2024年中考数学常见几何模型-圆中的重要模型之隐圆模型（解析版）

圆中的重要模型之隐圆模型

隐圆是各地中考选择题和填空题、甚至解答题中常考题，题目常以动态问题出现，有点、线的运动，

或者图形的折叠、旋转等，大部分学生拿到题基本没有思路，更谈不上如何解答。隐圆常见形式：动点定

长、定弦对直角、定弦对定角、四点共圆等，上述四种动态问题的轨迹是圆。题目具体表现为折叠问题、

旋转问题、角度不变问题等，此类问题综合性强，隐蔽性强,很容易造成同学们的丢分。本专题就隐圆模型

的相关问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1、动点定长模型（圆的定义）

若尸为动点，＞AB=AC=AP,则8、C、尸三点共圆，A圆心，半径

圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合.

寻找隐圆技巧：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧.

例1.（2023•山东泰安・统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Rt^AOB的一条直角边在x轴上,

点A的坐标为（-6,4）；RtCOD中，ZCOD=90°,OD=4&ZD=30°,连接BC,点M是3C中点，连接

AM.将RtCOD以点。为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段A"的最小值是（）

A.3B.642-4C.2713-2D.2

【答案】A

【分析】如图所示，延长及1到E,使得AE=AB,连接OE,CE,根据点A的坐标为（-6,4）得到3E=8,再

证明AM是sBCE的中位线，得到AM=（CE；解RtCOZ）得到OC=4,进一步求出点C在以。为圆心,

半径为4的圆上运动，则当点M在线段OE上时，CE有最小值，即此时AM有最小值，据此求出CE的最

小值，即可得到答案.

【详解】解：如图所示，延长54到E,使得AE=AB,连接OE,CE,

HRtAAOB的一条直角边在x轴上，点A的坐标为(-6,4),

0AB=4,OB=6,SAE=AB=4,回3£=8,

回点M为中点，点A为BE中点，回AM是8CE的中位线，回AAf=；CE；

在RtCC©中，ZCOD=90°,OD=岷AD=30°,0OC=-00=4,

3

团将Rt.：C8以点。为旋转中心按顺时针方向旋转，回点C在以。为圆心，半径为4的圆上运动,

回当点M在线段0E上时，CE有最小值，即此时A"有最小值，

mOE=>JBE2+OB2=10>®CE的最小值为10-4=6,回A〃的最小值为3,故选A.

【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，三角形中位线定理，坐标与图形，含30

度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键.

例2.(2023•广东清远•统考三模)如图，在Rt^ABC,ZACB=90°,E为AC边上的任意一点，把BCE沿

BE折叠，得到连接AF.若BC=6,AC=8,则AF的最小值为

【答案】4

【分析】本题考查翻折变换，最短路线问题，勾股定理，先确定点尸的运动路线，并确定"最小时点/所

在位置F'，再求出AA的长度即可.确定点尸的运动路线是解题的关键.

【详解】解：03CE沿BE折叠，得到AB产E,51BF=BC=6,

回点P在以2为圆心6为半径的圆上，设以8为圆心6为半径的圆与交于点/工

贝!]8尸'=BC=6,■的最小值为AF的长;

在Rt^ABC中，QBC=6,AC=8,^AB=^BC2+AC2=762+82=10-

0AF,=AB-BF,=lO-6=4,EIAF的最小值为4,故答案为：4.

例3.（2022•北京市•九年级专题练习）如图，四边形ABCD中，AE、AF分别是2C,8的中垂线，ZEAF=80°,

ZCBD=30°,则ZABC=—,ZADC—.

【答案】40°；60°

【分析】连接AC,根据线段垂直平分线的性质可得A8=AC=A£),从而得到8、C、。在以A为圆心，A3为半径的

圆上，根据圆周角定理可得N，AC=2NOBC=60。，再由等腰三角形的性质可得，即可求解.

【详解】解：连接AC,ZDAF=ZCAF=30°

AE、AF分别是8C、CD的中垂线，.•.AB=AC=A£>,

:.B、C、D在以A为圆心，AB为半径的圆上，ZCB£>=30°,:.ZDAC=2ZDBC=m°,

AFLCD,CF=DF,ZZMF=NC4F=30°,/.ZADC=60°,

AB=AC,BE=CE,：.ZBAE=ZCAE,

又iZEAC=ZEAF-ZCAF=800-30P=50°,ZABC=ZACE=90°-50°=40°.故答案为：40°,60°.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，根据题意得到8、C、

。在以A为圆心，为半径的圆上是解题的关键.

