河南圣级名校2025届高三数学上学期开学摸底考试试题文含解析

PAGE19-河南省顶级名校2025届高三数学上学期开学摸底考试试题文（含解析）第I卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】可以求出集合，然后进行交集的运算即可．【详解】解：，，.故选：.【点睛】考查描述法的定义，肯定值不等式的解法，以及交集的运算，属于基础题．2.已知复数满意，其中为虚数单位，则的虚部为（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】【分析】依据复数代数形式的除法运算将复数化成标准形式即可得解；【详解】解：，的虚部为1.故选：D.【点睛】本题考查复数的基本概念，关键是将其分母实数化，化为的形式，进行推断，属于基础题．3.在等差数列中，，，则其公差为（）A.2 B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】等差数列中，依据下标和性质解得：、，即可得出公差．【详解】解：在等差数列中，，，又，，公差为.故选：D.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及性质，考查了推理实力与计算实力，属于基础题．4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意利用诱导公式、二倍角公式，化简要求的式子，可得结果．【详解】解：，，.故选：A.【点睛】本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．5.如图所示的中，点D、E分别在边BC、AD上，且.，则向量（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据题目条件，结合平面对量运算的三角形法则，进行推导即可．【详解】解：，，又，，，又，，.故选：B.【点睛】本题考查了平面对量运算的三角形法则，难度不大，属于基础题．6.在《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑.若某个鳖臑的三视图均为直角边长为1的等腰直角三角形（如图所示）.则该鳌臑的中最大面积为（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用三视图画出几何体的直观图，推断各个面的面积的最大者，求解即可得到结果．【详解】解：依据三视图画出该几何体的直观图为如图所示的四面体，其中PA垂直于等腰直角三角形ABC所在的平面.将其放置于正方体中（如图所示），可知该正方体的棱长为1，所以，，所以表面中最大面的面积为.故选：A.【点睛】本题考查的学问要点：三视图的应用，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算实力和转化实力，属于基础题．7.已知函数是定义在上的偶函数，若当时，，则满意的x的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依据函数奇偶性和单调性的关系，分两种状况探讨，然后结合函数单调性的性质进行转化求解即可．【详解】解：由题易知在上单调递增，且，则由，得，又因为为偶函数，所以当时，单调递减，且有，则由，得，所以满意的x的取值范围为.故选：A.【点睛】本题主要考查不等式的求解，结合函数单调性和奇偶性的关系，将不等式进行转化是解决本题的关键，属于基础题．8.已知函数，，且的图象关于直线对称，则的取值可以为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】由，求出，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求出的值．【详解】解：，，又，，从而.的图象关于直线对称，，，即，，令，得.故选：B.【点睛】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题，9.已知三个村庄所处的位置恰好位于三角形的三个顶点处，且.现在内任取一点建一大型的超市，则点到三个村庄的距离都不小于的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】采纳数形结合，计算，以及“点到三个村庄的距离都不小于”这部分区域的面积，然后结合几何概型，可得结果.【详解】由题可知：所以该三角形为直角三角形分别以作为圆心，作半径为2的圆如图所以则“点到三个村庄距离都不小于”该部分即上图阴影部分，记该部分面积为又三角形内角和为，所以设点到三个村庄的距离都不小于的概率为所以故选：D【点睛】本题考查面积型几何概型问题，重点在于计算面积，难点在于计算阴影部分面积，考验理解实力，属基础题.10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M为棱A1B1的中点，则异面直线AM与BD所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取A1D1的中点N，连结MN，B1D1，易得MN∥BD，故异面直线AM与BD所成角的余弦值为直线AM与MN所成角的余弦值.【详解】如图所示，取A1D1的中点N，连结MN，B1D1，∵M为棱A1B1的中点，∴MN∥B1D1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BD∥B1D1，∴异面直线AM与BD所成角的余弦值为直线AM与MN所成角的余弦值，连结AN，则∠AMN（或其补角）为异面直线AM与BD所成的角，设正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2a，则AM=AN=，MN=，在△AMN中，由余弦定理得：cos∠AMN==．故答案为D【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础学问，考查空间想象实力与计算实力，属于常考题型.11.已知O为坐标原点，点在抛物线，过定点P作两直线分别交抛物线C于点A、B，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，，，，求得，再求出、的斜率，由斜率和为0求得的值，进一步求出的斜率，则答案可求．【详解】解：设，，则，，同理.因为，所以，，所以，又，所以.故选：B.【点睛】本题考查抛物线的简洁性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，体现了整体运算思想方法，属于中档题．12.若对随意的实数恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】构造函数，利用导数探讨函数在单调性，并计算，可得结果.【详解】令，则，令若时，若时，所以可知函数在递减，在递增所以由对随意的实数恒成立所以故选：A【点睛】本题考查利用导数解决恒成立问题，关键在于构建函数，通过导数探讨函数性质，属基础题.第II卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.