高中导数经典知识点及例题讲解

§1.1变化率与导数

1.1.1变化率问题

自学引导

1.通过实例分析，了解平均变化率的实际意义.

2.会求给定函数在某个区间上的平均变化率.

课前热身

1.函数f(x)在区间［%，莅］上的平均变化率为乎=

2.平均变化率另一种表示形式：设/户x—知则手=,表示函

数y=F(x)从X。到x的平均变化率.

•-』

案TO。+/x)—A-O)

4Ax

名师讲解

1.如何理解的含义

表示自变量x的改变量，即』x=X2—豆；/y表示函数值的改变量，即

/y=fix4—AAJ).

2.求平均变化率的步骤

求函数y=F(x)在［豆，x2］内的平均变化率.

⑴先计算函数的增量/尸/UD-/U).

(2)计算自变量的增量/X=E—M

八一/pfX-fXi

(3)得平均变化率丁=---:-2----------.

力XX2-Xx

对平均变化率的认识

函数的平均变化率可以表现出函数在某段区间上的变化趋势，且区间长度越

小，表现得越精确.如函数y=sinx在区间［0,口］上的平均变化率为0,而在

JI

sin——sinO一

［0,不］上的平均变化率为----------=-

在平均变化率的意义中，F(X2)—丹豆)的值可正、可负，也可以为零.但/X

x?X\0.

1

典例剖析

题型一求函数的平均变化率

例1一物体做直线运动，其路程与时间大的关系是S=3大一/.

(1)求此物体的初速度；

⑵求t=0至U1=1的平均速度.

分析方=0时的速度即为初速度，求平均速度先求路程的改变量4S=S(1)

-5(0),再求时间改变量/t=l—0=1.求商弟就可以得到平均速度.

S3t~t2

解(1)由于『=^=3-

.•.当2=0时，％=3,即为初速度.

(2)/S=S⑴一S(0)=3X1—12—0=2

4-1—0=1

—/S2

■=T7=T=2-

・•.从t=0至Ut=l的平均速度为2.

误区警示本题1不要认为方=0时，S=0.所以初速度是零.

变式训练1已知函数F(x)=—f+x的图像上一点(一1,—2)及邻近一点

(一1+」X,—2+Ay),则()

/X

A.3B.3Ax—(A)2

C.3—{Ax)2D.3—x

解析/y=F(—1+/x)—A—1)

=—(-1+Ax)2-\-(—1+Ax)—(—2)

=—(4才)2+3Ax.

Ay—Ax2+3Ax.

/.~~"=—/x~\~3

Ax/x

答案D

题型二平均变化率的快慢比较

例2求正弦函数y=sinx在0到之间及可到丁之间的平均变化率.并比

O32

较大小.

分析用平均变化率的定义求出两个区间上的平均变化率，再比较大小.

JI

解设y=sinx在0到三■之间的变化率为左，则

0

2

JI

sin——sinO八

b3

JIJI

L

JIJI

尸sinx在不到另之间的平均变化率为k,

O乙2

JIJI

sin——sin-1

32—

则k=~=-

2JIJIJI

236

32—3—1

•k\左一>0,

JIJIJI

:.k，k%

JI3JIJI

答：函数"=51般在°到至之间的平均变化率为互,在勺到了之间的平均变

32f332-^/3

化率为,日./

JIJIJI

JIJIJI

变式训练2试比较余弦函数p=cosx在0到《■之间和不■到丁之间的平均变

o。乙

化率的大小.

兀八

――71..COS3-COSO

解设函数y=cosx在0至叼之间的平均变化率是ki,则ki=~

3-0

3

2n,

7T7T

函数y=cosx在1到/之间的平均变化率是k2,

JIJI

COS——cos-

3

则k=~-

2JIJIJI

~2~~3

,：k「k产一六3

印，

・\左>42,

JIJIJI

函数y=cosx在0到？之间的平均变化率大于在R到3之间的平均变化

O。乙

率.

题型三平均变化率的应用

例3已知一物体的运动方程为s(%)=/+21+3,求物体在亡=1到亡=1

十4力这段时间内的平均速度.

3

分析由物体运动方程一写出位移变化量/s—w

解物体在/=1至U这段时间内的位移增量

Js=s(l+^)-s(l)

=[(l+Jr)2+2(l+Jz)+3]-(l2+2X1+3)

=(4)2+4//.

物体在t=l到7=1+//这段时间内的平均速度为

/s⑷2+4/1,

犷At=4+4.

变式训练3—质点作匀速直线运动，其位移s与时间大的关系为s(t)=/+l,

该质点在[2,2+/打(/。0)上的平均速度不大于5,求/力的取值范围.

解质点在[2,2+/6上的平均速度为

—s2+/t—s2

v=-------------------

/t

[2+zlt2+1]-22+1

/t

44t+zlt2

Z7=4+21力

又yW5,.*.4+4tW5.

/t<l,又/分0,

/大的取值范围为（0,1].

§1.1函数的单调性与极值

1.1.2导数的概念

自学引导

1.经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念建立的一些

实际背景.

2.了解瞬时变化率的含义，知道瞬时变化率就是导数.