例4.（2023上•江苏无锡•九年级校联考期中）如图，正方形ABC。中，AB=6,£是BC的中点.以点C为

圆心，CE长为半径画圆，点尸是（C上一动点，点尸是边AD上一动点，连接AP,若点。是AP的中点，

连接3/，FQ,则3尸+尸。的最小值为.

【答案】3亚-1

［分析］取点B关于直线AD的对称点M,连接BD、AC两线交于点O,连接，CP,,过。作ON，AB

1133

于点N,则?=5x3=5,所以点。在以。为圆心，,为半径的一。上运动，求出

ON=AN=BN=3AB=3,则ACV=6+3=9,由勾股定理得=的2+32,=3回,由

BF+FQ+OQ=MF+FQ+OQ>OM,所以当“、F、Q、。四点共线时，

BF+FQ+OQ=MF+FQ+OQ=OM=3M的值最小，所以3尸+尸。的最小值为

BF+FQ=OM-OQ=3y/W--.

【详解】解：取点5关于直线AD的对称点M,连接8。、AC两线交于点。，连接。Q,CP,MO,过0

•正方形A8CO中，AB=6,E是BC的中点，.•.CE=JBC=3,

113

.,点。是AP的中点，点。是AC的中点，；.OQ=5cp=］CE=5，

3

...点。在以。为圆心，万为半径的；。上运动，

,四边形ABCD是正方形，:.ACLBD,OA=OB,:.ON=AN=BN=^AB=3,

AM=AB=6,：.MN=6+3=9,OM=\iMN2+ON2=V92+32=3^0，BF+FQ+OQ=MF+FQ+OQ>OM,

・•・当M、F、。、。四点共线时，尸。+OQ=M/+尸Q+OQ=OM=3jIU的值最小，

.•.BF+FQ的最小值为"+世=0出-00=3亚一:故答案为：3>/10-|.

【点睛】本题考查圆的有关性质的应用，正方形的性质，两点之间线段最短公理的应用，勾股定理，解题

的关键是正确确定点。的运动路径.

模型2、定边对直角模型（直角对直径）

固定线段所对动角/C恒为90°,则A、B、C三点共圆，为直径

寻找隐圆技巧：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧.

例L（2023•山东•统考中考真题）如图，在四边形ABC。中，ZABC=ZBAD=90°,AB=5,AD=4,AD<BC,

点E在线段上运动，点厂在线段AE上，/ADF=NBAE,则线段正的最小值为.

［答案］晒-2/-2+回

【分析】设AD的中点为。，以AD为直径画圆，连接。3,设。8与CO的交点为点尸，证明NDE4=90。,

可知点P在以AD为直径的半圆上运动，当点产运动到。3与（。的交点「时，线段BF有最小值，据此求

解即可.

【详解】解：设AQ的中点为。，以AQ为直径画圆，连接02,设。2与<。的交点为点少，

SZADF=ZBAE,团NDE4=NABE=90。，团点尸在以AD为直径的半圆上运动，

回当点尸运动到。8与。的交点F时，线段所有最小值，

0A£>=4,^AO=OF'=^AD=2,,BO=\J52+22=>

8尸的最小值为，应一2，故答案为：A/29-2.

【点睛】本题考查了平行线的性质，圆周角定理的推论，勾股定理等知识，根据题意分析得到点尸的运动

轨迹是解题的关键.

例2.（2023上•江苏苏州•九年级校考阶段练习）如图，以G（0,l）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A,8两

点，与y轴交于C,。两点，点E为。G上一动点，作CF_LAE于点当点E从点8出发，顺时针旋转到

点。时，点尸所经过的路径长为（）

A6a6n

A.----71D.----71C.-----71D.-------71

4323

【答案】B

【分析】连接AC,AG,AD,先由圆周角定理得到点尸的运动轨迹是以AC为直径的圆上，且点。在圆

上，进而得到当点E从点2出发，顺时针旋转到点。时，点厂所经过的路径长为04的长；根据勾股定理和

锐角三角函数求得AC=JoA+OC2=2垂)，ZACO=30°,则04所对的圆心角的度数为60°,利用弧长公

式求得OA的长即可求解.

