2024年中考数学复习几何辅助线进阶训练-构造中线

几何辅助线进阶训练——构造中线

一'阶段一

1.已知：如图，在44BC中，AD是BC边上的高线，CE是4B边上的中线，G是EC的中点，连结

DG,CD=AE,AD=6,BD=8.

(1)求CD的长.

(2)求证：DG1CE.

2.如图，/ABC中ZC=9O。，AB=10,AC=8,BC=6,线段DE的两个端点0、E分别在边AC,

BC上滑动，且DE=4,若点M、N分别是DE、4B的中点，则MN的最小值为

3.

(1)【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1,在△ABC中，若AB=

13,AC=9,求BC边上的中线AD的取值范围.

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E,使DE=AD,连接BE,容

易证得△ADC^AEDB,再由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是.

解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知

条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中.

(2)【初步运用】如图2,AD是AABC的中线，BE交AC于E,交AD于F,且NFAE=

ZAFE.若AE=4,EC=3,求线段BF的长.

图2

(3)【拓展提升】如图3,在△ABC中，D为BC的中点，DELDF分别交AB,AC于点E,

F.求证：BE+CF>EF.

图3

4.如图，在线段AB上取一点C,分别以AC,BC为边长作菱形BCFG和菱形ACDE,使点D在边

CF上，连接EG,H是EG的中点，且CH=5,则EG的长是.

5.在中，已知点D、E、F分别是边AE、BF、CD上的中点，若AABC的面积是14,贝必

DEF的面积为.

6.ABAC=72°,过C作CFII4B,连接AF与BC相交于点G,若

GF=2AC,求ZBAG的度数.

7.如图，AABC中，AB=AC,AD平分ZBAC与BC相交于点D,点E是AB的中点，点F是DC

的中点，连接EF交AD于点P.若AABC的面积是24,PD=1.5,则PE的长是()

8.如图所示，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC,P为CE上任意一

点，PQLBC于点Q,PRLBE于点R,贝1|PQ+PR的值是()

9.如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB,CE_LAB于E,F为AD的中点，若NAEF=54。，则

B.60°C.66°D.72°

10.

(1)方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1,在△ABC中，AB=8,

AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法(如

图2),

E

图1图2图3

①延长AD到M,使得DM=AD；

②连接BM,通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在AABM中；

③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB-BM<AM<AB+BM,从而得到AD的取

值范围是多少；

（2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明.

（3）深入思考：如图3,AD是AABC的中线，AB=AE,AC=AF,ZBAE=ZCAF=90°,请

直接利用（2）的结论，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明.

二'阶段二

11.如图，在中,乙4cB=90。，4=30°,BC=4.将△4BC绕顶点C旋转得到△

若点O是BC中点,点P是D中点，在旋转过程中，线段。P的最大值等于（）

A.4B.6C.8D.10

12.如图1,在AABC中,CD,BE分另是48,4C边上的高线，M,N分别是线段BC,DE的中点.

(1)求证：MN1DE.

（2）连接DM,ME,猜想乙4与NOME之间的关系，并说明理由.

（3）若将锐角三角形ABC变为钝角三角形ABC,其余条件不变，如图2,直接写出ZBAC与

NOME之间的关系.

13.如图，在△ABC中，AD为BC边的中线，E为力。上一点，连接BE并延长交力C于点F,若乙4"

Z.FAE,BE=4,EF=1.6,则CF的长为.

14.如图，AZBC的面积为12,点D,E,F分别为BC,AD,CE的中点，则阴影部分的面积为

)

A.2B.3C.4D.6

15.如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,D,E分别为线段AB,AC上一点，且AD=AE,

连接BE、CD交于点G,延长AG交BC于点F.以下四个结论正确的是（）

①BF=CF；②若BELAC,贝UCF=DF；③若BE平分NABC,贝UFG=|；④连结EF,若

BE_LAC,则NDFE=2/ABE.

A.①②③B.③④C.①②④D.①②③④

16.阅读理解：亲爱的同学们，在以后的学习中我们会学习一个定理：直角三角形斜边上的中线等

于斜边的一半.即：如图1：在中，乙4cB=90。，若点。是斜边力B的中点，贝!

