人教版高中数学选择性必修第一册-综合检测卷（含解析）

人教版高中数学选择性必修第一册综合检测卷（原卷版）[时间：120分钟满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若直线过点(1，3)，(4，3＋eq\r(3))，则此直线的倾斜角是()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(2π,3)2．(2019·北京，理)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(1,2)，则()A．a2＝2b2 B．3a2＝4b2C．a＝2b D．3a＝4b3.如图，在三棱锥O－ABC中，D是棱AC的中点，若eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，则eq\o(BD,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,2)a－b＋eq\f(1,2)c B．a＋b－cC．a－b＋c D．－eq\f(1,2)a＋b－eq\f(1,2)c4．直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段AB的中点坐标是()A．(2，6) B．(3，2)C．(6，4) D．(4，6)5．已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))的值为()A．a2 B.eq\f(1,4)a2C.eq\f(1,2)a2 D.eq\f(\r(3),4)a26．已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为()A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0C．x2＋y2＋2x－3＝0 D．x2＋y2－4x＝07.四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，BC∥AD，且AB＝BC＝2，AD＝3，PA⊥平面ABCD且PA＝2，则PB与平面PCD所成角的正弦值为()A.eq\f(\r(42),7) B.eq\f(\r(7),7)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(\r(6),3)8．(2019·课标全国Ⅱ)设F为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C．2 D.eq\r(5)二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列说法正确的是()A．在两坐标轴上截距相等的直线可以用方程eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1表示B．存在实数m，使得方程x＋my－2＝0能表示平行于y轴的直线C．经过点P(1，1)，倾斜角为θ的直线方程为y－1＝tanθ(x－1)D．点(0，2)关于直线y＝x＋1的对称点为(1，1)10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1和C1D1的中点，则下列结论正确的是()A．A1C1∥平面CEFB．B1D⊥平面CEFC.eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))D．若正方体ABCD－A1B1C1D1边长为2，点B1到平面CEF的距离为111．已知P是椭圆C：eq\f(x2,6)＋y2＝1上的动点，Q是圆D：(x＋1)2＋y2＝eq\f(1,5)上的动点，则()A．C的焦距为eq\r(5) B．C的离心率为eq\f(\r(30),6)C．圆D在C的内部 D．|PQ|的最小值为eq\f(2\r(5),5)12．已知动点P到两定点M(－2，0)，N(2，0)的距离乘积为常数16，其轨迹为C，则()A．C一定经过原点 B．C关于x轴、y轴对称C．△MPN的面积的最大值为4eq\r(3) D．C在一个面积为64的矩形内三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．在四棱锥P－ABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于O，G为BD上一点，BG＝2GD，eq\o(PA,\s\up6(→))＝a，eq\o(PB,\s\up6(→))＝b，eq\o(PC,\s\up6(→))＝c，试用基底{a，b，c}表示向量eq\o(PG,\s\up6(→))＝________．14．已知点P是圆C：x2＋y2＝4上的动点，点A(4，2)，则线段AP中点M的轨迹方程是________________；点M的轨迹与圆C相交，则过交点的直线方程是________．(本题第一空2分，第二空3分)15．已知点F2为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，直线y＝kx交双曲线C于A，B两点，若∠AF2B＝eq\f(2π,3)，S△AF2B＝2eq\r(3)，则双曲线C的虚轴长为________．16．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F1(1，0)，离心率为e.设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，AF1的中点为M，BF1的中点为N，原点O在以线段MN为直径的圆上．设直线AB的斜率为k，若0<k≤eq\r(3)，则e的取值范围为________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知三角形的顶点A(2，3)，B(0，－1)，C(－2，1)．(1)求直线AC的方程；(2)从①，②这两个问题中选择一个作答．①求点B关于直线AC的对称点D的坐标．②若直线l过点B且与直线AC交于点E，|BE|＝3，求直线l的方程．18．(12分)已知圆C经过三点O(0，0)，A(1，3)，B(4，0)．(1)求圆C的方程；(2)求过点P(3，6)且被圆C截得弦长为4的直线的方程．19．(12分)(2019·课标全国Ⅱ，文)已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．20.(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，且△PCD是边长为2的等边三角形，四边形ABCD是矩形，BC＝2eq\r(2)，M为BC的中点．(1)求证：AM⊥PM；(2)求二面角P－AM－D的大小；(3)求点D到平面AMP的距离．21．(12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝BC1＝2，∠AA1C1＝60°，平面ABC1⊥平面AA1C1C，AC1与A1C相交于点D.(1)求证：BD⊥平面AA1C1；(2)设点E是直线B1C1上一点，且DE∥平面AA1B1B，求平面EBD与平面ABC1夹角的余弦值．22．(12分)已知定点F(1，0)，动点P在y轴上运动，过点P作PM交x轴于点M，并延长MP到点N，且eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))＝0，|eq\o(PM,\s\up6(→))|＝|eq\o(PN,\s\up6(→))|.(1)求动点N的轨迹方程；(2)直线l与动点N的轨迹交于A，B两点，若eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝－4，且4eq\r(6)≤|eq\o(AB,\s\up6(→))|≤4eq\r(30)，求直线l的斜率k的取值范围．1．若椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(3),2)，则双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的离心率为()A.eq\f(5,4) B.eq\f(\r(5),2)C.eq\f(3,2) D.eq\f(\r(5),4)2．