2024-2025学年湖南省岳阳市平江县颐华高级中学高二（上）入学数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省岳阳市平江县颐华高级中学高二（上）入学数学试卷一、选择题：本题共11小题，第1-8题每小题5分，第9-11题每小题6分，共58分。1.已知a=log50.5，b=log30.3A.a<b<c B.b<a<c C.a<c<b D.b<c<a2.设向量a=(cos23°,cos67°)，b=(cos53°,cos37°)，a⋅A.32 B.12 C.−3.若p：|x|=x，q：x2+x≥0，则p是q的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，E，F，G分别是DD1A.30°

B.45°

C.60°

D.90°5.已知按从小到大顺序排列的两组数据：

甲组：27，30，37，a，40，50；

乙组：24，b，33，44，48，52．

若这两组数据的第30百分位数对应相等，第50百分位数也对应相等，则a+b=(

)A.60 B.65 C.70 D.756.1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下以下公式eix=cosx+isinx(e是自然对数的底，i是虚数单位)，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，下列说法正确的是(    )A.eix+1=0 B.12+37.若一个圆柱的内切球(与圆柱的两底面以及每条母线均相切)的表面积为4π，则这个圆柱的体积为(

)A.π B.2 C.2π D.2π8.已知直角梯形ABCD中，AD//BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则|PA+3PB|A.4 B.5 C.6 D.9.对于△ABC，有如下判断，其中正确的判断是(

)A.若cosA=cosB，则△ABC为等腰三角形

B.若A>B，则sinA>sinB

C.若a=8，c=10，B=60°，则符合条件的△ABC有两个

D.若sin2A+sin10.已知函数f(x)=|log2(x+a)|,0<x≤2f(x−2),2<x≤4的图象过点(1,0)，若函数g(x)=m−f(x)的从小到大的四个不同的零点依次为x1，xA.x1x2=1 B.x4−11.如图，正方体ABCD−A′B′C′D′的棱长为4，M是侧面ADD′A′上的一个动点(含边界)，点P在棱CC′上，且|PC′|=1，则下列结论正确的有(

)A.沿正方体的表面从点A到点P的最短距离为45

B.保持PM与BD′垂直时，点M的运动轨迹长度为32

C.若保持|PM|=25，则点M的运动轨迹长度为4π3

二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知集合A={x|x2−3x−10≤0}，集合B={x|m+1≤x≤2m−1}，且B⊆A，则实数m13.已知二次函数f(x)=ax2−2x+1在区间[1,3]上是单调函数，那么实数a14.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形；E为PD的中点.若AP=1，AD=3，AB=34，当三棱锥P−ABCD的体积取到最大值时，点E到平面PBC

三、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.（13分）已知a→=(2sinx,cos2x)，b→=(3cosx,2)，f(x)=a⋅b．

16.（15分）已知△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，sin(2C−π2)=12且a2+b2<c217.（15分）定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)，且当x>1时，f(x)<0．

(1)求f(1)；

(2)证明f(x)在(0,+∞)上单调递减；

(3)若关于x的不等式f(k⋅3x)−f(918.（17分）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．

(1)求三棱锥A−BDE的体积；

(2)求证：PB⊥平面EFD；

(3)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小．

19.（17分）某校象棋社团组织了一场象棋对抗赛，参与比赛的40名同学分为10组，每组共4名同学进行单循环比赛.已知甲、乙、丙、丁4名同学所在小组的赛程如表.规定：每场比赛获胜的同学得3分，输的同学不得分，平局的2名同学均得1分，三轮比赛结束后以总分排名，每组总分排名前两位的同学可以获得奖励.若出现总分相同的情况，则以抽签的方式确定排名(抽签的胜者排在负者前面)，且抽签时每人胜利的概率均为12.假设甲、乙、丙3名同学水平相当，彼此间胜、负、平的概率均为13.丁同学的水平较弱，面对任意一名同学时自己胜、负、平的概率都分别为第一轮甲—乙丙—丁第二轮甲—丙乙—丁第三轮甲—丁乙—丙(1)求丁同学的总分为5分的概率；

(2)已知三轮比赛中丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁2名同学是平局，求甲同学能获得奖励的概率．

答案解析1.B

【解析】解：∵a=log50.5=1+log50.1=1+1log0.15，b=log30.3=1+log30.1=1+1log0.13，

又log0.15<log0.13<0，

∴1log0.12.A

【解析】解：∵向量a=(cos23°,cos67°)，b=(cos53°,cos37°)，

∴a⋅b=cos23°cos53°+cos67°cos37°

=cos23°cos53°+cos(90°−23°)cos(90°−53°)

=cos23°cos53°+sin23°sin53°

=cos(53°−23°)