【详解】解：连接AC,AG,AD,

EICF1AE,回ZAFC=ZAOC=90°,

团点P的运动轨迹是以AC为直径的圆上，且点。在圆上，当点E在点8处时，COLAE,点尸与O重合;

当点E在点。处时，回以G(0,l)为圆心，半径为2的圆与x轴交于A,8两点，与y轴交于C,。两点，

51ZCAD=90°SPCA1AE,点厂与A重合，

回当点E从点B出发，顺时针旋转到点。时，点F所经过的路径长为04的长；

^GO±AB,G(0,l),AG=2,^OA=yJAG2-OG2=y/3<

团OC=OG+CG=l+2=3,回tan/ACO=M=乎，AC=VtM2+OC2=25/3，

团NACO=30。，则Q4所对的圆心角的度数为60。，

团Q4的长为刨工8=正兀，即点尸所经过的路径长为立兀，故选：B.

18033

【点睛】本题考查圆周角定理、解直角三角形、弧长公式、坐标与图形等知识，正确得到点尸的运动轨迹

以及点尸所经过的路径长为OA的长是解答的关键.

例3.(2022.内蒙古.中考真题)如图，。是.ABC的外接圆，AC为直径，若AB=2百，BC=3,点尸从3

点出发，在二ABC内运动且始终保持NCBP=NBAP，当C,P两点距离最小时，动点尸的运动路径长为

A

【答案】3.

3

【分析】根据题中的条件可先确定点尸的运动轨迹，然后根据三角形三边关系确定CP的长最小时点尸的位

置，进而求出点P的运动路径长.

【详解】解：AC为：O的直径，，/ABC=90°.+ZP3C=90°.

QNPAB=ZPBC,ZPAB+ZABP=90°.ZAPB=90°.

.••点P在以AB为直径的圆上运动，且在AABC的内部，

如图，记以A3为直径的圆的圆心为。一连接OC交工。于点P',连接O7,CP.

QCPNac-q尸,.•.当点a，p,c三点共线时，即点P在点P处时，CP有最小值,

BC3~

,**AB=273OXB=V3在RtMCO、中，tan/BO®=~^=忑=

/BO1C=60°....副=60兀乂6=昱兀二.。,尸两点距离最小时，点P的运动路径长为立况

18033

【点睛】本题主要考查了直径所对圆周角是直角，弧长公式，由锐角正切值求角度，确定点P的路径是解

答本题的关键.

例4.（2023・广东•九年级课时练习）如图，AACB中，CA=CB=4,ZACB=90°,点尸为C4上的动点，

连BP,过点A作尸于当点尸从点C运动到点A时，线段2M的中点N运动的路径长为（）

A

C.百兀D.2兀

【答案】A

【详解】解：设的中点为。，连接N。，如图所示：

为的中点，。为48的中点，...N。为的中位线,

,：AMLBP,：.QN±BN,:.NQNB=90。,

•••点N的路径是以的中点。为圆心，长为半径的圆交C8于D的Q。，

VCA=CB=4,ZACB=90°,AAB=7204=472，NQBD=45。,：.ZDOQ=90°,

...Q。为。。的1周长，，线段而W的中点N运动的路径长为：90TTX；X4R昌,故选：血

180一2

在AAPC中，一点“、F为PC、AC的中点，:.MFHAP,MF=-AP,

2

:.ME±MF,即ZEMR=90。，.,.点〃在以EF为直径的半圆上，

:.EF=-AB=10,.•.点M的运动路径长为工x2%x5=5万，故答案为：5万.

22

模型3、定边对定角模型（定弦定角模型）

固定线段AB所对同侧动角NP=NC,则A、B、C、尸四点共圆

根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相.

寻找隐圆技巧：A8为定值，NP为定角，则P点轨迹是一个圆.

1.（2023•四川自贡•统考中考真题）如图，分别经过原点。和点4（4,0）的动直线a,6夹角/。区4=30。，点

M是。8中点，连接4W,贝Ijsin/Q4M的最大值是（）

A3+aRA/3A/65

6236

【答案】A

【分析】根据已知条件，NO班=30。，得出B的轨迹是圆，取点。（8,0）,则AM是的中位线，则求

得/0D3的正弦的最大值即可求解，当与uC相切时，NODB最大,则正弦值最大，据此即可求解.

