圆和旋转压轴题解题技巧与近几年中考试题

如何短时间突破数学压轴题

还有不到一个月的时间就要进行期中考试了，期中考试的重要性不必多说。各区期中考

试的范围相信学生们都已经非常清楚。

个人觉得现在大部分学生的困难在于旋转、圆，由于时间比较紧张，给大家一些复习资料和

学习方法，希望能够帮到大家。

一、旋转：

纵观几年的数学试卷，最难的几何题几乎都是旋转，在此给出旋转中最常见的几何模型

和一些解题技巧。

旋转模型：

1、三垂直全等模型

三垂直全等构造方法：从等腰直角三角形的两个锐角顶点出发向过直角顶点的直线作垂线。

2、手拉手全等模型

手拉手全等基本构图:

EE

3、等线段、共端点

(1)中点旋转(旋转180。)(2)等腰直角三角形(旋转90。)

C

D'

(3)等边三角形旋转(旋转60。)(4)正方形旋转(旋转90。)

4、半角模型

半角模型所有结论：在正方形ABCD中，已知E、F分别是边BC、CD上的点，且满足

ZEAF=45°,AE.Af分别与对角线8。交于点M、N.求证：

(1)BE+DF=EF-,

;

⑵ABE+^AAOF=SAAEF

(3)AH=AB；

(4)C^EC=2AB-,

(5)BM?+DN2=MN2；

(6)△DNFsAANMsAAEFs△BEM；相似比为1：6(由△AMN与△AEF的高之比AO：

AH=AO：AB=1：J,而得到);

(7)5AAMN=S四边形MNFE-,

(8)AAOM^AADF,AAONsAABE；

(9)/AEN为等腰直角三角形，ZAEN=45°.(1.ZEAF=45°；2.AE：AN=T：)

解题技巧：

1.遇中点，旋180°,构造中心对称

例：如图，在等腰△A8C中，A8=AC,ZABC=a,在四边形3OEC中，DB=DE,

ZBDE=2a,M为CE的中点，连接AM,DM.

⑴在图中画出△£>£■”关于点M成中心对称的图形;

(2)求证：AM±DM;

(3)当a=时，AM=DM.

［解析］⑴如图所示；

⑵在⑴的基础上，连接40,AF

由⑴中的中心对称可知，ADEM迫AFCM,

：.DE=FC=BD,DM=FM,ADEM=ZFCM,

ZABD=ZABC+ZCBD=a+3600-ZBDE-ADEM-NBCE

=36Q°-a-ZDEM-ZBCE,

ZACF=360°-NACE-ZFCM=360°-a-ZBCE-ZFCM

：.ZABD=ZACF,

八ABD名△ACT,：.AD=AF,

DM=FM,：.AMVDM.

⑶a=45°.B

2.遇90°。旋90°,造垂直;

例：请阅读下列材料：

已知：如图1在RtAABC中，ZBAC=90。，A8=AC,点。、E分别为线段8c上

两动点，若/ZME=45。.探究线段30、DE、EC三条线段之间的数量关系.

小明的思路是：把AAEC绕点A顺时针旋转90。，得到AA8EL连结ED,

使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题：

⑴猜想80、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；

⑵当动点E在线段BC上，动点。运动在线段CB延长线上时，如图2,其它条件

不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明.

［解析］(1)DE2=BD2+EC2

证明：根据AAEC绕点A顺时针旋转90°得到AABE'

：.AAEC9\ABE'

：.BE'=EC,AE'=AE,ZC=NABE',ZEAC=NE'AB

在RtAABC中

•/AB=AC

ZABC=ZACB=45°

ZABC+ZABE'=90°

即/EBD=90°

E'Bi+BDi=E'Di

又：ZDA£=45°

/•ZBAD+ZEAC=45°

/.ZE'AB+ZBAD=45°

即ZE'AD=45°

AAED0AAM

DE=DE'