=cos30°

=32．

3.A

【解析】解：由|x|=x可得x≥0，由x2+x≥0可得x≥0或x≤−1，

则p可推出q，反之推不出，故p是q的充分不必要条件．

故选：A．

判断p，q的关系，即可求解．4.D

【解析】解：如图：连接B1G，EG

∵E，G分别是DD1，CC1的中点，

∴A1B1//EG，A1B1=EG，∴四边形A1B1GE为平行四边形

∴A1E//B1G，∴∠B1GF即为异面直线A1E与GF所成的角

在三角形B1GF中，B1G=B1C12+5.C

【解析】解：根据题意，甲、乙两组数据都按从小到大顺序排列，

甲乙都有6个数据，6×30%=1.8，

则甲组数据的第30百分位数为30，乙组数据的第30百分位数为b，则有b=30，

又由6×50%=3，

则甲组数据的第50百分位数为12(37+a)，乙组数据的第50百分位数为12(33+44)=772，

则有12(37+a)=772，解可得a=40，

故a+b=70．

故选：6.CD

【解析】解：对于A，因为eix=cosx+isinx，所以eix+1=0不一定成立，选项A错误；

对于B，(12+32i)3=(cosπ3+isinπ3)3=(eπ3i)3=e7.C

【解析】解：设球的半径为r，则4πr2=4π，解得r=1，

因半径为r的球是圆柱的内切球，则圆柱的高ℎ等于其内切球直径2r，圆柱底面圆直径等于球的直径2r，

于是得圆柱的底面圆半径为1，高ℎ=2，则V=π×12×2=2π，

所以这个圆柱的体积为2π．

故选：8.B

【解析】解：如图，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，

则A(2,0)，B(1,a)，C(0,a)，D(0,0)

设P(0,b)(0≤b≤a)

则PA=(2,−b)，PB=(1,a−b)，

∴PA+3PB=(5,3a−4b)

∴|PA+3PB|=25+(3a−4b)2≥5，

即有当3a=4b时，取得最小值5．

故选B．

根据题意，利用解析法求解，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A(2,0)，B(1,a)，9.ABD

【解析】解：若cosA=cosB，则A=B，一定为等腰三角形，A正确；

若A>B，则a>b，即2RsinA>2RsinB，

所以sinA>sinB，B正确；

若a=8，c=10，B=60°，由余弦定理得，b2=64+100−2×8×10×12=84，

所以b=221，故符合条件的△ABC有一个，C错误；

若sin2A+sin210.AB

【解析】解：因为f(x)=|log2(x+a)|,0<x≤2f(x−2),2<x≤4，的图象过点(1,0)，

所以f(1)=|log2(1+a)|=0，解得a=0，

所以f(x)=|log2x|,0<x≤2f(x−2),2<x≤4，

因为函数g(x)=m−f(x)从小到大的四个不同的零点依次为x1，x2，x3，x4，

所以关于x的方程f(x)=m从小到大的四个不同的实根依次为x1，x2，x3，x4，

即函数f(x)的图象与直线y=m有四个交点，四个交点的横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，x4．

