高等数学下册试题及详细答案

高等数学（下册）试题及详细答案（精讲版）

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

1.向量a=｛后,1,1｝与y轴的夹角"为（）

A.-B.-

64

C.-D.-

32

【答案】C

【解析】本题考查了向量与坐标轴的夹角。cosP=-11--,所以夕=上71。

-2

【提醒】本题还可以转化为求两向量a=｛VI1,1｝与｛0,1,0｝之间的夹角。

【点评】本题涉及内容是空间解析几何中的重点，考试热度：☆☆☆；大部分出现在选择

题或填空题中。

2.函数/（尤,y）=Jf+y2在点（0,0）处（）

A.连续B.间断

C,可微D.偏导数存在

【答案】A.

【解析】本题考查了二元函数的连续、偏导数与可微等概念。点（0,0）在初等函数

f（x,y）=Jf+y2的定义域内,故它在点（0,o）处连续。由于

£（。,。）=1而〃°+一,°）—〃°,°）=1而色

'7。Ax-Ax

不存在，所以函数在（0,0）处偏导数不存在，从而在该点一定不可微。故本题选A。

【提醒】记住以下结论：（1）二元初等函数在其定义域内的每一点都连续。（2）可微必定

连续且偏导数存在，连续未必偏导数存在，偏导数存在也未必连续，连续未必可微，偏导

数存在也未必可微，偏导不存在一定不可微，偏导数连续是可微的充分不必要条件。

【点评】本题涉及内容是多元函数微分学中的难点，考试热度：☆☆☆;大部分出现在选

择题中。

3.设函数尸Cr,y),Q(x,y)具有连续的偏导数，且P(x,y)dx+Q(尤,y)dy是某函数"(尤,y)

的全微分，则()

丝

A.2=丝-

dydx5y

丝

cdP=_dQ⑪-

dydx

【答案】A.

【解析】本题考查了二元函数的全微分求积定理：设开区域G是一单连通域，函数尸(x,y),

Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，则尸(无，y)〃x+Q(x,y)办是某函数a(x,y)的全微分

的充要条件是空=丝在G内恒成立。故本题选A。

dydx

【提醒】右尸行，y)dx+Q(x,y)dy=du(x,y),则称P(x,y)办+Q(尤,y)dy=O为全微分方

程。显然，这时该方程通解为u(x,y)=C(C是任意常数)。

【点评】本题涉及内容是求解全微分方程的基础，大部分出现在选择、填空题中。考试热

度：☆☆☆☆；

【历年考题链接】(2007,7)3.设函数/(x,y)具有连续的偏导数，且;■(x,y)Mc+/(x,y)My

是某个函数"(x,y)的全微分，则/(x,y)满足()

更

更

理

y--o

5T&②&-办

A.c=0

更

更

X5T&sf¥-OX+-O

--&冷-

答案：Co

4.下列方程中，是一阶线性非齐次微分方程的是)

A.ydy=(x+y)dxB.xdy=(y?+y)dx

@=靖+3

C.--xcosy=9D.

dxdx

【答案】Bo

【解析】本题考查了一阶线性非齐次微分方程的概念。所有能化为

立+P(x)y=Q(x)(Q(x)不恒为零)的方程就是一阶线性非齐次微分方程。本题中的四个

dx

方程，只有选项B中的方程能化为电-Ly=x,故选B。

dxx

【提醒】若方程中出现了y,y'的非线性函数(如本题选项C,D中出现的cos%V),则

此方程就不是线性方程。另外，一定要掌握此类方程的求解方法。

【点评】本题涉及内容是微分方程中的重要概念，需牢记。一般以选择题的形式考查，考

试热度：☆☆☆☆；

【历年考题链接】(2009,10)4.微分方程孙'+尸尤+3是()

A.可分离变量的微分方程B.齐次微分方程

C.一阶线性齐次微分方程D.一阶线性非齐次微分方程

答案：Do

5.下列无穷级数中，收敛的无穷级数是()

y2n+ly1+C-1)"-1

A.B.