DE2=BDz+EC2

⑵关系式z)E2=8r)2+EC2仍然成立

证明：将AAOB沿直线对折，得A4FO,连FE

：.MFD丝kABD

：.AF=AB,FD=DB

ZFAD=ZBAD,ZAFD=ZABD

又：A8=AC,/•AF=AC

"：ZFAE=ZFAD+ZDAE=ZFAD+45°

ZEAC=ABAC-ZBAE=90°-(ZDAE-ZDAB)=45°+/DAB

：.ZFAE=ZEAC

又：AE=AE

：.\AFE学\ACE

：.FE=EC,ZAFE=ZACE=45°

ZAFD=ZABD=180°-ZABC=135°

/.ZDFE=ZAFD-ZAFE=135°-45°=90°

/.在RtADFE中

DF2+FE2=DE2即DEI=BD1+EC2

3.遇60°,旋60°,造等边；

例：已知:在AABC中，BC=a,AC=b,以AB为边作等边三角形ABD.探究下列问题：

(1)如图1,当点D与点C位于直线AB的两侧时，a=b=3,且NACB=60°,则

CD=；

(2)如图2,当点D与点C位于直线AB的同侧时，a=b=6,且/ACB=90°,则

CD=；

(3)如图3,当NACB变化,且点D与点C位于直线AB的两侧时，求CD的最大值及相

图1图2图3

解：⑴34；.................................r

(2)3x/6372；.................................2'

(3)以点D为中心，将ADBC逆时针旋转60°,则点B落在点A,点C落在点E.联结

AE,CE,

；.CD=ED,ZCDE=60°,AE=CB=a,

••.△CDE为等边三角形，

->.CE=CD..................................4'

当点E、A、C不在一条直线上时，有CD=CE〈AE+AC=a+b；

当点E、A、C在一条直线上时，CD有最大值，CD=CE=a+b；

此时NCED=NBCD=NECD=60°,AZACB=120°,................7'

因此当/ACB=120°时，CD有最大值是a+b.

4.遇等腰，旋顶角。

综上四点得出旋转的本质特征：等线段，共顶点，就可以有旋转。

图形旋转后我们需要证明旋转全等，而旋转全等中的难点在于倒角，下面给出旋转倒角

模型。

二、圆

1、所给条件为特殊角或者普通角的三角函数时；

(1)特殊角问题或者锐角三角函数问题，必须有直角三角形才行，如果题目条件中

给的特殊角并没有放入直角三角形中时，需要构造直角三角形。

构造圆中的直角三角形，主要有以下四种类型：

①利用垂径定理；②直接作垂线构造直角三角形；

③构造所对的圆周角;④连接圆心和切点;

(2)另外，在解题时，还应该掌握的一个技巧就是，利用同弧或等弧上的圆周角相等,

把不在直角三角形的角，等量代换转移进直角三角形中.

在圆中，倒角的技巧有如下图几种常见的情形：

2、所给条件为线段长度、或者线段的倍分关系时；

(1)因为圆中能产生很多直角三角形，所以可以考虑利用勾股定理来计算线段长度，在

利用勾股定理来计算线段长度时，特别是在求半径时，经常会利用半径来表示其他线

段的长度，常见情形如下；

(2)圆中能产生很多相似三角形，所以经常也会利用相似三角形对应边成比例来计算线

段长度，常见的圆中相似情形如下:

△ADEsAACB△ADEsLBCE△ABD^ACAD^ACBA

△ABC^△ADB△BDC△ABO^AADB^ABDO△ABCsAOBD

注：圆中的中档题目，学校会留很多，在此就不放了，来两道有意思的题目。

8.如图,A5是。直径，弦CD交AB于E,NAEC=45。，43=2.设㈤*,CE?+DE?=y.

