2024年中考数学一轮复习：图形的相似与位似（练习）（解析版）

第20讲图形的相似与位似

目录

题型过关练

型

题O1

成比例线段

型

题O2

图上距离与实际距离

型

题O3

利用比例的性质判断式子变形是否正确

型

题O4

利用比例的性质求未知数的值

型

题O5

利用比例的性质求代数式的值

型

题O6

理解黄金分割的概念

型O

题7

O8黄金分割的实际应用

型

题

O9由平行线分线段成比例判断式子正误

型

题

10平行线分线段成比例（A型）

型

题

平行线分线段成比例（X型）

型

题

平行线分线段成比例与三角形中位线综合

型

题

平行线分线段成比例的常用辅助线之平行线

型

题

平行线分线段成比例的常用辅助线之垂线

型

题

理解相似图形的概念

型

题

相似多边形

型

题

相似多边形的性质

型

题

位似图形的识别

型

题

判断位似中心

型

题

根据位似的概念判断正误

型

题20

求两个位似图形的相似比

型

题21

画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形

型

题22

型

题求位似图形的坐标

23

型

题求位似图形的线段长度

24

型

题在坐标系中求位似图形的周长

25

在坐标系中求位似图形的面积

真题实战练

题型过关练

题型01成比例线段

1.（2022•广东湛江•岭师附中校联考三模）下列四组线段中，成比例线段的是（）

A.4,1,3,8B.3,4,5,6C.4,8,3,5D.15,5,6,2

【答案】D

【分析】根据成比例线段的定义进行判断即可

【详解】解:A.；4:1H3:8,

；.4,1,3,8不是成比例线段，不符合题意；

B.,/3:4力5:6,

；.3,4,5,6不是成比例线段，不符合题意；

C.：4:8不3:5,

；.4,8,3,5不是成比例线段，不符合题意；

D.15:5=6:2,

.•.15,5,6,2是成比例线段，符合题意.

故选：D.

【点睛】此题考查了成比例线段，如果四条线段。、b、c、d满足a:b=c:d,则线段。、b、c、d成比例，

熟练掌握成比例线段的定义是解题的关键.

2.（2022・浙江.统考一模）已知线段£1=逐+1,fa=V5-1,则a,%的比例中项线段等于.

【答案】2

【分析】设线段彳是线段a,6的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之

积求解即可得出答案.

【详解】解：设线段x是线段a,6的比例中项，

a=V5+1,b=V5—1,

.a_x

••一——,

xb

：.x2=ab=（V5+1）（V5-1）=5-1=4,

Ax=±2.

Vx>0,

•'.x=-2舍去,

故答案为：2.

【点睛】本题考查的比例中项的含义，理解“若巴=、贝阮是a,b的比例中项”是解本题的关键.

xb

3.（2020•浙江绍兴•模拟预测）已知线段a=3,6=2,c=4,则b,a,c的第四比例项d=.

【答案】6

【分析】根据题意，列出比例式，根据比例的基本性质，即可得出第四比例项.

【详解】解：根据第四比例项的概念，得

bcac3x4,

一=一,a=——=----=6,

adb2

故答案为：6.

【点睛】本题考查了比例线段，理解第四比例项的概念，一定要注意顺序.熟练根据比例的基本性质进行

计算.

题型02图上距离与实际距离

4.（2022•吉林长春.统考模拟预测）有一块多边形的草坪，在市政建设设计图纸上的面积为100平方厘

米，图纸上某条边的长度为5厘米.经测量，这条边的实际长度为20米，则这块草坪的实际面积为

平方米.

【答案】160

【分析】首先设这块草坪的实际面积是xcn?,根据比例尺的性质，即可得方程差=（就?，解此方程即

可求解.

【详解】解：设这块草坪的实际面积是xcn?.

根据题意得：.=（就广

解得：x=1600000,

经检验，a1600000是方程的根，且符合题意，

这块草坪的实际面积为：1600000cm2=160m2,

故答案为：160.

【点睛】此题考查了比例尺的性质，相似图形的性质.此题难度不大，解题的关键是理解题意，根据题意

列方程，注意统一单位.

5.（2019•辽宁抚顺・统考三模）已知A、B两地的实际距离是20007”,在地图上量得这两地的距离为2根，

这幅地图的比例尺为一.

【答案】1：1000.

【分析】根据比例尺的定义求解.

【详解】这幅地图的比例尺为2：2000=1：1000.