Zf3/7+5Ztn

001

ooz-i\n-l

C.D.

a

【答案】D。

【解析】本题考查了常见的数项级数的敛散性。由于lim型虫=2/0,所以1四发

83〃+53M3w+5

co1ooco001

散;由于£上发散，交错级数收敛，所以£i+（T）发散。?为p=5

Tin署〃M〃念”

的p级数，发散。故选D。

00001

【提醒】（1）不论什么级数£%,若则它一定发散。（2）p级数£），

n—>00v）P

当夕>1收敛，当夕K1发散。（3）交错级数，（-1）"-%"的敛散性一般用莱布尼兹判别法:

%单调递减且趋于0,则收敛。

【点评】本题涉及内容是考试的重点热点，常出现在选择题中。考试热度：☆☆☆☆☆；

【历年考题链接】（2010,1）5.下列无穷级数中发散的无穷级数是（）

(-1)"

Jn+1

答案：Ao

二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

6.在空间直角坐标系中，直线）的方向向量为.

x-y-2z=3

【答案】｛-1,3,-2｝。

【解析】本题考查了如何从直线的一般式方程中得到直线的方向向量。直线卜+，+：=0,的

x-y-2z=3

方向向量为:

k=-i+3j-2k.

-1-2

故本题答案可以是-i+3/-2左或者｛-1,3,-2｝。后者是前者的简写形式。

【提醒】要熟悉直线的点向式方程(对称式方程)、一般式方程、参数式方程及它们之间

的转换。

【点评】本题涉及内容是考试的重点，常出现在各类题型中。考试热度：☆☆☆☆☆；

【历年考题链接】(2010,4)11.求过点尸(3,-1,0)并且与直线;=二5=一垂直的平面方

程。

答案：x-2y-5=0.

7.函数/(x,y)=---\~广的定义域为___________.

In(l-x2-y2)

【答案】｛(x,j)|0<x2+y<1｝-

【解析】本题考查了二元函数的定义域求法。要是此函数有意义，则需满足：

ln(l-f—y2)H0,

1-x2-/>0,

解得：0</+/<1,因此定义域为：|(%,j)|0<%2+/<1｝

【提醒】二元函数的定义域是平面的一部分，称为区域，一定要用平面点集的形式写出。

如本题若填写0<f+丁2<1,就是错误的。

【点评】本题涉及的内容是多元函数微分学的基本内容，常出现在选择和填空题中。考试

热度：☆☆☆;

8.设积分区域D：V+y2W4,则二重积分。7(炉+/)公办在极坐标中的二次积分为

【答案】啖/(产)4厂。

【解析】本题考查了极坐标系下二重积分的计算。本题中，积分区域D为以原点为圆心、

半径为2的圆域，故D可用不等式

D=1(r,^)|0<r<2,0<6^<2»}

来表示，应用公式办Uy=/(rcosO/sin9)rdrd。得:

DD

[]/(*2+/)如fy=J。d'\(3'r2)rdr0

D

【提醒】当被积函数中含有一+)?,且积分区域为圆域，用极坐标计算较为方便。

【点评】本题涉及内容是考试的重点，常出现在填空题和计算题中。考试热度：☆☆☆☆.

【历年考题链接】(2009,10)15.计算二重积分063一丁温,，其中积分区域0：一+尸式

D

2o

答案：(1-”2)乃。

9.微分方程y"+>2•y+2y=1的一个特解y*=.

【答案】-«

2

【解析】本题考查了微分方程特解的概念。本题中的方程不是线性的，不是一个常见的方

程，求特解没有固定的公式可以用。根据观察，、=,满足微分方程丫〃+丁・3/+2丫=1,

2

故为它的一个特解。

【提醒】注意微分方程通解、特解的定义，以及二阶常系数线性非齐次方程特解的求法。

【点评】本题涉及内容是考试的难点，常出现在填空题和计算题中。考试热度：☆☆☆.

