

：.ZBAD=ZCAF,

在△/初和中，

'AB=AC

•LZBAD=ZCAE-

AD=AE

"：/\BAD^/\CAE(%S),

：.BD=CE,ZB=ZACE=i5°,

AZBCE=ZACB+ZACE=450+45°=90°,

：.De=Ce+CI},

:./=BC+Oh

(3)拓展：如图3,将相绕点/逆时针旋转90°至/G,连接CG、DG,

G

则△加G是等腰直角三角形，

：.ZADG=^°,

：//%=45°,

：.ZGDC=90°,

同理得：△掰叫△窃G,

：.CG=BD=3,

中，'：CD=\,

•••^^VCG2-CD2=如2_心=2近,

..•△为6是等腰直角三角形，

：.AD=AG=2.

3.如图1,正方形26(力的边切在正方形式5的边磔■上，连接质DG.

(1)龙和加的数量关系是BE=DG,庞和的的位置关系是BE1DG；

(2)把正方形及1/绕点C旋转，如图2,(1)中的结论是否还成立？若成立，写出证明

过程，若不成立，请说明理由；

(3)设正方形ABCD的边长为4,正方形£4芹的边长为3加，正方形ECGF绕点C旋转

过程中，若/、C、£三点共线，直接写出加的长.

E

EFD

图1图2

解：(1)BE=DG.BEIDG；理由如下:

:四边形力四刀和四边形CEFG为正方形,

:.CD=BC,CE=CG,/BCE=/DCG=90°,

BC=DC

在△龙C和△〃GC中，,ZBCE=ZDCG）

CE=CG

:.△BEC^XDGC（弘S）,

:.BE=DG；

如图1,延长GD交BE于点,H,

图1

:•△庞庄△2GC,

/DGC=ABEC,

：.ZDGC+ZEBC=ABEC+ZEBC=^Q°,

:"BHG=9Q°,

即BEIDG；

故答案为：BE=DG,BEIDG.

(2)成立，理由如下：如图2所示:

同（1）得：△DCMXBCE（SAS'）,

：.BE=DG,Z.CDG=/CBE,

'：ZDME^ZBMC,NCBE+NBMC=9Q°,

:./CDGy/DME=9Q°,

90°,

C.BELDG-,

（3）由（2）得：DG=EB,分两种情况:

①如图3所示：

图3

:正方形力65的边长为4,正方形比新的边长为3加，

C.ACLBD,BAAC=MAB=4M，OA=OC=OB*AC=2瓜CE=3近,

C.AE^AC-CE=®

：.OE=OA-AE=®

在Rt△及小中，由勾股定理得：DG=BE=yj（2A/2）2+（V2）2=V10；

②如图4所示:

在中，由勾股定理得：的=龙=J(2。2+(5VD2=倔;

综上所述，若/、a£三点共线，2G的长为万或倔.

4.如图，在△46C中，N6=90°,AB=6an,BC=8cm,动点，从点C出发，沿俏方向匀

速运动，速度为2c〃/s；同时，动点£从点/出发，沿48方向匀速运动，速度为IcWs；

当一个点停止运动，另一个点也停止运动.设点〃£运动的时间是t(s)(0<6<5).过

点、D作DF1BC于点、F,连接阳EF.

(1)力为何值时，DEVACI

(2)设四边形A5FC的面积为S,试求出S与t之间的关系式；

(3)是否存在某一时刻t,使得S四边形/旗C：加城=17：24,若存在，求出t的值；若不

存在，请说明理由；

AC=VAB2+BC2=V62+82=10(°加，'