故答案为：1：1000.

【点睛】此题考查了比例线段，解题关键在于掌握其定义.

6.（2020•江苏淮安・统考一模）在一张比例尺为1:20的地图上，有一块多边形区域的周长是24cm,面积是

20cm2,求这个区域的实际周长和面积.

【答案】周长480cm,面积8000cm?

【分析】利用相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算.

【详解】设实际周长是xcm,贝h

24:x=1:20,

解得：x—480（cm）；

面积之比等于相似比的平方，设实际面积是y平方厘米，则：

20:y=（1:20产，

解得：y=8000（cm2）.

【点睛】本题考查了比例线段，相似多边形的性质，相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面

积之比等于相似比的平方.

题型03利用比例的性质判断式子变形是否正确

7.（2023•安徽亳州・统考模拟预测）如果2022a=2023b,则下列式子正确的是（）

20232022b20232022b2023b

【答案】A

【分析】根据比例的性质，逐项判断即可求解.

【详解】解：A.由2022a=20236,得急=急，则A正确，故A符合题意.

B.由2022a=2023b,得£=翳，则B错误，故B不符合题意.

C.由2022a=2023b,得急=急，则C错误，故C不符合题意.

D.由2022a=2023b,得急=急，则D错误，故D不符合题意.

故选：A.

【点睛】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解决本题的关键.

8.（2021.上海嘉定・统考一模）如果实数mb,c,d满足三=，下列四个选项中，正确的是（）

bd

A级=*R二=二c些=£D-=-

•bd*a+bc+d'b+ddbd

【答案】A

【分析】根据比例的性质选出正确选项.

【详解】A选项正确，.•Y+i=m+i,...竽=等；

bdbd

B选项，当Q+b=0或C+d=0时，不成立；

C选项，当b+d=0时，不成立；

D选项不成立，例如：当工=2时，

2424

故选：A.

【点睛】本题考查比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质.

9.（2019•上海奉贤•校联考一模）己知线段“b,如果a：b=5：2,那么下列各式中一定正确的是（

A.a+b=7B.5a=26C.—=-D.—=1

b2b+2

【答案】c

【分析】根据比例的性质判断即可；

【详解】解：A、当4=10,。=4时，a：b=5：2,但是〃+Z?=14,故本选项错误，不符合题意；

B、由4：b=5・.2,得2〃=50,故本选项错误，不符合题意；

C、由a：6=5：2,得等=｝故本选项正确，符合题意；

D、由a：b=5：2,得震=|，故本选项错误，不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了比例的性质，准确计算是解题的关键.

题型04利用比例的性质求未知数的值

10.（2021・江苏盐城・统考二模）已知线段a,b,c,其中c是a和6的比例中项，a=4,b=9,则c=（）

A.4B.6C.9D.36

【答案】B

【分析】根据比例中项的概念，当两个比例内项相同时，就叫比例中项，再列出比例式即可得出c.

【详解】解：根据比例中项的概念，得c2=a6=36,c=±6,

又线段不能是负数，-6应舍去，取c=6,

故选：B.

【点睛】考查了比例中项的概念：解题的关键是当两个比例内项相同时，就叫比例中项.这里注意线段不

能是负数.

11.（2021.江苏苏州•苏州市景范中学校校考一模）若a:（:c=2:3:7,且a—6+3=c—26,则c值为何？

（）

2121

A.7B.63C.—D.—

24

【答案】c

【分析】先设a=2%,b=3须c=7%,再由a—b+3=c—2b得出x的值，最后代入c=7%即可.

【详解】解：设a=2x,b=3x,c=7x,

,**a—b+3=c-2b,

2x—3x+3=7%—6x,

解得X=I，

・-321

・・C=7X-=—,

22

故选：c.

【点睛】此题主要考查线段的比，解题的关键是根据题意设a=2x,b=3x,c=7x.

12.（2022•四川攀枝花•统考模拟预测）若（3-2x）：2=（3+2尤）：5,则尤=.

【答案】x=J

14

【分析】由两内项之积等于两外项之积进行求解即可.

【详解】解：由题意可得，2（3+2%）=5（3-2x）f

解得尤=2

14

【点睛】本题考查了比例的性质，正确掌握内外项积的关系是解题的关键.

13.（2022•江苏淮安•统考一模）已知巴=2=£,且a+b—2c=6,求a值.

654

【答案】12

【分析】直接利用已知比例式假设出a,6,c的值，进而利用a+62c=6,得出答案.

