综合题（解析版）-2024年中考数学二模试题分类汇编（江苏专用）

专题11综合题

1.（2024•江苏无锡•二模）如图，正六边形ABCD防外作正方形DEGH,连接AH、BE交

于点。，求P整C）的值（）

A3—5/33-A/3「2n2—y/3

A.-------DR.--------C.-U.---------

3233

【答案】A

【分析】AH交ED于点、N,连接3E>,过点C作CM，3D于点根据正方形与正六边

形性质可证5、H、。三点共线，根据柳〃相，得到缥=里=瞿='=£,求出

NAABBD<3a3

ND,再证明EONs,BOA,得到FO北=FN黑=FD出-N刊D，即可求解.

BOABAB

【详解】解：如图，AH交ED于点、N,连接50,过点C作于点"，

设正六边形的边长为。，则AB=5C=CD=OE=〃，

六边形ABCDEF是正六边形，

（6-4）x180°

/./BCD=ZCDE=——1-------=120°,

6

:.ZCBD=ZCDB=30°9

ZEDB=90°,BM=BC-sinZCBM=—a,DM=CD-sinZCDM=­a

229

BD=y/3a9

同理可得？ABD90?,

四边形"汨G是正方形,

:.NEDH=90。,

:.B、H、。三点共线，

ND//AB,

NHND_DH_a_43

一而一万一而一后一7

ND=——a,

3

ED//AB,

EONs、BOA

.EO_EN_ED-ND_a3a_3-73,

"BO~AB~AB~a-3

故选：A.

【点睛】本题考查了正六边形与正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三

角形的相关计算，两直线平行，平行线分线段成比例，等知识，熟练掌握并灵活运用

相关性质定理是解题关键.

2.（2024•江苏徐州•二模）如图，.ABC和V4）E是以点A为直角顶点的等腰直角三角

An1

形，且黑=£，分别作射线8。、CE,它们交于点以点A为旋转中心，将VADE

AD2

按顺时针方向旋转，若AE的长为2,则面积的最小值是（）

【答案】A

【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、切线的性质、勾股定

理、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键.

先证明BAD^..CAE（SAS）,则ZACE=ZASD,推出NBMC=90。，由题意知，E在以A为

圆心，2为半径的圆上运动，如图，当CE在A下方且与：A相切时，线段"8最短，

面积的最小；再证明四边形ADME是正方形，^\\MD=ME=AE=2,由勾股定理

得，CE=BD=4AB2-AD2=20，则=2百-2,CM=2道-2,最后根据三角形的面积

公式计算即可.

4D1

【详解】解：:ABC和VAD£是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，且黑=：，

AB2

AE=2

/.AB=AC=4AD=AE=2,ZBAC=90°=ZDAE,

：.ZABC=ZACB=45°9

/.ABAC+ZCAD=ZDAE+ACAD,即NBAD=NC4E,

•/AB=AC.ABAD=ZCAEAD=AE,

fiAD^_C4E(SAS),

ZACE=ZABD,BD=CE

：.ZBMC=180°-ZDBC-ZACB-ZACE=180°-(ZDBC+ZAfiD)-ZACB=90°,

如图：由题意知，E在以A为圆心，2为半径的圆上运动，

ZBMC=90°,

.,.当CE在A下方且与A相切时，点航到8c距离最小，面积的最小

1.1ZAEM=90°=ZCMD=ZDAE,

•四边形ADME是矩形，

---AD^AE

.1.四边形ADME是正方形，

•1.MD=ME=AE=2,

由勾股定理得，CE=BD=/AB2-Ab2=2百，

BM=BD-DM=2^/3-2,CM=CE+ME=2y/3+2,

5MC=|BM-CM=1.（273-2）-（2^+2）=4.

故选：A.

3.（2024•江苏宿迁•二模）四个村庄坐落在矩形ABC。的四个顶点上，43=6公里，

BC=10公里，在新农村建设中，要设立两个车站E,F,则£4+E8+EF+bC+阳的最

小值为一公里.

【答案】（10+66）

［分析】将AAEB绕A顺时针旋转60°得到AGH,连接EG、BH；将ADFC绕点D逆时

针旋转60。，得到一。VM,连接FN、CM-由旋转及等边三角形的性质知，

GE=AE,FN=DF,S4+EB+EF+尸C+FD的最小值转化为GE+GH+EF+AW+RV的最

小值，当H、G、E、F、N、航在同一直线上时，取得最小值，最小值为线段的

长.

【详解】解：如图1,将绕A顺时针旋转60。得到AGH,连接EG、38；将

ADFC绕点。逆时针旋转60。，得到.DW,连接月V、CM-

由旋转性质得：AG=AE,EB=GH,AB=AH,NE4G=44”=60°,

AGE.ABH都是等边三角形，

:.GE=AE,AH=BH,GH=EB；

同理：.•..DRV、刀CM都是等边三角形，

:.FN=DF,FC=MN,DM=DC,

:.EA+EB+EF+FC+FD=GE+GH+EF+MN+FN；

当H、G、E、F、N、M在同一直线上时，GE+GH+EF+MZV+KV取得最小值，最小值

为线段的长.