已知四面体顶点A(2，3，1)，B(4，1，－2)，C(6，3，7)和D(－5，－4，8)，则顶点D到平面ABC的距离为()A．8 B．9C．10 D．113.如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2.下列结论中正确的是()A.eq\o(SA,\s\up6(→))＋eq\o(SB,\s\up6(→))＋eq\o(SC,\s\up6(→))＋eq\o(SD,\s\up6(→))＝0 B.eq\o(SA,\s\up6(→))－eq\o(SB,\s\up6(→))＋eq\o(SC,\s\up6(→))－eq\o(SD,\s\up6(→))＝0C.eq\o(SA,\s\up6(→))·eq\o(SB,\s\up6(→))＋eq\o(SC,\s\up6(→))·eq\o(SD,\s\up6(→))＝0 D.eq\o(SA,\s\up6(→))·eq\o(SC,\s\up6(→))＝04．已知A是双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左顶点，F是抛物线C：y2＝－8ax的焦点．若在双曲线的渐近线上存在点P，使得eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(FP,\s\up6(→))，则E的离心率的取值范围是()A．(1，2) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3\r(2),4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3\r(2),4))) D．(2，＋∞)5.如图，在正四棱锥P－ABCD中，PA＝AB，点M为PA的中点，eq\o(BD,\s\up6(→))＝λeq\o(BN,\s\up6(→)).若MN⊥AD，则实数λ为()A．2 B．3C．4 D．56．已知椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，M，N是坐标平面内的两点，且M与椭圆C的焦点不重合．若M关于椭圆C的左、右焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在椭圆C上，则|AN|＋|BN|＝()A．4 B．8C．12 D．167．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－2)，点B(1，－1)，P为圆x2＋y2＝2上一动点(异于点B)，则eq\f(|PB|,|PA|)的最大值是()A．2 B．4C.eq\r(2) D．2eq\r(2)8．【多选题】若{a，b，c}为空间的一个基底，则()A．b＋c，b－c，a共面 B．b＋c，b－c，2b共面C．b＋c，a，a＋b＋c共面 D．a＋c，a－2c，c共面9.【多选题】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D中，AB＝eq\r(3)AD＝eq\r(3)AA1＝eq\r(3)，点P为线段A1C上的动点，则下列结论正确的是()A．当eq\o(A1C,\s\up6(→))＝2eq\o(A1P,\s\up6(→))时，B1，P，D三点共线B．当eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(A1C,\s\up6(→))时，eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(D1P,\s\up6(→))C．当eq\o(A1C,\s\up6(→))＝3eq\o(A1P,\s\up6(→))时，D1P∥平面BDC1D．当eq\o(A1C,\s\up6(→))＝5eq\o(A1P,\s\up6(→))时，A1C⊥平面D1AP10．【多选题】已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足为C，D，且|AF|＝3|BF|，M为AB中点，则下列结论正确的是()A．∠CFD＝90° B．△CMD为等腰直角三角形C．直线AB的斜率为±eq\r(3) D．△AOB的面积为411．【多选题】a，b为空间两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以AC为旋转轴旋转，则下列结论正确的是()A．直线AB与a所成角的最小值为eq\f(π,4)B．直线AB与a所成角的最大值为eq\f(π,3)C．当直线AB与a所成的角为eq\f(π,3)时，AB与b所成的角为eq\f(π,6)D．当直线AB与a所成的角为eq\f(π,3)时，AB与b所成的角为eq\f(π,3)12．【多选题】古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，A(－2，0)，B(4，0)，点P满足eq\f(|PA|,|PB|)＝eq\f(1,2).设点P的轨迹为C，下列结论正确的是()A．轨迹C的方程为(x＋4)2＋y2＝9B．在x轴上存在异于A，B的两点D，E使得eq\f(|PD|,|PE|)＝eq\f(1,2)C．当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线D．在C上存在点M，使得|MO|＝2|MA|13．已知直线l：mx－y＝1，若直线l与直线x－my－1＝0平行，则实数m的值为________，动直线l被圆C：x2＋y2＋2x－24＝0截得弦长的最小值为________．14．已知M(－2，0)，N(2，0)，点P(x，y)为坐标平面内的动点，满足|eq\o(MN,\s\up6(→))|·|eq\o(MP,\s\up6(→))|＋eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(NP,\s\up6(→))＝0，则动点P的轨迹方程为________．15．已知直线l：4x－3y＋6＝0，抛物线C：y2＝4x上一动点P到直线l与到y轴距离之和的最小值为________，P到直线l距离的最小值为________．16．已知直线l：y＝－x＋1与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)相交于A，B两点，且线段AB的中点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(1,3))).(1)求此椭圆的离心率；(2)若椭圆的右焦点关于直线l的对称点在圆x2＋y2＝5上，求此椭圆的方程．17.如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE－BCF和一个正四棱锥P－ABCD组合而成的，AD⊥AF，AE＝AD＝2.(1)证明：平面PAD⊥平面ABFE；(2)求正四棱锥P－ABCD的高h，使得二面角C－AF－P的余弦值是eq\f(2\r(2),3).18.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AC＝AA1＝eq\r(3)，∠ABC＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)求二面角A－A1C－B的正切值大小．19.如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高为3，底面是边长为4且∠DAB＝60°的菱形，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，E是O1A的中点．(1)求二面角O1－BC－D的大小；(2)求点E到平面O1BC的距离．20．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，若|PM|＝|PO|，求|PM|的最小值及使得|PM|取得最小值的点P的坐标．21．已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．