【详解】解：设［=沁=匕

•*,ci—6/cib=Sk,c=4k,

•••a+b—2c=6,

•••6/c+5fc—8fc=6,

:•k=2,

a—6k—12,

・•.a的值为12.

【点睛】本题主要考查了比例的性质，正确表示出各数是解题的关键.

题型05利用比例的性质求代数式的值

14.（2022・安徽合肥•校考二模）已知a、b、c为非零实数，且满足誓=.=等=鼠则一次函数>=日

+（1+左）的图像一定经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】此题要分a+b+c力。和a+b+c=。两种情况讨论，然后求出k,就知道函数图象经过的象

限.

【详解】解：分两种情况讨论：

当a+b+c力0时，根据比例的等比性质，得：k=喂詈=2,此时直线是y=2x+3,过第一、二、

三象限；

当a+b+c=0时，即a+b=-c,贝！Jk=一1,此时直线是y=-久，直线过第二、四象限.

综上所述，该直线必经过第二象限.

故选：B.

【点睛】

本题考查一次函数的图象与性质，解题关键分情况求上的值，能够根据％,b的符号正确判断直线所经过的

象限.

15.（2023•福建泉州•校联考模拟预测）已知强=3则/巳=

n3m+n

【答案】i

4

【分析】根据等式的性质，可用他表示"，根据分式的性质，可得答案.

【详解】解：由竺=工，得n=3m.

n3

m_m_1

,———,

m+nm+3m4

故答案为:i

【点睛】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出n=3m是解题关键.

16.（2022・四川成都・统考二模）已知5=?=则此丝的值是

234zx

【答案】3

4

【分析】根据工=¥=NH0设x=24，y=3k,z=4k,把%=2攵，y=3k,z=4左代入工”斗,即可求出答案.

234ZX

【详解】解：设x=2Z,y=3k,z=4k,

次18上2

所以2k-3k+3k-4k62+12k29

ZX4k-2k8k28k2一4,

故答案为：J.

4

【点睛】本题考查了比例的性质和求分式的值，能选择适当的方法求解是解此题的关键.

17.（2021•山东滨州•统考三模）计算:

⑴已知关于x,y的多项式叼-3f-2xy-加+y中不含二次项，求（a+6严1的值.

(2)若?=9=(，求学/的值;

3453x2+2xy-z2

⑶解分式方程三+事=2.

X—Z2.-X

【答案】（1）—1

⑵祟

（3）无实数解

【分析】（1）合并同类项，让二次项的系数为0,求得。力的值，再求3+6产21;

(2)设：=?=(=%,代入计算即可.

(3)去分母解分式方程，并验根即可；

【详解】(1),*"axy-3/-2xy-b^+y

=(-3X2-bx2)+(叼-2孙)+y

=(-3-。)f+(〃-2)xy+y

又・・,关于x、y的多项式叼-3f-2孙-中不含二次项，

-3-b=0,a-2=0,

角军得：b=-3,a=2,

则(a+()2021=(-3+2)2021=-1；

(2)%=3=(=无，

.\x=3kfy=4k,z=5k,

・x2-3xy+2z2

**3x2+2xy-z2

_(3fc)2-3x3fcx4k+2x(5k)2

-3x(3k)2+2x3kx4k-(5k)2

_咏2-36k2+5。左2

-27k2+24fc2-25fc2

23

^26

(3)去分母得：2-x=2(x-2),

解得：x=2,

经检验：尤=2不是原方程的解，

故此分式方程无实数解.

【点睛】本题考查了整式的相关概念，比例性质及分式方程的解法，解题的关键运算法则的应用.

题型06理解黄金分割的概念

18.(2023•浙江嘉兴・统考二模)神奇的自然界处处蕴含着数学知识，动物学家发现蝴蝶身长与双翅张开后

的长度之比约为0.618.这个数据体现了数学中的()

A.平移B.轴对称C.旋转D.黄金分割

【答案】D

【分析】利用黄金分割比的意义解答即可.

【详解】解：：黄金分割比为：笞。0.618,

二动物学家发现蝴蝶身长与双翅张开后的长度之比约为0.618,体现了数学中的黄金分割，

故选D.

【点睛】本题考查了数学知识与自然界的联系，熟练掌握线段的黄金分割比是解题的关键.