故E4+EB+£F+bC+阳的最小值为线段的长，如图2；

D

设分别交AB、CD于点P、Q-

AH=BH,DM=DC,

:.HM是AB、CD的垂直平分线，

:.HM±AB,HMYCD-

AB=CD=6,ABH、MDC是等边三角形，

:.HP=MQ,AP=^AB=3,

.-.MQ=HP=^AH--AP2=3A/3;

NDAB=ZADQ=ZDQP=NAPQ=90°,

二四边形APQD是矩形，

:.PQ=AD=IO,

HM=HP+PQ+MQ=（10+6A/3）公里，

即£A+EB+EF+FC+FD的最〃、值为（10+6百）公里；

故答案为：（10+6君）.

【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，最短路径

问题，确定最小值时点E、R的位置是本题的关键.

4.（2024・江苏常州•二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=V+bx+4的

图像与X轴正半轴交于点A2,与y轴交于点c,OC=4OA,点尸是线段3C上一点（不

与点民C重合），过点?作》轴，交抛物线于点Q,连接。2,四边形OCPQ是平行

四边形.

⑴填空：b=

⑵求四边形OCPQ的面积;

⑶若点。是0C的中点，连接4），AC.点E（5,4）是抛物线上一点，P是直线上一

点，连接跖,3尸，若与△ADC相似，求点F的坐标.

【答案】⑴"-5

(2)8

⑶点尸的坐标是（4,2）或

【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线表达式，即可求解;

（2）过点尸作尸轴，由四边形。CQP是平行四边形得到。。=尸。，则四边形。CQP

的面积=。。m=8；

（3）当VBEFsVGW时，即空=丝=也即可求解；当VBEFsvzMC时，同理可解.

BEACV17

【详解】(1)OC=4OA=4,贝1|04=1,则点4(1,0)

将点A的坐标代入抛物线表达式得：l+b+4=0

解得：b=-5,

故答案为：-5；

（2）如图，过点P作用轴于R.

(F(I)

..■8（4,0）.

C（0,4）

二直线BC的函数表达式是，=f+4.

四边形OCQ尸是平行四边形

.■.PQ//OC^PQ=OC

设点尸。〃,-根+4）,则点Q（m,苏-5〃?+4）.

/.PQ=-m—m2+5m=-m2+4m.

-m2+4m=4.

/.77?!=m2=2.

:.PR=2.

SOCPQ~OC,PR=4x2=8.

(3)如图，过点E作轴于T,过点尸作FG，£T于G.

则£T=4.

2(2-2),E(5,4),

，直线石。的函数表达式是y=2x-6,

二.直线EQ与尤轴的交点"(3,0)

:.HT=2

tanZHET=-1

2

OA=1,OD=2,

r.tanZADO=—.

2

ZHET=ZADO.

tanZACO=tanNBET=—,

4

:.ZACD=ZBET.

:.ZCAD=ZBEH.

EFADV5

①当VBEF尔CAD时,

AC-717

BE=717

EF=4S.

:.FG=1,EG=2

.•.F（4,2）.

_历

（2）当NBEF^NDAC时,EF_AC

~BE~^D~^5

BE=>fn

3吨

5

1734

:.FG=——，EG

5

不，・

综上所述，点F的坐标是（4,2）或［HJ

【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合，解直角三角形，相

似三角形的性质和判定.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点

的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题

5.（2024•江苏宿迁•二模）在平面直角坐标系中对于已知的点C和图形W,给出如

下定义：若存在过点C的直线/,使之与图形W有两个公共点P,Q,且C,P,。三

点中，某一点恰为另两点所连线段的中点，则称点C是图形W的“相合点

⑴已知点A（0,3）,3（6,0）,线段OA与线段OB组成的图形记为W；

①点£（1,1），6（3,1）©（-3,2）中，图形W的"相合点"是

②点般在直线y=f+3上，且点M为图形W的"相合点"，求点”的横坐标机的取值

范围；

⑵。的半径为「，直线y=-gx+3T与X轴，y轴分别交于点E,F,若在线段跳'上

存在。外的一点尸，使得点尸为。的相合点，直接写出厂的取值范围.

【答案】⑴①C1,c2)C3；②一3〈〃区0或1

【分析】本题主要考查点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系，坐标与图形：

(1)根据点c是图形W的“相合点”的定义结合图形判断即可.

(2)如图2中，图形W的“相合点”的分布情形：①在第一象限，矩形。印式上或内

部.②在第二象限，矩形加上或内部.③第四象限，矩形DOEN上或内部.结合

图形判断即可.

(3)如图3中，以。为圆心，3r为半径作圆，当直线了=-1^+3-厂与图中圆环有交

点时，满足条件.求出几种特殊情形的厂的值，即可判断.

