2023届江西省九江市高三年级下册高考数学（理）模拟考试试卷（含答案）

九江市2023年第二次高考模拟统一考试

数学试题(理科)

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟.

考生注意：

1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名等内容填写在答题卡上.

2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净

后，再选涂其他答案标号，第H卷用黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.

第I卷(选择题60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

/31

L已知复数Z满足iz=[+2i,则Z2=(C)

173.1

A4.-+—ic回D.」+g

22222222

m15/3.i3

解：2=7-二-1，/.Z2=----1,故选C.

2222

2.已知集合A=B={Aly=ln(x-l)},则(C/)nB=(A)

A.(-1,0)B.(-℃,0)C.(-2,-1)D.(-oo,-l)

解:A={xlx<0},B=[x\-l<x<OBJCX>1),(CA)pS={xI-1<x<0},故选A.

RR

元+2y21

3.已知实数无,y满足条件x-yWl,贝i|z=3x-4y的最大值为(D)

y-l<0

A.-7B.1

C.2D.3

x+2y>l

解:作出不等式组｛x-表示的平面区域，如图所示，

y-l<0

平移直线/:3x-4y=0,当过点4(1,0)时，z=3,故选D.

0max

4.已知命题pPxeR,x2+2x+2-a<0,若p为假命题，则实数。的取值范围为(D)

A.(l,+°o)B.[1,+<»)C.(-oo,l)D.(-oo,l]

解:依题意，^A=4-4(2-«)<0,故选D.

8Q/T

5.已矢口sin^—coS/二看，0e(0,7i),则cos9=(B)

2Q2。11

A-丁B「丁C，3D--3

sin--cos—=^->0,J=L0e(0,TI),(sin--cos—)2=—,sin0=-,Qe(—,71),:.cos0=-^^.

223223323

故选B.

,oc4095

6.执行右边的程序框图，如果输入的是〃=LS=0,输出的结果为

4096

则判断框中“O”应填入的是(C)

A.n<13B.n>12

C."<12D.n<11

解：执行循环体后，当〃=12时，5=1+J-+..1

•+—二

222212

4095皿a(J束)

=1-4096-故选C

7.已知变量的关系可以用模型y=ke，，，x拟合，设z=Iny,其变换后得到一组数

据如右.由上表可得线性回归方程z=3x+a，则左=(B)X12345

A.e-3B.e-2C.e2D.e3Z2451014

解：由表格数据知：x=3,£=7.由z=3x+a,得a=7_3x3=_2,

z=3x-2,z=Iny=Ink+mx=3x-2,：.lnk=-2,k=e-2,故选B.

8.如图，正方体ABCO-ABCO的棱长为2,“是面3CC3内一动点,

lilt11

且则。M+MC的最小值为(C)4

1

A.R+2

c.72+76D.2

解:连接班),BC,DC,易知AC,平面BDC,

1111

Ai

:DMLAC,.1DW2平面BDC,即M在线段

11

BC上.将沿着BC展开，使得£>,3,C,C；大一

1111

四点共面，则。M+="+故选C.

9.青花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下

彩瓷.一只内壁光滑的青花瓷大碗水平放置在桌面上，瓷碗底座高为icm,瓷碗的轴截面可以近似看成是

抛物线，碗里不慎掉落一根质地均匀、粗细相同长度为22cm的筷子，筷子的两端紧贴瓷碗内壁.若筷子

的中点离桌面的最小距离为7cm,则该抛物线的通径长为(C)

解:如图，建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为短=20；(0〉0),W二W

焦点厂(0,4),设A(x,y),8(x,y),1,

21122i

“叫=22,陷平个阳，7+%+K22,\，_一夕

设线段中点为则2y+p>22,由题意可知，y的最小值/

为6,；.12+p=22,p=10,.•.该抛物线的通径长为2p=20,故选c.",

10.在△ABC中，三内角A,3,C所对的边分别是凡瓦c,已知+=a=3当B取

cosAcosCcosB

最小值时，△ABC的面积为©

C.正D.272

sinAsinCsinB

解：由正弦定理得-----+-----=------,即tanA+tanC=tan5,tanA+tanC=-tan(A+C),

-cosAcosCcosB

tan4+tanC=_tanA+tanC...tanA+tanC0,tanAtanC=2,A,C为锐角.