【详解】解：如图所示，以为边向上作等边・Q4C,过点C作CELx轴于点E,则OC=Q4=AC=4,

则C的横坐标为2,纵坐标为CE=OCxsin60。=2括，13c（2,2#）,

取点。（8,0）,则AM是「OB。的中位线，I3CD=48_2『+（2同=4上，

0/0^4=30°,回点8在半径为4的C上运动，回AM是O即的中位线，SAM//BD,

^\ZOAM=ZODB,当50与oC相切时，NODB最大,则正弦值最大，

在Rt38中，BD=>JCD2-BC2=473f-42=472,

过点B作FB〃x轴，过点C作CF,尸G于点尸，过点。作OGL/G于点G,贝lJ/F=/G

CFFBBC41

国NFCB="BG,…BSBGD,回面=而=而=砺=/

设CF=a,=则3G=0a,DG=0bEI/（2,26+a）,G（8,伤）回产G=8-2=6,OG=a+2有

2+18解得：2^，DGA/^3+A/6

回〈/7=2+[3sinZ（9DB=sinZGB£）===

0+2石=回3BD4V26

IBsin/QW的最大值为士标，故选：A.

6

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求正弦，等边三角形的性质。圆周角定理，得出点8的轨迹

是解题的关键.

例2.（2023•广东深圳•校考模拟预测）如图，在边长为6的等边.ABC中，点E在边AC上自A向C运动,

点尸在边C3上自C向8运动，且运动速度相同，连接A尸交于点尸，连接CP,在运动过程中，点尸的

兀

C.3百D.

2

【答案】A

【分析】过点A作。4LAC于4,作03,3c于B,连接OC,交A8于。，证明RtACO丝Rt_8CO（HL）,

得。4=06,再证明aACF—5AE（SAS）,可得NA尸8=180。一60。=120。，确定点尸的运动路径是以点。为

圆心，以。4为半径的弧48,再由弧长公式求解即可.

【详解】解：如图，过点A作。4_LAC于4作03,3c于8,连接。C,交于。,

B

ACS是等边三角形，:.AC^BC^AB,ZAC3=NC4B=60°,ZAOB=360°-60°-90°-90°=120°,

OC=OC,.-.RtACO丝RtBCO(HL),.-.OA=OB,OC是AB的垂直平分线，AD=BD=^AB=3,

在RtAADO中，ZZMO=30°,OD=AD•tan30。=若，OA=2OD=243-

AE=CF,：.ACF^,BAE(SAS),.-.ZCAF=ZABE,

,NC4F+ZB4P=60。，:.ZABE+ZBAP6Q°,ZAPB=180°-60°=120°,

•••点尸的运动路径是以点。为圆心，以。4为半径的弧AB,

.・•点P的运动路径长为12°X%X26=M"故选：A.

1803

【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，扇形的面积，动点尸的运动轨迹等知识，确定点尸的运动轨

迹是解本题的关键.

例3.(2023・成都市•九年级专题练习)如图所小，在扇形AOB中，OA—3,ZAO8=120。，点C是AB上的

动点，以BC为边作正方形3C£>E,当点C从点A移动至点B时，求点。经过的路径长.

【答案】点。经过的路径长为20.

【分析】如图，由此80交。。于F,取2歹的中点H,连接歹H、HB、BD.易知△是等腰直角三角形，

HF=HB,/FHB=90。,由/尸。8=45。=g推出点。在上运动，轨迹是GB(图中红线)，易

知/HFG=NHGF=15。,推出NE〃G=150。，推出/GH3=120。，易知"8=3万，利用弧长公式即可解

决问题.

【详解】解：如图，由此8。交。。于凡取2尸的中点H,连接FH、HB、BD.

易知△是等腰直角三角形，HF=HB,ZFHB=9Q°,

•.•/尸。8=45。=!/尸”8,；.点。在。//上运动，轨迹是GB（图中红线），

易知NHFG=NHGF=15。,：.ZFHG=150°,：.ZGHB=120°,易知HB=3拒,

二点D的运动轨迹的长为竺叱义@=20兀.

180

【点睛】本题考查轨迹、弧长公式、圆的有关知识、正方形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅

助线，正确寻找点。的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题.