若DEVAC,

・・・N&M=90°,

:・/EDA=/B,

•・・N2=N4

:.XADESMABC,

,AE_AD即t_10-2t

•・而一而'：IO6-

(2)"：DFLBC,

：.ZDFC=9Q°,

：.ZDFC=ZB,

u:zc=za

:.MCDFs^CAB,

,CF_CD日口CF_2t

••，艮IJ，

BCAC810

o

•,@=卷t,

o

:.BF=8-乳

5

BE=AB-AE=6-t,

：.S=S^-S^=—XAB-BC--X£F-BE=—X6X8-—X(8-—t)X(6-t)=

K22225

—f+—t；

55

(3)若存在某~*时刻t,使得S四边形协r：S^ABC=17：24,

根据题意得：-警力=4X《X6X8,

55242

解得：白=3,右=¥(不合题意舍去)，

22

5

当^――*§■时，S四边形的r：S/\ABC=17：24；

(4)过点£作9aze与点肱如，图所示：

则N94=NQ90°,

•・・N2=N4

:.XAEMSXACB,

.AEEMAMtEMAM

..而=而=而'即0n元

4q

：.EM=—t,AM=—t,

55

313

：.DM=10-2t-—t=10--t,

55

在RtZkZW中，当物仁超时，ZADE=45

13一4

.'.10------1---------t,

55

5.我们定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且项角的顶点互相重合，则称此图形为“手

拉手全等模型”.因为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为“手拉

手模型”.例如，如图(1),△/6C与龙都是等腰三角形，其中/掰7=/的色则4

AB3AACE(S4S)

B

5cE

(1)(2)

(1)熟悉模型：如图(2),已知△放与△/龙都是等腰三角形，48=AC,AD^AE,且

NBAC=NDAE,求证：BD=CE-,

(2)运用模型：如图(3),尸为等边内一点，且以：PB-.PC=3：4：5,求N4P8

的度数.小明在解决此问题时，根据前面的“手拉手全等模型”，以外为边构造等边△

BPM,这样就有两个等边三角形共顶点氏然后连结岫通过转化的思想求出了//期的

度数，则N4%的度数为150度;

(3)深化模型：如图(4),在四边形ABCD•中,"=4,CD=3,ZABC=ZACB=AADC

=45°,求切的长.

(1)证明：'：ZBAC=ADAE,

：.ZBAC+ZCAD^ZDAE+ZCAD,即/物片/窗£,

，AB=AC

在△掰。和中，，ZBAD=ZCAE>

AD=AE

:.△BA/ACAE(S4S),

：.BD^CE-,

(2)解:以成为边构造等边△网/,连接磁如图(3)所示:

与△力物都是等边三角形，

：.AB=BC,BP=BM=PM,/ABC=Z.PBM=4BMP=6G,

/./ABC-/PBC=APBM-ZPBC,即NABP=ZCBM,

'AB=BC

在△/郎和中，ZABP=ZCBM-

BP=BM

.♦.△45整△CW（弘S）,

：.AP^CM,NAPB=/CMB,

,：PA-.PB：PC=3：4：5,

:.CM：PM：PC=3：4：5,

：.P（^=Ot+Pit,

.•.△幡是直角三角形，

：.ZPMC=90°,

：./CMB=/BMPr/PMC=6Q°+90°=150°,

：.ZAPB=150°,

故答案为：150；

（3）解：过点力作物，"，且/£=",连接纸DE,如图（4）所示:

则△/庞是等腰直角三角形，/EAD=90°,

：.DE=®AA4®,/酮=45°,

VZADC=^5°,

:./EDC=45°+45°=90°,

在双△，〃中，^=VDE2-K：D2=7（W2）2+32=V41'

VZACB=ZABC=^L5°,

掰C=90°,AB^AC,

'：ZBAC+Z.CAD=AEAD^ZCAD,即/曲

'AB=AC

在△为〃和△◎£中，，ZBAD=ZCAE-

,AD=AE

:.MBA恒XCAE（SAS）,

BD=CE=5/41.

E

6.(1)某学校“学习落实”数学兴趣小组遇到这样一个题目

如图，在一△/回中，点。在线段〃:上，/物。=30°,/如。=75°,A0=M，BO：CO

=2：1,求48的长经过数学小组成员讨论发现，过点8作必〃/C,交的延长线于点

D,通过构造劭就可以解决问题(如图2)

请回答：ZADB=75°,AB=3^

(2)请参考以上解决思路，解决问题：

如图3在四边形48切中对角线与如相交于点0,ACLAD,AO=«,ZABC=ZACB

=75°,BO：勿=2：1,求％的长

D

图2图3

解：(1)如图2中，过点、B悍BD〃AC,交4。的延长线于点A

■:BD〃AC,

：.ZADB=ZOAC=75°.

■:/BOD=/COA,

:.△BOMXCOA,

.ODOB9

OAOC

又*。=加，

：.OD=2AO=2^

:.AD=A80g3®

,：ZBAD=30°,ZADB=75°,

：.ZABD=18Q0-/BAD-NADB=75°=AADB,

:.AB=AD=3«；

故答案为75,3M.

