高考数学专题讲座 第21讲 高频考点分析之平面向量探讨

【备战高考数学专题讲座】第21讲：高频考点分析之平面向量探讨1～2讲，我们对客观性试题解法进行了探讨，3～8讲，对数学思想方法进行了探讨，9～12讲对数学解题方法进行了探讨，从第13讲开始我们对高频考点进行探讨。平面向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，它包括向量的概念和运算。向量的坐标表示，定比分点及数量积。以前教材中，在解析几何、复数中涉及到平面向量的问题，只是对一个概念的介绍；而在现在教材中，是高一的必学内容，教学大纲要求理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力。一般来说，平面向量在高考中所占份量不大，一道选择题或填空题，结合年全国各地高考的实例，我们从以下三方面探讨平面向量问题的求解：1.平面向量的概念、性质和计算：2.平面向量的坐标表示和计算；3.平面向量与其它知识的综合。一、平面向量的概念、性质和计算：典型例题：例1.（年全国大纲卷理5分）中，边上的高为，若，则【】A．B．C．D．【答案】D。【考点】向量垂直的判定，勾股定理，向量的加减法几何意义的运用。【解析】∵，∴，∴在中，根据勾股定理得。∴由等面积法得，即，得。∴。又∵点在上，∴。故选D。例2.（年四川省理5分）设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是【】A、B、C、D、且【答案】C。【考点】充分条件。【解析】若使成立，即要、共线且方向相同，即要。所以使成立的充分条件是。故选C。例3.（年天津市理5分）已知为等边三角形，，设点满足，，，若，则【】（A）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）【答案】A。【考点】向量加减法的几何意义，平面向量基本定理，共线向量定理及其数量积的综合运用.。【分析】∵=，=，又∵，且，，∴，即，即，∴，解得。故选A。例4.（年天津市文5分）在△中，=90°，=1，设点满足，。若，则=【】（A）（B）（C）（D）2【答案】B。【考点】向量加减法的几何意义，平面向量基本定理，共线向量定理及其数量积的综合运用。【分析】如图，设，则。又，。由得，即。故选B。例5.（年浙江省理5分）设，是两个非零向量【】A．若，则B．若，则C．若，则存在实数，使得D．若存在实数，使得，则【答案】C。【考点】平面向量的综合题。【解析】利用排除法可得选项C是正确的：∵|a＋b|＝|a|－|b|，则a，b共线，即存在实数λ，使得a＝λb，∴选项A：|a＋b|＝|a|－|b|时，a，b可为异向的共线向量，不正确；选项B：若a⊥b，由正方形得|a＋b|＝|a|－|b|，不正确；选项D：若存在实数λ，使得a＝λb，a，b可为同向的共线向量，此时显然|a＋b|＝|a|－|b|，不正确。故选C。例6.（年辽宁省理5分）已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|ab|，则下面结论正确的是【】(A)a∥b(B)a⊥b(C)a=b(D)a+b=ab【答案】B。【考点】平面向量的运算，向量的位置关系。【解析】由|a+b|=|ab|，平方可得ab=0，所以a⊥b。故选B。或根据向量加法、减法的几何意义可知|a+b|与|ab|分别为以向量a，b为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为|a+b|=|ab|，所以该平行四边形为矩形，所以a⊥b。故选B。例7.（年全国课标卷理5分）已知向量夹角为，且；则▲【答案】。【考点】向量运算。【解析】∵，∴。∵向量夹角为，且，∴，解得，。例8.（年北京市理5分）已知正方形ABCD的边长为l，点E是AB边上的动点。则的值为▲；的最大值为▲【答案】1；1。【考点】平面向量的运算法则。【解析】如图，根据平面向量的运算法则，得。∵，正方形ABCD的边长为l，∴。又∵，而就是在上的射影，要使其最大即要点E与点B重合，此时。∴的最大值为。例9.（年浙江省理4分）在中，是的中点，，，则▲．【答案】。【考点】平面向量数量积的运算。【解析】此题最适合的方法是特殊元素法：如图，假设ABC是以AB＝AC的等腰三角形，AM＝3，BC＝10，由勾股定理得AB＝AC＝。则cos∠BAC＝，∴＝。例10.（年江苏省5分）如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是▲．