作出函数f(x)的图象，如图中实线所示：

由图易知0<m≤1.易知−log2x1=log2x2，

所以log2x1+log2x2=0，所以log2(x1x2)=0，所以x1x2=1，故A正确．

易知x4=x2+2，即x4−x2=2，故11.BCD

【解析】解：对于A，将正方体的下面和侧面展开可得如图图形，

连接AP，则|AP|=16+49=65<45，故A错误；

对于B，如图：

∵DD′平面ABCD，AC⊂平面ABCD，DD′⊥AC，又AC⊥BD，

DD′⋂BD=D，DD′，BD⊂平面

DD′B，

∴AC⊥平面

DD′B，BD′⊂平面

DD′B．

∴AC⊥BD′′，同理可得BD′⊥AB′，AC∩AC′=A，AC，AB′⊂平面

ACB′．

∴BD′⊥平面

ACB′．

∴过点P作PG//C′D交CD交于G，过G作GF//AC交AD交于F，

由AB′//C′D，可得PG//AB′，PG⊄平面ACB′，AB′⊂平面ACB′，

∴PG//平面ACB′，同理可得GF//平面ACB′．

则平面PGF//平面ACB′．

设平面PEF交平面ADD′A′于EF，则M的运动轨迹为线段EF，

由点P在棱CC′上，且|PC′|=1，可得|DG|=|DF|=|AE|=1，

∴|EF|=34|A′D|=32，故B正确；

对于C，如图：

若|PM|=25，则M在以P为球心，25为半径的球面上，

过点P作PQ⊥平面ADD′A′，则|D′Q|=1，此时|QM|=|PM|2−|PQ|2=2．

∴点M在以Q为圆心，2为半径的圆弧上，此时圆心角为2π3．

点M的运动轨迹长度2π3×2=4π3，故C正确；

对于D，如图：

延长DC，D′P交于点H，连接AH交BC于I，连接PI，

∴平面AD′P被正方体ABCD−A′B′C′D′截得的截面为AIPD′．

△PCH∼△D′DH，∴|PH||D′H|=|PC||DD′|=|HC||DH|=34．

△ICH∼△ADH，∴|CI||DA|=|HC||DH|=|IH||AH|=34，

12.m≤3

【解析】

解：∵x2−3x−10≤0，∴(x+2)(x−5)≤0，解得−2≤x≤5.∴A={x|−2≤x≤5}．

∵B⊆A，∴B=⌀，或m满足m+1≥−22m−1≤5，解得m<2，或−3≤m≤3.即m≤3．

∴实数m的取值范围是{m|m≤3}．

故答案为{m|m≤3}13.{a|a<0或0<a≤13或【解析】解：f(x)的对称轴是x=1a，

a<0时，f(x)开口向下，x=1a<0，

f(x)在[1,3]递减，符合题意，

a>0时，若f(x)在[1,3]单调，

只需1a≥3或0<1a≤1，

解得：a≥1或0<a≤13，

综上，a∈{a|a<0或0<a≤13或a≥1}，

故答案为：14.310【解析】解：因为四边形ABCD为矩形，边长为定值，所以要使三棱锥P−ABCD的体积取到最大值，则PA⊥平面ABCD，

取PA的中点F，因为E为PD的中点，所以EF//AD，

而AD//BC，

所以EF//BC，

所以E，F到平面PBC的距离相等，

所以VE−PBC=VF−PBC=VC−PBF，

因为PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAB，

所以平面PAB⊥平面ABCD，

又因为平面PAB∩平面ABCD=AB，

BC⊥AB，BC⊂平面ABCD，

所以BC⊥平面PAB，

所以BC⊥PB，PB=PA2+AB2=12+(34)2=54，

S△PBF=12S△PAB=12×12PA×AB=14×1×34=316，S△PBC=12PB15.解：(1)a→=(2sinx,cos2x)，b→=(3cosx,2)，

由f(x)=a→⋅b→=23sinxcosx+2cos2x

=3sin2x+cos2x+1=2sin(2x+π6)+1，

∴f(x)的最小正周期T=2π2=π，

由2kπ+π2⩽2x+π6⩽3π2+2kπ,k∈Z，

【解析】本题考查三角函数化简及三角函数的图象与性质，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题．

(1)由f(x)=a⋅b，根据向量的数量积的运用可得f(x)的解析式，化简，利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间；

(2)在[0,16.解：(1)∵sin(2C−π2)=−sin(π2−2C)=−cos2C=12，

∴cos2C=2cos2C−1=−12，即cos2C=14，

∵a2+b2<c2，即a2+【解析】(1)已知等式利用诱导公式化简求出cos2C的值，由已知不等式，利用余弦定理得到C为钝角，即可确定出C的度数；

(2)利用正弦定理化简所求式子，将C的度数代入，用A表示出B，整理后利用余弦函数的值域即可确定出范围．

此题考查了余弦定理，诱导公式，和差化积公式，两角和与差的余弦函数公式，余弦函数的定义与值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．17.解：(1)∵f(xy)=f(x)+f(y)，

令x=y=1，

则F(1)=2f(1)

∴f(1)=0；

(5分)

证明：(2)由f(xy)=f(x)+f(y)

可得f(yx)=f(y)−f(x)，

设x1>x2>0，f(x1)−f(x2)=f(x1x2)，x1x2>1，

∴f(x1x2)<0，即f(x1)−f(x2)<0

∴f(x1)<f(x2)，所以f(x)【解析】(1)令x=y=1，根据定义在(0,+∞)上的函数f(x)恒有f(xy)=f(x)+f(y)，我们易构造关于f(1)的方程，解方程即可求出求f(1)；

(2)根据已知中定义在(0,+∞)上的函数f(x)恒有f(xy)=f(x)+f(y)，并且x>1时，f(x)<0恒成立，结合函数单调性的证明方法--作差法(定义法)我们即可得到f(x)在(0,+∞)上单调递减；

(3)结合(1)、(2)的结论，我们可将不等式f(k⋅3x)−f(9x−3x+1)≥f(1)转化为一个指数不等式，进而利用换元法可将问题转化为一个二次不等式恒成立问题，解答后即可得到满足条件的实数k的取值范围．

本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数单调性的性质，其中(1)的关键是“凑配”思想的应用，(2)的关键是将f(xy)=f(x)+f(y)，变型为18.解：(1)取DC中点M，连接EM，如图所示：

在△PDC中，M、E分别为CD、CP中点，

∴EM为△PDC的中位线，

∴EM//PD，且EM=12PD，

又∵PD=2，

∴EM=1

∵PD⊥底面ABCD，

∴EM⊥底面ABCD，

∴VA−BDE=VE−ABD=13×12×2×2×1=23；

(2)∵PD⊥底面ABCD，且BC⊂面ABCD，

∴PD⊥BC，

∵底面ABCD是正方形，

∴DC⊥BC，

又PD∩DC=D，PD、DC⊂面PDC，

∴BC⊥面PDC，又DE⊂面PDC，

∴BC⊥DE，

∵PD=DC，且PD⊥DC，

∴△PDC是等腰直角三角形，又DE是斜边PC的中线，

∴DE⊥PC，

又PC∩BC=C，PC、BC⊂面PBC，

∴DE⊥面PBC，

∵PB⊂面PBC，

∴DE⊥PB，

∵PB⊥EF，

又DE∩EF=E，DE、EF⊂面EFD，

∴PB⊥平面EFD；

(3)由(2)可知PB⊥DF，

故∠EFD是平面CPB与平面PBD的夹角，

∵PD=DC=2，

∴DE=2，

在△PBD中