2024-2025学年辽宁省重点高中高一（上）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年辽宁省重点高中高一（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合U={x∈N∗|x≤5}，A={1,3}，B={1,2,4}，则A⋃(A.{1,3,5} B.{0,1,3,5} C.{0,1,2,4} D.{1,2,4,5}2.命题p：∀x∈I,xx−1>0，则¬p是A.∀x∈I,xx−1≤0 B.∃x∈I,xx−1≤0

C.∀x∈I,x3.若a<0，则a+1a(

)A.有最小值2 B.有最大值2 C.有最小值−2 D.有最大值−24.若不等式ax2−x−c>0的解集为{x|−1<x<12}A. B.

C. D.5.已知a，b为互不相等的正实数，则下列四个数中最大的数是(

)A.2a+b B.1a+1b 6.已知集合M={x|x2−3x+2=0}，N={x|x2−ax+3a−5=0}，若M∪N=MA.⌀ B.{2} C.{a|2<a<10} D.{a|2≤a<10}7.手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”，它是手机外观设计中一个重要参数，其值通常在(0,1)之间．设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新的手机外观，则该手机“屏占比”和升级前比有什么变化(

)A.“屏占比”不变 B.“屏占比”变小 C.“屏占比”变大 D.变化不确定8.已知命题p：∃x∈[1,3]，x2−ax+4<0是真命题，则p的一个必要不充分条件是(

)A.a<5 B.a>3 C.a<4 D.a>4二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知a>b，c>d>0，则(

)A.a−d>b−c B.ac>bd C.ac2>b10.若关于x的不等式x2−2x+m≤0的解集中恰有3个整数，则实数m的取值可以是(

)A.−3 B.−2 C.0 D.111.已知a，b为正实数，且ab+2a+b=16，则(

)A.ab的最大值为8 B.2a+b的最小值为8

C.a+b的最小值为63−3 D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知集合A={1}，集合B={x∈N|x<3}，则满足关系A⊆P⊆B的所有集合P为______．13.对班级40名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成，另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A、B都赞成的学生有______人.14.正实数a、b满足：a2−b2=2，且12a四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知全集U=R，集合A={x|1x−3<−1},B={x|x−(a2+2)x−a<0}．

(1)若A∩B≠⌀，求实数a的取值范围；

(2)命题p：x∈A，命题q：x∈B16.(本小题12分)

根据要求完成下列问题：

(1)解关于x的不等式(m+1)x2−2mx+m−1≥0(m∈R)；

(2)若不等式(m+1)x2−(m−1)x+m−1≥0(m∈R)17.(本小题12分)

要在墙上开一个上半部为半圆形、下部为矩形的窗户(如图所示)，在窗框为定长的条件下，要使窗户能够透过最多的光线，窗户应设计成怎样的尺寸？18.(本小题12分)

如图，铁路线上AB段长100千米，工厂C到铁路的距离CA为20千米.现要在AB上某一点D处，向C修一条公路，已知铁路每吨千米的运费与公路每吨千米的运费之比为3：5.为了使原料从供应站B运到工厂C的运费最少，D点应选在何处？19.(本小题12分)

根据要求完成下列问题：

(1)已知全集U=R，集合A={x|x2−x−6<0}，集合B={x|x2+2x−8>0}，集合C={x|x2−4tx+3t2<0}，且(A∩B)⊆C，求实数t的取值范围；

20.(本小题12分)

已知集合A为非空数集.定义：S={x|x=a+b,a,b∈A}，T={x|x=|a−b|,a,b∈A}．

(Ⅰ)若集合A={1,3}.直接写出集合S，T；

(Ⅱ)若集合A={x1,x2,x3,x4}，x1<x2<x3<x4，且参考答案1.A

2.D

3.D

4.C

5.B

6.D

7.C

8.B

9.AC

10.BC

11.ABD

12.4

13.18

14.(0,1)

2

15.解：(1)不等式1x−3<−1，即x−2x−3<0，解得2<x<3，所以A={x|2<x<3}，

不等式x−(a2+2)x−a<0，由a2+2−a=(a−12)2+74>0恒成立，所以a2+2>a，

故解集为{x|a<x<a2+2}，即B={x|a<x<a2+2}，

若A∩B=⌀，则有a≥3或a2+2≤2，解得解集为M={a|a=0或a≥3}，

因为A∩B≠⌀，所以a的取值范围是∁UM={a|a<0或0<a<3}．16.解：(1)因为(m+1)x2−2mx+m−1≥0，

当m+1=0时，即m=−1时，原不等式可化为2x−2≥0，解得x≥1，

所以原不等式的解集为[1,+∞)；

当m+1≠0时，即m=−1时，原不等式可化为[(m+1)x−(m−1)](x−1)≥0，

当m+1>0时，即m>−1时，(x−m−1m+1)(x−1)≥0，

因为m−1m+1=1−2m+1<1，所以原不等式的解集为(−∞,m−1m+1]∪[1,+∞)；

当m+1<0时，即m<−1时，(x−m−1m+1)(x−1)≤0，

因为m−1m+1=1−2m+1>1，所以原不等式的解集为[1,m−1m+1]；

(2)因为(m+1)x2−(m−1)x+m−1≥0，

即m⋅(x2−x+1)≥−x2−x+1，

因为x2−x+1=(x−12)217.解：∵窗框的用料是am，

∴假设AD=2x，AB=a−πx−4x2，

∴窗子的面积为：S=2x⋅a−πx−4x2+12πx2=(−π2−4)x2+ax，18.解

设|DA|=x(千米)，铁路吨千米运费为3a，公路吨千米运费为5a，从B到C的总运费为y，则依题意，得y=3a(100−x)+5a400+x2,x∈(0,100)．

令y=at，则有t+3x=5400+x2(1)．

平方，整理得16x2−6tx+10000−t2=0

由Δ=36t2−4×16(10000−t2)≥0，得|t|≥80．

∵t>0，∴t≥8019.解：(1)A={x|x2−x−6<0}={x|(x+2)(x−3)<0}={x|−2<x<3}，

B={x|x2+2x−8>0}={x|(x+4)(x−2)>0}={x|x<−4或x>2}，

则A∩B={x|2<x<3}；

C={x|x2−4tx+3t2<0}={x|(x−t)(x−3t)<0}，

因为(A∩B)⊆C，

当t=0时，C=⌀，不合题意，舍去；

当t<0时，C={x|3t<x<t}，不合题意，舍去；

当t>0时，C={x|t<x<3t}，由(A∩B)⊆C可得{x|t≤2且3t≥3，解得1≤t≤2，

综上所述，实数t的取值范围为{t|1≤t≤2}；

(2)设函数f(x)=x2+(m−1)x+1，

①若x2+(m−1)x+1=0有唯一实数解时，Δ=(m−1)2−4=0，

即m2−2m−3=(m−3)(m+1)=0，解得m=−1或m=3，

当m=−1时，原方程可化为x2−2x+1=(x−1)2=0，解得x=1，符合题意；

当m=3时，原不等式可化为x2+2x+1=(x+1)2=0，解得x=−1，不合题意舍去，

②若x2+(m−1)x+1=0有两个不相等的实数解时，Δ=(m−1)2−4>0，

即m2−2m−3=(m−3)(m+1)>0，解得m<−1或m>3，

(i)若x2+(m−1)x+1=0在区间[0,2]内有唯一一个实数解，又f(0)=1>020.解：(Ⅰ)∵A={1,3}，S={x|x=a+b,a,b∈A}，T={x|x=|a−b