【答案】。【考点】向量的计算，矩形的性质，三角形外角性质，和的余弦公式，锐角三角函数定义。【解析】由，得，由矩形的性质，得。∵，∴，∴。∴。记之间的夹角为，则。又∵点E为BC的中点，∴。∴。本题也可建立以为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解。例11.（年湖南省文5分）如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且，则=▲.【答案】18【考点】平面向量加法的几何运算、平面向量的数量积运算。【解析】设，则=。二、平面向量的坐标表示和计算：典型例题：例1.（年安徽省理5分）在平面直角坐标系中，，将向量按逆时针旋转后，得向量，则点的坐标是【】【答案】。【考点】向量的计算。【解析】∵∴设，得。又∵向量按逆时针旋转后，得向量，∴。故选。例2.（年广东省理5分）若向量=（2,3），=（4,7），则=【】A．（-2,-4）B．(2,4)C．(6,10)D．(-6,-10)【答案】A。【考点】平面向量的坐标运算。【解析】=。故选A。例2.（年广东省文5分）若向量，则【】A．B．C．D．【答案】A。【考点】平面向量的坐标运算。【解析】。故选A。例3.（年福建省文5分）已知向量，则的充要条件是【】A．x＝－eq\f(1,2)B．x＝－1C．x＝5D．x＝0【答案】D。【考点】向量数量积的运算和性质。【解析】由向量垂直的充要条件得所以x=0。故选D。例4.（年辽宁省文5分）已知向量若则=【】(A)—1(B)—(C)(D)1【答案】D。【考点】向量的数量积。【解析】∵，∴。故选D。例5.（年重庆市理5分）设R，向量且，则【】（A）（B）（C）（D）10【答案】B。【考点】平面向量的基本运算及向量共线、垂直的性质。【分析】∵且，∴。又∵，∴。∴。∴。故选B。例6.（年重庆市文5分）设，向量且，则【】（A）（B）（C）（D）【答案】。【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。【分析】通过向量的垂直，求出向量，求出，然后求出模：∵，向量且，∴，即。∴。∴。∴。故选B。例7.（年陕西省文5分）设向量=（1，）与=（－1，2）垂直，则等于【】A.B.C.0D.－1【答案】C。【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系，二倍角的余弦。【解析】∵，∴。又∵=（1，）与=（－1，2），∴，即。故选C。例8.（年上海市理4分）若是直线的一个法向量，则的倾斜角的大小为▲（结果用反三角函数值表示）.【答案】。【考点】直线的方向向量，直线的倾斜角与斜率的关系，反三角函数的表示角。【解析】设直线的倾斜角为，则。例9.（年上海市文4分）若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为▲（结果用反三角函数值表示）【答案】。【考点】直线的方向向量，直线的倾斜角与斜率的关系，反三角函数的表示角。【解析】设直线的倾斜角为，则。例10.（年安徽省文5分）设向量，若⊥,则▲【答案】。【考点】向量的计算。【解析】∵，∴。又∵⊥，∴，即，解得。∴。∴。例11.（年山东省理4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于（2，1）时，的坐标为▲。【答案】。【考点】圆的弧长，锐角三角函数，向量的坐标。【解析】根据题意可知圆滚动了2单位个弧长，点P旋转了弧度，此时点P的坐标为：，。∴。例12.（年湖北省文5分）已知向量，则（Ⅰ）与同向的单位向量的坐标表示为▲；（Ⅱ）向量与向量夹角的余弦值为▲。【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）。【考点】向量的数量积，向量同向的条件，单位向量，向量间的夹角。【解析】（Ⅰ）由，得。设与同向的单位向量为，则,且，解得。∴，即与同向的单位向量的坐标为。（Ⅱ）由，得。设向量与向量的夹角为，则。三、平面向量与其它知识的综合：典型例题：例1.（年广东省理5分）对任意两个非零的平面向量和，定义．若平面向量满足，与的夹角，且和都在集合中，则=【】A．B.1C.D.【答案】C。【考点】新定义，平面向量的数量积，三角函数的值域，集合的概念。【解析】∵由定义，∴=，。∴。∵，∴，即。∵，∴。又∵，∴=。∴。∴，=。故选C。例2.（年广东省文5分）对任意两个非零的平面向量，定义．若平面向量满足与的夹角，且和都在集合中，则【】A．B．C．D．【答案】D。