2025年高考数学复习大题题型归纳：构造法求数列通项的六种方法（原卷）

第07讲构造法求数列通项的六种方法

弘考法一：an+i=pan+q（p/^,1,夕和）

"例题分析

【例1】

已知各项均为正数的数列｛册｝满足的=1,即=2a,i-i+3（正整数n>2）

（1）求证：数列｛霰+3｝是等比数列；

⑵求数列｛总的前〃项和Sn.

满分秘籍

遇到an+i=pan+q（p，0,1,q，0）的形式

第一步构造出：an+i+t=p（an+t）的形式；

第二步利用待定系数求出t的值。

则数列｛an+t1为公比为p的等比数列。一

变式训练

【变式1-11已知数列｛%｝满足册+i=2an-+小=的•

(1)求｛册｝的通项公式；

a

(2)若0=2n-1,数列｛%｝满足c4A3=b2n-VQn-2=2n-lfQn-1=«2n>Qn=力2”，求｛c九｝的前4n+1项和

^4n+l,

【变式1-2］已知数列｛a［满足的=1,an=30n_i+2(n>2,nGN*).

(1)求证：数列｛册+1｝是等比数列；

(2)若%=(2n+1)(册+1-％)，S”为数列｛%｝的前〃项和，求Sn.

【变式1-3］在数列｛%｝中，的=』4%+i=3a-

□n□

(1)求｛an｝的通项公式；

⑵求数列｛|叫｝的前n项和S%

策考法二：an+i=pan+qn+c(p^0,l,夕#0)

-Lit例题分析

【例2】已知：4=1,九之2时，。九=g册_1+2九一1,求｛斯｝的通项公式.

满分秘籍

先构造出a。+An+B=pla—+Afn-1)+B]_.然后利用待定系数法求出A和B的值.

即可判断出数利也「士An+B1为公？匕为p的等比数列。—

【敏变式训练

【变式2-1】已知数列｛an｝满足:%=1,an+1=2an+n-1.

(1)证明：数列｛%+m是等比数列并求数列｛册｝的前n项和为端.

(2)设bn=(2n-1)•(a“+n),求数列｛%｝的前n项和7\.

nn+1

①一②得：一Tn=2+2x22+2x23+…+2x2—(2n—1)•2

=2x(2+22+•­•+2n)-2-(2n-1)-2n+1

=-(2n-3)-2n+1-6

所以7n=(2U一3)・2叶1+6.

【变式2-2］设数列｛%｝满足的=2,an-2斯_1=2-n(n€N*).

⑴求证：｛与-呜为等比数列，并求｛册｝的通项公式；

⑵若“=(an-n)-n,求数列也｝的前几项和7\.

【变式2-3]已知数列｛an｝中，ar=1,满足“+i=2an+2n-l(nGN*),设%为数列｛an｝的前几项和.

(1)证明：数列｛an+2n+l｝是等比数列；

n

(2)若不等式4-2+Sn+4>0对任意正整数n恒成立，求实数4的取值范围.

弘考法三：a〃+i=pa〃+r夕”

薄例题分析

【例3-1]p=q

已知数列｛册｝的首项的=p满足册+i=+0(nEN*).

⑴求数列小｝的通项公式;

n

(2)设“=2an,将数列｛bn｝分组：(瓦)，(①,生),(与氏也)，(.b7,b8,bg,b10),■■■,记第n组的和为cn.

(i)求数列｛%｝的通项公式;

⑺证明力»..・+X

【例3-2]p利

n-1

已知数列｛a九｝满足即+i=2c1n+4x3,=1,求数列｛%｝的通项公式.

满分秘籍

当P=q时.等式两边同时除以P,即可构造出一个等差数列。

当时，可设+X-&三&但口430),利用待定系数求出参数的值，即可构

造出等比数列。

变式训练

n+1

［变式3-1］已知数歹支。,｝中,ci］=2,an+1-4an=2,nGN*.

(1)求证:｛册+2日是等比数列，并求｛an｝的通项公式;

(2)设0=43冬：，求数列｛时｝的前n项的和7八

46Zn—Z+Z

n-1

【变式3-2］若数列｛an｝满足国=2,0n+i-2an=3.

(1)证明:5+1-3an｝是等比数列；

(2)设｛%｝的前n项和为％,求满足％<2023的n的最大值.

考法四：dn+2pOn+1\qtln

例题分析

【例4】已知数列｛an｝中，的=1,%=2,册+2=|册+1+g%i，求｛册｝的通项公式.

满分秘籍

设出a；i+2-sa“+i=t(a“+i-sa?).利用待定系数求出s和t的值.则可等到数列£匈+1-

为公比拓的一不至比数或—-

变式训练

【变式4-1］已知数列｛an｝满足方=3,。2=6,。九+2=2a九+]+3a九,

a

【变式4-2］已知数列｛册｝满足臼=1,。2=5，n+2=5册+1—6c1n.

(1)证明：｛%+1-2%｝是等比数列；

(2)证明：存在两个等比数列｛b｝,｛cn｝,使得册=勾+4成立.

【变式4-3］已知数列｛册｝满足%=5,a2=13,且an+2=50n+i—6an(nGN*).