例4.（2023上,湖北武汉•九年级校考阶段练习）如图，回。的半径为2,弦A8的长为26,点C是优弧48

上的一动点，BQaBC交直线AC于点D,当点C从0ABC面积最大时运动到BC最长时，点O所经过的路径

长为—,

【分析】如图，以为边向上作等边三角形0ABF,连接。4,OB,OF,DF,OF交AB于H.说明点。

的运动轨迹是以尸为圆心，切为半径的圆，再利用弧长公式求解即可.

【详解】如图，以AB为边向上作等边三角形0AB凡连接。A,OB,OF,DF,OF交AB于H.

OA^OB,SOF^AB,AH=BH=上,回sinElBOH=4,

2

00BOH=a4<9H=6O°,EBAO8=120°EBC=；0Ao2=60°,

0DB0BC,H3Z）BC=90°,2067）8=30°,

aa4EB=60。，aaAOB=；0AFB,El点。的运动轨迹是以F为圆心，胡为半径的圆，

回当点C从她2c面积最大时运动到BC最长时，2C绕点2顺时针旋转了30。，

团2£）绕点2也旋转了30°,回点。的轨迹所对的圆心角为60。，

团运动路径的长=60L=正兀,故答案为：巫兀.

18033

【点睛】本题考查轨迹，垂径定理，等边三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是

学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题.

模型4、四点共圆模型

四点共圆模型我们在上一专题中已经详细讲解了，本专题就不在赘述了。在此就针对几类考查频率高的模

型作相应练习即可。

1）若平面上A、B、C,。四个点满足/4BC+/4DC=180。，则A、B、C、。四点共圆.

条件：1）四边形对角互补；2）四边形外角等于内对角.

2）若平面上A、B、C、。四个点满足NWB=/ACB,则A、B、C、。四点共圆.

条件：线段同侧张角相等.

例1.（2023,安徽阜阳•九年级校考期中）如图，O为线段的中点，点A,C,。到点。的距离相等，则她

与团C的数量关系为（）

A.ZA=ZCB.?A2?CC.ZA-ZC=90°D.ZA+ZC=180°

【答案】D

【分析】根据题意可得四边形为cO的圆内接四边形，即可求解.

【详解】解盟。为线段的中点，点A,C,。到点。的距离相等，

团点A,B,C,。到点O的距离相等，

团点A,B,C,。在以。为圆心的圆上，即四边形为1。的圆内接四边形，

0ZA+ZC=180°.故选：D

【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键.

例2.（2023•山西临汾•九年级统考期末）如图在四边形ABCD中，ZADB=ZACB=90°,若ZZMC=30。，则

g的值为（）

【答案】D

【分析】首先根据题意得到点A,B,C,。四点共圆，然后证明出,.CEE>s,、曲，进而得到丝=空，然

ABAE

DF1

后利用30。直角三角形的性质得到卞=；,进而求解即可.

AE2

【详解】如图所示，0ZADB=ZACB=90°回点A,B,C,。四点共圆,

CDDE

@CB=CB^BAC=Z.BDC^\ZDEC=ZAEB0.CED^BEA^\—=—

ABAE

-|T~XT~<[jpvj~v77T-|

0ZAZ)B=9OO,ZDAC=30°SDE=-AE0—=-0—=——=一.故选：D.

2AE2ABAE2

【点睛】此题考查了四点共圆，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌

握以上知识点.

例3.（2023•江苏镇江•校联考一模）如图，菱形ABCD的边长为12,NB=60。，点E为BC边的中点.点M

从点E出发，以每秒1个单位的速度向点8运动，点N同时从点A出发，以每秒2个单位的速度向点。运动，

连接MN,过点C作于点H.当点M到达点3时，点N也停止运动，则点H的运动路径长是（）

A.6B.12C.亚万D.拽万

33

【答案】D

【分析】如图，连接AE、AC,BD,设AC、BD交于点P,AE交MN千点、F,连接CF,设Cb中点为。，

连接。尸、OE,根据菱形及等边三角形得性质可得AELBC,4\中EBF,可得出箓=：,可得"N必

AF2

经过点F，根据NFEC=/CHF=90。，可得点H在以C歹为直径的圆上，根据M、N的速度及菱形性质可

得当点又达到点8时，点N达到点O,AC1BD,可得点打点运动路径长是2P的长，利用勾股定理可求

出CP的长，根据圆周角定理可得40尸=120。，利用弧长公式即可得答案.