(2)如图3中，过点6作庞〃力交〃于点£.

图3

'：ACLAD,BE//AD,

：.ZDAC=ZBEA=90°.

■:NAOg/EOB,

:.△AOD^AEOB,

,BO=EO=BE=

•而一而一同一

*.*BO：0D=1：3,

•:A0=a,

，电2«,

：.AE=343-

'：ZABC^ZACB^75°,

：.ZBAC=30°,AB=AC,

:.AB=2BE.

在RtA4旗中，Bm+A®=AR,即(4应，，函=(2庞))

解得：BE=3,

3

.•.46-6,AD^—

2

q

在Rt△窃，中，力冉力力=切，即6,(―)三切，

2

解得：切=之应(负根已经舍弃).

2

7.正方形/及力中，AB=4,点、E、尸分别在A?、8c边上(不与点48重合).

(1)如图1,连接纲作加交"于点〃.若庞=3,则DM=5；

(2)如图2,连接能将线段所绕点尸顺时针旋转，当点£落在正方形上时，记为点G-,

再将线段箔绕点G顺时针旋转，当点尸落在正方形上时，记为点〃；依此操作下去…，

①如图3,线段用经过两次操作后拼得△身刃，其形状为等边三角形，在此条件下,

求证：AE=CF；

②若线段绪经过三次操作恰好拼成四边形EFGH,

(3)请判断四边形夕物的形状为正方形，此时/£与期的数量关系是AE=BF；

(4)以1中的结论为前提，设26的长为x,四边形防加的面积为y,求y与x的函数

关系式及面积y的取值范围.

解：(1)如图1中，

:四边形/以力是正方形，

:./B=Z,DCM=9Q°,

,:BE=3,BC=4,

6£=22=22=5>

；•'VBE+BCV3+4

,：DMVEC,

:./DMC+/MCE=9Q°,/MCE+/CEB=9Q°,

：.ADMC=ACEB,

'：BC=CD,

：./\BCE^/\CDM(AAS),

:.DM=EA5.

故答案为5.

(2)如题图3,由旋转性质可知鳍=如=龙，则△龙尸为等边三角形.

故答案为等边三角形.

(2)①四边形〃烟的形状为正方形，此时/£=阮理由如下:

依题意画出图形，如答图1所示：连接£6、FH,焊HN1BC千N,GM_Ld3于K

图2

由旋转性质可知，EF=FG=GH=HE,

...四边形班第是菱形，

总丛EGgXFHN,可知EG=FH,

四边形瓦诩的形状为正方形.

:"HEF=9Q°

VZ1+Z2=9O°,N2+N3=90°,

；./l=N3.

VZ3+Z4=90°,N2+/3=90°,

.-.Z2=Z4.

在△/明与△照'中，

'N1=N3

-EH=EF，

N2=N4

:.△AEH^ABFE(ASA)

:.AE=BF.

故答案为正方形，AE=BF.

(4)利用①中结论，易证△?1瓯△〃安丛CGF、△〃的均为全等三角形，

，BF=CG=DH=AE=x,AH=BE=CF=DG=4-x.

y~S正方形ABCD~4&U4=4X4-4X^x(4-x)=2/-8x+16.

.'.y=2/-8jr+16(0<x<4)

"=2*-8x+16=2(x-2)2+8,

，当x=2时，y取得最小值8；当x=0时，y=16,

的取值范围为：8Wy<16.

8.已知：如图1,在平面直角坐标系中，长方形如比'的顶点8的坐标是(6,4).

图1图2图3

(1)直接写出/点坐标(6,0),C点坐标(0,4)；

(2)如图2,〃为％中点.连接物，AD,如果在第二象限内有一点尸(出1),且四边

形如小的面积是△/灰面积的2倍，求满足条件的点户的坐标；

(3)如图3,动点〃从点C出发，以每钞1个单位的速度沿线段)运动，同时动点N

从点/出发.以每秒2个单位的速度沿线段/。运动，当"到达。点时，M,“同时停止运

动，运动时间是t秒(2>0),在这“运动过程中.当场-5时，直接写出时间t的值.