【详解】(1)解：①如图，观察图象可知G是DE的中点，。是FCs的中点.Q是DB

的中点，故图形W的“相合点〃是G,J,G.

故答案为：G，C”C3.

②如图，图形W的“相合点”的分布情形:

①在第一象限，矩形。〃尸。上或内部.

②在第二象限，矩形小7。上或内部.

③第四象限，矩形DOEN上或内部.

结合图形可知，直线，=-尤+3上图形W的“相合点的横坐标为-34〃叱0或;

（2）解：如图，以。为圆心，3r为半径作圆，当直线y=-3x+3-x与图中圆环有交

3

当直线》=-。犬+3-x在第一象限与大圆相切时，则孝（3一厂）=3/，

解得，r=^hl,

当直线y=_*+3r经过小。）时，一%+3T=0,解得一三衿,

观察图象可知，满足条件的「的值为：巫江4厂＜21,

112

当直线y=-1x+3-x经过（-八。）时，gr+3-r=0,解得r=9+；6~,

结合图象可知，满足条件的『的值为：彳匕芋,j%芋.

6.（2024•江苏无锡•二模）【教材呈现】如图，在一ABC中，点。、E分别是"与AC的

【感知】如图1,在矩形A5CD中，点。为AC的中点，点M为边上一动点，点N

为8C的中点，连结跖V、OM、ON.MN//AC,NOW与NOWM的数量关系是

【应用】如图2,在Rt^ABC中，ZABC=90°,AB=BC=4,AD,CE是Rt^ABC的中

线，M、N分别是AD和CE的中点，求MN的长；

【拓展】如图3,在平行四边形A5CD中，点E为A3边上一点，连接CE,点P在CE

上，BE=EP=CP=2,点G是皮的中点，连接AG交8C于点R若点R为"的中

4P

点，ZFGP=60°,连接AP,求标的值.

nC

【答案】感知：ZOMN+ZONM=90°

应用：72

拓展：学

14

【分析】(1)证明四边形丽。是平行四边形，从而证得四边形8MON是平行四边形,

继而说不得四边形8MoN是矩形，则/MON=90。，即可得NOAW+/QVM=90。；

(2)连接DN,并延长ON交AC于点先由勾股定理求得AC=40,利用三角形中

位线的性质可证得。尸=DC=2,由勾股定理求得尸C=20,从而得A尸=20,由三角

形中位线的性质可求得=0;

(3)连接力"作8"1_CE交CE延长线于H,PGV是等边三角形，利用等边三角形

的性质与解直角三角形求得BC=26，再证明△河是等边三角形，△也是直角三

角形，求得4尸=百，代入即可求解.

【详解】解：感知：如图，

,・・点。为AC的中点，点N为BC的中点，

ON//AB,ON=-AB,

2

：.MN//AC,即肱V〃AO,

.四边形4W2VO是平行四边形，

ON=AM,

2

•1.AM=BM,

ON=BM,

•1.四边形BMON是平行四边形，

矩形ABC。，

?B90?,

.四边形8MoN是矩形，

ZMON=90°

：.ZOMN+ZONM=90°,

故答案为：ZOMN+ZONM=9Q°.

【定理应用】如图，连接ON,并延长ON交AC于点R

1.,AB=3C=4,ZABC=90°,

：.AC=4&，ZACB=NBAC=45。,

1•,AD.CE是RtA4BC的中线，

AE=BE=2,BD=CD=2,

,・,点〃、N分别是AD和CE的中点，

DN=-BE=1,DNAB,MN=~AF,

22

ZFDC=ZABC=90°,ZDFC=ABAC=45°,

ZDFC=/DCF=45。,

DF=DC=2,

.FC=2A/2,

AF=2A/2,

.MN=yf2,

【拓展】连接尸尸，作而，CE交CE延长线于如图,

BE=EP=CP=2,

P是CE的中点，CE=4

若点R为BC的中点，

PF//AB,PF=：BE=1,

,•,点G是£P的中点，

PG=-EP=\,

2

PG=PF,

■：ZFGP=60°,

：PG尸是等边三角形，

ZGPF=60°,

PF//AB

：.ZBEH=ZGPF=60°,

在RtABE“中，EH=2-cos60°=l,=2-sin60°=,

在RtABCH中，CH=CE+EH=5,

由勾股定理得，BC=y/BH?+CH?=+5。=2不，

■：ZAEG=ZBEH=60°,ZAGE=ZPGF=60°

AAGE=AAGE=ZEAG=60°

/XAEG是等边三角形，

/.AE=AG=EG=1

：.AG=PG=1

：.ZPAG=ZAPG

'：ZPAG-^-ZAPG=ZPGF=60°

/.ZPAG=ZAPG=30°

ZPAE=ZEAG+ZPAG=90°

AP=PE-cos30°=-x^-=y/3,

22

,AP_A/3_V21

【点睛】本题考查三角形中位线的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性

质，解直角三角形，等边三角形的判定与性质.本题属四边形的综合题目，熟练掌握

相关性质与判定是解题的关键.