【详解】如图，连接AE、AC、BD,设AC、BD交于点P,AE交MN于点、F,连接C/,设CP中点为。，

连接OP、OE,

•.•菱形A3CD的边长为12,ZB=60°,：.AB=BC=12,是等边三角形，

:点E为BC边的中点，AAE±BC,BE=CE=；AB=6,AE=6』,

・・,点M的速度为每秒1个单位，点N的速度为每秒2个单位，，名ME=41，

AN2

FFMF1

-ANME,：.ANFEBF,

tAFAN2

AFE=^AE=2y/3,CF7FE?+CE?=46,:・MV必经过点尸，

•；CH1MN,AEA.BC,・••点H在以。咒为直径的圆上，且尸、E、C、H四点共圆，

•・•当点M达到点区时，点N达到点。，AC1BD,・••点”点运动路径长是即的长，

,：ZBCA=6Q°,EP=EP，ZEOP=2ZBCA=120°,

...Ep=120小=走兀，即点H点运动路径长是迪万.故选：D.

18033

【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、四点共圆的证明、勾股定理、圆周角定理及弧

长公式，正确得出点H的运动轨迹是解题关键.

例4.（2023.江苏九年级期末）如图，在RCABC中，NAC3=90,BC=3,AC=4,点P为平面内一点,

且NCP3=NA,过C作CQ^CP交PB的延长线于点Q,则CQ的最大值为（）

「46D

5-f

【答案】B

【分析】根据题意可得A、B、C、P四点共圆，由AA定理判定三角形相似，由此得到CQ的值与PC有关,

当PC最大时CQ即取最大值.

【详解】解：团在Rt^ABC中，ZACB=90,ZCPB=ZA,BC=3,AC=4

她、B、C、P四点共圆，AB为圆的直径，AB=7BC2+AC2=5

0C21CP0ZACB=ZPCQ=90EBABCEBPQC

ACPC4PC3

团------,3&,即

BCCQ

回当PC取得最大值时，CQ即为最大值

团当PC=AB=5时，CQ取得最大值为?故选：B.

【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质以及四点共圆，掌握同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等确

定四点共圆，利用相似三角形性质得到线段间等量关系是解题关键.

例5.（2023•河南周口校考三模）在，ABC中，是：A6C外一动点，满足？C4M?CBM180?,

若NCM4=60。，MA=4,MB=2,则的长度为.

【分析】过点8作3"，AM交AM的延长线于点打，过点。作DELAM于点E,过点。作于点

F,点四点共圆，得ZAMC=ZBMC=60。，解直角三角形QE=OF=走〃。，BH=—MB,面积

22

1114

法求解，S^AMB=-AMDE+-BMDF=-AMBH,得MD=%.

【详解】解析：过点3作交AM的延长线于点"，过点。作。石，AM于点£,过点。作

于点尸，如图所示:

c

0?CAM?CBM180?回点4M,B,C四点共圆

0G4=Cfi0ZAMC=ZBMC=60°0DE=DF=MD，sin60°=—MD,ZAAffi=120°

2

国NBMH=60°,EIBH=MB-sin60°=立MB,

2

0M4=4,MB=2.SS^AMB=^AM-DE+^BM-DF=^AM-BH,

04x—MZ)+2x—M£>=4x73,0A/D=^

223

【点睛】本题考查四点共圆，圆周角定理，解直角三角形，角平分线性质定理，添加辅助构造直角三角形

是解题的关键.

课后专项训练

1.（2023上•江苏南通・九年级校考阶段练习）如图，等边三角形ABC与等边三角形£网共端点8,BC=2,

BF=g,aEFB绕点8旋转，SBC尸的最大度数（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【分析】由旋转的性质可得点尸在以点2为圆心，8尸长为半径的圆上，可得当C尸与。3相切时，ZBCF,

的度数有最大值，由三边关系得△C8F是含30度角的直角三角形，即可求解.