(1)求k的取值范围；(2)若eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝12，其中O为坐标原点，求△OMN的面积．22.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的短轴长为2，椭圆C上的点到右焦点距离的最大值为2＋eq\r(3).过点P(m，0)作斜率为k的直线l交椭圆C于A，B两点，其中m>0，k>0，D是线段AB的中点，直线OD交椭圆C于M，N两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若m＝1，eq\o(OM,\s\up6(→))＋3eq\o(OD,\s\up6(→))＝0，求k的值；(3)若存在直线l，使得四边形OANB为平行四边形，求m的取值范围．人教版高中数学选择性必修第一册综合检测卷（解析版）[时间：120分钟满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若直线过点(1，3)，(4，3＋eq\r(3))，则此直线的倾斜角是()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(2π,3)答案A解析设直线的倾斜角为α，则tanα＝eq\f(\r(3)＋3－3,4－1)＝eq\f(\r(3),3)，∴α＝eq\f(π,6).故选A.2．(2019·北京，理)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(1,2)，则()A．a2＝2b2 B．3a2＝4b2C．a＝2b D．3a＝4b答案B解析椭圆的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，c2＝a2－b2，化简得3a2＝4b2.故选B.3.如图，在三棱锥O－ABC中，D是棱AC的中点，若eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，则eq\o(BD,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,2)a－b＋eq\f(1,2)c B．a＋b－cC．a－b＋c D．－eq\f(1,2)a＋b－eq\f(1,2)c答案A解析eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))，因此eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－b＋eq\f(1,2)c.4．直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段AB的中点坐标是()A．(2，6) B．(3，2)C．(6，4) D．(4，6)答案B解析设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．将y＝x－1代入y2＝4x，整理得x2－6x＋1＝0.由根与系数的关系得x1＋x2＝6，则eq\f(x1＋x2,2)＝3，eq\f(y1＋y2,2)＝eq\f(x1＋x2－2,2)＝eq\f(6－2,2)＝2，所以所求点的坐标为(3，2)．故选B.5．已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))的值为()A．a2 B.eq\f(1,4)a2C.eq\f(1,2)a2 D.eq\f(\r(3),4)a2答案B解析在正四面体ABCD中，点E，F分别是BC，AD的中点，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))·eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→)).因为ABCD是正四面体，所以BE⊥AD，∠BAD＝eq\f(π,3)，即eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AD,\s\up6(→))|coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)a2，所以eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)a2.故选B.6．已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为()A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0C．x2＋y2＋2x－3＝0 D．x2＋y2－4x＝0答案D解析由题意设圆心坐标为C(a，0)(a>0)，∵圆C与直线3x＋4y＋4＝0相切，∴eq\f(|3a＋0＋4|,\r(9＋16))＝2，解得a＝2.∴圆心为C(2，0)，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.故选D.7.四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，BC∥AD，且AB＝BC＝2，AD＝3，PA⊥平面ABCD且PA＝2，则PB与平面PCD所成角的正弦值为()A.eq\f(\r(42),7) B.eq\f(\r(7),7)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(\r(6),3)答案B解析建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，2)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，3，0)．eq\o(PB,\s\up6(→))＝(2，0，－2)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－2，1，0)，eq\o(PD,\s\up6(→))＝(0，3，－2)．设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x＋y＝0，,3y－2z＝0.))取x＝1得n＝(1，2，3)．cos〈eq\o(PB,\s\up6(→))，n〉＝eq\f(\o(PB,\s\up6(→))·n,|\o(PB,\s\up6(→))||n|)＝eq\f(－4,2\r(2)×\r(14))＝－eq\f(\r(7),7)，可得PB与平面PCD所成角的正弦值为eq\f(\r(7),7).故选B.8．(2019·课标全国Ⅱ)设F为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C．2 D.eq\r(5)答案A解析如图，由题意知以OF为直径的圆的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(c,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(c2,4)①，将x2＋y2＝a2记为②式，①－②得x＝eq\f(a2,c)，则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的相交弦所在直线的方程为x＝eq\f(a2,c)，所以|PQ|＝2eq\r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)))\s\up12(2)).由|PQ|＝|OF|，得2eq\r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)))\s\up12(2))＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e＝eq\r(2).故选A.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列说法正确的是()A．在两坐标轴上截距相等的直线可以用方程eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1表示B．存在实数m，使得方程x＋my－2＝0能表示平行于y轴的直线C．