下列图象中，能表示y与x的函数关系是的（）

答案：A

8.如图，以G（O,1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两

点，与y轴交于C、。两点，点E为。G上一动点，CF1AE

于歹.当点E从点8出发顺时针运动到点。时，点/所经过的

路径长为

里小小至

A.：兀B.：兀C.［兀D.：兀

2346

答案：B

24.如图.点B，C是蛀唉AD的三等分点,以BC为直径作€＞。，点P是圆上异于

B,C的任意一点，连接PA,PB,PC,PD.

（1）当PB-；PC时，求ianNAPB的值：

（2）当P是熊上异于B,C的任意一点时，求tanNAPB・tan/DPC的值.

7.如图，已知一块国心角为270。的扇形铁皮，用它作一个图链形的烟囱帽（拷埴忽略不

计），回辘底面圆的直径是60cm,则这块扇形铁皮的半径是（）

A.40cmB.50cmC.60cmD.80cm

17.如图，某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半

径的扇形（忽略铁丝的祖细），则所得的扇形ABD的面积为.

21.如图，在AABC中，以BC为■径的圆交AC于点D,ZABD-ZACB.

（I）求证，AB是圆的切签：

（2）若点E是BC上一点，已知BET・UnZAEB-|.AB：BC-2»3.求圆的盅径.

11.如图，AB是。。的直往,弦CD_LAB,ZCDB-3O0.CD-2J5.则阴影部分的面积为（）

15.如图，在半径为3的＞30中，直径AB与弦CD相交于点E,连接AC.BD.gAC-2.则tanD・

A

D

23.如图.AC是0。的越前BC是0。的弦，点P是⑥。外一点,连挎PB、AB.ZPBA-ZC.

(1)求证，PB是00的例统，

(2)连接0P,若0P〃B3且0P-8,©0的半径为2p,求BC的长.

9.如图，四边形ABCD内搀于00.F是力;上一点，且广一/.连接CF并延长交AD的延长或于点

GZzUrm

E.连接AC.若/ABO1050ZBAC-25%则NE的度数为()

A.45°B.50*C.550

24.如图，以RlZkABC的直角道AB为直径作©0.交斛边AC于点D,点E为0B的中点，连格CE并延长

交©0于点F,点F恰好常在公的中点，连搀AF并延长与CB的延长线相交于点G,连挎0F.

Ao

(i)求证cOF-|BG,

(2)SAB-4,求DC的长.

10.如图.RtZiABC的斜边AB与重角甥的直径恰好重合,B点与0刻度姣的一端重合，ZABC-40%射线C

D线点CM动，与量华器外沿交于点D,若射线CD格△ABC分割巴以BC为边的等腰三角形，则点D在篁角器0

上对应的度数是()I

A.40*B.70・C.70。或80・D.80•或140。

17.如图，C为半0S内一点，。为0s心，直径AB长为2cm,ZBOC-60%ZBCO-90%格Z\B0C统明心0

逆时针旋转至△Bgci点C在OA上，则边BC扫辽区域(图中阳影部分)的面积为^_cm2.

23.如图.△ABB1接于❷。，AC为00的直径.PB是o。的切战,B为切点.OP_LBC,垂足为E,交00

于D,连持BD.

(1)求证，BD平分NPBC,

(2)若©0的半径为1・PD-3DE.求0E及AB的长.

11.如图，AB是00的直径，C.D是00上的两点，若NBCD=283则NABD二

21.如图.直角ZiABC内搀于@0,点D是直角Z^ABC斜边AB上的一点,过点D作AB的垂姣交AC于E,

过点C作NECP^NAED,CP交DE的延长线于点P,连结PO交00于急F.

(I)求证，PC是00的切妓，

(2)若PC-3,PF-L求AB的长.