10.设函数/(尤)是周期为2兀的函数，f(x)的傅里叶级数为

兀2(―I)"]

——+>(......—cos(2n-l)x+——sinnx)

2£'(2"1)2%n

则傅里叶系数。2=

【答案】0。

【解析】本题考查了傅里叶系数和傅里叶级数的概念。若周期为2兀的函数f(x)的傅里叶级

数为？+2cosnx+bnsinnx),贝(J由

2n=l

1.开

〃o=—于(x)dx

兀】一4

10开

<〃〃=—/(x)cosnxdx{n=1,2,)

兀

1「冗.

bn=—\/(x)sinnxdx(n=1,2,)

定出的系数为,4,4,•叫做函数f(x)的傅里叶系数。由定义知，出为式中cos2]的系数。

由已知，f(x)的傅里叶级数为-工+>(---2cos(2n-l)x+—sin几x),其中不含

2£(2〃-1)2兀n

cos2nx,即cos2%的系数为零，因此。2=0。

【提醒】谨记周期为2兀的函数的傅里叶系数的求法。(见解析)

【点评】本题涉及内容是考试的重难点，常出现在填空题和计算题中。考试热度：☆☆☆

☆。

【历年考题链接】(2010,4)22.设函数/^，.。‘一"''〈。的傅里叶级数展开式为

[xfi<X<71

—+^(ancosnx+bnb7.

2〃=i

答案：-o

7

三、计算题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

11.已知直线L过点P(2,-1,-1),并且与平面71:x-y+z=0垂直，求直线L的方程.

【答案】-x---2=2y—+1=——z+1

1-11

【解析】本题考查了空间解析几何中直线方程的求法。一般是先找到一个已知点，然后去

寻求直线的方向向量，最后写出直线的对称式(点向式)方程。由题意，已知平面的法向

量可作为直线的方向向量，即5={1,—1,1},所以直线的方程为：二二2=五1=三担。

【提醒】只要与直线平行的任何非零向量都可以取成直线的方向向量；只要是与平面垂直

的任何非零向量都可以取成平面的法向量。

【点评】本题涉及内容是考试的重点，平面和直线的方程的建立是几乎每年必考的，常出

现在填空题和计算题中。考试热度：☆☆☆☆☆.

【历年考题链接】(2010,4)11.求过点尸(3,-1,0)并且与直线H=上==垂直的平面方程。

1-20

答案：x-2y-5=0.

12.设函数z=x2+arctan工,求和°工.

xdxdxdy

_8z-yd2zy2-x*

22

dx+ydxdy(x+y

【解析】本题考查了多元函数的偏导数的求法。

【提醒】对于具体的多元函数，求偏导数和求一元函数的导数一样，对哪个变量求偏导，

计算时就将其余的变量视为常数，直接将函数对此变量求导数即可。对于抽象的多元函数,

求偏导数的时候要引入中间变量，画出结构图，再根据链式法则求偏导数。

【点评】本题涉及内容是考试的重点，几乎是每年必考的，常出现在填空题和计算题中。

考试热度：☆☆☆☆☆。

【历年考题链接】(2010,4)6.设函数z=^卫三，则生=___________.

ydx

田上sinysinx

答案t：Z=-----------o

y

13.设函数z=xy+1,求全微分dz.

,依心,Szcyd2zy2-x2

［答案1-=2x—----,———==-------°

22

dx冗之+yQxdy(x+yj

【解析】本题考查了二元函数的全微分。若二元函数z=/(x,y)是可微的，则它的全微分

y+1

为：dz=df(x,y)=—dx+—dyo本题中，z=x,因为

dxdy

京=(y+1)x=xv+1Inx,

oxdy

故它的全微分是：

yy+i

dz=(^y+l)xdx+xInxdy。

【提醒】只要记住全微分的公式dz=4(x,y)=g&c+|^6fy,这类题其实是求两个偏导

oxdy

数。

【点评】本题涉及内容是高等数学中的基本知识，必须掌握。这类题常出现在填空题和计

算题中。考试热度：☆☆☆☆.

【历年考题链接】(2009,10)7.设函数2=2/+/,则全微分dz=.

答案：dz=4-xdx+2ydy0

分7

14.设函数农〃%,sin(2x+y)),其中/(%y)具有连续偏导数，求一和一.

dxdy

【答案】=0+2/,cos(2x+y).—=fcos(2x+y).

oxoyv

【解析】本题考查了抽象的二元复合函数的偏导数的求法。先引入中间变量a#：设"=x,

v=sin(2x+y),则此函数是由z=/(〃/),a=尤#=sin(2x+y)复合而成。根据链式法则

(68页)可得,

dzdzdudzdv„.„..、ic,c,，c、

二=三二+丁丁=力1+工「rcos(2x+y).2=/,+2fcos(2x+y),

OXOUoxovoxr

dzdzdu+dzdv„+„r"4,小、

-^=-^^-^^-=fu-0fv-cos(2x+y)]-l=fvcos(2x+y)。

oyouoyovoy

【提醒】求解这类题首先要引入中间变量，搞清函数的结构，然后按照链式法则展开即可。

【点评】本题涉及内容是考试的热点，重在考查二元复合函数的结构和偏导数的计算。常

出现在填空和计算题中。热度：☆☆☆☆☆.

