3.3幂函数课件高一上学期数学人教A版2

3.3幂函数安徽淮南第四中学2024.61.理解幂函数的概念，会画幂函数y=x，y=x2，y=x3，

的图象；教学目标2.结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质；3.通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力，发展直观想象，数学抽象的素养.重点：理解幂函数的概念，会画幂函数y=x，y=x2，y=x3，

的图象；难点：结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质；

情

境

导

入

数学史上很早就借用“幂”字，起先用于表示面积，后来扩充为表示平方或立方.1859年中国清末大数学家李善兰(1811～1882)译成《代微积拾级》一书，创设了不少数学专有名词，如函数、极限、微分、积分等，并把“Power”这个词译为“幂”．这样“幂”就转译为若干个相同数之积．高一年级运动会即将到来，在此期间有如下问题：(1)如果某同学参加引体向上比赛，每秒钟可以做一个标准的引体向上，那么他做的引体向上数量P(个)是关于时间ω(秒)的函数吗？函数解析式为

.P=ω,ω＞0(2)如果跳远场地为正方形，边长为a，那么场地占地面积S是关于边长a的函数吗？函数解析式为

.S=a2,a＞0(3)如果新建的医务室为正方体，棱长为b，那么医务室的体积V是关于棱长b的函数吗？函数解析式为

.V=b2,b＞0(4)如果游泳馆正方形场地的面积为S，那么该场地的边长c是关于面积S的函数吗？函数解析式为

.(5)如果1km田径比赛中某同学用时ts，那么他的平均速度v(km/s)是关于时间t(s)的函数吗？函数解析式为

.t＞0观察上述函数解析式，它们在形式上有什么共同特征这些函数的解析式都有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量；幂的指数都是常数，分别是1,2,3，

，-1；它们都是形如y=xα的函数.知识点一：幂函数的概念

一般地，我们把形如

y=xα的函数叫做幂函数，其中x为自变量，α为常数。(1).具有幂的形式且系数为1；(2).幂的底数x是自变量；(3).幂的指数α

是常数.xα前面的系数是1，例1.已知函数y＝(m2＋2m－2)xm＋2＋2n－3是幂函数，求m，n的值．练：在函数①y=②

y=

3x3③

y=

2x+1④

y=

2

⑤x3

⑥中，是幂函数的是（）

.①⑤⑥

3知识点二：幂函数的图像及性质

幂函数的图像xyoy＝x2y＝x3y＝x【总结】①只有α

=1时图像才是直线；②图像一定会出现在第一象限，

一定不会出现在第四象限；③图像一定经过(1,1)这个定点；④α>0

时，图像在定义域内上升；⑤

α<0时，图像在第一象限下降；定义域值域单调性公共点R上R上y=xy=x3y=x2RRRRR[0，+∞)[0，+∞)[0，+∞)奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数在（－∞,0]上在(0,+∞）上在(0，+∞)上在(－∞,0)，(0,+∞）上（1，1）幂函数性质：1)定点：所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；当α＞0时，幂函数的图象都通过原点2)单调性：当α＞0时，在区间[0，+∞)上是增函数当α＜0时，幂函数在区间(0，+∞)上是减函数.3)奇偶性：

当α为奇数时,幂函数为奇函数,

当α为偶数时,幂函数为偶函数题型一幂函数的概念例1(1)在函数y＝x-2,y＝2x2,y＝(x＋1)2,y＝3x中,幂函数的个数为(

)A.0B.1C.2D.3根据幂函数定义可知,只有y＝x-2是幂函数因为f(x)是幂函数,所以m2-4m-4＝1,即m2-4m-5＝0,解得m＝5或m＝-1题型二幂函数的图像及应用例2

如图是幂函数y＝xn的部分图象,已知n取

,2,-2,-这四个值,则与曲线C1,C2,C3,C4相对应的n依次为(

)A.2,，-

，-2B.-2,-,,2C.-

,-2,2,D.2,,-2,-xyo11C1C2C3C4α＞1时向上凹，0＜α＜1时向下凹，

xyoxyoxyoxyoABCD二、四题型三幂函数简单性质的应用角度1比较幂的大小幂函数y=xα在(0，+∞)上单调性与α

有什么关系？例3.比较下列各组中幂值的大小:

角度二由幂函数的大小求字母的取值范围∵函数在(0，＋∞)上递减，∴m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3.∵m∈N*，∴m＝1，2.又函数的图象关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数，∴m＝1.∴3-2a＜a+1＜0或a+1＞3-2a＞0或a+1＜0＜3-2a设幂函数为f(x)＝xα,因为其图象过点(2,8),所以2α＝8,解得α＝3,所以f(x)＝x3.因为f(x)＝x3在R上为增函数,所以由f(a-3)＞f(1-a),得a-3＞1-a,解得a＞2.所以满足不等式f(a-3)＞f(1-a)的实数a的取值范围是(2,＋∞).利用幂函数的性质解不等式的步骤(1)确定可以利用的幂函数;(2)借助相应的幂函数的单调性,将不等式的大小关系转化为自变量的大小关系;(3)解不等式(组)求参数范围时,注意分类讨论思想的应用.巩固练习1.若f(x)＝

,则函数f(4x-3)的定义域为(

)易知f(x)＝

的定义域为(0,＋∞),则4x-3∈(0,＋∞),即x∈

,2.函数f(x)＝xa＋b,不论a为何值,f(x)的图象均过点(m,0),则实数b的值为(

)A.-1B.1C.2D.3∵幂函数y＝xa过定点(1,1),∴f(x)＝xa＋b过定点(1,1＋b),结合已知条件可知1＋b＝0,则b＝-1.3.(多选)已知幂函数f(x)＝xn,n∈{-2,-1,1,3}的图象关于y轴对称,则下列说法正确的是(

)A.f(-2)＞f(1)B.f(-2)＜f(1)C.f(-2)＝f(-1)D.若｜a｜＞｜b｜＞0,则f(a)＜f(b)幂函数f(x)＝xn,n∈{-2,-1,1,3}的图象关于y轴对称,则n＝-2,则f(x)f(-x)＝f(x),且

f(x)在(0,＋∞)上单调递减,于是有f(-2)＝f(2)＜f(1)＝f(-1),则A错误,B正确,C错误;若｜a｜＞｜b｜＞0,则f(｜a｜)＜f(｜b｜),即f(a)＜f(b)成立,故D正确.4.有四个幂函数:①f(x)＝x-1;②f(x)＝x-2;③f(x)＝x3;④f(x)＝

.某同学研究了其中的一个函数,并给出这个函数的三个性质:(1)是偶函数;(2)值域是{y｜y∈R,且y≠0};(3)在(-∞,0)上单调递增.对于函数①