经过点P(1，1)，倾斜角为θ的直线方程为y－1＝tanθ(x－1)D．点(0，2)关于直线y＝x＋1的对称点为(1，1)答案BD解析对于A，若直线过原点，则在两坐标轴上的截距都为零，故不能用方程eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1表示，所以A错误；对于B，当m＝0时，平行于y轴的直线方程为x＝2，所以B正确；对于C，若直线的倾斜角为90°，则该直线的斜率不存在，故不能用y－1＝tanθ(x－1)表示，所以C错误；对于D，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(0＋1,2)，\f(2＋1,2)))在直线y＝x＋1上，且(0，2)，(1，1)连线的斜率为－1，所以D正确．故选BD.10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1和C1D1的中点，则下列结论正确的是()A．A1C1∥平面CEFB．B1D⊥平面CEFC.eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))D．若正方体ABCD－A1B1C1D1边长为2，点B1到平面CEF的距离为1答案AC解析对于A，因为E，F分别是A1D1和C1D1的中点，所以EF∥A1C1，且EF⊂平面CEF，故A1C1∥平面CEF成立，A正确；对于B，以点D为坐标原点，eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)，设正方形ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则D(0，0，0)，C(0，2，0)，A(2，0，0，)，B1(2，2，2)，D1(0，0，2)，E(1，0，2)，F(0，1，2)，eq\o(B1D,\s\up6(→))＝(－2，－2，－2)，eq\o(FC,\s\up6(→))＝(0，1，－2)，因为eq\o(B1D,\s\up6(→))·eq\o(FC,\s\up6(→))＝0－2＋4＝2≠0，所以eq\o(B1D,\s\up6(→))与eq\o(FC,\s\up6(→))不垂直，又CF⊂平面CEF，所以B1D与平面CEF不垂直，B错误；对于C，eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(2，0，0)＋(0，0，2)－(0，2，0)＝(1，－2，2)，又eq\o(CE,\s\up6(→))＝(1，－2，2)，所以eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))成立，C正确；对于D，连接B1E，eq\o(EF,\s\up6(→))＝(－1，1，0)，eq\o(EC,\s\up6(→))＝(－1，2，－2)，设平面EFC的法向量为n＝(x，y，z)则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(EF,\s\up6(→))·n＝0，,\o(EC,\s\up6(→))·n＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋y＝0，,－x＋2y－2z＝0，))令x＝2，得n＝(2，2，1)，又eq\o(B1E,\s\up6(→))＝(－1，－2，0)，所以点B1到平面CEF的距离d＝eq\f(|\o(B1E,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(6,3)＝2，D错误．故选AC.11．已知P是椭圆C：eq\f(x2,6)＋y2＝1上的动点，Q是圆D：(x＋1)2＋y2＝eq\f(1,5)上的动点，则()A．C的焦距为eq\r(5) B．C的离心率为eq\f(\r(30),6)C．圆D在C的内部 D．|PQ|的最小值为eq\f(2\r(5),5)答案BC解析∵eq\f(x2,6)＋y2＝1，∴a＝eq\r(6)，b＝1，∴c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(6－1)＝eq\r(5)，则C的焦距为2eq\r(5)，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),\r(6))＝eq\f(\r(30),6).设P(x，y)(－eq\r(6)≤x≤eq\r(6))，则|PD|2＝(x＋1)2＋y2＝(x＋1)2＋1－eq\f(x2,6)＝eq\f(5,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(6,5)))eq\s\up12(2)＋eq\f(4,5)≥eq\f(4,5)>eq\f(1,5)，可知圆D在C的内部，且|PQ|的最小值为eq\r(\f(4,5))－eq\r(\f(1,5))＝eq\f(\r(5),5).故选BC.12．已知动点P到两定点M(－2，0)，N(2，0)的距离乘积为常数16，其轨迹为C，则()A．C一定经过原点 B．C关于x轴、y轴对称C．△MPN的面积的最大值为4eq\r(3) D．C在一个面积为64的矩形内答案BCD解析设点P的坐标为(x，y)，由题意可得eq\r(（x＋2）2＋y2)·eq\r(（x－2）2＋y2)＝16.对于A，将原点坐标(0，0)代入方程得2×2＝4≠16，故A错误；对于B，设点P关于x轴、y轴的对称点分别为P1(x，－y)，P2(－x，y)，因为eq\r(（x＋2）2＋（－y）2)·eq\r(（x－2）2＋（－y）2)＝eq\r(（x＋2）2＋y2)·eq\r(（x－2）2＋y2)＝16，eq\r(（－x＋2）2＋y2)·eq\r(（－x－2）2＋y2)＝eq\r(（x－2）2＋y2)·eq\r(（x＋2）2＋y2)＝16，所以点P1，P2都在曲线C上，所以曲线C关于x轴、y轴对称，故B正确；对于C，设|PM|＝a，|PN|＝b，∠MPN＝θ(0<θ<π)，则ab＝16，由余弦定理得cosθ＝eq\f(a2＋b2－16,2ab)＝eq\f(a2＋b2－16,32)≥eq\f(2ab－16,32)＝eq\f(1,2)，当且仅当a＝b＝4时等号成立，则θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))，所以sinθ≤eq\f(\r(3),2)，则△MPN的面积S△MPN＝eq\f(1,2)absinθ≤eq\f(1,2)×16×eq\f(\r(3),2)＝4eq\r(3)，故C正确；对于D，由16＝eq\r(（x＋2）2＋y2)·eq\r(（x－2）2＋y2)≥eq\r(（x＋2）2)·eq\r(（x－2）2)＝|x2－4|，可得－16≤x2－4≤16，得0≤x2≤20，解得－2eq\r(5)≤x≤2eq\r(5)，由C知，S△MPN＝eq\f(1,2)|MN|·|y|＝eq\f(1,2)×4×|y|≤4eq\r(3)，得|y|≤2eq\r(3)，因为4eq\r(5)×4eq\r(3)＝16eq\r(15)<64，所以曲线C在一个面积为64的矩形内，故D正确．故选BCD.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．在四棱锥P－ABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于O，G为BD上一点，BG＝2GD，eq\o(PA,\s\up6(→))＝a，eq\o(PB,\s\up6(→))＝b，eq\o(PC,\s\up6(→))＝c，试用基底{a，b，c}表示向量eq\o(PG,\s\up6(→))＝________．答案eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)b＋eq\f(2,3)c解析eq\o(PG,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)[(eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→)))＋(eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→)))]＝eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(PA,\s\up6(→))－2eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)b＋eq\f(2,3)c.14．