12.如图.AB是OO的直径，C,D是00上的点，且OC〃BD,AD分别与BC,0C相交千点E.F,则下

列结论，

①AD_LBD,©ZAOC-ZAEC,③CB平分NABDi④AF-DF,©BD-20F,⑥△CEFKABED,其中一

定成立的是()

A.②④⑤⑥B.①③@©C.②③④⑥D.①③④⑤

16.如图，AABC是等边三角形，AB-2.分别以A・B.C为05心,以2为半径作况i,则图中阴鬣部分的面积

是

21.如图，过正方形ABCD顶点B,C的€>0与AD相切于点P,与AB、CD分别相交于点E、F,连挎EF.P

(1)求正PF平分NBFD.£

(2)^UnZFBC-|.DF-J5.求EF的长./

17.如图，€>0的半年为2,05心0到直妓1的距蔷为4,有一内角为M。的菱形，当耋形的一边在直选】

上，另有两边所在的直线恰好与③。相切,此时菱形的边长为.

16.如图，半径为1的半图形纸片，按如图方式折登,使时析后半图也的中点M与图心。重自，则图中阴

影部分的面积是.

22.如图，00是AABC的外接图，AE平分NBAC交00于点E,交BC于点D,过点E做直线1〃BC.

(I)判断直线I与◎。的位置关系，并说明理由：

(2)若NABC的平分线BF交AD于点F.求证：BE-EFi

(3)在(2)的条件下，若DE=4,DF-3,求AF的长.

10.如图，点A、B、C是圆。上的三点，且四边形ABC。是平行四边形，OF_LOC交回0于点F,则NBAF

等于()

17.如图，△ABC内樗于00,AB是©。的直径，ZB-30*.CE平分NACB交€)0于E,交AB于点D,连搀A

E,则SAADE】SACDB的值等于()

h|3D.2t3

22.加图，半径为3的OO与RtAAOB的斜边AB坏于点D,交0B于点C,连接CD交・线0A于点E,若N

B-30%则姣段AE的长为.

16.如图，正方形ABCD内接于00,其边长为4,则00的内接正三角形EFG的边长为

22.如图，在ABCE中，点A是边BE上一点，以AB为■径的O。与CE相切于点D,AD〃OC,点F为0

CGOO的交点，连接AF.

(I)求证，CB是00的切线,

(2)eZECB-60%AB-6.求图中阴影部分的面积.

10.如图.AB是e。的切线,B为切点，AC经过点0,与OO分别相交于点D,C.SZACB-30%AB-

则阴彩部分的面积是()

23.如图,A.P.B,C是图上的四个点.ZAPC-ZCPB-60%AP.CB的延长线相交

于点D.

(I)求任：AABC是等边三角形：

(2)若NPAO90,AB-2j3>求PD的长.

11.如图，在Rl^ABC中,ZA-30#.BC-2J3.以直龟边AC为直径作0。交AB于点D,则图中阴髭就分的面

积是()

21.正方形ABCD内接于00.如图所示，在劣弧不上取一点E,连搀DE、BE.过点D作DF〃BE交©0于

nD

点F,连播BF、AF,且AF与DE相交于点G.求证：

(1)四边形EBFD是矩形，

(2)DG-BE.

16.如图.苴战y・W"3与x轴、y轴分别交于点A、B：点Q是以C(0.-I)为圆心、1为半役的国上、

一动点，过Q点的W栽交战段AB于点P,则线鼠PQ的最小是

24.半径为2.5的。。中，直径AB的不同例有定点C和动点P.已知BC,CA-4,3,点P在北上运动，过

nD

点C作CP的垂妓，与PB的延长虢交于点Q.

(1)当点P局点C关于AB对称时，求CQ的长,

(2)当点P运动到G的中点时.求CQ的长；

(3)当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长.

15.如图所示，AABC是®。的内接三角形，AD_LBC于D点，且AC=5,DC-3»AB=40，则。。的直径等

干.

9.如图，A是半径为2。的©0外一点，0A-4,AB是。。的切统，点B是切点，弦BC〃0A,则BC的长为

22.如图，AB是00的直径，NBAC的平分髭AQ交BC于点P,交。。于点Q,已知AC-6,NAQO30度.

（1）求AB的长，

（2）求点P到AB的距离।

<3）求PQ的长.

12.加图，D是半径为R的®。上一点，过点D作的切