(1)求证：数列｛%+i-2an｝是等比数列，并求｛%｝的通项公式;

⑵若“-2">A(3n+1)(-1尸-1对任意的7ieN*恒成立，求实数4的取值范围.

弘考法五：an+i=——

pan+q

F忠.例题分析

【例5］已知数列｛an｝满足：的=2,册=「"T,(n>2),求通项a”.

zan-i+l

满分秘籍

等式两边同时取倒数，即可得到一个新的等比数列。

变式训练

【变式5-1］在数列｛an｝中,%=l,an+i=言^求

2

a=

【变式5-2］已知数列｛an｝中，ran+1=-^-.

OL一（Ln

(1)求数列｛册｝的通项公式；

(2)求证：数列｛an｝的前n项和Sn<1.

【变式5-3］已知数列｛时｝的首项的=|,且满足an+i=12.

(1)求证：数列｛2-2｝为等比数列：

(2)若工+工+工+…+工<101,求满足条件的最大整数几

的a2a3an

考法7^：pa/

，黑，例题分析

【例6】设正项数列｛册｝满足a〕=1,an=2a^_1(n>2),求数列｛册｝的通项公式.

满分秘籍

两边同时取对数，可以构造出一个等比数列。.

变式训练

2

【变式6-1］数列｛册｝中，的=2,an+1=an,求数列｛即｝的通项公式.

23.已知数列｛%J,a±=100,an+1=a^(neN*).

(1)求数列｛时｝的通项公式；

(2)设8n=(九+l)lgan,求数列｛bn｝的前几项和7rl.

24.已知数列｛an｝满足的=3,an+1=a^-2an+2.

(1)证明数列｛In(册-1)｝是等比数列，并求数列｛册｝的通项公式;

(2)若bn=L~l——r,数列｛b九｝的前n项和Sn,求证：Sn<2.

UJIa九一z

团真题专练

1.已知数列｛an｝,a】=1,冗2期+1=2(n+1)2%,且6n=gan+i-

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)求数列｛%｝的前n项和7n.

2.已知数列｛an｝满足即=1,册+1=公五，nGN*.

(1)证明：数列｛擀｝是等差数列，并求数列｛册｝的通项公式；

(2)设6n=/，数列协小的前n项和为Sn,求使不等式Sn</c对一切neN*恒成立的实数k的范围.

3.已知正项数列｛册｝满足3an-2an-册一1一an_i=0(n>2)且的=

(1)求证：数列｛=-1｝为等比数列，并求数列｛%｝的通项公式；

(2)证明：数列｛册｝的前n项和S相<*

4.已知数列｛勾｝是首项为1的等差数列，数列5｝满足an+i-30n-1=0,且①+1=。2,刖=1.

(1)求数列｛册｝的通项公式；

(2)令7=(1n,bn,求数列｛cn｝的前一项和7n.

5.已知数列｛a九｝满足％=1,且%+i=2a九+3(九£N*).

(1)设"=a九+3(九6N*),求证｛bn｝是等比数列;

(2)求数列｛册｝的前几项和S九.

6.设数列｛a九｝满足的=0,--------—=1

l-a葭+il-an

(1)求｛an｝的通项公式；

(2)设b=上需亘，记%=2：G匕H证明：S九＜1.

7.已知数列｛%J,｛匕九｝满足2a-a=16aa,b=—~16.证明｛g｝为等比数列，并求｛“｝

18n+1nn+1nn%i

的通项公式；

n

8.在数列｛aj中,。=1,an+1=2an+2.

(1)设"=令，证明：数列｛0｝是等差数列；

(2)求数列｛斯｝的通项公式即.

2

9.已知数列｛。九｝和也｝满足：的=an+1=2an+1,数列也｝的前几项和为S九=n+n.

(1)求数列｛册｝和｛bn｝的通项公式：

(2)设数列7=an-bn,求数列｛cn｝的前几项和7\.

10.已知数列｛册｝满足的=1,(n—l)an—nan-r=0(n>2).

⑴求数列｛册｝的通项公式；

n

(2)若8n=2-an,求数列｛bn｝的前n项和Sn.

11.已知数列｛册｝中，的=2,n(0n+i-a中=%+1.

(1)求证：数列｛巴乎｝是常数数列；

n

(2)令g=(—l)an,Sn为数列｛勾｝的前几项和，求使得snW-99的n的最小值.

12.已知数列｛an｝满足的=1,a2=6,且“+i=4an-4册_1，(n22,neN*).

(1)证明数列｛册+i-2an｝是等比数列，并求数列｛册｝的通项公式；

(2)求数列｛册｝的前n项和Sn.

13.已知数列｛册｝中，的=5且an=2an_i+2"—ri€N*),bn-

⑴求证：数列仍，是等比数列；

(2)从条件①｛"+%｝,②｛n-6“｝中任选一个，补充到下面的问题中并给出解答.

求数列的前n项和7n.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

14.已知数列｛an｝满足的=|,2(n-1)GI„-nan_x-0,(n>2).

⑴求数列｛%｝的通项公式；

(2)当％=an+i-an+n时,求数列｛cj的前n项和为7n.

15.在数列｛册｝中，%=5,且册+i=2册—1(九EN*).

(1)证明：｛册