1-tanAtanC

又tan5=tanA+tanC>2JtanAtanC=2版,即5取最小值时，tanB取最小值2J7,

止匕时tanA=tanC=JJ,△ABC为等腰三角形，c=a=^/3,sinB=,

]]_2/TL

/.S=-acsinB=_x73x^/3x_2_=,故选C.

/XABC2

Y2V2

11.已知双曲线c：一一二=1(a,b>0)的左右焦点分别为尸，/，M是双曲线C左支上一点,

a2b212

且NFMF=30°，点F关于直线MF对称的点在y轴上，则C的离心率为(A)

1212

解:设点厂关于直线板对称的点为P,连接Pb,则尸歹为正

三角形，/=30°.又/尸MF=30°,」MF1=2c

IMF1=2y/3c,由双曲线的定义知2a=2A-2c,解得

1—巾+1

故选A.

4―0-12

12.设a=sin；,。=展一1,c=ln£,则a,b,c的大小关系为(B)

44

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>b>a

解:将1用变量光替代，则。=5m了，b=e*-l,c=ln(x+l),其中xe(O,l),易证-1>x>sinx,

4

:.b>a令/(x)=sinx—ln(x+l),贝g/'(x)=cosx——^―,f\x)=-sinx+————,

x+1(X+1)2

易知/"(x)在(0,1)上单调递减，且/"(0)=1>0,/ff(l)=1-sinl<0,.-.Hre(0,1),使得〃。)=0,

4oo

当X£(O,X)时，f\x)>Q,广(尤)单调递增;当X£(%,1)时,/〃(尤)<0,广(元)单调递减.

00

又/'(0)=0,/⑴=cosl—；>0,.•./'(x)>0,.•./(X)在(0,1)上单调递增，

/(%)>/(0)=0,即sinx>ln(x+l),:.a>c,

综上，b>a>c,故选B.

第II卷(非选择题90分)

本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22-23题为选考题,

学生根据要求作答.

二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.(2+J7)6的展开式中，常数项为60.

JC

r\2a32

解：(4+6)6展开式的通项为©「(一)6_(6),=26-«521),令工厂―6=0,得厂=4,故(—+6)6的

X6X62X

展开式中，常数项为26-4C4=60.

6

2兀

14.已知非零向量Q8满足13=21加，且S—3〃)1=Q2,则d〃的夹角为行.

解：设向量〃b的夹角为。,・.・(b-3a)b=b2-3ab=〃2,:.\bh-6\b\2cos0=4b2,即00=-L,

.-.9=—.

3

71

15.函数/(x)=4sindx-lx-ll的所有零点之和为6.

7171

解：令/(x)=0,得4sin'%=lx-II,问题等价于函数，=45也2％与y=lx-ll图象的所有交点的横

坐标之和•两函数的图象关于直线尤=1对称，且有且仅有6个交点(x,y),(%,y)一••,(%,y),

112266

=3x2=6.

i

i-1

16.根据祖Bfi原理，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两

个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.如图1所示，一个容器是半径为R的半球，另一个容器

是底面半径和高均为R的圆柱内嵌一个底面半径和高均为R的圆锥，这两个容器的容积相等.若将这两容

器置于同一平面，注入等体积的水，则其水面高度也相同.如图2,一个圆柱形容器的底面半径为4cm,

高为10cm,里面注入高为1cm的水，将一个半径为4cm的实心球缓慢放入容器内，当球沉到容器底端

解：设铁球沉到容器底端时，水面的高度为/i.由图2知，容器内水的体积加上球在水面下的部分体积等

于圆柱的体积，由图1知相应圆台的体积加上球在水面下的部分体积也等于相应圆柱的体积，故容器内水

的体积等于相应圆台的体积•容器内水的体积为丫卜=71X42X1=1671,相应圆台的体积为

水

4417、//7、64兀(4一0)3兀“64兀(4一力)3兀

X7ix42x4一一X71X(4—/l)2x(4—九)=------------,/.16兀=--------------,解得

33333

/2=4-^16=4-2^2»4-2x1.26=1.48cm.