解：(1):四边形力回是长方形，

C.AB//OC,BC//OA,

,:B(6,4),

：.A(6,0),C(0,4),

故答案为：6,0,0,4；

(2)如图2,

由(1)知，A(6,0),C(0,4),

：.OA=6,OC=4,

:四边形如回是长方形，

=

S长方形OABC物・〃C=6X4=24,

连接AC,

是长方形勿8c的对角线，

S/\OAC~S/XABC-长方形OABC~12,

•・,点〃是%的中点，

S^OAD=^S/^OAC=6，

2

・・•四边形以分的面积是△力笈面积的2倍，

==

••S四边形OADP2Sz\ABC24,

•S四边形OADP=曲。+»$△ODP=6+SX勿尸=24,

••S/^ODP=18,

•・•点〃是小的中点，且%=4,

：.OD^—OC^2,

2

・户(处1),

5AODP~~OD*m\—X21727—18?

.,.勿=18(由于点？在第二象限，所以，0小于0,舍去)或加=-18,

:.P(-18,1)；

(3)如图3,

由(2)知，的=6,%=4,

•.•四边形以回是长方形，

:.NAOC=NOCB=9Q°,BC=6,

由运动知，CM=t,AN=21,

：.ON=OA-AN=6-2t,

过点〃作必也处于〃

；./(»=90°=/A0C=N0CB,

四边形。◎组是长方形，

:.MH=OC=4,OH=CM=t,

：.HN=|ON-C¥|=6-2-t|=|6-3t|,

在Rt△的邮中，MN=5,根据勾股定理得，HR=MR-懈,

A|6-3^|2=52-42=9,

力=1或t=3,

即：力的值为1或3.

图3

问题情境

数学课上，李老师提出了这样一个问题：如图1,点户是正方形悲切内一点，用=1,PB

=2,PC=3.你能求出//期的度数吗？

图1图3

(1)小敏与同桌小聪通过观察、思考、讨论后,得出了如下思路:

思路一：将△勿&绕点8逆时针旋转90°,得到△声4连接勿，求出//力的度数;

思路二：将△/以绕点8顺时针旋转90°,得到△CT8,连接方，求出//期的度数.

请参考以上思路，任选一种写出完整的解答过程.

类比探究

(2)如图2,若点尸是正方形/皿外一点，处=3,PB=\,PC=Vn，求//%的度数.

拓展应用

(3)如图3,在边长为有的等边三角形26c内有一点。，N2〃C=90°,NBOC=120°,

则△/0C的面积是

解：(1)思路一，如图1,将C绕点方逆时针旋转90°,得到△加4连接上，

则△/康0△呼，AP=CP=3,朝=郎=2,/9=90°

:./BPP=45°,

根据勾股定理得，P'P=J^BP=2加，

'：AP=\,

尸+尸产=1+8=9,

又•/才=3?=9,

尸+尸尸=尸片，

；.△/0是直角三角形，且//勿=90°,

:./APB=/APP+/BPP=9G+45°=135°.

思路二、同思路一的方法.

(2)如图2,将△第C绕点6逆时针旋转90°,得到4连接".

则乙A8P沿ACSP,AP'=CP=7n，BP=BP=\,/物=90

:./BPP=45°,

根据勾股定理得，PP'=V2BP=V2«

\'AP=3,

：.A^P严=9+2=11,

22

又：p'A=（VH）=H-

/+尸尸=尸才，

...△4狎是直角三角形，且/加狎'=90°,

：.2APB=/APP-ZBPP=90°-45°=45°.

(3)如图，将△26。绕点6顺时针旋转60°,得到△a连接用

图3

则△9侬△比瓦/AOB=/BEC=36Q°-90°-120°=150°,

：△8〃是等边三角形，

：.4BEO=4BOE=6G,

必C=90°,/OEC=\2Q°-60°=60°,

.,.sin60°=器=零，设EC=Mk,OC=2k,则

,：ZAOC=90°,

：.OA:+OCl=ACl,

；.3整+4分=7,

.,.k=l或-1(舍弃)，

：.OA=g,OC=2,

OA*〃C=gx2=<^3.

故答案为

10.如图1,在矩形力阅9中，点户是6c边上一点，连接加5交对角线切于点色BP^BE.作

线段力户的中垂线4V分别交线段〃C,DB,AP,AB于点、M,G,F,N.

