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阶段性评估(二)第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)1.两圆x2+y2-1=0和x2+y2-4x+2y-4=0的位置关系是(B)A.内切 B.相交C.外切 D.外离解析:由已知可得两圆的圆心与半径分别为C1(0,0),R1=1,C2(2,-1),R2=3,则|C1C2|=eq\r(5)∈(R2-R1,R2+R1)=(2,4),所以两圆相交,故应选B.2.经过A(-1,1),B(2,2),C(3,-1)三点的圆的标准方程是(D)A.(x+1)2+y2=4 B.(x+1)2+y2=5C.(x-1)2+y2=4 D.(x-1)2+y2=5解析:由已知条件可得,线段AC的垂直平分线方程为y-0=2(x-1),即y=2x-2,线段AB的垂直平分线方程为y-eq\f(3,2)=-3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(1,2))),即y=-3x+3,这两条直线的交点坐标为M(1,0),又由|MA|=eq\r(5),可得过三点A,B,C的圆的标准方程为(x-1)2+y2=5,故应选D.3.已知直线l经过点P(-4,2),且被圆(x+1)2+(y+2)2=25截得的弦长为8,则直线l的方程是(D)A.7x+24y-20=0B.4x+3y+25=0C.4x+3y+25=0或x=-4D.7x+24y-20=0或x=-4解析:当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x+4),即kx-y+4k+2=0.由圆的方程可知圆心为(-1,-2),半径r=5,所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|-k+2+4k+2|,\r(k2+1))))2+42=25,解得k=-eq\f(7,24),直线方程为7x+24y-20=0;当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-4,满意截得的弦长为8.所以直线l的方程为7x+24y-20=0或x=-4.4.若方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圆,则a的值为(A)A.a=-1 B.a=2C.a=-1或a=2 D.a=1或a=-2解析:本题考查二元二次方程表示圆的条件.若方程表示圆,则二次项系数相等,故a2=a+2,解得a=2或-1,当a=-1时方程为x2+y2-2x-1=(x-1)2+y2-2=0,即(x-1)2+y2=2,方程表示圆;当a=2时,4x2+4y2+4x+2=0⇔x2+y2+x+eq\f(1,2)=0,由于12+02-4×eq\f(1,2)<0,故方程x2+y2+x+eq\f(1,2)=0不表示任何图形,因此a=-1.5.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4y=0所截得的弦长为(D)A.eq\r(3) B.2C.eq\r(6) D.2eq\r(3)解析:本题考查直线与圆的位置关系的应用.由题意得直线方程为y=eq\r(3)x,则圆心到直线的距离d=eq\f(|2|,2)=1,故弦长|AB|=2eq\r(22-12)=2eq\r(3).6.已知Rt△ABC的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,则直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1的位置关系是(B)A.相交 B.相切C.相离 D.相切或相交解析:本题考查直线与圆的位置关系.由直角三角形勾股定理得a2+b2=c2,所以圆心(0,0)到直线ax+by+c=0的距离d=eq\f(|c|,\r(a2+b2))=1=r,所以直线与圆相切.7.点A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线,|PA|=1,则点P的轨迹方程是(B)A.(x-1)2+y2=4 B.(x-1)2+y2=2C.y2=2x D.y2=-2x解析:因为|PA|=1,所以点P和圆心的距离恒为eq\r(2).设P(x,y),圆心(1,0),由两点间的距离公式,有(x-1)2+y2=2.8.若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是(B)A.(x-3)2+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y-\f(7,3)))2=1 B.(x-2)2+(y-1)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=1D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(3,2)))2+(y-1)2=1解析:解法1:由题意知圆心坐标为(x0,1),∴解除A,C.选项B中圆心(2,1)到直线4x-3y=0的距离d=eq\f(|4×2-3|,\r(42+32))=1,即d=r成立,故选B.解法2:由题意设圆心为(x0,1),∵d=r,∴eq\f(|4x0-3|,\r(42+32))=1⇒x0=2或x0=-eq\f(1,2)(舍去).故选B.9.垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是(A)A.x+y-eq\r(2)=0 B.x+y+1=0C.x+y-1=0 D.x+y+eq\r(2)=0解析:由题意知直线方程可设为x+y-c=0(c>0),则圆心到直线的距离等于半径1,即eq\f(|0+0-c|,\r(12+12))=1,c=eq\r(2),故所求方程为x+y-eq\r(2)=0.10.