三角函数概念及三角恒等变换知识点总结 高三数学一轮复习

第第页知识点总结5-1三角函数概念及三角恒等变换一．角的概念的推广：1.定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．2.角的分类：按旋转方向的不同分类3.终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.4.几种特殊位置的角的集合(1)象限角的集合：①第一象限角：α2k②第二象限角：α2k③第三象限角：α2k④第四象限角：α2k(2)轴线角的集合:①终边在x轴非负半轴上的角的集合：αα②终边在x轴非正半轴上的角的集合：αα③终边在x轴上的角的集合：αα④终边在y轴上的角的集合：αα⑤终边在坐标轴上的角的集合：αα(3)终边在特殊直线上：①终边在y＝x上的角的集合：αα②终边在y＝－x上的角的集合：αα③终边在坐标轴或四象限角平分线上的角的集合：αα二．弧度制：1.弧度的角：在圆中，把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示.2.正角、负角和零角的弧度数一般的，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.3.角度制与弧度制的换算(1)1°＝π180rad.(2)1rad＝4.如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr相关公式：(1)扇形的弧长公式：l＝nπr180＝|α|r.(2)扇形的面积公式：S＝12lr＝nπr2360三．三角函数概念(1)利用单位圆定义三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：sinα＝y.cosα＝x.tanα＝yx(x≠(2)利用终边上的点定义三角函数：设α是一个任意角，它的终边过点P(x，y)，OP=rsinα＝yr.cosα＝xr.tanα＝yx((3)符号法则：一全二正三切四余(4)特殊角的三角函数值角度弧度0010-1010-10101不存在0不存在0四．三角恒等变形1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．(2)商数关系：sinαcosα＝tan变形：(1)(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα=1±sin2(2)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；(3)cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)；(4)sinα＝tanαcosα(α≠2.正弦、余弦的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－π2＋正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限(1)诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．“奇”“偶”指的是“k·π2＋α(k∈Z)”中的k“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在“k·eq\f(π,2)＋α(k∈Z)”中，将α看成锐角时，“k·eq\f(π,2)＋α(k∈Z)”的终边所在的象限．(2)通用公式：sin(ncos(3.和差角公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C(α－β))；cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ(C(α＋β))sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ(S(α－β))；sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(S(α＋β))tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtan(α+β)=tanα+tanβ1−tanα3．二倍角公式sin2α＝2sinαcosα；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α=2tanα拓展：万能公式：sin2α=2tan4.常用变形结论(1)降幂公式：sin2cos2sinαcosα=sin2(2)升幂公式：1＋cosα＝2cos2α1－cosα＝2sin21＋sinα＝(sinα1－sinα＝(sinα(3)正切和差角公式变形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)．(4)辅助角公式：asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)(其中sinφ=特别的sinα±cosα＝eq\r(2)sin(α±π4)；sinα±eq\r(3)cosα＝2sin(α±π3)；eq\r(3)sinα±cosα＝2sin(α±π6)5.拆分角问题：①α=2②α=(α+③α=12④(π4+五．扩展知识点(不要求记忆)：(1)三角不等式：①若x∈(0