19.(2023•宁夏银川•校考二模)主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最

好.若舞台长30米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上(BP长为无)，

则％满足的方程是()

1II

APB

A.(30—X)2=30XB.x2=30(30-x)C.x(30-x)=302D.以上都不对

【答案】A

【分析】点P是AB的黄金分割点，且PB<P4,PB=X,贝！JPA=30-x,根据警=芸，即可求解.

APAB

【详解】解：由题意知，点P是48的黄金分割点，且P8<P4,PB=x,贝IJP2=3O-x,

BPAP

•'AP一茄’

・•.AP2=BP•AB,

(30—x)2=30%.

故选：A.

【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关

键.

20.(2020・上海崇明・统考一模)已知线段45=8cm,点C在线段上，5.AC2=BC那么线段"

的长cm.

【答案】4V5-4/—4+4A/5

【详解】根据黄金分割的定义得到点C是线段28的黄金分割点，根据黄金比值计算得到答案.

【解答】解：=

.・•点C是线段4B的黄金分割点，AOBC,

.・心竽加等＞8=（34）cm,

故答案为：4V5-4.

【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握黄金比值为早是解题的关键.

题型07黄金分割的实际应用

21.（2023•山东荷泽・统考三模）黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、

和谐性，蕴藏着丰富的美学价值.如图，在某校初三中考百日倒计时启动仪式的中，舞台2B的长为18米，

主持人站在点C处自然得体.已知点C是线段48上靠近点B的黄金分割点，则此时主持人与点4的距离为—

米.（黄金分割点是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值的分

割点.其比值是一个常数为早）

III

ACB

【答案】9V5-9

【分析】由黄金分割点的定义得4。=等48,再代入48的长计算即可.

【详解】：由题意得，点C是线段48上靠近点B的黄金分割点，4B=18米，AOBC,

：.AC=^AB=-x18=9V5-9（米）.

故答案为：9V5-9.

【点睛】本题考查了黄金分割，解题的关键是能够熟练地掌握黄金分割点的定义和黄金比值.

22.（2023•河南郑州•统考二模）黄金分割比是让无数科学家、数学家、艺术家为之着迷的数字.黄金矩形

的长宽之比为黄金分割比，即矩形的短边为长边的倍.黄金分割比能够给画面带来美感，令人愉悦，在很

多艺术品以及大自然中都能找到它.比如蜗牛壳的螺旋中就隐藏了黄金分割比.如下图，用黄金矩形

4BCD框住整个蜗牛壳，之后作正方形力BFE,得到黄金矩形CDEF,再作正方形DEGH,得到黄金矩形

CFGH……，这样作下去，我们以每个小正方形边长为半径画弧线，然后连接起来，就是黄金螺旋.已知

【答案】1-2

【分析】根据黄金矩形的定义可得40的长，从而得到DE的长，再由阴影部分的面积=S正方形DEGF

S扇形EGF，即可求解・

【详解】解：•.•四边形4BCD是黄金矩形，48=等

.AV5+113+V5

・・AD=------：------=-----

222

•.•四边形4BFE是正方形,

.ME=2”笞

：.DE=AD-AE=1,

••阴影部分的面积=^DEGF-S^EGF=12一曙=1一%

故答案为一,

【点睛】本题主要考查了求扇形面积，理解黄金矩形的定义是解题的关键.

23.（2022•江西九江•统考模拟预测）某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车倒车镜设计为整个车

身黄金分割点的位置（如图，即车尾到倒车镜的距离与车长之比为0.618）,若车头与倒车镜的水平距离为

1.9m,则该车车身总长约为m（保留整数）.

【答案】5

【分析】设该车车身总长为尤加，利用黄金分割点的定义得到汽车倒车镜到车尾的水平距离为0.618X,则

根据题意列方程*0.61841.9,然后解方程即可.

【详解】解：设该车车身总长为xm,

•.•汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置，

汽车倒车镜到车尾的水平距离为0.618X,

.,.x-0.618x=1.9,解得不5

即该车车身总长约为5米.

故答案为：5.

【点睛】本题考查了黄金分割：把线段A3分成两条线段AC和BC（AOBC）,且使AC是A2和2C的比

例中项（即AB：AC=AC：BC）,叫做把线段A2黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点.

24.（2023・山西运城・校联考模拟预测）“黄金三角形”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其中一种是顶

角为36。的等腰三角形，如图，在△ABC中，乙4=36。，AB=AC.