(1)牛刀小试：在图1中，若47=6,BC=8,其他条件不变，则CD=

(2)活学活用：如图2,已知乙4BC=^ADC=90。，点E、F分别为ZC、8。的中点，AC=26,

BD=24.求EF的长；

(3)问题解决：为了提高全民健身环境，公园管理部门想要建一个形状如图3中的四边形

ABCD,其中，^ABC=90°,^ADC=60°,AD=CD=6千米，要在公园的B、。之间铺设一条笔直

的塑胶跑道，若跑道铺设成本每米200元，当BD最大时，请问管理部门预算160万元够用吗？

17.如图，在△力BC中，ADJ.BC于点D,CE1AB于点E,AD与CE相交于点F,连接DE.

(1)若BD=2,AD=4,CE=6,求SAABO

(2)若ZACF=25。，Z.DEB=45°,求ZB.

18.如图，菱形ABCD的边长是4,NA=60。，点G为AB的中点，以BG为边作菱形BEFG,其中

点E在CB的延长线上，点P为FD的中点，连接PB.贝|PB=.

19.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点0,点E,F分别是AO,BC的中点，连接

EF.按以下步骤作图：①分别以点0,C为圆心，大于30c的长为半径作弧，两弧交于点P；②作

直线PF,交AC于点G若AD=4V^,BD=8,则线段EF的长为

20.如图，在平行四边形ABCD中，CD=2AD,BE1AD于点E,F为DC的中点，连结

EF,BF,下列结论：®^ABC=2LABF,（2）ADEF+^EBF=90°；③S四边形DEBC=

2SAEFB；®^CFE=3ADEF,其中正确结论的个数共有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

三、阶段三

21.在平行四边形ABC。中，AC1CD,E为BC中点，点M在线段BE上，连接AM,在下方有一点

(1)若乙BCN=6。°,AE=5,求的面积；

(2)若MA=MN,MC=EA+CN,求证：AB=43AE.

（1）【探究发现】（1）如图1,AABC中，AB=AC,^BAC=90°,点。为BC的中点，E、尸分别

为边AC、48上两点，若满足NEDF=90。，贝熊E、AF.48之间满足的数量关系是.

（2）【类比应用】如图2,AABC中，AB^AC,NBAC=120。，点。为BC的中点，E、P分别为

边AC、上两点，若满足NEDF=60。，试探究4E、AF,48之间满足的数量关系，并说明理由.

（3）【拓展延伸】在AABC中，AB=AC=5,ZBAC=120。，点。为BC的中点，E、F分别为直

线AC、上两点，若满足CE=1,/.EDF=60°,请直接写出AF的长.

23.如图，在4ABC中，ABAC=90°,AB=AC=5,点。在AC上，且4。=2,点E是AB上的动

点，连结DE,点F,G分别是BC,DE的中点，连接ZG,FG,当AG=FG时，线段DE长为

AEB

24.如图，在R3ABC中，C为直角顶点，ZABC=20°,O为斜边的中点，将OA绕着点。逆时

针旋转0。（0<0<180）至OP,当△BCP恰为轴对称图形时，e的值为.

25.在菱形ABCD中，ZD=60°,CD=4,E为菱形内部一点，且AE=2,连接CE,点F为CE中

点，连接BF,取BF中点G,连接AG,则AG的最大值为.

26.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点A作AHLBC于点H,连接OH,若

OB=4.5,S菱形ABCD=36,则OH的长为（）

A.3B.3.5C.4D.4.5

27.点P是平行四边形ZBCD的对角线4c所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过

点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F.点O为AC的中点.

图1图2图3

（1）如图1,当点P与点O重合时，线段0E和。F的关系是；

（2）当点P运动到如图2所示的位置时，请证明（1）中的结论仍然成立.

（3）如图3,点P在线段04的延长线上运动，当N0EF=30。时，试探究线段CF、AE.OE之间

的关系.

28.综合与实践

问题背景：数学小组在一次课外学习交流时，组内一同学提出如下问题：在AABC中，

乙4cB=90。，□为BC边上一点，但不与点B,点C重合，过点D作DE人AB于点E.连接

AD,M为/。的中点，连接EM,CM.

（1）观察发现：如图1,EM与CM之间的数量关系是；

（2）思考分享：如图2,将ABDE绕点B顺时针旋转，其他条件不变，则（1）中的结论还成

立，请证明.小明是这样思考的：延长DE至点0,，使得ED'=DE,连接AD'运用三角形中

位线定理，.…按照他的思路或采用其他方法证明；

EB

即

AC

图2

（3）探究计算：若^ABC=30°,AC=4,DE=2,在XBDE绕点B旋转一周的过程

中，当直线DE经过点A时，线段AD的长为.