三、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分12分)

。IQ

已知公差不为零的等差数列｛。｝中，a+a=8,且a,a,a成等比数列，记b=(-—.

n152511naa

nn+\

⑴求｛aJ的通项公式；

⑵求｛d｝前〃项和的最值.

n

解：(1)<〃+。=8,/.a+2d=4...........2分

151

•：a,a成等比数列，:.a?=a-a,即(a+4d”=(a+d)・(a+10d),

25115211111

化简得—2d2=。,・4分

i

a+2d=4,a=2,(2=4,

或9=0；(舍去)………5分

由<'M解得i

aa-2a2=0,d—\

i

/.a=2+(〃-1)x1=〃+1..........6分

n2n_|_3

=(―1)«+13=(—])〃+ix(11

⑵由⑴可知b=(-l)«+i”+)7分

na-a(〃+1)・(〃+2)n+1〃+2

nn+1

设也｝的前〃项和为S,

nn

：.s=(i+[—J+L+(i+1)-…+(—i)“(i+1)+(—l)”+i(111+(—1"1

+)

"233445nn+1n+1〃+22n+2

..........8分

当〃为奇数时，S=：+」，｛S｝单调递减，＜S

9分

〃2n+2〃2〃i

当"为偶数时，=H｛SJ单调递增，………】。分

他｝前〃项和的最大值为S=^+—=1,最小值为S=1--1—=1..........12分

«121+26222+24

18.（本小题满分12分）

TT

如图，在三棱柱ABC—ABC中，AC，平面ZABB=_,

iiiiii3

AB=1,AC=A4=2,。为棱88的中点.

11

（1）求证：平面AC。；

11

（2）在棱BC上是否存在异于点3的一点E,使得DE与平面AC。所

11

71一一BE一

成的角为丁？若存在，求出行的值；若不存在，请说明理由.

oBC

证明：（1）・・・AC，平面ADJ平面AABB,.•.AC,AO,

11工11

..........1分

-AC//ACfADIAC2分

iiii

兀兀7C

由已知得AB=BO=1,ZABD=_,：.ZADB=_,同理可得44。6=一.....3分

33116

八z

兀

ZADA=n-(ZADB+ZADB)=-,即.....4分

11121

又A£)r|AC=A,AD,AC0平面AC。，AO_L平面

1111111H1111

兀

解：(2)连接AB,•.•/ABB=—，AB=1,BB=2,：.ABLAB,

ii3ii

AC,平面:.ACVAB,ACLAB...........6分

iii

以A为原点，AB,ACAB所在的直线分别为x,y,z轴，建立如图空

1

间直角坐标系，则4(0,0,0),5(1,0,0),C(0,2,0),7分

设Bi,则E（1-九,2九,。），岑）………8分

由⑴知平面qq。的一个法向量为A力=（；,0,唾）.....9分

1|X+1I]

；」cos<DE,AD>\=「2=_..........10分

一九）2+（2九）2+（—2^）2

3

化简得4九2-3九=0,解得入=二或九=0（舍去）.....11分

4

兀BE3

故在棱上存在异于点8的一点E,使得DE与平面AC。所成的角为L，且一大=二.....12分

1'6BC4

19.（本小题满分12分）

现有编号为2至5号的黑色、红色卡片各一张.从这8张卡片中随机抽取三张，若抽取的三张卡片的编号

和等于10且颜色均相同，得2分；若抽取的三张卡片的编号和等于10但颜色不全相同，得1分；若抽取

的三张卡片的编号和不等于10,得0分.

（1）求随机抽取三张卡片得0分的概率；

（2）现有甲、乙两人从中各抽取三张卡片，且甲抽到了红色3号卡片和红色5号卡片，乙抽到了黑色2号

卡片，求两人的得分和X的分布列和数学期望.