7.(2024•江苏宿迁•二模)［基础巩固］

(1)如图1,在中，D、E、R分别为ARAC,BC上的点，

ZADE=ZB,BF=CF,”交DE于点G,求证：DG=EG-

［尝试应用］

DF

(2)如图2,在(1)的条件下，连接CD,CG.若CGLDE,CD=6,AE=3,求力

nC

的值：

［拓展提高］

(3)如图3,在YABCD中，/ADO45。，AC与8。交于点。，E为AO上一点，

EG8。交AD于点G,EFLEG交BC于点、F.若NEGE=40。，FG平分NEFC,FG=8,

求3尸的长.

【答案】（1）见解析；（2）|；（3）5+573

【分析】（1）证明AGD^AFB,AFC^AGE,根据相似三角形的性质得到=

tBF

笠GF，进而证明结论；

FC

（2）根据线段垂直平分线的性质求出CE,根据相似三角形的性质计算，得到答案；

（3）延长GE交A3于连接板，过点"作儿于N,根据直角三角形的性质

求出/£FG,求出NMFN=30。，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可.

【详解】（1）证明：:ZADE=ZB,

：.DE//BC,

二AGDsAFB,AFCS'AGE,

.DGAGGEAG

-BF-AF?'FC~~\F，

.DGGE

一~BF~~CF9

,/BF=CF,

：.DG=EG；

（2）解：.「DG=EG,CG1DE,

/.CE=CD=6,

,/DE//BC,

：.AADE^AABC,

,DE_AE_31

-BC-AC-3+6-3；

（3）解：延长GE交A3于连接MF,过点又作于N,

・「四边形ABC。为平行四边形，

OB=OD,ZABC=ZADC=45°,

,/MG//BD,

：.ME=GE,

,：EF1EG,

：.FM=FG=10,

在Rt,G所中，NEGF=40。,

：.2EFG90?40?50?,

,/FG平分/EFC,

/./GFC=/EFG=50。，

'：FM=FG,EF±GM,

：.ZMFE=NEFG=50。,

/./MFN=30。,

：.MN=-MF=5,

2

NF=\/MF2-MN2=573;

1.•ZABC=45°,

BN=MN=5,

BF=BN+NF=5+5y/3.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定、等腰三角形的性质及判定、解特殊的

直角三角形等知识，遵循构第（1）、（2）小问的思路，构造出等腰三角形和特殊的直

角三角形是解决本题的关键.

8.（2024•江苏徐州•二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数＞=-#/+2氐的

图象与x轴分别交于点。、A,顶点为8,连接OB、AB.点。在线段04上，作射线

BD,过点A作AEL射线8。，垂足为点E,以点A为旋转中心把AE按逆时针方向旋转

60。到针，连接E尸.

⑴求点A、B的坐标.

⑵随着点。在线段04上运动.

①连接。尸，NO庄的大小是否发生变化？请说明理由；

②延长FE交0B于点。线段尸尸的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不

存在，请说明理由.

⑶连接。尸，当点尸在该抛物线的对称轴上时，的面积为

【答案】⑴44,0)；2(2,2我

⑵①NOFE的大小不变，理由见解析；②存在，最大值为4,理由见解析；

⑶5即=4+26或4-2右

【分析】(1)将解析式化为顶点式即可求出顶点8的坐标，令y=。，即可求得A的坐

标；

(2)①连接O尸，OAB和△钻产是等边三角形，证明BAE-OAF,得至I」

ZOFA^ZBEA=90°,由此可得NO正的大小不变；②取OA中点Q,以。为圆心，QO

长为半径画圆，证明点尸在。上，证明NOPG=NQ4F,点P为。与OB的交点，即

尸为定点，PF为。的弦，根据圆中最长弦为直径，可得当Pb为。的直径时，尸厂取

得最大值.

(3)设抛物线对称轴与x轴交点为〃，所与与x轴交点为G,连接。尸，证明

.BEAS_FHA,可得力=打，由此可求出可证AVm和一ABE是等腰直角三

AHAF

角，^4DE—a，BD=2^/2+a，AD=da2+8，DH—AD—AH-Ja?+8-2，iSRtABDH

中，利用勾股定理3£>2=£)82+3炉，可求出DE.作尸尸_LAE,FQLBD,可得四边形

瓦斗。是矩形，可求得E尸=Qf=g防，DEF=^DE.QF,即得解.

【详解】(1)y=-*、2B=-*x-2)2+2拒,

二顶点5的坐标为(2,2g),

令y=0,贝!Jy=_^~x2+243x=-^-(x2-4x)=-^~x(x-4)=0,

解得为=。，々=4,

A的坐标为(4,0).