29.已知，点P是RtAABC斜边AB上一动点（不与A、B重合），分别过A、B向直线CP作垂

线，垂足分别为D、E,M为斜边AB的中点（备注，可以直接用结论：直角三角形斜边上的中线等

于斜边的一半）.

（1）如图1,当点P与点M重合时，AD与BE的位置关系是,MD与ME的数量关

系是.

（2）如图2,当点P在线段AB上不与点M重合时，试判断MD与ME的数量关系，并说明理

由；

（3）如图3,当点P在线段BA的延长线上且PQ是不与AB重合的任一直线时，分别过A、B

向直线PQ作垂线，垂足分别为D、E,此时（2）中的结论是否成立？若成立，请说明理由.

30.在AABC与ACDE中，乙ACB=乙CDE=90°,AC=BC2遥，CD=ED=2,连接

AE,BE,点F为AE的中点，连接DF,ACDE绕着点C旋转.

B

B

图1图2备用图

(1)如图1,当点D落在AC的延长线上时，DF与BE的数量关系是：；

(2)如图2,当ACDE旋转到点D落在BC的延长线上时，DF与BE是否仍有具有(1)

中的数量关系，如果具有，请给予证明；如果没有，请说明理由；

(3)旋转过程中，若当乙800=105。时，直接写出DF2的值.

答案解析部分

L【答案】(1)解：,.•AD是BC边上的高线，AD=6,BD=8,

：.AADB=90°,AB=VXD2+BD2=V62+82=10,

是AB边上的中线，

1

：-BE=AE=^AB=5,

■:CD=AE,

：.CD=5

(2)证明：连接DE,

9：^ADB=90°,CE是43边上的中线，

：.DE=AE,

：.DE=DC,

・・・G是EC的中点，

：.DG1CE.

2.【答案】3

3.【答案】(1)2<AD<11

(2)解：延长AD至点E,使DG=AD,连接BG,

AE=4,EC=3

・・・AC=AE+CE=7；

TAD是中线，

・・・BD=CD,

在^ADC和^GDB中

DG=AD

'乙BDG=^ADC

、BD=CD

.*.△ADC^AGDB(SAS),

・・・AC=BG=7,NG=NDAC,

•・•NFAE=NAFE=NBFG,

・・.NG=NBFG,

・・・BF=BG=7

(3)证明：延长ED使DG=ED,连接FG,CG,

VFD±ED,

・・・FD垂直平分EG,

・・・EF=FG,

在^BED和^CGD中

DG=ED

乙BDE=MDG

BD=CD

.*.△BED^ACGD(SAS),

・・・BE=CG,

在^CFG中

CG+CF>FG即BE+CF>EF

4.【答案】10

5.【答案】2

6.【答案】解：取FG的中点D,连接CD,如图所示.

设NF=x。,

VZB=90°,CF〃AB,

AZBAG=x°,ZBCF=90°,

・・・DC=DF=DG.

又,.・GF=2AC,

・・・AC=DC=DF=DG,

:.NADC=NDAC=2x。.

・.,NBAC=72。，

・•・3xo=72。，

.\ZBAG=ZF=xo=24°.

7.【答案】A

8.【答案】A

9.【答案】D

10.【答案】(1)解：如图2,延长AD到M,使得DM=AD,连接BM,

TAD是△ABC的中线，

・・・BD=CD,

在^MDB和^ADC中，

(BD=CD

\^BDM=^LCDA,

(DM=AD

.*.△MDB^AADC(SAS),

・・・BM=AC=6,

在△ABM中，AB-BM<AM<AB+BM,

A8-6<AM<8+6,2<AM<14,

.\1<AD<7,

故答案为：1VADV7；

方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”.“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关

系.

(2)解：AC/7BM,且AC=BM,

理由是：由(1)知，△MDB^AADC,

・・・NM=NCAD,AC=BM,

AAC//BM；

(3)解：EF=2AD,

理由：如图2,延长AD到M,使得DM=AD,连接BM,

由(1)知，△BDM^ACDA(SAS),

・・・BM=AC,

\・AC=AF,

・・・BM=AF,

由(2)知：AC〃BM,

JNBAC+NABM=180°,

VZBAE=ZFAC=90°,

・・・NBAC+NEAF=180。，

・・・NABM=NEAF,

在^ABM和4EAF中，

AB=EA

乙ABM=LEAF,

BM=AF

.*.△ABM^AEAF(SAS),

・・・AM=EF,

VAD=DM,

AAM=2AD,

VAM=EF,

・・・EF=2AD,

即：EF=2AD.