若直线l1:y=x,l2:y=x+2与圆C:x2+y2-2mx-2ny=0的四个交点把圆C分成的四条弧长相等,则m=(A)A.0或-1 B.0或1C.1或-1 D.0或1或-1解析:由题意知,四条弧长相等,故圆心到直线的距离d=eq\f(\r(2),2)r.圆心为(m,n),半径为eq\r(m2+n2),两平行线的距离为eq\f(2,\r(2))=eq\r(2)r,解得r=1=eq\r(m2+n2),m2+n2=1.依题意d=eq\f(|m-n|,\r(2))=eq\f(\r(2),2),两边平方得2mn=0.当m=0时,n=±1,当n=0时,m=±1,但圆心(1,0),(0,-1)不在这两平行线间,不符合题意,故m=0或-1.11.台风中心从A地以每小时20km的速度向东北方向移动,离台风中心30km内的地区为危急地区,城市B在A地正东40km外,B城市处于危急地区内的时间为(B)A.0.5h B.1hC.1.5h D.2h解析:如图建立直角坐标系,过点B作BC⊥AF,交AF于点C.以点B为圆心,30为半径的圆交AF于点E,F,连接BE,BF.在Rt△OBC中,|BC|=40×eq\f(\r(2),2)=20eq\r(2),|BE|=30,∴|EC|=eq\r(302-20\r(2)2)=10,∴|EF|=20.∴B城市处于危急地区的时间为eq\f(20,20)=1(h).12.已知圆C:x2+y2=3,从点A(-2,0)视察点B(2,a),要使视线不被圆C拦住,则a的取值范围是(D)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-∞,-\f(4,3)\r(3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)\r(3),+∞))B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.(-∞,-2eq\r(3))∪(2eq\r(3),+∞)D.(-∞,-4eq\r(3))∪(4eq\r(3),+∞)解析:设过点A(-2,0)与圆C:x2+y2=3相切的直线为y=k(x+2),则eq\f(|2k|,\r(1+k2))=eq\r(3),解得k=±eq\r(3),∴切线方程为y=±eq\r(3)(x+2).由A点向圆C引2条切线,只要点B在切线之外,那么就不会被圆C遮挡.在y=±eq\r(3)(x+2)中,取x=2,得y=±4eq\r(3).从A点视察B点,要使视线不被圆C拦住,需a>4eq\r(3),或a<-4eq\r(3).∴a的取值范围是(-∞,-4eq\r(3))∪(4eq\r(3),+∞).故选D.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把答案填写在题中横线上)13.经过原点,圆心在x轴的负半轴上,半径为2的圆的方程是(x+2)2+y2=4.解析:圆心是(-2,0),半径是2,所以圆的方程是(x+2)2+y2=4.14.经过点A(3,1),且被圆x2+y2=16所截得的弦长最短的直线方程为3x+y-10=0.解析:设圆心为O,当弦与OA垂直时弦最短.15.与直线3x-4y+5=0平行且与圆x2+y2=4相切的直线的方程是3x-4y±10=0.解析:设与直线3x-4y+5=0平行的直线方程为3x-4y+a=0,由圆x2+y2=4的圆心(0,0)到3x-4y+a=0的距离等于圆的半径可得d=eq\f(|a|,5)=2,解得a=±10,由此可得圆的切线方程为3x-4y±10=0.16.已知点(x0,y0)是直线x+y=2k-1与圆x2+y2=k2+2k-3的公共点,则x0y0的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(11-6\r(2),4),\f(11+6\r(2),4))).解析:∵点(x0,y0)是直线x+y=2k-1与圆x2+y2=k2+2k-3的公共点,∴圆心(0,0)到直线x+y=2k-1的距离d=eq\f(|1-2k|,\r(2))≤eq\r(k2+2k-3),解得eq\f(4-\r(2),2)≤k≤eq\f(4+\r(2),2).又∵圆x2+y2=k2+2k-3,∴k2+2k-3>0,解得k<-3或k>1,∴k的取值范围为eq\f(4-\r(2),2)≤k≤eq\f(4+\r(2),2).∵点(x0,y0)是直线x+y=2k-1与圆x2+y2=k2+2k-3的公共点,∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0+y0=2k-1,,x\o\al(2,0)+y\o\al(2,0)=k2+2k-3,))得2x0y0=3k2-6k+4.当eq\f(4-\r(2),2)≤k≤eq\f(4+\r(2),2)时,2x0y0=3k2-6k+4是关于k的增函数,代入可得x0y0的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(11-6\r(2),4),\f(11+6\r(2),4))).三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(10分)已知直线l与圆C相交于点P(1,0)和点Q(0,1).(1)求圆心所在的直线方程;(2)若圆C的半径为1,求圆C的方程.解:(1)∵PQ中点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),\f(1,2))),且kPQ=-1,∴圆心所在的直线方程为y-eq\f(1,2)=x-eq\f(1,2),即x-y=0.