已知点P是圆C：x2＋y2＝4上的动点，点A(4，2)，则线段AP中点M的轨迹方程是________________；点M的轨迹与圆C相交，则过交点的直线方程是________．(本题第一空2分，第二空3分)答案(x－2)2＋(y－1)2＝12x＋y－4＝0解析设M(x，y)，P(x1，y1)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋4,2)，,y＝\f(y1＋2,2)，))整理得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝2x－4，,y1＝2y－2.))因为x12＋y12＝4，所以(2x－4)2＋(2y－2)2＝4.整理得(x－2)2＋(y－1)2＝1.①又圆C：x2＋y2＝4，②由①－②得2x＋y－4＝0，即为所求直线方程．15．已知点F2为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，直线y＝kx交双曲线C于A，B两点，若∠AF2B＝eq\f(2π,3)，S△AF2B＝2eq\r(3)，则双曲线C的虚轴长为________．答案2eq\r(2)解析由题意知点B与点A关于原点对称，设双曲线的左焦点为F1，连接AF1，BF1，由对称性可知四边形AF1BF2是平行四边形，所以∠F1AF2＝eq\f(π,3)，设|AF2|＝m，不妨设点A在点B右侧，则|AF1|＝2a＋m.在△AF1F2中，由余弦定理可得4c2＝m2＋(m＋2a)2－m(m＋2a)，化简得4c2－4a2＝m2＋2ma，即4b2＝m(m＋2a)．又S△AF2B＝eq\f(1,2)m(m＋2a)·eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)，所以b2＝2，所以2b＝2eq\r(2).16．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F1(1，0)，离心率为e.设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，AF1的中点为M，BF1的中点为N，原点O在以线段MN为直径的圆上．设直线AB的斜率为k，若0<k≤eq\r(3)，则e的取值范围为________．答案[eq\r(3)－1，1)解析设A(m，n)，则B(－m，－n)，则k＝eq\f(n,m)，因为原点O在以线段MN为直径的圆上，所以OM⊥ON，又因为M为AF1的中点，所以OM∥BF1，同理ON∥AF1，所以四边形OMF1N是矩形，即AF1⊥BF1，而eq\o(AF1,\s\up6(→))＝(1－m，－n)，eq\o(BF1,\s\up6(→))＝(1＋m，n)，所以(1－m)(1＋m)－n2＝0，即m2＋n2＝1，又eq\f(m2,a2)＋eq\f(n2,b2)＝1，于是有eq\f(m2,a2)＋eq\f(n2,b2)＝m2＋n2，从而eq\f(\f(1,a2)－1,1－\f(1,b2))＝eq\f(n2,m2)＝k2≤3，即eq\f(1,a2)＋eq\f(3,b2)≥4，将b2＝a2－1代入上式，整理得4a4－8a2＋1≤0，解得eq\f(2－\r(3),2)≤a2≤eq\f(2＋\r(3),2)，又a>c＝1，所以4－2eq\r(3)≤eq\f(1,a2)<1，即eq\r(3)－1≤e<1.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知三角形的顶点A(2，3)，B(0，－1)，C(－2，1)．(1)求直线AC的方程；(2)从①，②这两个问题中选择一个作答．①求点B关于直线AC的对称点D的坐标．②若直线l过点B且与直线AC交于点E，|BE|＝3，求直线l的方程．思路分析(1)由A(2，3)，C(－2，1)，可求出直线AC的斜率，由点斜式即可写出直线的方程；(2)选①由对称点的性质即可求出；选②设出E点的坐标eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，\f(1,2)t＋2))，由两点间的距离公式列出方程，解出t的值，根据B，E两点的坐标即可求出直线的方程．解析(1)因为直线AC的斜率为kAC＝eq\f(1,2)，所以直线AC的方程为y－3＝eq\f(1,2)(x－2)，即直线AC的方程为x－2y＋4＝0.(2)选择问题①：设D的坐标为(m，n)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,m)·\f(1,2)＝－1，,\f(m,2)－2·\f(n－1,2)＋4＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－\f(12,5)，,n＝\f(19,5).))所以点D的坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,5)，\f(19,5))).选择问题②：设E的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，\f(1,2)t＋2))，因为|BE|＝3，所以eq\r(t2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)t＋2＋1))\s\up12(2))＝3，解得t＝0或t＝－eq\f(12,5).所以E的坐标为(0，2)或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,5)，\f(4,5))).所以直线l的方程为x＝0或3x＋4y＋4＝0.18．(12分)已知圆C经过三点O(0，0)，A(1，3)，B(4，0)．(1)求圆C的方程；(2)求过点P(3，6)且被圆C截得弦长为4的直线的方程．解析(1)由题意，设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(F＝0，,1＋9＋D＋3E＋F＝0,16＋4D＋F＝0，))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝－4，,E＝－2，,F＝0.))所以圆C的方程为x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5.(2)由(1)知圆心坐标为C(2，1)，半径为eq\r(5)，弦长为4时，圆心C到直线的距离为1.①若直线斜率不存在，则直线方程为x＝3，经检验符合题意；②若直线斜率存在，设直线斜率为k，则直线方程为y－6＝k(x－3)，即kx－y－3k＋6＝0，则eq\f(|5－k|,\r(1＋k2))＝1，解得k＝eq\f(12,5)，所以直线方程为y－6＝eq\f(12,5)(x－3)，即12x－5y－6＝0.综上可知，直线方程为x＝3或12x－5y－6＝0.19．(12分)(2019·课标全国Ⅱ，文)已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．解析(1)若△POF2为等边三角形，则P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)，±\f(\r(3),2)c))，代入方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，可得eq\f(c2,4a2)＋eq\f(3c2,4b2)＝1，解得e2＝4±2eq\r(3)，所以e＝eq\r(3)－1(eq\r(3)＋1已舍去)．