11.【答案】B

12.【答案】(1)证明：如图，连接DM,ME,

E

6

8匕-----V

VCD,BE分另I」是48,4C边上的高线，M是3C的中点，

11

APM=|BC,ME=^BC,

：.DM=ME,

又〈N为DE中点，

：.MNIDE；

(2)解：z.DME=180°-2zX；理由如下：

在△力BC中，Z.ABC+LACB=180°-z7l,

VW=ME=BM=MC,

：.Z.ABC=Z-BDM,乙ACB=^CEM,

・"BMD=180°-乙ABC-乙BDM=180°-2乙ABC,

MME=180°-Z.ACB一乙CEM=180°-2/.ACB,

"BMD+MME=(180°-2^ABQ+(180°-2zXCB)

=360°-2^ABC+Z.ACB)

=360°-2(180°-Z.A)

=2"

・"DME=180°-(4BMD+ZCME)=180°-2^A；

(3)解：^DME=2Z-BAC-180°

13.【答案】2.4

14.【答案】B

15.【答案】D

16.【答案】(1)5

(2)解：如图2,连接BE、DE,

A

v/LABC=90°,点E是AC的中点，AC=26,

1

••・BE=jAC=13,

•・・（ADC=90°,

1

・・・DE="C=13,

・•.BE=DE=13,

・・•点尸是3。的中点，BD=24,

11

BF=DF=^BD=1x24=12,EF1BD,

・•・乙BFE=90°,

・•.EF=VBE2-BF2=V132-122=5，

・•・即的长是5.

（3）解：如图3,连接力C,取4C的中点E,连接BE、DE,

・・・zMDC是等边三角形，

・•・AC-AD—6千米，

・•.AE=CE=,4。=2x6=3（千米），

DE1AC,

・•.Z.AED=90°,

・•.DE=yjAD2-AE2=V62-32=3V3（千米）,

・・・/,ABC=90°,

1

BE=^AC=3千米，

BD<DE+BE,

BD<(3逐+3)千米，

如图4,当B、E、。在同一直线上时，BD的值最大，此时3。=(38+3)千米,

・跑道铺设成本每米200元，

(3V3+3)X1000X200=(600000g+600000)元，

二跑道铺设的总成本为(600000国+600000)元，

•••600000V3+600000>1600000,

.•・管理部门预算160万元不够用.

17.【答案】(1)解：'：AD1BC,：.^ADB=90°,在RtAABD中，BD=2,AD=4,.'.AB=

-11

VXD2+BD2=2近，*/CE=6,CELAB,:，S&ABC=-CF=X2V5X6=6函；

(2)解：如图，取CA的中点G,连接DG,EG,

"J^BDA=90°,CELAB,：.^ADC=^AEC=90°,：G为CA的中点，:.GE=AG=GC=DG=

1

：・CGDE=CGED,^GEA=^GAE,9：^DEB=45°,：.^DEG+/LGEA=135°,：.Z,DGA=

360°-2xl35°=90°,：.DGLAG,〈AG=GC,：.DA=DC,：.^DCA=45°,：.^BCE=45°-

25°=20°.VzBEC=90°,AzB=90°-Z-BCE=90°-20°=70°.

18.【答案】V7

19.【答案】207

20.【答案】D

21.【答案】（1）解：•・,四边形ABCD为平行四边形,

・・・AB〃CD,AD〃BC,

:.NCAD=NACB=NBCN=60。,

XAC±CD,

AAB±AC,

・・・NB=30。，

在Rt^ABC中，E为BC的中点,

・・・BC=2AE=10,

AAC=|BC=5,

^AB=yjBC2-AC2=5V3,

,・S^ABE~»AABC=*x/x5x5V3=竿遍

由（1）知NACM=NGCM,

又MC=MC,

・・・△ACM之△GCM,

AAM=GM,NMAC=NG,

又AM=MN,

AGM=MN,

JNG=NMNG=ZMAC=ZMAE+ZEAC,

又由（1）可得EC=EA,

:.NEAC=NACE=ZNCM,

NMNG=ZNCM+ZNMC,

AZNMC=ZMAE,

在MC上截取MF=AE,

；.△MAE且△NMF,

；.ME=FN,

又MC=ME+CE=MF+CF,MC=EA+CN,

VEA=MF=CE,

；.ME=CN=FN=CF,

AANCF为等边三角形，

；./MCN=60°,；./ACB=60°,/.ZABC=30°,:.AB=9BC，

VAE=1BC,.\AB=V3AE.