（1）实践与操作：利用尺规作NB的平分线，交边4C于点D（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，

标明字母）；

（2）猜想与证明：请你利用所学知识，证明点⑦是边2C的黄金分割点.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】（1）作N4BC的角平分线，交4c于点D；

（2）根据等腰三角形的性质和角平分线的定义可知ZD=BC,再证ABCDsAACB,根据相似三角形的性

质即可得证.

【详解】（1）解：如图所示，BD即为所求；

A

(2)・・•在△ABC中，AB=AC,Z.A=36°,

AZ-ABC=乙ACB=72°,

•・•8。平分乙4BC,

：.Z-ABD=乙CBD=36°,

AD=BD,(BDC=72°,

BD=BC,

•••AD—BC,

■:乙BCD=Z.ACB,乙CBD=乙CAB,

△BCDACB,

BC：AC=CD：BC,

AD：AC=CD：AD,

2

：.AD=CD•CAf

.•.点。是边/C的黄金分割点.

【点睛】本题考查了黄金分割，等腰三角形、相似三角形的判定和性质，以及尺规作图等知识；熟练掌握

相似三角形的性质和判定是解题的关键.

25.(2023•江西南昌・统考一模)美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种

美感.如图，某女士身高165cm,下半身长工与身高珀勺比值是0.6.

(1)求该女士下半身长X；

(2)为尽可能达到美的效果，求她应穿的高跟鞋的高度.(结果精确到0.1)

【答案】(1)该女士下半身x为99cm；

(2)她应穿的高跟鞋的高度为7.8cm.

【分析】(1)列式计算即可求解；

(2)设需要穿的高跟鞋是ycm,列方程求解即可.

【详解】(1)解：x=165X0,6=99cm；

答：该女士下半身x为99cm；

(2)解：设需要穿的高跟鞋是ycm,则

99+y=0.618(165+y),

解得：yx7.8,

答：她应穿的高跟鞋的高度为7.8cm.

【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用.明确黄金分割所涉及的线段的比是解题关键.

题型08由平行线分线段成比例判断式子正误

26.(2022•黑龙江哈尔滨•校考模拟预测)如图，在团4BCD中，点E在CD边上，连接4E、BE,AE交BD于

点F.则下列结论正确的是().

AAFCDAFDF-DEDF一AFAD

D.—=—）

A.—FE=—DEFEBFC.—CE=—BFL.—FE=—BE

【答案】A

【分析】根据平行四边形的性质和平行线分线段成比例的性质进行解答即可.

【详解】解：•••四边形48CD是平行四边形，

AB=CD,AB||CD,

/.△ABFEDF

..噌=缁釜=整，故B错误，不符合题意；

FEDEFEDF

••聋=能故A正确，符合题意；

FEDE

如果4EIIBC,则有w=《

•••4E和BC不平行，

.••差力黑，故C错误，不符合题意；

CEBF

如果4D||BE,则有△ADF八EBF

.AF_AD

*'FE一BE，

・・•40和BE不平行，

・••妥力给故D错误，不符合题意；

FEBE

故选：A.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例的性质定理

是解题的关键.

27.（2022•黑龙江哈尔滨•校考三模）如图，四边形力BCD为平行四边形，点E在BC的延长线上，点尸在CD

的延长线上，连接BF、EF,BF交AD于G,EF交4。的延长线于点X,下列说法错误的是（）

【答案】A

【分析】由四边形4BCD为平行四边形，可得4B=C。，AD=BC,AB||CD,AD||BC,则△GHF

—=—,可判断C的正误；由OHIICE,可得—=—,—=—,可判断A的正

BEF,BFEFAFDHSCE,EFCEFBCE

误；由AB||CD,可得△FOGsABAG,—,由4H||BE,可得生=也，即竺=也，可判断B的正

AGBGBGEHAGEH

误；由力DIIBC,可得△FGD-AFBC,生=竺，可判断D的正误.

BCCF

【详解】解：・・•四边形为平行四边形，

：.AB=CD,AD=BC,AB||CD,AD||BC,

△GHFs匕BEF,

:啜,c正确，故不符合要求；

BFEF

*：DH||CE,

：.△FDHfFCE,

.HF_DH

EF~CE"

.•喘=嗡，A错误，故符合要求；

FBCE

*：AB||CD,

△FDG〜匕BAG,

.DG_FG

**AG~BG9

*：AH||BE,

,FG_FH

"BG~EH'

.••器=警,B正确，故不符合要求；

AGEH

\9AD||BC,

△FGDFBC,

:ET，D正确，故不符合要求；

BCCF

故选：A.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例等知识.解题的

关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.