在中，，，，则________.【答案】【解析】【分析】由已知利用三角形的面积公式即可计算得解．详解】解：，，，．故答案：．【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式在解三角形中的应用，属于基础题．14.已知直线与圆，若圆心到直线的距离为，则________.【答案】【解析】【分析】由点到直线的距离公式可知，圆心到直线的距离为，结合已知可求．【详解】解：由点到直线的距离公式可知，圆心到直线的距离为，解可得，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了利用点到直线的距离公式解决直线与圆的位置关系，属于基础题．15.若x、y满意约束条件，则的最大值为_________.【答案】【解析】【分析】作出可行域后,依据斜率关系找到最优解,代入最优解的坐标即可求得最大值.【详解】作出可行域如图所示:由可得,由图可知最优解为,联立,解得,,所以最优解为,所以.故答案为:.【点睛】本题考查了线性规划求最大值,利用斜率关系找到最优解是答题关键,属于基础题.16.如下分组的正整数对：第1组为，，第2组为，，第3组为，，，，第4组为，，，，，则第40组第21个数对为______．【答案】【解析】【分析】由题意可得第n组各个数和为，且各个数对无重复数字，依据依次排列，即可得到所求数对．【详解】由题意可得第一组的各个数和为3，其次组各个数和为4，第三组各个数和为5，第四组各个数和为6，，第n组各个数和为，且各个数对无重复数字，可得第40组各个数和为42，则第40组第21个数对为．故答案为．【点睛】本题主要考查了归纳推理的应用，留意总结各组数对的特点，考查简洁的归纳推等基础学问，考查推断实力、推理实力、数据处理实力，考查函数与方程思想，是基础题．，三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列的前项和．（1）求数列通项公式；（2）令，求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依据和关系得到答案.（2）首先计算数列通项，再依据裂项求和得到答案.【详解】解：（1）当时，当时，（2）【点睛】本题考查了和关系，裂项求和，是数列的常考题型.18.为提高产品质量，某企业质量管理部门常常不定期地抽查产品进行检测，现在某条生产线上随机抽取100个产品进行相关数据的对比，并对每个产品进行综合评分（满分100分），将每个产品所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品.（1）求图中的值，并求综合评分的中位数；（2）用样本估计总体，以频率作为概率，按分层抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中恰有一个一等品的概率.【答案】(1)；中位数为82.5.(2)【解析】【分析】（1）依据频率之和为1，结合频率分布直方图对应矩形区域面积求解即可；先结合数值预判中位数所在组距应在80到90之间，设综合评分的中位数为，结合频率计算公式求解即可；（2）先结合分层抽样计算出一等品所占比例，再采纳列举法表示出全部基本领件，结合古典概率公式求解即可【详解】（1）由频率和为1，得，；设综合评分的中位数为，则，解得，所以综合评分的中位数为82.5.（2）由频率分布直方图知，一等品的频率为，即概率为0.6；所以100个产品中一等品有60个，非一等品有40个，则一等品与非一等品的抽样比为3：2；所以现抽取5个产品，一等品有3个，记为、、，非一等品2个，记为、；从这5个产品中随机抽取2个，基本领件为：、、、、、、、、、共10种；抽取的这2个产品中恰有一个一等品的事务为：、、、、、共6种，所以所求的概率为.【点睛】本题考查频率分布直方图中详细数值的求解，中位数的计算，求解详细事务对应的概率，属于中档题19.如图所示，在四棱锥中，底面BCDE为正方形.且，，.（1）证明：平面BCDE；（2）若点P在线段AD上，且，求三棱锥的体积.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）推导出，，由此能证明平面．（2）由，，得平面，过点作，交于点，推导出为点到平面的距离，由此能求出三棱锥的体积．【详解】解：（1）因为底面BCDE为正方形，且，，，所以，，所以，，又，平面BCDE，平面，所以平面BCDE.（2）由（1）知，，又底面BCDE为正方形，所以，又，平面，平面，所以平面.过点P作交AC于点F.因为，所以，所以平面，所以PF为点P到平面的距离.由，知，所以.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础学问，考查运算求解实力，属于中档题．20.已知椭圆的中心为原点O，过O作两条相互垂直的射线分别交椭圆于P、Q两点.（1）证明：为定值；（2）若椭圆，过原点O作直线PQ的垂线，垂足为D，求.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）分类探讨，当，斜率存在且不为0时，设直线的方程，代入椭圆方程，求得，同理求得，即可求证为定值；（2）依据（1）及三角形面积相等，即可求得的值．【详解】解：（1）当射线或在轴上时，明显有；当射线，不在轴上时，设，，联立方程，，，则，所以.用是代替上式中的，可得，所以.综上为定值.（2）由（1）的证明，可知，即，所以所以.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中定值问题，考查三角形的面积相等，考查计算实力，属于中档题．21.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程.（2）当时，若对随意的，都有，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求得时的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线方程；（2）求得的导数，探讨，，的单调区间，考虑在，的单调性，求得最小值，可令其不小于，解不等式可得所求范围．【详解】解：（1）当时，，所以，所以曲线在点处的切线斜率，又，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）由，得当时，，在上单调递增，则，明显成立；当时，由，得；由，得，所以在上单调递减，在和上单调递增.①时，，在上单调递减，所以，所以对随意的，都有等价于，即，解得，又，所以；②当时，，所以在上的最小值为.又当时，，明显成立.综上，实数a的取值范围为.【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查分类探讨思想和化简运算实力，属于中档题．请考生在第22、23题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（1）求直线l的一般方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点.求【