(2)由题意可得|eq\o(PF1,\s\up6(→))|＋|eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝2a，因为PF1⊥PF2，所以|eq\o(PF1,\s\up6(→))|2＋|eq\o(PF2,\s\up6(→))|2＝4c2，所以(|eq\o(PF1,\s\up6(→))|＋|eq\o(PF2,\s\up6(→))|)2－2|eq\o(PF1,\s\up6(→))|·|eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝4c2，所以2|eq\o(PF1,\s\up6(→))|·|eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝4a2－4c2＝4b2，所以|eq\o(PF1,\s\up6(→))|·|eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝2b2，所以S△PF1F2＝eq\f(1,2)|eq\o(PF1,\s\up6(→))|·|eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝b2＝16，解得b＝4.因为(|eq\o(PF1,\s\up6(→))|＋|eq\o(PF2,\s\up6(→))|)2≥4|eq\o(PF1,\s\up6(→))|·|eq\o(PF2,\s\up6(→))|，即(2a)2≥4|eq\o(PF1,\s\up6(→))|·|eq\o(PF2,\s\up6(→))|，即a2≥|eq\o(PF1,\s\up6(→))|·|eq\o(PF2,\s\up6(→))|，所以a2≥32，所以a≥4eq\r(2)，即a的取值范围为[4eq\r(2)，＋∞)．20.(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，且△PCD是边长为2的等边三角形，四边形ABCD是矩形，BC＝2eq\r(2)，M为BC的中点．(1)求证：AM⊥PM；(2)求二面角P－AM－D的大小；(3)求点D到平面AMP的距离．解析以点D为原点，分别以直线DA，DC为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意，可得D(0，0，0)，P(0，1，eq\r(3))，A(2eq\r(2)，0，0)，M(eq\r(2)，2，0)，eq\o(PM,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，1，－eq\r(3))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝(－eq\r(2)，2，0)．(1)证明：∵eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(AM,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，1，－eq\r(3))·(－eq\r(2)，2，0)＝0，即eq\o(PM,\s\up6(→))⊥eq\o(AM,\s\up6(→))，∴AM⊥PM.(2)设n＝(x，y，z)为平面PAM的法向量，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(PM,\s\up6(→))＝0，,n·\o(AM,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(2)x＋y－\r(3)z＝0，,－\r(2)x＋2y＝0，))取y＝1，得n＝(eq\r(2)，1，eq\r(3))．取p＝(0，0，1)，显然p为平面ABCD的一个法向量，∵cos〈n，p〉＝eq\f(n·p,|n||p|)＝eq\f(\r(3),\r(6))＝eq\f(\r(2),2)，∴二面角P－AM－D的大小为45°.(3)设点D到平面AMP的距离为d，由(2)可知n＝(eq\r(2)，1，eq\r(3))为平面AMP的一个法向量，∴d＝eq\f(|\o(DA,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(|2\r(2)×\r(2)|,\r(2＋1＋3))＝eq\f(2\r(6),3)，即点D到平面AMP的距离为eq\f(2\r(6),3).21．(12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝BC1＝2，∠AA1C1＝60°，平面ABC1⊥平面AA1C1C，AC1与A1C相交于点D.(1)求证：BD⊥平面AA1C1；(2)设点E是直线B1C1上一点，且DE∥平面AA1B1B，求平面EBD与平面ABC1夹角的余弦值．解析(1)证明：由已知得侧面AA1C1C是菱形，D是AC1的中点．∵BA＝BC1，∴BD⊥AC1.∵平面ABC1⊥平面AA1C1C，且BD⊂平面ABC1，平面ABC1∩平面AA1C1C＝AC1，∴BD⊥平面AA1C1C.(2)设点F是A1C1的中点，连接DF，EF，∵点D是AC1的中点，∴DF∥平面AA1B1B.又∵DE∥平面AA1B1B，∴平面DEF∥平面AA1B1B.又∵平面DEF∩平面A1B1C1＝EF，平面AA1B1B∩平面A1B1C1＝A1B1，∴EF∥A1B1.∴点E是B1C1的中点．如图，以D为原点，以DA1，DA，DB所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．由已知可得AC1＝2，AD＝1，BD＝A1D＝DC＝eq\r(3)，BC＝eq\r(6)，∴D(0，0，0)，A(0，1，0)，A1(eq\r(3)，0，0)，B(0，0，eq\r(3))，C1(0，－1，0)．设平面EBD的法向量是m＝(x，y，z)，由m⊥eq\o(DB,\s\up6(→))，得eq\r(3)z＝0⇒z＝0.又eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(DC1,\s\up6(→))＋eq\o(DB1,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(DC1,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－1，\f(\r(3),2))).由m⊥eq\o(DE,\s\up6(→))，得(x，y，z)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－1，\f(\r(3),2)))＝0⇒eq\f(\r(3),2)x－y＝0.令x＝1，得y＝eq\f(\r(3),2)，∴m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),2)，0)).∵平面ABC1⊥平面AA1C1C，DA1⊥AC1，∴DA1⊥平面ABC1.∴eq\o(DA1,\s\up6(→))是平面ABC1的一个法向量，eq\o(DA1,\s\up6(→))＝(eq\r(3)，0，0)．∴cos〈m，eq\o(DA1,\s\up6(→))〉＝eq\f(\r(3),\r(1＋\f(3,4))×\r(3))＝eq\f(2\r(7),7)，∴平面EBD与平面ABC1夹角的余弦值是eq\f(2\r(7),7).22．(12分)已知定点F(1，0)，动点P在y轴上运动，过点P作PM交x轴于点M，并延长MP到点N，且eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))＝0，|eq\o(PM,\s\up6(→))|＝|eq\o(PN,\s\up6(→))|.(1)求动点N的轨迹方程；(2)直线l与动点N的轨迹交于A，B两点，若eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝－4，且4eq\r(6)≤|eq\o(AB,\s\up6(→))|≤4eq\r(30)，求直线l的斜率k的取值范围．解析(1)由题意知P为线段MN的中点，设N(x，y)，则M(－x，0)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(y,2)))，由eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))＝0，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x，－\f(y,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(y,2)))＝0，∴(－x)·1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y,2)))＝0，∴y2＝4x(x＞0)，∴点N的轨迹方程为y2＝4x(x>0)．