解:（1）三张卡片编号和等于10有3种可能，分别为：2+3+5,3+3+4,2+4+4.........1分

其中，三张卡片编号均不同的情况共有：N=23=8种.....2分

1

有两张卡片编号相同的情况共有：%=2x2=4种………3分

设“随机抽取三张卡片得分为。分”为事件A,，P（A）=1-P（Z）=1-婆=1-11=1-

C3561414

8

即随机抽取三张卡片得0分的概率为!.....4分

14

（2）得分和X的可能值为0,1,2,3,4.....5分

①若X=4,则甲乙各得2分.

即甲为2（红）+3（红）+5（红），乙为2（黑）+3（黑）+5（黑），有1种情况.

1_1

P(X=4)=C1C2-306分

54

②若X=3,则甲得2分乙得1分.

即甲为2（红）+3（红）+5（红），乙为2（黑）+4（红）+4（黑）有1种情况.

11

P(X=3)=7分

C1C230

54

③若X=2,则甲得2分乙得0分或乙得2分甲得0分.

若甲得2分乙得0分,则甲为2（红）+3（红）+5（红），对应乙有4种情况;

若乙得2分甲得0分,则乙为2（黑）+3（黑）+5（黑），对应甲有2种情况.

—4+261、

r（,A=切=-----=一=一.....8分

OC2305

54

④若x=l,则乙得1分甲得0分.

即乙为2（黑）+4（红）+4（黑），对应甲有2种情况.

22_1

P（X=1）=9分

C1C230-15

54

⑤若X=0,则甲和乙均得0分.

20.（本小题满分12分）

X2V2/3

如图,已知椭圆U布+五=1（.〉人°）的离心率为直线/与圆q：x2+A="相切于第一象限,

与椭圆c相交于A,8两点，与圆Q：龙2+V=42相交于w,N两点，\MN\=2>/3.

（D求椭圆C的标准方程；

（2）当的面积取最大值时（。为坐标原点），求直线/的方程.

解：（1）依题意得IAWI=2ja2—bz=2道,⑺—从=3..........1分

又02=b2+C2,；.C2=3,C=y/3..........2分

•：e=-=,:.a=2,b=l..........3分

a2

Y2

椭圆C的标准方程为亍+W=1..........4分

（2）解法一：依题意可设直线/的方程为y=kx+机（k<0,机〉0）,A（x,y）,B（x,y）,

1122

ImI

・.•直线/与圆C相切，=1,即机2=1+k2.........5分

1Jl）+%2

y=kx-\-m,

联立方程组<消去y整理得（1+4左2）%2+8Qnx+4加2-4=。......6分

彳+产=1,

8km4机2—4

X+X=----------,XX=-----------7分

121+4左2121+4^2

S=—xlxIAB1=-J1+.2lx-%|=1J1+-2•/（x+x）2-4xx

△ObB22122、1212

1r—―/8km、.4m2-4251+左2.J一加2+1+4）2_253。2（1+12）

力-中p-4."9分

1+4左21+4左2

・・・3左2+（1+左2）2213左2（1+左2）,

即SMl10分

1+4左2△04B

当且仅当左=-半时取等号

11分

..•直线/的方程为y=—+当，即x+—番=0

12分

解法二依题意知直线/的斜率存在，设切点P的坐标为(口。)(°<W0<1),R'),8心?

•.•直线。尸的斜率为学，OP，/,...直线/的方程为》一天=一去(无一无0),

0,0

又TX2+V2=1%x+yV=1

^^00005分

xx+yy=L

o0

联立方程X2消去y整理得(4x2+y2)x2-%x+4-4y2=06分

+丁2=1,

~4

8%4-4y2

X+X=----0——xx=------o_7分

124%2+y2124%2+y2

0000

+y八2)_4y/3jx2(l-x2)

味-%上"储+4)2—招&=y

3x2+1'

000

1114nliL.1LX2xj)_2y/^x

:.S=_xlxIAB\=—-1+-0-lx-xl=—•1+f3x2+13x2+19分

/XOAB22\y2122\y2

Vo1ooo

10分

o

当且仅当X=*,y=更时取等号

11分

03o3

，直线/的方程为x+y=1,即x+5/Jy-5/T=012分

21.(本小题满分12分)

已知函数/(x)=e、-a%2(〃£R),g(x)=x-l.