28.（2023•黑龙江哈尔滨•校考二模）如图，平行四边形ABCD,E是B4延长线上一点，CE与AD、BD分另U

A.EA'.CD=EG\CGB.CD:BE=CG\CE

C.EG\GC=AG\BCD.CF\GF=DA\DG

【答案】C

【分析】根据平行四边形的性质，可得:AB=CD,ADWBC，AB\\CD,从而得到吧=吧,△AEG

BEC，△DFGBFC即可判断.

【详解】解：・・•四边形/BCD是平行四边形,

：.AB=CD,AD^BC,AB\\CDfAD=BC,

.EA_EG

**AB-GC'

.•史=整，故A选项正确，不符合题意；

CDGC

U

：ADWBCf

△AEGBEC,

.•.2=某,故c选项错误，符合题意；

ECBC

.AB_CG

••=9

BECE

糕=?,故B选项正确，不符合题意；

BECE

u：ADWBC,ABWCD,

△DFGBFC,

.CF_BC

••GF-DG'

VAD=BC,

.•.M=空，故D选项正确，不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，熟练掌握

相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

题型09平行线分线段成比例（A型）

29.（2023•辽宁沈阳•校考一模）如图,在△ABC中，点、D、E分另U在4B、AC上，连接DE,DE\\BC,AE=

4,AD=3,CE=2,贝UBD的长为（）

A.1.5B.V2C.V3D.2

【答案】A

【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可.

【详解】解：••・DE||BC,

AD_AE

"DB-EC9

vAE=4,AD=3,CE=2,

.3_4

—―,

DB2

解得：BD=1.5,

故选：A.

【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键.

30.（2023・上海嘉定・统考二模）如图，已知点。、E分另ij在AABC的边力B、4C上，DE\\BC,AD:DB=

1：3,那么SgEC：SMBC等于（）

A.1:2B.1:3C.2:3D.1:4

【答案】D

【分析】根据题意得AADE〜AaBC,SADEC与SADBC是同高，故底之比等于1：3,从而得出面积之比.

【详解】解：-.-DEWBC,

•••△ADE-△ABC,

■■■DE:BC^AD-.AB,

,-AD\DB=1:3,

-t-AD:AB=1:4,

••.DE:BC=1:4,

"△DEC和S^DBC的IWJ相同,

；・S^DEC：SADBC=1：4,

故选：D.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，高相等的两个三角形的面积之比等于底之比是解题的关

键.

题型10平行线分线段成比例（X型）

31.（2022・广西贵港・统考一模）如图，/是矩形2BCD的边CD上一点，射线BF交力。的延长线于点E,已知

DE=2BC=4,CD=6,求BP的长（）

A.2V2B.3C.V13D.V5

【答案】A

【分析】根据平行线分线段成比例结合已知条件可知CP=2=2C,在根据勾股定理求出BC即可;

【详解】解：•四边形A8CD为矩形，

J.ADHBC,

DP_DE

"'CP=~BC

又,：DE=2BC=4；

：.DP=2PC；

又,：CD=6；

Z.CP=2；

在RS8CP中，ZC=90°,由勾股定理得：

BP=VBC2+CP2=V22+22=2vL

故选：A

【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例及勾股定理，利用平行线分线段成比例求得CF=2是解题的关

键.

32.（2022.河南开封・统考二模）如图，直线，1（口口3,已知AE=1，BE=2,DE=3,则8的长为

【答案】B

【分析】根据平行线分线段成比例求解即可.

【详解】解：：直线〃〃/2〃国

.AE_BE

'*CE~DE1

VAE=1,BE=2,DE=3,

•.•J_一_―2,

CE3

JCE=-,

2

39

・•・CD=CE+DE=-+3

22

故选B.

【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的应用，注意：一组平行线截两条直线，所截的对应线段成比

例.

33.（2023•河南安阳・统考一模）如图，在AO/IB中，点C、。分别在边。8、的反向延长线上，且

CDWAB.若。C=2,OB=4,OD=3,贝|04的长为（）

AB

A.4B.6C.8D.10

【答案】B

【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求解.

【详解】'：CD\\AB,

,OCOD

••—,

OBOA

*：0C=2,OB=4,OD=3,

.・•一2=3,

4OA

：.OA=6,

故选：B.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握相关定理是解本题的关键.