(2)设l与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)．当l与x轴垂直时，则由eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝－4，得y1＝2eq\r(2)，y2＝－2eq\r(2)，|AB|＝4eq\r(2)<4eq\r(6)，不合题意．故l与x轴不垂直．可设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，则由eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝－4，得x1x2＋y1y2＝－4.由点A，B在抛物线y2＝4x(x>0)上有y12＝4x1，y22＝4x2，故y1y2＝－8.又∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝kx＋b，))联立消x，得ky2－4y＋4b＝0.∴eq\f(4b,k)＝－8，b＝－2k.∴Δ＝16(1＋2k2)，|AB|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))(y1－y2)2＝eq\f(1＋k2,k2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,k2)＋32)).∵4eq\r(6)≤|AB|≤4eq\r(30)，∴96≤eq\f(1＋k2,k2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,k2)＋32))≤480.解得直线l的斜率取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).1．若椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(3),2)，则双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的离心率为()A.eq\f(5,4) B.eq\f(\r(5),2)C.eq\f(3,2) D.eq\f(\r(5),4)答案B2．已知四面体顶点A(2，3，1)，B(4，1，－2)，C(6，3，7)和D(－5，－4，8)，则顶点D到平面ABC的距离为()A．8 B．9C．10 D．11答案D解析设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up6(→))＝0，,n·\o(AC,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x，y，z）·（2，－2，－3）＝0，,（x，y，z）·（4，0，6）＝0.))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－2y－3z＝0，,4x＋6z＝0))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,z＝－\f(2,3)x，))令x＝1，则n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2，－\f(2,3)))，又eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－7，－7，7)，故所求距离为eq\f(|\o(AD,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－7－14－\f(14,3))),\r(1＋4＋\f(4,9)))＝11.3.如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2.下列结论中正确的是()A.eq\o(SA,\s\up6(→))＋eq\o(SB,\s\up6(→))＋eq\o(SC,\s\up6(→))＋eq\o(SD,\s\up6(→))＝0 B.eq\o(SA,\s\up6(→))－eq\o(SB,\s\up6(→))＋eq\o(SC,\s\up6(→))－eq\o(SD,\s\up6(→))＝0C.eq\o(SA,\s\up6(→))·eq\o(SB,\s\up6(→))＋eq\o(SC,\s\up6(→))·eq\o(SD,\s\up6(→))＝0 D.eq\o(SA,\s\up6(→))·eq\o(SC,\s\up6(→))＝0答案B解析本题考查空间向量的加减运算和数量积．由题意易知A错误；因为eq\o(SA,\s\up6(→))－eq\o(SB,\s\up6(→))＋eq\o(SC,\s\up6(→))－eq\o(SD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝0，所以B正确；因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以eq\o(SA,\s\up6(→))·eq\o(SB,\s\up6(→))＝2×2×cos∠ASB，eq\o(SC,\s\up6(→))·eq\o(SD,\s\up6(→))＝2×2×cos∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是eq\o(SA,\s\up6(→))·eq\o(SB,\s\up6(→))＝eq\o(SC,\s\up6(→))·eq\o(SD,\s\up6(→))≠0，所以C错误；连接AC，在△SAC中，SA＝SC＝2，AC＝eq\r(2)，所以∠ASC≠90°，所以cos∠ASC≠0，又eq\o(SA,\s\up6(→))·eq\o(SC,\s\up6(→))＝2×2×cos∠ASC，所以eq\o(SA,\s\up6(→))·eq\o(SC,\s\up6(→))≠0，所以D错误．故选B.4．已知A是双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左顶点，F是抛物线C：y2＝－8ax的焦点．若在双曲线的渐近线上存在点P，使得eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(FP,\s\up6(→))，则E的离心率的取值范围是()A．(1，2) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3\r(2),4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3\r(2),4))) D．(2，＋∞)答案B解析由题意得，A(－a，0)，F(－2a，0)，不妨设Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(b,a)x0))，由eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(FP,\s\up6(→))，得eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))＝0⇒eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋a，\f(b,a)x0))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋2a，\f(b,a)x0))＝0⇒eq\f(c2,a2)x02＋3ax0＋2a2＝0.因为在双曲线E的渐近线上存在点P，所以Δ≥0，即9a2－4×2a2×eq\f(c2,a2)≥0，9a2≥8c2⇒e2≤eq\f(9,8)⇒－eq\f(3\r(2),4)≤e≤eq\f(3\r(2),4)，又因为E为双曲线，所以1<e≤eq\f(3\r(2),4).故选B.5.如图，在正四棱锥P－ABCD中，PA＝AB，点M为PA的中点，eq\o(BD,\s\up6(→))＝λeq\o(BN,\s\up6(→)).