(2)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=1,则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1-a2+b2=1,,a2+b-12=1,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=0,,b=0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=1,,b=1.))∴圆C的方程为x2+y2=1或(x-1)2+(y-1)2=1.18.(12分)已知圆C:x2+y2-8y+12=0,直线l:ax+y+2a(1)当a为何值时,直线l与圆C相切;(2)当直线l与圆C相交于A,B两点,且|AB|=2eq\r(2)时,求直线l的方程.解:将圆C的方程x2+y2-8y+12=0配方得标准方程为x2+(y-4)2=4,则此圆的圆心为(0,4),半径为2.(1)若直线l与圆C相切,则有eq\f(|4+2a|,\r(a2+1))=2.解得a=-eq\f(3,4).(2)过圆心C作CD⊥AB交AB于点D,则依据题意和圆的性质,得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|CD|=\f(|4+2a|,\r(a2+1)),,|CD|2+|DA|2=22,,|DA|=\f(1,2)|AB|=\r(2),))解得a=-7或a=-1.故所求直线方程为7x-y+14=0或x-y+2=0.19.(12分)已知一圆经过点A(3,1),B(-1,3),且它的圆心在直线3x-y-2=0上.(1)求此圆的方程;(2)若点D为所求圆上随意一点,且点C(3,0),求线段CD的中点M的轨迹方程.解:(1)方法一:由已知可设圆心N(a,3a-2).又由已知得|NA|=|NB|,即eq\r(a-32+3a-2-12)=eq\r(a+12+3a-2-32),解得a=2.于是圆N的圆心为N(2,4),半径r=eq\r(a-32+3a-2-12)=eq\r(10).∴圆N的方程为(x-2)2+(y-4)2=10.方法二:∵A(3,1),B(-1,3),∴kAB=eq\f(3-1,-1-3)=-eq\f(1,2),线段AB的中点坐标为(1,2),∴线段AB的垂直平分线的斜率为2,方程为y-2=2(x-1),即2x-y=0.由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x-y=0,,3x-y-2=0,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=2,,y=4,))∴圆心N(2,4),半径r=|NA|=eq\r(2-32+4-12)=eq\r(10).故所求圆N的方程为(x-2)2+(y-4)2=10.(2)设M(x,y),D(x1,y1),则由C(3,0)及M为线段CD的中点得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=\f(x1+3,2),,y=\f(y1+0,2),))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1=2x-3,,y1=2y.))又∵点D在圆N:(x-2)2+(y-4)2=10上,∴(2x-3-2)2+(2y-4)2=10,化简得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(5,2)))2+(y-2)2=eq\f(5,2).故所求的轨迹方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(5,2)))2+(y-2)2=eq\f(5,2).20.(12分)装修房间时,打算在如图1所示的过道顶部设计如图2所示的圆弧造型.(1)请你建立适当的平面直角坐标系,求出圆弧所在圆的方程;(2)现有一个长方体形的冰箱,其长、宽、高分别为100cm,80cm,180cm,用坐标法推断该冰箱能否直立通过此过道?解:(1)如图,以AD所在直线为x轴,以AD的中垂线为y轴建立平面直角坐标系,则点F(60,160).设圆的方程为x2+[y-(200-r)]2=r2(r>0),∵点F在圆上,∴602+[160-(200-r)]2=r2(r>0),解得r=65,故圆的方程为x2+(y-135)2=4225.(2)当y=180时,x2+(180-135)2=652,解得x2=2200>402,故冰箱可以直立通过此过道.21.(12分)已知定圆C:x2+(y-3)2=4,定直线m:x+3y+6=0,过A(-1,0)的一条动直线l与直线m相交于N,与圆C相交于P,Q两点,(1)当l与m垂直时,求出N点的坐标,并证明l过圆心C;(2)当|PQ|=2eq\r(3)时,求直线l的方程.解:(1)直线l的方程为y=3(x+1).联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x+3y+6=0,,y=3x+1,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=-\f(3,2),,y=-\f(3,2),))所以Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(3,2),-\f(3,2))).证明:将圆心C(0,3)代入方程易知l过圆心C.(2)当直线l与x轴垂直时,易知x=-1符合题意.当直线l与x轴不垂
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