题型11平行线分线段成比例与三角形中位线综合

34.（2022•宁夏银川・校考一模）如图，在团4BCD中，AB=5,BC=8.E是边BC的中点，尸是团4BCD内

一点，且ABFC=90。.连接2F并延长，交CD于点G.若，则DG的长为（）

53

A.-B.-C.3D.2

22

【答案】D

【分析】依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到EF的长，再得到CG的长，进而得出DG的长.

【详解】解：•.3是边BC的中点，且MFC=90°,

；.RtABCF中，EF=^BC=4,

EF||AB,AB||CG,E是边BC的中点,

F是AG的中点，

可得EF+CG),

.­.CG=2EF-AB=3,

又CD=AB=5,

DG=5—3=2,

故选：D.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、梯形的中位线定理、直角三角形

斜边上中线的性质等知识，熟练掌握相关定理是解题的关键.

35.（2022・四川绵阳•统考三模）在中，ZBCA=90°,sinA=|,4B=6,。是A3的中点，连接

CD,作。EJ_AC于E,则△"）£1的周长为（）

C.4+V2D.6+V2

【答案】A

【分析】根据平行线分线段成比例可得。是2B的中点，根据直角三角形斜边上的中线可得CD=3,根据中

位线的性质可得。E=豺8,根据sinA=g,AB=6,求得8c=2,在Rt△ABC中，勾股定理求得AC,进而求

得CE=T4C,然后根据三角形的周长公式即可求解.

【详解】■■■ZBCA=90°,sinA=|,AB=6,DELAC,

•'sin"=^=1-DE//BC,

BC=2,

AC=<AB2-BC2=4V2,

•••。是AB的中点，

•••CE=-AC=2V2,DE=-BC=1,

22

:.XCDE的周长为CD+DE+EC=3+1+2或=4+2/.

故选A.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中位线的性质，根

据正弦求边长，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键.

36.（2022・四川宜宾.统考一模）如图，在〃中，E是边上的中点，连接BE,并延长3E交CO的

延长线于点F,那么黑的值是（）

FC

【答案】c

【分析】根据平行四边形的性质及E是AO边上的中点可知是△BEC的中位线，

即可得矍的值；

FC

【详解】•••四边形A8CD是平行四边形，

J.ED//BC,ED=BC,

:点E是A。的中点，

是△BFC的中位线，

.•.点。是尸C的中点,

•.•-F-D=_一1.

FC2

故选：C.

【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、中位线的性质，平行线分线段成比例，掌握平行四边形的性

质、中位线的性质，平行线分线段成比例等知识是解题的关键.

题型12平行线分线段成比例的常用辅助线之平行线

37.（2023•浙江衢州•统考二模）如图，在△ABC中，。是4C的中点，点尸在BD上，连接4F并延长交BC于

点E,若BF:FD=3:1,BC=10,则CE的长为（）

10

A.3B.4C.5D.—

3

【答案】B

【分析】过点。作DHII/E交BC于H,根据平行线分线段成比例定理得到萼=，十算即可.

EC2

【详解】过点D作DH||4E交于H,

.BE_3

,

EC2

,:BC=10,

CE=4,

故选:B.

【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键.

38.（2023•浙江•一模）如图，在AABC中，^ABC=90°,AB=BC,点。为48中点，BF1CD于点E,交

AC于点F,若4B=2,贝必尸=（）

A.越B.2C.匹D.1

433

【答案】B

【分析】过点。作DG||BF交AF于点G,由点。为4B中点，得到AD=BD==1,慧=与=；,则

2AFAB2

AF=2AG=2FG,由勾股定理得到AC=2/，由BF1CD于点E,则NBEC=90。，CD=y/BD2+BC2=

V5,再证△BCE'DCB,得到黑=累，求得。£=衅，由DG||BF得到？=黑=：,进一步得到CF=

CJLZBC5C<(JCD5

4FG=2AF,进一步即可得到AF的长度.

【详解】解：过点。作QG||BF交2F于点G,

A

B

•.•点。为42中点,

：.AF=2AG=2FG,

'：^.ABC=90°,AB=8C=2,

：.AC=>JAB2+BC2=2V2,

,：BF1CD于点E,

:.乙BEC=90°,CD=y/BD2+BC2=V5,

:.乙BEC=4DBC=90°,

■:乙BCE=Z.DCB,

△BCEDCB,

・BCCE

••——,

CDBC

.2_CE

解得CE=卓，

VDG||BF,

4V5

.CF_CE_—_4

••=—~=二,

CGCDV55

44,、

：.CF=^CG="F+FG),

:.CF=4FG=2AF,

：.AF^-AC=—.