(2)①NOFE的大小不变，理由如下；

连接。尸，如图所示，

AB=7(4-2)2+(0-2A/3)2=4,

0A=4f

，。记是等边三角形，

，ZOAB=60°,

，ZBAE+ZEAO=60°9

以点A为旋转中心把A石按逆时针方向旋转60。到AF

，ZFAE=60°,AE=AF,

，ZOAF+ZEAO=60°,

，ZBAE=ZOAF9

'AB=AO

<NBAE=ZOAF,

AE=AF

•••二BAEMOAF,

ZOFA=ZBEA9

AE±BD,

1.ZOFA=ZBEA=90°9

ZFAE=60°,AE=AF,

「•AAEF是等边三角形，

ZEFA=60°,

ZOFE=ZOFA-ZEFA=30°,

二.NOEE的大小不变.

②存在，

取Q4中点。，以。为圆心，。。长为半径画圆，如图所示,

ZOFA=90°,

.••点P在：。上，

设FP交x轴于点G,

_OAB是等边三角形,

ZBOA=60°,

ZBOA=ZAFE,即NPOG=NAFG,

ZOGP=ZAGF,ZOGP+ZPOG+ZOPG=180°,ZAGF+ZAFG+ZOAF=180°,

NOPG=NOAF,

点尸为。与。8的交点，即尸为定点，

PF为。的弦，

圆中最长弦为直径，

当PF为。的直径时，P打取得最大值,

04=4,

•取得最大值为4.

(3)如图，设抛物线对称轴与X轴交点为“，所与与X轴交点为G,连接止,

一OAB为等边三角形,

AE=AF,ZE4F=60。，

NBAE+NEAH=60。,ZFAH+ZEAH=60°,

ZBAE=ZFAH,

ZBEA=ZFHA=90°,

，,BEASAFHA,

.AEAB

"'AH~^F9

又铉=AF,AB=4,AH=2,

AE4

••『IFR即nAE9=8,

AE=AF=2贬,

HFZAF-AH?=7^=2=AH，BE=^AB2-AE2=742-(2A/2)2=141=AE,

△AHF和一ABE是等腰直角三角形，

设DE=a,BD=2A/2+a，AD=&『+8，DH=AD—AH=y/a2+8—2，

在RtABD”中，

BD2=DH2+BH-,即(20+a)2=(V«2+8-2)2+(2A/3)2,

整理得40a-16=-4，？+8，即岛-4=-J/+8,

两边平方整理得：/-8缶+8=0,

解得a=4夜±2底,

DE=4及土2布＞,

如图，作口_LA£,FQA-BD,

ZPEQ=ZEQF=4EPF=90°,

四边形"尸。是矩形，

又；为等边三角形,

ZAEF=60°,NEFP=30°,

EP=QF=；EF=也,

：.SDEF=1X(4A/2+2V6)XA/2=4+2^,或;x(4&-2n)x夜=4一2』,

综上所述，S.DE尸=4+26或4-2若.

【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，全等三角形的判定及性质，相似三

角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，圆的性质，矩形的性质以及解直角三

角形，熟练掌握、灵活运用各知识点，作出合适的辅助线是解题的关键.

9.(2024•江苏宿迁•二模)如图1,在RtABC中，ABAC=9Q°,AB=AC=6拒,点。

为BC的中点；动点P以每秒2个单位长度的速度从点3出发沿线段BC运动，点。同时

在线段AD上运动，运动过程中始终保持。。=尸刀，当点尸到达点C时运动就停止，设

运动的时间为f秒，连接4尸、BQ.

⑴当点P在线段3D上时，求证：ZPAD=ZQBD.

⑵当射线2。将RtABC分成面积相等的两部分时，求点？运动的时间心

⑶如图2,设射线8。与线段AP的交点为G,求点尸在从8向C运动的过程中，点G所

走过的路径长.

【答案】⑴见解析

⑵仁2或4

⑶30+述兀

2

【分析】(1)证明皿乌即Q(SAS),即可得证；

(2)设8。交AC于点E,过点E作斯13C于点F,根据射线BQ将Rt-ABC分成面积

相等的两部分得出AE=EC=gAC=30,进而求得的长，根据

1211/£8尸=13/08。求得0。，即可得出PO=OQ=2,进而分类讨论，即可求解；

(3)分当尸在8。上运动时，当尸在3。上运动时，点G在。D上运动，当尸在0c上运

动，G点在AO上运动，分别求得O2AD的长，即可求解.

【详解】（1）在RtABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点。为8C的中点,

.1.AD=BD,ZADP=ZBDQ,

又•「PD=PQ,

：.AD尸乌BDQ（SAS）,

ZPAD=ZQBD.