(1)求证：ZBAP^ABGN-,

PF

(2)若羽=6,BC=8,求旦；

EF

(3)如图2,在(2)的条件下，连接CF,求tan/CW的

・・,四边形/四是矩形,

：.ZABC=9Q°,

：.ZBAP=ZAPB=90°

VBP=BE,

：./APB/BEP=/GEF,

・・・娜垂直平分线段ZR

：.ZGFE=9Q°,

:・/BGNv/GEF=9G,

・•・ABAP=/BGN.

(2)解：•・•四边形"切是矩形，

：.ZBAD=ZABP=90°,AD//BC,AD=BC=8,

BD=22=22=

・•・VAB+ADV6+81。,

'：AD"BC,

:・/DAE=/APB,

・.•ZAPB=ZBBP=/DEA,

:・/DAE=/DEA,

:.DA=DE=8,

：.BE=BP=BD-DE=10-8=2,

PA=VAB2+BP2=V62+22=2V10'

丁批垂直平分线段/R

：."=「尸=屈,

'：PB//AD,

.PEPB21

,•市一=而一=京一=了

：.PE=—PA=2a^,

55

：.EF=PF-/^=V10-织亘m,

55

2K

.PE_5_2

••西一wiu―于

5

(3)解：如图3中，连接掰MP.设川x.

•.•四边形力少切是矩形，

:.NADM=/MCP=9Q°,AB=CA6,AMBC=8,

:就垂直平分线段/R

：.MA=MP,

:・AI}+DM=PG+CM,

A82+(6-£)2=62+/,

*：/PFM=/PCM=9G°,

:・P,F,M,。四点共圆,

・/CFM=/CPM,

'.-tanZ.CFM—X.anACFM—^-—3

CP4-9

6

11.在利用构造全等三角形来解决的问题中，有一种典型的利用倍延中线的方法，例如：在

△/回中，46=8,AC=6,点，是宛边上的中点，怎样求4?的取值范围呢？我们可以延

长4?到点E,使AD^DE,然后连接"(如图①)，这样，在和△瓦历中，由于

'AD=DE

-ZADC=ZEDB):./\ADC^/\EDB,:.AC=EB,接下来，在△/应中通过/£的长可求出

BD=CD

的取值范围.

请你回答：

图①图②图③

(1)在图①中，，中线4?的取值范围是.

(2)应用上述方法，解决下面问题

①如图②，在△26C中，点，是6c边上的中点，点£是/6边上的一点，作"」施交4C

边于点色连接即若庞=4,CF=2,请直接写出外的取值范围.

②如图③，在四边形/式》中，N"刀=150°,N49C=30°,点£是四中点，点尸在"

上，且满足8c=5DF=AD,连接龙、ED,请判断方与初的位置关系，并证明你的结

论.

解：(1)延长相到点£,使助=〃£,连接龙，如图①所示：

:点，是回边上的中点，

：.BD=CD,

'AD=DE

在△/叨C和aw中，，NADC=NEDB，

BD=CD

:.△ADgXEDBCSAS),

：.AC=EB=6,

在△/龙中，AB-BE<AE<A济BE,

/.8-6</£<8+6,即2</£<14,

：.1<AD<7,

故答案为：1C7；

(2)①延长旗到点儿梗ED=DN,连接以FN,如图②所示:

:点，是回边上的中点，

：.BD^CD,

'CD=BD

在△；«力和△旗5中，中，<ZCDN=ZBDE)

DN=ED

:.△NDMXEDB(弘S),

:.BE=CN=4,

"：DFVDE,ED=DN,

:.EF=FN,

在△C7W中，CN-CF<FN<CN^CF,

；.4-2<册<4+2,即2<呼<6,

：.21EF<6；

②CE1ED；理由如下：

延长CE与DA的延长线交于点G,如图③所示：

:点£是46中点，

:.BE=AE,

'：/BCD=\5Q°,ZADC=30°,

：.DG//BC,

：.AGAE=ACBE,

，ZGAE=ZCBE

在△南£和△侬中，，AE=BE，

ZAEG=ZBEC

&△侬(ASA),

：.GE=CE,AG=BC,

,:BC=CF,DF=AD,

：.CPrDF=BC+AD=AG+AD,即：CD=GD,

'：GE=CE,

CELED.