⑴若直线>=g(x)与曲线y=/(x)相切，求。的值；

⑵用min3,〃｝表示加,”中的最小值，讨论函数/z(x)=min｛/(x),g(x)｝的零点个数.

解：⑴设切点为(x4),•/f'M=e.v-2ax,f'(x)=e<0-lax1分

00o0

ex0-2ax=1,

o(*)2分

ex-ax2=x-1,

o00

消去。整理，得(e%+l)(x-2)=0,二x=23分

00

e2-1

a=-----4分

4

⑵①当xe(—oo,l)时，g(x)<0,/i(x)=min{/(x),g(x)}Wg(x)<0,,/?。)在(一00,1)上无零点

.....5分

②当x=l时，g(D=0,〃l)=e-

若〃We,/⑴20,此时/z(x)=g⑴=0,%=1是力(无)的一个零点,

若a>e,/(1)<0,此时力(％)=/(1)<0,无=1不是力(无)的零点……6分

③当尤e(l,+»)时,g(x)>0,此时以无)的零点即为〃x)的零点.

口,OxLIx(x—2)0x

令/(X)=口工-0X2=0,得。=一，令(p(x)=一,则(p(x)=--------,

X2X2X3

,

当l<x<2时，(p(x)<0:当x〉2时，(p'(x)>0,在(1,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，

且当xf+00时，(p(x)—+<»......7分

02

(i)若。〈叭2),即a<时,/(x)在(1,+8)上无零点，即依无)在(L+oo)上无零点.....8分

4

e2

(近)若。=中(2),即。=4时，/(X)在(1,+8)上有一个零点，即皿>)在(1,+8)上有一个零点

.....9分

02

(iii)若(p(2)<a<(p⑴，即又<a<e时，/(x)在(l,+oo)上有两个零点，即6(x)在(1,+8)上有两个零

点.....10分

(iv)若a2(p(l),即a2e时，/(x)在(1,+8)上有一个零点，即/z(x)在(1,+8)上有一个零点

.....11分

n2n2

综上所述，当a〈一或。>口时，%(x)在R上有唯一零点；当。=二或。=口时，%(x)在R上有两个零

44

口2

点；当一<a<口时,例>)在R上有三个零点.....12分

4

请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程

一JQ—___1__

在直角坐标系xOy中，已知直线/的方程为冉+嫄旷+1=0,曲线C的参数方程为,-cosa(a为

y-tana

参数).以。为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求直线I的极坐标方程和曲线c的普通方程；

⑵设直线丁=依(左〉0)与曲线C相交于点A6,与直线/相交于点C,求2—屋j—的

依|2I0BI2\OC\2

最大值.

角军：(1)令*=pcosO,y=psin0,cos0+V2psin0+1=0,

,J21

即直线l的极坐标方程为P=-——，即P=------------.........2分

2(sm0+cos0)2sin(0+71)

11sin2a，-

・.・--------tan2a=------------------=1,%2一产=1,

cos2acos2acos2a

即曲线。的普通方程为X2-y2=l5分

兀

（2）解法一：直线>=立（左>0）的极坐标方程为e=a（0<a<_）.....6分

兀

设Aja),则㈣,…)，C(Pd+a)(0<aj),

11

曲线C的极坐标方程为P2=g'五五

L_+_L_=±+±=2cos2a

7分

10412\OBVp2p2

I2

①1=]=2(sincx+cosoc)2=2+2sin2a

又P3=8分

2(sina+cosa)\OC\2p2

3

111

--------+---------+------=--2-+2cos2a+2sin2a=2+2^2sin(2a+；)9分

IOAI2IOB|2IOC|2

—!—+—!—+—!—的最大值为2+2J2