（2）解：如图所示,

设3。交AC于点E,过点E作跖13c于点尸,

•••ABC是等腰直角三角形，

.NC=45。，BC=3AB=12,则3£>=6,

.•一EFC是等腰直角三角形，

•••射线8。将RtABC分成面积相等的两部分

AE=EC=-AC=3^/2

2

EF=FC=—EC=3

2

BF=BC—FC=12-3=9

,：tanZEBF=tanZQBD

.QDEF

…BD-BF

•/PD=DQ=2

4

/.BR=BD-PD=6-2=4,贝|p=]=2

o

BP2=BD+PD=6+2=8,贝lp=]=4

A当射线BQ将Rt.ABC分成面积相等的两部分时，求点尸运动的时间7=2或4

(3)解：当尸在3。上运动时，如图所示,

连接OG并延长交A3于点。，

Z\ADPQZ\BDQ

：,ZPAD=ZQBD

又ZDR4=ZZMB=45°

NGAB=NGBA

GA^GB

又DA=DB

..GZ)垂直平分AB,

0D垂直平分AB

OD=-AB=3y/2

2

当尸在2。上运动时，点G在。。上运动,

如图所示，当尸在OC上运动，

同理可得AADP咨ABDQ

ZPAD=ZQBD

^ZPAD=ZQBD=a

ZBAG=ZBAD+a=45°+a,ZABG=45°-a

：.ZAG3=90。，

又ZADB=90°

AG,D,B四点共圆，且圆心为。

G点在AO上运动,

3A/2

=­x.x3^=--------71

AD2

综上所述，点G所走过的路径长为出斗兀.

【点睛】本题考查了求弧长，直角所对的圆周角是直径，全等三角形的性质与判定,

正切的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键.

10.（2024•江苏常州•二模）给出如下定义：点尸&,%）,点QK，%）是平面直角坐标系

xOy中不同的两点，且玉片々，若存在一个正数左，使点尸、。的坐标满足

昆-乂|=*2-4，则称尸、。为一对“斜关点"，人叫点儿。的“斜关比"，记作

k（P,Q）.由定义可知，k（P,Q）=k（Q,P）.例如：若尸（1,0）,<|-0=||3-1|,

所以点尸、。为一对“斜关点"，且"斜关比"为

4

如图，已知平面直角坐标系MV中，点A（l,0）、3（3,1）、C（3,0）、0（3,-3）.

⑴在点A、B、C、。中，写出一对“斜关点”是,此两点的“斜关比”是

（只需写出一对即可）.

⑵若存在点E,使得点A、E是一对“斜关点"，点C、E也是一对“斜关点”，且

k（A,E）=k（C,E）=2,求点E的坐标.

⑶若。的半径是4,“是。上一点，满足MT=1的所有点T,都与点。是一对“斜关

点〃，且可7,021.请直接写出点"横坐标优的取值范围.

【答案】⑴A、B,1（答案不唯一）

⑵点E的坐标为（2,2）或（2,-2）

人\声-屈V

(3)--------<m<2

2

【分析】本题考查圆的综合应用，解题的关键是弄清楚新定义，熟练掌握圆与直线的

关系，绝对值方程的解法，数形结合.

(1)根据定义通过计算求解即可得到答案；

(2)设E(x,y),由根据“斜关点”定义列方程求解即可得到答案；

(3)作直线。满足与两轴的夹角为45。，在直线。右侧作直线6〃。且与。相距一个单

位，设6交：。于点尸，连接OP,作轴于点交。于G,作尸/_L。于F,设直

线x=2交。于。，以尸、。为圆心，1为半径作圆，则两圆分别与直线。和x=3相切，

利用勾股定理求出。尸，再设OH=x=GH,利用。尸列出方程，求出的，即可求解；

【详解】(1)解：满足卜-刈=%民-即的左为正数，

，|%-乂上。，上一为上。，

y产为，%二%,

点4(1,0)、3(3,1)、C(3,0)、0(3,-3),

二只能是A与8或A与。形成“斜关点”，

当A与8形成“斜关点"时，"0|=左|3-1|,

k=—,

2

故答案为：A,B,1(答案不唯一)；

(2)设点E(x,y),

点A(l,o),C(3,o),点A、E是一对“斜关点"，点C、E也是一对“斜关点”，且

k(A,E)=k(C，E)=2,

|y-0|=2|x-l|,|y-0|=2|x-3|,

|x-1|=归-3|,

解得：x=2,

.•.|y-o|=2,

y=±2,

点E的坐标为（2,2）或（2,-2）；

（3）如图即为。，作直线,满足与两轴的夹角为45。，在直线。右侧作直线且与

。相距一个单位，设b交：。于点尸，连接。P,作尸轴于点H,交。于G,作

Pb，。于P,设直线x=2交。于Q,以尸、。为圆心，1为半径作圆，

两圆分别与直线。和x=3相切,

。点T在以M为圆心，［为半径的圆上,

k（T,D）>l,

，点T需在直线。的右侧（可以在直线“上）,

点T需在x=3的左侧，则满足题意得点加的横坐标应在点尸和点。之间（不与点。重

合）,

PF=l=FG,OP=4,

OF=yJOF^-PF2=>/42-l2=715，

设OH-x—GH,

…OG=Jx?+X2=-s/Zr>

l+y/2x=4l5,

-x=-----

2

，点尸的横坐标为止二叵

2

点。的横坐标为2,

.5/2-5/30.

一-------<m<2.

