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文档简介

第六章几何图形初步6.3角

6.3.3

余角和补角1.了解余角、补角的概念,掌握余角和补角的性质,并能利用余角、补角的知识解决相关问题.2.了解方位角的概念,并能用方位角知识解决一些简单的实际问题.

如图坝底是由石块堆积而成,要测出∠1的度数,你有什么简单的方法吗?

要解决这问题,我们先来学习余角和补角.1

如果两个角的和等于90°(直角),就说这两个角互为余角(简称为两个角互余).2余角和补角的概念学生活动一

【一起探究】

如图,可以说∠1是∠2的余角,或∠2是∠1的余角,或∠1和∠2互余.图中给出的各角,哪些互为余角?15o24o66o75o46.2o43.8o

如果两个角的和等于180°(平角),就说这两个角互为补角

(简称为两个角互补).

如图,可以说∠3是∠4的补角,或∠4是∠3的补角,或∠3和∠4互补.43图中给出的各角,哪些互为补角?10o30o60o80o100o120o150o170o例1若一个角的补角等于它的余角的4倍,求这个角的度数.素养考点1利用余角、补角的概念求角的度数解:设这个角为x°,则它的补角是(180–x)°,

余角是(90–x

)°.根据题意,得180–x

=4(90–x

).

解得

x=60.答:这个角的度数是60°.已知∠A与∠B互余,且

∠A的度数比∠B度数的

3

倍还多30°,求∠B的度数.解:设∠B的度数为x°,则∠A

的度数为(3x+30)°.根据题意得:x+(3x+30)=90.

解得x=15.故∠B

的度数为15°.例2如图,已知O为AD上一点,∠AOC与∠AOB互补,OM,ON分别为∠AOC,∠AOB的平分线,若∠MON=40°,试求∠AOC与∠AOB的度数.O

DA

B

C

N

M

素养考点2余角、补角、角平分线相结合的题目所以解得x=50°,则180°–x=130°.即∠AOB=50°,∠AOC=130°.所以∠AOM=

,∠AON=

.解:设∠AOB=x,因为∠AOC与∠AOB互补,则∠AOC=180°–x.因为OM,ON分别为∠AOC,∠AOB的平分线,O

DA

B

C

N

M

如图,AB是一条直线,OC是一条射线,∠AOC=2∠AOF,∠BOC=2∠BOE.(1)∠1与∠2互余吗?

(2)指出图中所有互余和互补的角.解:互余的角:∠1与∠2;∠1与∠BOE;∠2与∠AOF;∠BOE与∠AOF.互补的角:∠BOE与∠AOE;∠2与∠AOE;∠AOF与∠BOF;∠1与∠BOF;∠AOC与∠BOC.∠α∠α的余角∠α的补角5°32°45°77°62°23′x°(0<x<90)27°37′117°37′85°175°58°148°45°135°103°13°(90–x)°(180–x)°观察可得结论:锐角的补角比它的余角大_____.90°想一想∠1与∠2,∠1与∠3都互为补角,∠2与∠3的大小有什么关系?思考:123∠2=180°–∠1∠3=180°–∠1=余角和补角的性质学生活动二

【一起探究】同角(等角)的补角相等.结论:同角(等角)的余角相等.类似地,可以得到:素养考点余角和补角的识别例

如图,点A,O,B在同一直线上,射线

OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC,图中哪些角互为余角?O

A

B

C

D

E

解:因为点A,O,B在同一直线上,所以∠AOC和∠BOC互为补角.O

A

B

C

D

E

所以∠COD和∠COE互为余角,同理∠AOD和∠BOE,∠AOD和∠COE,∠COD和∠BOE也互为余角.如图,O为直线AB上一点,OD平分∠AOC,∠DOE=90°.(1)∠AOD的余角是_______________,∠COD的余角是________________;∠COE、∠BOE∠COE、∠BOEO

A

B

C

D

E

如图,O为直线AB上一点,OD平分∠AOC,∠DOE=90°.(2)OE是∠BOC的平分线吗?请说明理由.O

A

B

C

D

E

解:OE平分∠BOC,理由如下:因为∠DOE=90°,所以∠AOD+∠BOE=90°,所以∠COD+∠COE=90°,所以∠AOD+∠BOE=∠COD+∠COE,因为OD平分∠AOC,所以∠AOD=∠COD,所以∠COE=∠BOE,所以OE平分∠BOC.1.一个角的余角是它的2倍,这个角的度数是()A.30° B.45° C.60° D.75°A2.下列说法正确的是()A.一个角的补角一定大于它本身B.一个角的余角一定小于它本身C.一个钝角减去一个锐角的差一定是一个锐角D.一个角的余角一定小于其补角D3.如图,将一副三角尺按不同的位置摆放,下列方式中∠α与∠β互余的是

()A.图① B.图② C.图③ D.图④4.∠α=35°,则∠α的补角为______度.145A5.如图,已知∠ACB=∠CDB=90°.(1)图中有哪几对互余的角?(2)图中哪几对角是相等的角(直角除外)?为什么?答案:∠A+∠B=90°,

∠A+∠2=90°,∠1+∠B=90°,

∠1+∠2=90°.答案:∠B=∠2,∠A=∠1.(同角的余角相等)(同角的余角相等)ACD12B

6.一个角的补角是它的3倍,这个角是多少度?解:180–x=3x解得:x=45答:

这个角是45°.

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