【详解】解：如图，

绕点B旋转，.•.点/在以点B为圆心，B/长为半径的圆上，

.•.当Cb与08相切时，/BC尸的度数有最大值，连接8/，.•./C?B=90°,

•：BC=2,BF'=BF=j3,：.CF'=y]22-^）2=1=

J.ZCBF'=30°,.,.ZBCF=60",故选：C.

【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质以及直线与圆的位置关系，确定点F的运动轨迹是本

题的关键.

2.（2023上•安徽六安•九年级校考期末）如图，_ABC是等边三角形，AB=2,点P是ABC内一点，且

ZBAP-ZCBP=30°,连接CP,则CP的最小值为（）

A

C.2-V3D.V3-1

【答案】D

【分析】根据等边三角形的性质得到NABC=60。，AB=3C=AC,继而推出/AP3=90。，可得点尸在以AB

为直径的圆上，得知当C,D,P三点共线时，CP最小，再利用等边二角形的性质和勾股定理求解即可.

【详解】解：据ABC是等边三角形，0ZABC=6O°,AB=BC=AC,

0Z.BAP-ZCBP=30°,EZBAP-(60°-ZABP)=30°,

整理得：ZBAP+ZABP=90°,则NAPB=90。，团点尸在以AB为直径的圆上,

如图，设的中点为。，连接。P,即。P长度不变，

0CP+DP>CD,团当C,D,尸三点共线时，CP最小，此时CD_LAB,

团AS=3C=AC=2,SDP=^AB=],CD=y/BC2-BD2=A/3>

回”的最小值为C£>-OP=g-l,故选D.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，三角形三边关系的应用，解题的关键是

根据已知条件推出ZAPB=90°,得到点尸在以A8为直径的圆上.

3.（2023•广西•中考模拟）如图所示，四边形ABCD中，DC0AB,BC=1,AB=AC=AD=2.贝UBD的长为（）

A.714B.715C.3近D.2季

【答案】B

【详解】解：以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交回A于F,连接DF.

一

0AB=AC=AD=2,®D,C在圆A上，

0DC0AB,回弧DF=MBC,0DF=CB=1,BF=AB+AF=2AB=4,

mFB是OA的直径，EBFDB=9O°,EBD=^BF2-DF2=岳故选B

4.(2023上•浙江杭州•九年级校联考期中)如图，点。在线段48上，OA-=2,OB=6,以。为圆心，OA为

半径作。，点M在。上运动，连接例8,以MB为一边作等边二MBC,连接AC,则AC长度的最小值为

()

A.2而+2B.2>/13-2C.4括+2D.4V3-2

【答案】B

【分析】以。3为边，在的上面作等边aOBP,使03=8尸=OP=6,ZCJBP=60°,连接。P,PC,OM,

根据全等三家巷的性质得到OM=PC=2,连接"并延长，交」尸于点C,则AC的最小值为AC',过P作

尸HLAB于根据勾股定理即可得到答案.

【详解】解：如图，以为边，在。8的上面作等边OBP,使OB=BP=<0P=6,NO3P=60°,连接。尸，

PC,OM,

HB

ZMBC=ZOBP=60°,:.ZOBM=ZCBP,

BM=BC

在和aCBP中，JZOBM=ZCBP,OBM^CBP（SAS）,

OB=BP

.•.OM=PC=2,.,.点C的运动轨迹为以点P为圆心，2为半径的圆，

连接AP并延长，交，尸于点C',则AC的最小值为AC',过户作尸〃，神于5，

/?1

:.PH=—PB=3y/3,BH=-PB=3,

22

AH=AB-BH=5,AP=^AH2+PH2=,+（3⑹2=2而，

AC=AP-PC=2713-2,.1AC'长度的最小值为2而'一2,故选：B.

【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，正确

地作出辅助线是解题的关键.

5.（2023上•江苏无锡•九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A,C,N的坐标分别为（-3,0）,

（3,0）,（6,8）,以点C为圆心，3为半径画C,点P在-C上运动，连接AP,交于点Q,点M为线段

0P的中点，连接MN,则线段MN的最小值为（）

A.7B.10C.3亚D.773-1

【答案】A

【分析】本题考查了坐标与图形的性质，掌握垂径定理，勾股定理，两点间的距离公式，直角三角形斜边

上中线的性质，三点共线等知识是解决问题的关键.