【历年考题链接】(2010,1)12.设函数z=f(2,x),其中f是可微函数，求包，包.

xexoy

dzy„dz1„

答案：£=――2fu+rfv^=~fu-

oxxoyx

15.设函数/(%,丁)=5—1公十,,求grad/(2,1).

[2君问

【答案】gradf(2,l)=＜二，丁卜

【解析】本题考查了多元函数梯度的求法。根据梯度的定义，函数2=/(匹丁)在点(%,%)

处的梯度为gradf(%0,j0)=£(%,%)i+/v(%0,%)J={£(%,%),/*后,%)}•了解到这一

点，本题就转化成了求函数在指定点处的偏导数了。因为

更=_xSf=y

dx7%2+y，dy+

3-晟T-乎/⑵…&=—身

所以有

gra（V（2』）=¥，M。

【提醒】函数〃=/（x,y,z）在点（%,%,2（））处的梯度为：

zk

gradf（%0，%）=力（/，％，z°»+｛（%，％，z°）J+｛（/，％，o）

=｛，（Xo，％，Zo）/（Xo，%，Zo），工（Xo，%，Zo）｝・

【点评】上面的12,13,14题以及本题中出现的概念不同，但都与偏导数的计算有关，只要

概念清楚了，偏导数的计算没有问题，它就显得比较简单。本题考试热度：☆☆☆☆☆.

【历年考题链接】（2010,1）14.求函数f（x,y,z）=xyz-x2-y2+3z在点（-1,-1,2）处的梯度.

答案：gradf（-l-1,2）=｛0,0,4｝o

16.计算二重积分jj（x+y）斌y,其中积分区域。是由直线x+y=2,y=x及y=0所围成的区

D

域.

4

【答案】一。

3

【解析】本题考查了平面直角坐标系下二重积分的计算。先应该画出积分区域，如下图阴

影部分。

它是一个y型区域，故这个二重积分可以先对x积分后对y积分:

(x+y)dxdy=£dyJ(x+y)dx

D,

'(1+y^dx^y

2广，+冲夕办

o2

2二

4

3

【提醒】要求直角坐标系下以及极坐标系下的二重积分的计算要熟练掌握，因为这些是积

分学中的基本技能。

【点评】本题涉及内容是考试的热点，重在考查学员二重积分的计算能力。这类题一般出

现可以出现在各类题型中，选择、填空可能考查交换积分的次序等较容易的问题，计算题

中主要考查计算能力。本题考试热度：☆☆☆☆☆.

【历年考题链接】（2010,1）16.计算二重积分I=U（x+2y）dxdy,其中D是由坐标轴和直

D

线x+y=4所围成的区域.

答案：32。

17.计算三重积分丫以4Mz,其中积分区域Q是由平面2x+3y+z=2及坐标面所围成的区

域.

【答案】—.

27

【解析】本题考查了平面直角坐标系下三重积分的计算。先分析积分区域。积分区域Q是

由平面2x+3y+z=2及坐标面所围成的区域，它位于第一卦限，在xoy坐标面上的投影为平

面区域：j（x,y）|0<x<l,0<y<|-1xl,区域中变量z的变化范围是：

Q<z<2-2x-3y.然后来计算积分:

22

fffydxdydz=£可；%ydz

Q

=£^£3y（2-2x-3y）dy

1

27

【提醒】一般来说，计算直角坐标系下的三重积分时，先看积分区域在一个坐标面（通常

选xoy平面）上的投影区域是什么，确定是什么型区域，继而得到两个变量的取值范围，然

后要从已知的式子或图形中找到第三个变量的取值范围，积分限确定好了，最后计算积分。

积分限的确定方法不止一种，限于篇幅，这里不展开陈述，希望学员们多看例题，多总结。

【点评】本题涉及内容是考试的热点，重在考查直角坐标系下三重积分的计算方法。多出

现在计算题中。另外，极坐标系下三重积分的计算同样重要，不容忽视。热度：☆☆☆☆

【历年考题链接】（2010,1）17.计算三重积分I=j]j（x2+y2+z2）dxdydz,其中积分区域Q：

C

x2+y2+z2^l.

