初中数学++矩形的性质与判定+课件　　++北师大版数学九年级上册

1.2矩形的性质与判定（1）北师大版九年级上册数学第一章特殊平行四边形知识回顾

平行四边形的性质对边平行且相等.对角相等.邻角互补对角线互相平分.是中心对称图形.对称性：边：角：对角线：利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化，请同学们注意观察：当这个内角变成直角时，平行四边形变成了什么图形？矩形新知探索矩形的定义：有一个角是直角有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.平行四边形矩形矩形有什么性质呢？探究矩形的性质

矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。

矩形的一般性质对边平行且相等.对角相等.邻角互补对角线互相平分.是中心对称图形.对称性：边：角：对角线：矩形是不是平行四边形？矩形还具有哪些特殊的性质呢？矩形是轴对称图形，它有__条对称轴∟2对称性：角：对角线：矩形的四个角都是直角矩形的对角线相等矩形的特殊性质证明！已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠B=90°，证明矩形的四个角都是直角求证:∠A=∠B=∠C=∠D=90°ADCB∟证明：∵四边形

ABCD是矩形，

∴∠B=∠D，∠C=∠A，AB∥DC.∴∠B+∠C=180°.又∵∠B=90°，∴∠C=90°.

∴∠B=∠C=∠D=∠A=90°.证明矩形的对角线相等ADCBO已知：如图,四边形ABCD是矩形，

对角线AC与BD相交于点O.

求证：AC=BD；∵四边形ABCD是矩形,∴AC=DB.∴△ABC≌△DCB.AB=DC,在△ABC和△DCB中,∴AB=DC,BC=CB,∠ABC=∠DCB证明:∟∟∠ABC=∠DCB=90°

矩形的性质对边平行且相等.四个角都是直角对角线互相平分且相等是中心对称图形也是轴对称图形对称性：边：角：对角线：小结背诵

如图，一张矩形纸片，画出两条对角线,

沿着对角线

AC剪去一半.ABCDOOAOBOCOD===在Rt△ABC中，

定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.有什么特殊的性质？斜边上的中线OBD如何证明呢？证明：延长

BO

至

D，使

OD

=

BO，连接

AD，CD.∵AO

=

OC，BO

=

OD，∴四边形

ABCD

是平行四边形.∵∠ABC

=

90°，∴平行四边形

ABCD

是矩形.∴

AC

=

BD.如图，在

Rt△ABC

中，∠ABC

=

90°，BO

是

AC

上的中线.

求证：BO=

AC.∴

BO

=BD

=AC.

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.定理证一证OCBAD例1如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5，求这个矩形对角线的长.∵∠AOD=120°∴∠AOB=60°∴OA=OB∴OA=OB=AB=2.5∴AC=2AO=5解：又∵AC,BD是矩形ABCD的对角线

120°

60°

2.5∴△ABO是等边三角形

∴这个矩形对角线的长为5.

如图，在矩形ABCD

中，两条对角线

AC

与BD相交于点O，AB=6，OA=4.求BD

与AD

的长.【选自教材P13随堂练习】巩固练习，深化提高解：∵四边形ABCD

是矩形，∴AC=BD（矩形的对角线相等），∴BD=2AO=8，在Rt△ABD

中，AD2+AB2=BD2，AD2+62=82，∴AD=.练一练

CABCDO60°

222∟

AABCDO120°

60°

44430°

60°

∟3.如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（

）A.5

B.4

C.

D.D2___3610∟6

160°

60°

∟30°

a

2a

a=2

∟5.如图，在矩形

ABCD

中，AB

=

6，AD

=

8，P

是

AD

上的动点，PE⊥AC

于

E，PF⊥BD

于

F，求

PE

+

PF

的值.∴

PE

+

PF

=.∴AO·PE

+DO·PF

=

12，∴

S△AOD

=

S△DOC

=

S△AOB

=

S△BOC

=S矩形ABCD

=×6×8

=

12.能力提升：解：连接

OP.∵四边形

ABCD

是矩形，∴OA

=

OD

=

OC

=

OB.在

Rt△BAD

中，由勾股定理得

BD

=

10，∴

AO

=

OD

=

5.∵

S△APO

+

S△DPO

=

S△AOD