22.【答案】AB=AF+AE【类比应用】（2）如图2,AABC中，AB=AC,Z.BAC=120°,点,D为BC

的中点，E、F分别为边AC、上两点，若满足乙EDF=60。,试探究ZE、AF,48之间满足的数量

关系，并说明理由.【答案】解：4E+ZF=理由是：取中点G,连接DG,如图2

:点G是△ADB斜边中点，：.DG=AG^BG^^AB,'：AB=

图2

AC,^BAC=120°,点D为BC的中点，/./.BAD=^CAD=60°,；.ZG£M=乙BAD=60°,即

ZGDF+AFDA=60°,XVzFXD+AADE=/.FDE=60°,：.^GDF=^ADE,"：DG=AG,

ABAD=60°,；.△ADG为等边三角形，：.^AGD=^CAD=60°,GD=AD,J.hGDF=△

ADE(ASA),：.GF=AE,：.AG=^AB=AF+FG=AE+AF,+AF=【拓展延伸】

(3)在△ABC中，AB=AC=5,ABAC=120°,点。为BC的中点，E、尸分别为直线ZC、上两

点，若满足CE=1,/.EDF=60°,请直接写出4F的长.【答案】解：4F的长为|或彳

(1)AB=AF+AE

(2)解：AE+4F=aAB.理由是：

取ZB中点G,连接DG,如图2

图2

・・,点G是△力斜边中点，

1

:・DG=AG=BG=^AB,

9：AB=AC,Z-BAC=120°,点D为3C的中点，

：.^BAD=乙CAD=60°,

：.^GDA=^BAD=60°,即4GDF+£.FDA=60°,

又,.,4尸力。+乙ADE=乙FDE=60°,

:•(GDF=Z.ADE,

\*DG=AG,ABAD=60°,

.・・△力DG为等边三角形，

：.^AGD=乙CAD=60°,GD=AD,

：.^GDF三△力DEQ4s力)，

AGF=AE,

^AG=^AB=AF+FG=AE+AF,

i

.\AE+AF=^AB;

(3)解：4F的长为|或彳

23.【答案】V13

24.【答案】40或100或70

25.【答案】|+V7

26.【答案】C

27.【答案】(1)OE=OF

(2)解：补全图形如图所示，OE=OF仍然成立,

F

图2

证明如下：延长E。交CR于点G,

U：AE1BP,CFIBP,

：.AE//CF,

：.^EAO=乙GCO,

丁点。为AC的中点，

：.A0=CO,

又,.,44。£=(COG,

：.AAOE=ACOG,

：.0E=OG,

■:乙GFE=90°,

1

-'-OF=|EG=OE;

(3)解：当点P在线段04的延长线上时，线段CF、AE,0E之间的关系为0E=CF+4E,

证明如下：延长E。交FC的延长线于点H,如图所示，

H

图3

由（2）可知AA0EmAC0H,

：.AE=CH,0E=OH,

又「NOEF=30。，AHFE=90°,

1

:・HF=^EH=。凡

：.0E=CF+CH=CF+AE.

28.【答案】(1)EM=CM

(2)解：(2)如图,

延长DE到点D',使得D'E=DE,延长AC到点A',使得A'C=AC,分别连接D'A、

D'B、A'B和A'D,

•：DE1BE,

：.BE为。。的垂直平分线，

：.BD'=BD,

:.乙D'BD=2乙DBE,

同理可得BA=BA',LABA'=2ZABC,

;4DBE=AABC,

：2D'BD=2LABA',

：.^D'BA=^DBA',

在AD'BA和ADBA'中，

'BD'=BD

AD'BA=ADBA'，

BA=BA'

J.AD'BAADBA'(SAS),

：.D'A=DA',

'：DE=D'E,AM=DM,AC=A'C,

：.ME,MC分别是AD'DA和AADA'的中位线，

-'-EM=^D'A,CM=/，

：.EM=CM；

(3)2V13-2或2m+2

29.【答案】(1)AD//BE；MD=ME

(2)如图，延长EM交4。于F,

cB

P

由（1）得：ADUBE，

.­./.FAM=Z.MBE,

M为AB的中点，