答案：一兀。

5

18.计算对弧长的曲线积分卜声而7ds,其中C是圆周f+y2=l.

【答案】

【解析】本题考查了对弧长的曲线积分的计算。曲线C是圆周x2+y2=i,它可用参数方程来

表示：x=cost,y=sint(O<t<2^)o根据计算公式可得:

―—12।~~12

JeWs=即)2+2M)1(©osJ+(sin/dt

酒力

Jo

=2e%.

【提醒】一般的，若曲线L的方程为参数方程：x=(p(t),y=^tXa<t<j3),贝U

L/(x,y)ds=/4⑺0⑺]J"⑺『+[〃")『dt.

【点评】对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分一样，几乎是每年必考的内容，需重点掌

握。它们大都出现在计算题中。考试热度：☆☆☆☆☆.

【历年考题链接】(2008,4)18.计算对弧长的曲线积分(2x-y+l)ds,其中乙是直线y=x-l

上点(0,-1)到点(1,0)的直线段.

…5后

答案：——。

2

19.验证对坐标的曲线积分

J(2xy-y4+3)dx+(x2-4xy3)dy

与路径无关，并计算

/=[()(2D-y4+3)dx+(x2-4xy3)dy

J(i,o)

【答案】5o

【解析】本题考查了平面上曲线积分与路径无关的条件以及对坐标的曲线积分的计算。曲

423

线积分JcPdx+=jc(2xy-y+3)dx+(x-4xy)dy与路径无关的充要条件是：

—=—o因为©£=2%一4丁3,义=2%—4/,所以变=丝，从而。曲线积分

dydxdydxdydx

fPdx+Qdy=[(2孙-y'+3)为:+评一4孙办与路径无关。

*CJc

由于积分与积分路径无关，为了方便计算，可以取积分路径为：(LO)f(2,0).(2,1),

(1,0)-(2,0)时,l<x<2,y=0；(2,0)9(2,1)时，0<y<l,x=2,所以：

/=[(2xy-y4++(x2-4xy3)dy=f3dx+f(22—4•2-y3)dy=3+4—2=5o

J(l,0)■JlJo■

【提醒】一般地，曲线积分fRa+。力与路径无关的充要条件是：—o

【点评】曲线积分无路径的无关性的考察大多出现在填空和计算题中，它和曲线积分的计

算都是考察的重点，需熟练掌握。考试热度：☆☆☆☆☆.

20.求微分方程©=/工+^的通解.

dx

【解析】本题考查了一阶线性非齐次微分方程的通解的求法。先将此方程变为标准形式：

^-y=e-x,用一阶线性非齐次微分方程的通解公式求通解：

dx

="(广办+0

F…

=--ex+Cer.

2

【提醒】一定要记住一阶线性非齐次微分方程yr+P(x)y=Q(x)的通解公式：

【点评】本题设计内容是微分方程中的基本内容，这类题和二阶常系数线性微分方程的解

法几乎是二者必考其一，需多加练习。考试热度：☆☆☆☆.

n

21.判断无穷级数8£n匕的敛散性.

zt初

【解析】本题考查了正项级数的敛散性的判断。当一个正项级数通项中含阶乘、乘方、指

数函数等时，一般用比值审敛法来判断其敛散性。令氏二—，由于

n\

=lim1+—=e>l,

goo/s(n+1)!n\snJ

8nn

所以无穷级数发散。

W〃！

22.将函数/(x)=」展开为x-1的塞级数.

x+4

【解析】本题考查了如何将一个函数展开为塞级数。这类题一般有两种方法求解：一种是

直接法，一种是间接法。多考查利用间接法将一个函数展开为塞级数。需要学员们记住常

见函数的哥级数展开式。本题，先将所给函数变形:

f(x)=^—=l-=1——--1

x+4x+45+x-l,x—1

1+----

5

18

根据：——=y(-i)nx"(-i<x<i),得

1+x"=0

100x-1I(-1<^<1)

=X(-1)'

~~5~

n-0

5