2

11.(2024•江苏连云港•二模)【问题情境】如图，在,ABC中ZACB=90。，ZASC=3O。，

AC=2,点。是A3的中点，点。，E分别是边CB,AO上的动点，且£>E=AC,以DE

为直角边，在3C上方作RtDEF,使得/£DF=90。，ZDFE=30°,DF与AB交于点、H,

连接

【问题提出】

(1)当£F〃3c时，ZDEB=0；

(2)当/D〃E=75。时，求此时AE的长；

【问题探究】

(3)在点。，E的运动过程中.

①NEB尸的大小是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由；

②四边形DBFE的面积是否存在最大值？若存在，直接写出最大值；若不存在，说明

理由.

【答案】(1)30；(2)AE的长为4-20,详见解析(3)①存在，定值为90。，

②存在，四边形。跳F面积最大值为竽

【分析】(1)由砂〃3c得出/注B=30。，由三角形内角和得出/五瓦>=60。，进而即可

得解；

(2)过点E作交3C于点”，由已知得出/EDC=45。，由三角函数得出后“，

BE,AB,即可得解；

(3)①由先判定四点其圆，再利用圆周角定理即可得解；②过点E作劭8c交BC

于点”，过点尸作引交C5的延长线于点N,设BN=b,EM=a,用含Q,~的式

子表示出S9,再利用二次函数的性质得出S晒最大值，进而即可得解.

【详解】(1)/EF//BC,

：.ZABC=ZFEB=30°,

/ZEDF=9009ZDFE=3Q0,

：.ZFED=90°-30°=60°,

/.ZDEB=ZDEF-ZFEB=60°-30°=30°,

故答案为：30；

(2)如图，过点E作石交5C于点"，

/ZDHE=75°,NED尸=90。，

/.ZDEH=1800-ZEDH-ZDHE=180°-90°-15°=15°,

/.ZEr)C=ZDEH+ZABC=15°+30o=45°,

,/DE=AC=2,

/.EM=DE=sin45°xDE=—x2=y/2,

2

EM及h

在Rt班M中，丽心—丁―2y2,

2

AC_2_

在Rt_ABC中，A^=^^=T=4,

2

AE=AB-BE=4-242;

(3)①是个定值，NEB产=90。，理由如下：

,/ZABC=/EFD=30。,

..E,D,B,厂四点共圆，

/.ZEBF=ZEDF=90°,

②存在最大值，S四边形最大值为平，理由如下：

过点石作.，5。交BC于点过点R作AVLCB交CB的延长线于点N,没BN=b,

EM=a9

CMDB

,/ZEBF=90°,ZABC=30°,

/.NCB尸=90。+30。=120。，

/.NFBN=180。—120。=60。，

ZBFN=90°-60°=30°,

在Rt_EBM和Rt_FBN中，

tan30°

,/NFDN+ZDFN=90°,AFDN+ZEDM=90°,

/.ZEDM=ZDFN,

,/ZEMD=ZFND=90°,

EMD^,DNF,

EMMDDE_1

一DN~FN~DF~f

EM、MD?=2?=4,

•*-a1+/=4,

/.DB=MB-MD=y/3a-b,

.1.SDBF=BDXFN=£x脂a—4义出b=-鼻眇,

时，SDBF最大，

此时°2+4,

，"=生自（负值已舍）,

7

.,_A/34A/7_2721

••b——x------------------------,

277

巫）也,

止匕时SDBF一与、%=一3X

2222777

X

S四边形OBFE=SDEF+SDBF=_2X2y+SDBF=2A/S+SDBF,

，当SDBF最大时，S四边形DBFE最大,

■,■S四边形DBFE最大值为2\/3+—'j3=".

77

【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，三角函数的应用，四点共圆

的性质，相似三角形的性质，二次函数的性质等知识点，熟练掌握其性质，合理作出

辅助线是解决此题的关键.

12.（2023•江苏宿迁•二模）已知8。是四边形ABCD的对角线，

AB=BC=CD=DA=DB=6.点、E沿A9BOC运动,到达点。时停止运动.点R在线段瓦）

运动，且始终保持斯=座.射线AF交线段QE于点P.

⑴如图1,当点E在线段A3上时;

①求证：ZBAF=ZBDE.

②若AE=AP,求ZEAP的度数.

⑵如图2,若点E在线段BC上；G是线段C。中点，在图2中，仅用无刻度直尺在线

段DE上作出点P.

⑶请求出点P运动的路径长.

【答案】⑴①见解析；②ZE4P=30。

⑵见解析

⑶迫+36

3

【分析】（1）①可证明VABFAD3E,从而ZBAF=ZBDE；

②设ZE4P=x,可表示出N4PE=ZAEP=ZBDF+ZABD=x+60。，在VAPE中，由三角形内角

和定理列出》+2（》+60。）=180。，进而求得结果；

（2）作出点E关于BG的对称点尸，进而得出点?；

（3）可推出PA=PD,从而点尸在AD的垂直平分线上运动，当点E从点A运动到点B

时，点P的运动路径是BG,BG=AB-sinZBAD=6sin60°=373;可推出ZBAF=ZBZJE,从而

点8、A、。、尸共圆，所以点尸在等边三角形ABD的外接圆上。运动，当点E从B运

动到点C时，点P运动的路径是BO,根据弧长公式，进一步得出结果.