连接CM,OM,由垂径定理得出CM，。尸，由直角三角形的性质得出=1AC=3,进而得出点M在

以。为圆心，以3为半径的：。上，得出当O、M、N三点共线时，有最小值，由N（6,8）,求出ON=10,

进而求出MN=7,即线段MN的最小值为7.

【详解】解：如图1,连接CM,OM,

A（—3,0）,C（3,0）,:.AC=6,。是AC的中点，

M是QP的中点，.•.ZAMC=90。，，OM=：AC=3,

回点M在以。为圆心，以3为半径的O上，如图2,当。、M、N三点共线时，MN有最小值,

N（6,8）,.-.OAA=10,OM=3,:.MN=ON-OM=\Q-3=1,回线段肱V的最小值为7,故选：A.

6.（2023上•浙江丽水•九年级统考期中）如图，是半圆0的直径，点C在半圆。上，AB=4,ZCAB=60°,P

是弧BC上的一个动点，连结AP,过点C点作CDLAP于点£）,连结50,在点尸移动的过程中.（1）

AC=；（2）80的最小值是.

【分析】（1）连接BC,因为A3是直径，则/ACB=90。，所以/ABC=30。，所以4。=工42=2；

2

（2）以AC为直径作圆。，连接80，、BC,在点P移动的过程中，点。在以4C为直径的圆上运动，当O'、

。、B共线时，80的值最小，最小值为O3-OD,利用勾股定理求出30'即可解决问题.

【详解】解：（1）如图，连接BC,AB是直径，.1/408=90。，

ZG4B=60°,/.ZABC=30°,AC=-AB=-x4=2.故答案为：2；

22

（2）如图，以AC为直径作圆O',连接BO',CDLAP,:.ZADC=90°,

在点尸移动的过程中，点。在以AC为直径的圆上运动，

在RtZXABC中，AB=4,ZCAB=60°,,-.BC=ABsin60°=2^,

AC=2,:.O'C=O'D=\,在R"C。中，BO'=VSC2+O'C2=V12TT=713.

O'O+BDiO'B,.,.当。、。、B共线时，的值最小，最小值为03-03=JB-1.故答案为：V13-1.

【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理、点与圆的位置关系，两点之间线段最短，解题的关键是确定点O

的运动路径是以AC为直径的圆上运动，属于中考填空题中的压轴题.

7.（2023上•山东日照•九年级校考期中）如图，ABC中，AC=5,BC=4A/3,ZACB=60°,过点A作BC的

平行线/，尸为直线/上一动点，。为的外接圆，直线3尸交;。于E点，则AE的最小值为.

【答案】V41-4/-4+V4T

【分析】本题考查三角形的外接圆与外心、平行线的性质、圆周角定理、勾股定理，点与圆的位置关系等

知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造辅助圆解决问题.

如图，连接CE.首先证明/3EC=120。，由此推出点E在以O'为圆心，为半径的BC上运动，连接O,A

交BC于E',此时AE的值最小.

【详解】解：如图，连接CE.

^AP//BC,回/出C=ZAC3=60°,回NCEP=NG4P=60°,

0ZBEC=120°,回点E在以O'为圆心，为半径的BC上运动,

连接O'A交BC于后，此时AE'的值最小.此时（。与（。交点为

0ZBE'C=120°回BC所对圆周角为60°,0NBOC=2x60°=120°,

回ABOC是等腰三角形，BC=46,回O，B=O，C=产

cos30°

回ZAC3=60°,N3CO'=30°,回ZACO'=90°,O'A=y/o'C2+AC2=y/^+52=741,

AE'=O'A-O'E'=741-4,：A/41-4.

8.（2023上•江苏连云港•九年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=5,N是矩形ABCD内一

点，/3QV=NCDN,点"是A£＞边上的动点，则的最小值为

【分析】根据矩形的性质得到/3CD=90。，求得/CVD=90。，得到点N在以CD为直径的半圆上运动，设

半圆的圆心为。，作点8关于直线A£＞的对称点"，连接3'0交AQ于M,交半圆于N,则此时M3+MN的

值最小，最小值=3'N,过。作0"，AB于根据勾股定理即可得到结论.

【详解】解：团四边形ABCD是矩形，0ZSCD=90°,0ZBCN+ZDCN=9Q°,

QNBCN=NCDN,0ZCDN+ZDCN=90°,BZCND=90°,

团点N在以CO为直径的半