【考点】新定义，平面向量的数量积，三角函数的值域，集合的概念。【解析】∵由定义，∴=，。∴。∵，∴，即。∵，∴。∴。∴=。故选D。例3.（年湖南省理5分）在△ABC中，AB=2，AC=3，=1则【】A.B.C.D.【答案】A。【考点】平面向量的数量积运算，余弦定理。【解析】如图知。∴。又由余弦定理得，即，解得。故选A。例4.（年上海市理4分）在平行四边形中，，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是▲.【答案】。【考点】平面向量的基本运算。【解析】如图所示，以为原点，向量所在直线为轴，过垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系。∵平行四边形中，，，∴。设，则。∴由得，。∴的横坐标为，的纵坐标为。∴∴。∵函数在有最大值，∴在时，函数单调增加。∴在时有最小值2；在时有最大值5。∴的取值范围是。例5.（年上海市文4分）在矩形中，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是▲【答案】。【考点】平面向量的基本运算。【解析】如图所示，以为原点，向量所在直线为轴，过所在直线为轴建立平面直角坐标系。∵在矩形中，，∴。设，则。∴由得，。∴的坐标为。∴。∴。∵，∴。∴的取值范围是。例6.（年安徽省理5分）若平面向量满足：；则的最小值是▲来【答案】。【考点】平面向量，基本不等式的应用。【解析】∵，∴。又∵，∴。∴。∴的最小值是。例7.（年山东省理12分）已知向量m=（sinx，1），函数的最大值为6。（Ⅰ）求A；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象像左平移个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象。求g（x）在上的值域。【答案】解：（Ⅰ）。∵函数的最大值为6。而∴。（Ⅱ）函数y=f（x）的图象像左平移个单位得到函数的图象，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数。当时，，.。∴函数g（x）在上的值域为。【考点】向量的运算，三角函数的值域，函数图象平移的性质。【解析】（Ⅰ）求出函数关于的表达式，化简后根据三角函数的值域确定A。（Ⅱ）由平移的性质，求出g（x），由得出的范围，从而求得函数g（x）在上的值域。例8.（年湖北省理12分）已知向量，设函数的图像关于直线=π对称，其中为常数，且（Ⅰ）求函数的最小正周期；（2）若的图像经过点，求函数在区间上的取值范围。【答案】解：。（Ⅰ）∵函数的图像关于直线=π对称，∴。∴。又∵，∴。∴的最小正周期为。（=2\*ROMANII）若的图像经过点，则有，∴。∴。∵，∴。∴。∴函数在区间上的取值范围为。【考点】数量积的坐标表达式，三角函数的恒等变化，正弦函数的定义域和值域。【解析】（Ⅰ）先利用向量数量积运算性质，求函数的解析式，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数化为，最后利用函数的对称性和ω的范围，计算ω的值，从而得函数的最小正周期。（=2\*ROMANII）先将已知点的坐标代入函数解析式，求得λ的值，再求内层函数的值域，最后将内层函数看做整体，利用正弦函数的图象和性质即可求得函数的值域。例9.（年江苏省14分）在中，已知．（1）求证：；（2）若求A的值．【答案】解：（1）∵，∴，即。由正弦定理，得，∴。又∵，∴。∴即。（2）∵，∴。∴。∴，即。∴。由（1），得，解得。∵，∴。∴。【考点】平面向。量的数量积，三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，解三角形。【解析】（1）先将表示成数量积，再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明。（2）由可求，由三角形三角关系，得到，从而根据两角和的正切公式和（1）的结论即可求得A的值。例10.（年上海市理18分）对于数集，其中，，定义向量集.若对于任意，存在，使得，则称X具有性质P.例如具有性质P.（1）若＞2，且，求的值；（4分）（2）若X具有性质P，求证：1X，且当n＞1时，1=1；（6分）（3）若X具有性质P，且1=1，（为常数），求有穷数列的通项公式.（8分）【答案】解：（1）选取，则Y中与垂直的元素必有形式。∴，从而=4。（2）证明：取，设满足。由得，∴、异号。∵－1是X中唯一的负