2025版高考数学全程一轮复习课前预备案第七章立体几何与空间向量第四节空间直线平面的垂直

第四节空间直线、平面的垂直必备知识1.直线与平面垂直(1)定义：一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的________，平面α叫做直线l的________．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足．(2)判定定理与性质定理定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，“相交”是定理的关键词，应用定理时不能省略那么该直线与此平面垂直m⊂α，n⊂αm∩n=Pl⊥m性质定理垂直于同一个平面的两条直线_____________________b⊥a⇒a2.平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是____________，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理与性质定理定理文字语言图形语言符号语言判定定理实际应用：找出一个平面的垂面的依据如果一个平面过另一个平面的______，那么这两个平面垂直l性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一定不能漏掉“垂直于交线”这一条件一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直a⊥βa∩β=aa【常用结论】1．若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线．2．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．3．垂直于同一条直线的两个平面平行．4．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．5．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．夯实基础1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.()(2)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.()(3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．()(4)垂直于同一个平面的两个平面平行．()2．(教材改编)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n3．(教材改编)在三棱锥P-ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心．(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．4．(易错)“直线与平面α内无数条直线垂直”是“直线与平面α垂直”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．(易错)已知ABCD是边长为a的正方形，点P在平面ABCD外，侧棱PA＝a，PB＝PD＝2a，则该几何体P-ABCD的5个面中，互相垂直的面有________对．第四节空间直线、平面的垂直必备知识1．(1)垂线垂面(2)平行a⊥α2．(1)直二面角(2)垂线b⊥α夯实基础1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．解析：对于A，m与l可能平行或异面，故A错；对于B、D，m与n可能平行、相交或异面，故B、D错；对于C，因为n⊥β，l⊂β，所以n⊥l，故C正确．故选C.答案：C3．解析：(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．(2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于H，D，G．∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，∴PC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，∴PC⊥AB，∵AB⊥PO，PO∩PC＝P，∴AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高．同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心．答案：(1)外(2)垂4．解析：根据直线垂直平面的定义，由“直线与平面α垂直”可推出“直线与平面α内无数条直线都垂直”，反之不能由“直线与平面α内无数条直线都垂直”推出“直线与平面α垂直”．故选B.答案：B5．解析：已知ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA＝a，PB＝PD＝2a，所以PA⊥AD，PA⊥AB，又AD∩AB＝A，所以PA⊥平面ABCD，因为PA⊂平面PAB，PA⊂平面PAD，所以平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，因为AB⊥AD，AB⊥PA，AD∩PA＝A，所以AB⊥平面PAD，因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面