33

故选：B

【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，数形结合和

准确计算是解题的关键.

39.(2022•广西贵港•统考二模)如图，在AABC中，。是4B边的中点，点E在BC边上，且BE:CE=3:2,

CD与4E交于点F,贝！］DF:CF=()

A.2：3B.3：4C.4：3D.3：2

【答案】B

【分析】过点。作DHIIBC交AE于H,可得DH为△ABE的中位线，可得£»”=28后，设BE=3%,贝UCE=

2x,根据平行线分线段成比例定理即可求解.

【详解】解:如图，过点。作DHIIBC交4E于H,

.AD_AH

,,—，

DBHE

vD是4B边的中点，

.•.点H是4E的中点，

是AABE的中位线，

DH=-2BE,

设BE=3%,贝！JCE=2%,DH=；x,

•・•DHWBC,

.DH_DF

••CE-CF9

...竺:=三=三，

CF2x4’

故选：B.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，三角形的中位线，过点。作构造三角形的中位线是解

题的关键.

题型13平行线分线段成比例的常用辅助线之垂线

40.（2023•浙江•一模）如图，菱形4BCD中，点E是CD的中点，EF垂直4B交48延长线于点F,若母=%

EF=2V5,则菱形ABCD的边长是（）

A.3V5B.yV5C.5D.6

【答案】D

【分析】过C作CM14B延长线于根据襄=；,设BG=x,CG=3x,由菱形的性质表示出DC=BC=

CG3

4x,由平行线分线段成比例表示出BM=BF+FM=：x+3x=：x,根据勾股定理列方程计算即可.

【详解】解：过C作CMLAB延长线于

..BG1

•一—，

CG3

・••设BG=x,CG=3x,

..DC—BC=4%,

:点E是边CD的中点，

：

.CE=-2CD=2x,

・・•菱形ZBCO,

ACE||AB,

9：EF1AB,CMLAB,

：.EF||CM,

J四边形EFMC是矩形，

・•・CM=EF=2A/5,MF=CE=2x,

VGF||CM,

.BFBG口B尸1

••--=---,即n—=一,

FMGC2x3

2

：.BF=-%,

3

oo

：.BM=BF+FM=-x+3x=-%,

33

在RtZkBCM中，BM2+CM2=BC2,

*，*Qx）+（2V5）2=（4%）2,解得％=|或%=-|（舍去）,

：

.CD=4x=4x-2=6.

故选：D.

【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理，关键在于熟悉各个知识点在本题的灵活

运用.属于拔高题.

41.（2023・四川南充•四川省南充高级中学校考二模）如图，在直角坐标系中，反比例函数y=£的图象恰好

经过AAOB的顶点及边48上一点C且满足AC如果△408的面积为2,那么k的值是（）

【答案】C

【分析】过B作BDL04于£）,CE1O4于E,设B件，n）,根据三角形的面积公式得到。4==则

a（-0）,然后利用平行线分线段成比例定理求出4E和CE,求得C（黑谭），代入反比例函数解析式即

可得到结论.

【详解】解：过8作BD1。力于。，。£11。4于£,

•.•点8在反比例函数y=：的图象上,

.•.设B&,n）,

的面积为2,

：.0A=~4,

n

"（一4o）,

'：BD\\CE,AC=AB,

.AE_CE_AC1

**AD-BD~AB3

11

：.AE=-ADCE=-BD,

3f3

—,CE=-,

.nn.3n3

44k+48-k

：.OE=--AE

nn3n3n

・"隽M），

•.•点C在反比例函数y=§的图象上,

./c-8n

k,

3n3

••k.=-1f

故选：C.

【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，三角形的面积计算，平行线分线段成比例，正确表示C点

的坐标是解题的关键.

42.（2023•贵州贵阳・统考二模）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上

则线段4C的长是（)

A.4cmB.5cmC.6cmD.7cm

【答案】c

【分析】过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于交点C所在的平行横线于E,根据平行

线分线段成比例定理列出比例式，计算即可.

【详解】解：过点A作平行横线的垂线，交点3所在的平行横线于D交点C所在的平行横线于E,

则rrt,\一AB=一AD，即pi-t一i46=一1,

BCDE42

解得：AB=2,

・・・4C=2+4=6(cm).