若MN⊥AD，则实数λ为()A．2 B．3C．4 D．5答案C解析连接AC交BD于点O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设PA＝AB＝2，则A(eq\r(2)，0，0)，D(0，－eq\r(2)，0)，P(0，0，eq\r(2))，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，0，\f(\r(2),2)))，B(0，eq\r(2)，0)，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝(0，－2eq\r(2)，0)，设N(0，b，0)，则eq\o(BN,\s\up6(→))＝(0，b－eq\r(2)，0)．∵BD＝λeq\o(BN,\s\up6(→))，∴－2eq\r(2)＝λ(b－eq\r(2))，∴b＝eq\f(\r(2)λ－2\r(2),λ)，∴Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2)λ－2\r(2),λ)，0))，eq\o(MN,\s\up6(→))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2)λ－2\r(2),λ)，－\f(\r(2),2)))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－eq\r(2)，－eq\r(2)，0)，∵AD⊥MN，∴eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(MN,\s\up6(→))＝1－eq\f(2λ－4,λ)＝0，解得λ＝4.故选C.6．已知椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，M，N是坐标平面内的两点，且M与椭圆C的焦点不重合．若M关于椭圆C的左、右焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在椭圆C上，则|AN|＋|BN|＝()A．4 B．8C．12 D．16答案B解析设MN的中点为D，椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，如图，连接DF1，DF2.∵F1是MA的中点，D是MN的中点，∴F1D是△MAN的中位线，∴|DF1|＝eq\f(1,2)|AN|，同理|DF2|＝eq\f(1,2)|BN|，∴|AN|＋|BN|＝2(|DF1|＋|DF2|)．∵点D在椭圆上，根据椭圆的标准方程及椭圆的定义知，|DF1|＋|DF2|＝4，∴|AN|＋|BN|＝8.故选B.7．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－2)，点B(1，－1)，P为圆x2＋y2＝2上一动点(异于点B)，则eq\f(|PB|,|PA|)的最大值是()A．2 B．4C.eq\r(2) D．2eq\r(2)答案A解析设点P(x0，y0)，则x02＋y02＝2，所以eq\f(|PB|2,|PA|2)＝eq\f(（x0－1）2＋（y0＋1）2,x02＋（y0＋2）2)＝eq\f(x02＋y02－2x0＋2y0＋2,x02＋y02＋4y0＋4)＝eq\f(－2x0＋2y0＋4,4y0＋6)＝eq\f(－x0＋y0＋2,2y0＋3)，令λ＝eq\f(－x0＋y0＋2,2y0＋3)，则λ≠0，x0＋(2λ－1)y0＋3λ－2＝0，由题意，知直线x＋(2λ－1)y＋3λ－2＝0与圆x2＋y2＝2有公共点，所以eq\f(|3λ－2|,\r(1＋（2λ－1）2))≤eq\r(2)，得λ2－4λ≤0，得0<λ≤4，所以eq\f(|PB|,|PA|)的最大值为2.8．【多选题】若{a，b，c}为空间的一个基底，则()A．b＋c，b－c，a共面 B．b＋c，b－c，2b共面C．b＋c，a，a＋b＋c共面 D．a＋c，a－2c，c共面答案BCD解析易知b＋c，b－c，a不共面；因为2b＝(b＋c)＋(b－c)，所以b＋c，b－c，2b共面；因为a＋b＋c＝(b＋c)＋a，所以b＋c，a，a＋b＋c共面；因为a＋c＝(a－2c)＋3c，所以a＋c，a－2c，c共面．故选BCD.9.【多选题】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D中，AB＝eq\r(3)AD＝eq\r(3)AA1＝eq\r(3)，点P为线段A1C上的动点，则下列结论正确的是()A．当eq\o(A1C,\s\up6(→))＝2eq\o(A1P,\s\up6(→))时，B1，P，D三点共线B．当eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(A1C,\s\up6(→))时，eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(D1P,\s\up6(→))C．当eq\o(A1C,\s\up6(→))＝3eq\o(A1P,\s\up6(→))时，D1P∥平面BDC1D．当eq\o(A1C,\s\up6(→))＝5eq\o(A1P,\s\up6(→))时，A1C⊥平面D1AP答案ACD解析在长方体ABCD－A1B1C1D1中，连接AC，以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为AB＝eq\r(3)AD＝eq\r(3)AA1＝eq\r(3)，所以AD＝AA1＝1，则A(1，0，0)，A1(1，0，1)，C(0，eq\r(3)，0)，C1(0，eq\r(3)，1)，D1(0，0，1)，D(0，0，0)，B(1，eq\r(3)，0)，则eq\o(A1C,\s\up6(→))＝(－1，eq\r(3)，－1)，eq\o(D1A,\s\up6(→))＝(1，0，－1)，eq\o(DC1,\s\up6(→))＝(0，eq\r(3)，1)，eq\o(DB,\s\up6(→))＝(1，eq\r(3)，0)，eq\o(A1D1,\s\up6(→))＝(－1，0，0)．当eq\o(A1C,\s\up6(→))＝2eq\o(A1P,\s\up6(→))时，P为A1C的中点，根据长方体结构特征，可知P为体对角线的中点，因此P也为B1D的中点，所以B1，P，D三点共线，故A正确；当eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(A1C,\s\up6(→))时，AP⊥A1C，由题意可得A1C＝eq\r(1＋1＋3)＝eq\r(5)，AC＝eq\r(1＋3)＝2，因为S△A1AC＝eq\f(1,2)AA1·AC＝eq\f(1,2)A1C·AP，所以AP＝eq\f(2\r(5),5)，所以A1P＝eq\f(\r(5),5)，即点P为靠近点A1的五等分点，所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，\f(\r(3),5)，\f(4,5)))，则eq\o(D1P,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，\f(\r(3),5)，－\f(1,5)))，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)，\f(\r(3),5)，\f(4,5)))，所以eq\o(D1P,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝－eq\f(4,25)＋eq\f(3,25)－eq\f(4,25)＝－eq\f(1,5)≠0，所以eq\o(AP,\s\up6(→))与eq\o(D1P,\s\up6(→))不垂直，故B错误；当eq\o(A1C,\s\up6(→))＝3eq\o(A1P,\s\up6(→))时，eq\o(A1P,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(A1C,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,