'、、cG

图②

12.如图，在平行四边形切中，ABVAC,对角线必初相交于点。，将直线“绕点。

顺时针旋转一个角度a(0°<a^90°),分别交线段比1、4?于点£、F,已知/8=1,

BC=V5-连接BF.

，(1)如图①，在旋转的过程中，请写出线段"'与比的数量关系，并证明；

(2)如图②，当a=45°时，请写出线段所与卯的数量关系，并证明；

(3)如图③，当a=90°时，求48⑺的面积.

解：(1)AF=CE；理由如下：

:四边形力比》是平行四边形，

：.AD//BC,AgCO,

：.AFAO=AECO,

，ZFA0=ZEC0

...在△/户。与△侬中，，A0=C0

ZA0F=ZC0E

:.XAFG乌MCE。CASA),

：.AF=EC；

(2)BF=DF；理由如下：

u：ABLAC,

：.ZBAC=90°,

22=

•1•AC=7BC-AB7(V5)2-l2=2,

・・・四边形力四是平行四边形，

：.BO=DO,AO=CO=-AC=\,

2

：.AB=AO,

又・・F员L47,

：.ZAOB=45°,

•・・Q=45°,ZAOF=45°,

ZBOF=ZAOB+ZAOF=450+45°=90°,

：.EFLBD,

U：BO=DO,

:・BF=DF；

(3)u：ABLAC,

：.ZCAB=90°,

：.ZCAB=ZAOF=a=90°,

：.AB//EF,

,/四边形/四是平行四边形，

：.AF//BE,

・••四边形/颂是平行四边形，

:・AB=EF=3

由(1)得：

：・OF=OE=LEF=L,

22

由(2)得：AO=1,

,:AB〃EF,AOLEF,

S^BO产S^AOI^^TAO*0F=《X1X

2224

13.综合与实践

如图1,△4%和均为等边三角形，点4D,£在同一直线上，连接版请写出/

/旗的度数及线段/〃，庞之间的数量关系，并说明理由.

（2）类比探究

如图2,和均为等腰直角三角形，NACB=NDCE=9Q°,点A,D,£在同一

直线上，◎/为中庞边上的高，连接应

填空：①今/旗的度数为90。；

②线段AE,龙之间的数量关系为AE=BE+2CM.

（3）拓展延伸

在（2）的条件下，若庞=4,CM=3,则四边形/皈的面积为35.

解：（1）乙4旗=60°,AD=BE,理由如下：

四和△比万均为等边三角形，

:.CA=CB,CD=CE,NACB=NDCE=60°.

：.AACD=/BCE.

M=BC

在和△比F中，，/ACD=NBCE，

CD=CE

:.MAC哙XBCE（弘S）.

：./ADC=/BEC.AD=BE,

方为等边三角形，

:"CDE=/CED=60°.

:点4D,£在同一直线上，

.•.Z^C=120°.

:./BEC=\2Q°.

：./AEB=/BEC-/CED=60°.

(2)猜想：①NZ旗=90°,®AE=BE+2CM.理由如下：

・・・△/⑶和△旌均为等腰直角三角形，

：.CA=CB,CD=CE,ZACB=ZDCE=90°.

:・/ACD=/BCE.

'AOBC

在必和△位中，ZACD=ZBCE，

CD=CE

:•丛AC哙&BCE(弘S).

:・AD=BE,/ADC=/BEC.

・・・△松为等腰直角三角形，

:・/CDE=/CED=45°.

・・,点4D,£在同一直线上，

AZADC=135°.

：.ZBBC=135°.

：.ZAEB=ZBEC-ZCED=90°.

VCD=CE,CMLDE,

：.DM=ME,

'：ZDCE=90°,

：.DM=ME=CM.

:・AE=ADWE=BE+2cM.

故答案为：90°,AE=B*2CM；

(3)由(2)得：NAEB=90°,AD=BE=4,

・・,△叱均为等腰直角三角形，。/为中班边上的高，

CMLAE,DE=2CM=6,

：.AE=AD^DE=4+6=10,

・•・四边形力皈的面积=△/2的面积+△/庞的面积=L4£*CMv—AEXBE=Ax10X3+-

22