【详解】（1）①证明：AB=BD,ZABF=ZDBE,BE=BF,

AAB广乡△£>BE（SAS）,

:.ZBAF=ZBDE-

②解：设㈤P=x,

由（1）知：ABDE=ABAF=x,

AB=DA=BD,

.\ZABD=60°,

.•.ZAEP=ZBDF+ZABD=x+60°,

AE=AP,

:.ZAPE=ZAEP=x+^°,

在V"E中，由三角形内角和定理得，

X+2（%+60。）=180。，

."=30°,

.\ZEAP=30°；

(2)解：如图1,

图1

(I)连接BG,交DE于点。，

(II)连接CO,并延长CO,交BD于点F,

(HI)作射线AF,交DE于点P,

则点尸就是所求作的点；

当点E在A2上时，

由（1）知：ZBAF=ZBDE,

AB=DA=BD，

:.ZBAD=ZBDA=60°,

:.ZBAD-ZBAF=ZBDA-ZBDF,

.\ZPAD=ZPDA,

.\PA=PD,

点P在AD的垂直平分线上运动，

当点E从点A运动到点B时，点尸的运动路径是BG,BG=ABsinZBAD=6sin60°=3^,

如图3,

图3

AB=BC=CD=DA=DB=6,

ZCBD=ZABD=60°,

BF=BE,

AABF学△QBE(SAS),

:.ZBAF=ZBDE,

，点8、A、D、P共圆，

二点尸在等边三角形4步的外接圆上。运动，

当点E从8运动到点C时，点P运动的路径是2。,

连接。3,0D,作于点

:.BH=DH=-BD=3,

2

ZBOD=2ZBAD=120°,

,,,/,—120小26—4石万,

BD1803

，点尸运动的路径长为：警+36.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，

确定圆的条件，弧长公式等知识，解决问题的关键是分类讨论，找出点P的运动路

径.

13.（2023•江苏镇江•二模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的

点，则称该点为这个函数图像的“平衡点”.例如，点（-M）是函数丫=》+2的图像的"平

衡点

⑴在函数①y=-x+3,②y=],③y=*+2x+l,④y=f+x+7的图象上，存在“平

衡点"的函数是;（填序号）

4

(2)设函数y=；(x>0)与y=2无+6的图象的“平衡点”分别为点A、B,过点A作AC，y

轴，垂足为C当ABC为等腰三角形时，求人的值；

⑶若将函数y=/+2x的图像绕y轴上一点“旋转180。，〃在(0,-1)下方，旋转后的图

象上恰有1个“平衡点”时，求M的坐标.

【答案】⑴③

(2)0或-3或一6+30或-6-3五

⑶川0,-2

【分析】(1)根据"平衡点”的定义进行逐一计算判断即可；

(2)可求A(2,-2),①当C为等腰三角形的顶点时，CA=CB,此时8在以

22

C圆心，C4长为半径的圆周上，由一丁+。一2一=4进行求解即可；②当A为等腰三角

形的顶点时，AC=AB,此时3在以A圆心，AC长为半径的圆周上，由

22

-1-2+。+2一=4进行求解即可；③当B为等腰三角形的顶点时，BA=BC,此时B在

h

AC的垂直平分线上，由-■!=：!进行求解即可.

(3)设(m<-l),先将抛物线向上平移同个单位得卜=/+2》-加，再将

y=M+2x-根绕原点旋转180。得：一y=(—尤)2—2%—加，即：y=-x2+2x+m.,

然后将y=-*+2x+"?向下平移|同个单位得y=-Y+2x+2加为y=炉+2x绕M(0,〃。旋转

180。后函数解析式；由A=0,进行求解即可.

【详解】(1)解：①-x+3,

:,x+y=3,

故此函数不存在“平衡点”；

②当元+y=0时，y=-x,

3

、丁

3

一二一％，

x

/.炉=—3,

故此函数不存在"平衡点

③当无+y=0时，y=-x,

.y=—f+2x+1,

/.—x~+2x+1=—x,

整理得：X2-3X-1=0,

A=(-3)2-4X(-1)

=13>0,

,此方程有两个不相等的实数根,

,此函数存在“平衡点”；

④当无+y=0时，y=-x,

y=x2+x+l,

x~+x+7=-x，

整理得：X2+2X+7=0,

A=22-4X7=-24<0

,此方程无实数根，

，此函数不存在"平衡点";

故答案：③.

(2)解：当x+y=O时，y=-x,

4

,=一'(%>。)，

4

/.—=—X,

x

解得：%=2,x?=-2(舍去)，

.>*y=—=-2,

2

・•・4(2,-2),

同