3.掌握函数/Xx)在某一点两处的导数定义，并且会用导数的定义求一些简

单函数在某一点荀处的导数.

4

课前热身

1.瞬时速度.

设物体的运动方程为S=S(t),如果一个物体在时刻力。时位于S"°),在时

刻io+/力这段时间内，物体的位置增量是/S=S(io+/»—S(t°).那么位置

增量/S与时间增量/力的比，就是这段时间内物体的,即；=

S左)+zlt-St0

当这段时间很短，即/%很小时，这个平均速度就接近时刻大。的速度.」

力越小，y就越接近于时刻功的速度，当［L*O时，这个平均速度的极限r=lim

聋=lim$力。+/；.—5a就是物体在时刻布的速度即为

2.导数的概念.

设函数y=F(x)在区间(a,加上有定义，(a,6),当/x无限趋近0时,

比值手='吊+'：二’";无限趋近于一个常数4这个常数/就是函数

AX/X

/1(X)在点X=a处的导数，记作F(X。)或/|x=Xo.用符号语言表达为「(司)

L平均速度瞬时速度

Ao+/□)一尺0)

2.lim

名师讲解

1.求瞬时速度的步骤

(1)求位移增量/S=S(t+S(t)；

——4S

(2)求平均速度r=—；

5

(4)若极限存在，则瞬时速度r=lim—

2.导数还可以如下定义

fAb+—fXQ

一般地,函数y=F(x)在x=x0处的瞬时变化率是lim

0

=lim丁.我们称它为函数尸/1(x)在x=x。处的导数.记作/(芯)或/|x=

〃X

dx—0

两，即f'(无)=lim--=lim--------------------.

AxAx

dx—0dx—O

3.对导数概念的理解

(1)“导数”是从现实生活中大量类似问题里，撇开一些量的具体意义，单

纯地抓住它们数量上的共性而提取出来的一个概念，所以我们应很自然的理解这

个概念的提出与其实际意义.

(2)某点导数即为函数在这点的变化率.某点导数概念包含着两层含义：

①lim弓上存在，则称/'(x)在x=xo处可导并且导数即为极限值；②limq)

Ax4x

不存在，则称F(x)在x=X。处不可导.

(3)/x称为自变量x的增量，zlx可取正值也可取负值，但不可以为0.

(4)令得zlx=X—Ao，于是

fX—fXQ

f'（吊）=lim-与定义中的/U)=lim

X—Xo

x一画4L0

f两+Ax一fXQ

•意义相同.

4.求函数y=F(x)在点X。处的导数的步骤

⑴求函数的增量：/y=F(x()+4x)—F(面)；

Ay_f苞+Ax—fx

⑵求平均变化率:0

4二/x

⑶取极限,得导数：£(吊)=加生

0

典例剖析

题型一物体运动的瞬时速度

例1以初速度%(口。)竖直上抛的物体，t秒时高度为S1)=%t-^gt2,

求物体在时刻大。处的瞬时速度.

分析先求出/s,再用定义求弟，当/方一0时的极限值.

2

解：/S=诙(ta+/t)—gg(to+/t)—(Voto-jg玲=(vo—gto)/1

6

As1

•••丁)=及—gG>—5g./力

r,As

当/t->0时，乙己—Vo—gto.

故物体在时刻io处的瞬时速度为V-gtQ.

规律技巧瞬时速度V是平均速度U在/1一0时的极限.因此，y=limy=lim

A—0At-0

/S

At,

变式训练1一作直线运动的物体，其位移s与时间大的关系是S=51—

求此物体在t=2时的瞬时速度。

解；/s=5（2+/1）一（2+/2产一（5X2—2?）

=At-{Ae,

As.、

r=lim-r-=lim(1—At)=1.

At

A—0A—

・••物体在t=2时的瞬时速度为1.

题型二求函数在某点处的导数

例2求函数y=5在x=l处的导数.

分析根据导数的定义求导数是求函数的导数的基本方法.

解法1/尸«1+/x—1,

./yAx-1Ax

・•/x/及/xy]l+Ax+1

1

[1+/x+1

Ay11

lim——=lim/:----

Jl+7^+12

1

-2-

・・yX=1

解法2（先求导数，再求导数值）

\Ay=y]x+Ax—^x,

./yNx+/x—也

**AxAx

7

1

y/x+/x+#'

•・yy]x+Ax+y[x24

・・y\x=i-

规律技巧求函数尸Fx在x=x0处的导数有两种方法：一是应用导数定

义；二是先求导数再求导数值.

变式训练2利用定义求函数尸x+'的导数，并据此求函数在k1处的导数.解

X

.../y=(x+/x)+^^—(x+!)

生二L—i―,

Axxx+Ax

,Ay

/.y'=lim——

/x

=lim[l-----------------]

xx-rx

4矛一k0

,I1

••yIx=\=1—P=O.

=Ax——

xx+/x

题型三导数的应用

例3某物体按照s(t)=3/+2t+4的规律作直线运动，求自运动开始到

4s时，物体运动的平均速度和4s时的瞬时速度.

分析解答本题，可先求自运动开始到作时的平均速度Mt)及函数值的增

量自变量的增量/得再利用公式求解即可.

_st4

解自运动开始到ts时，物体运动的平均速度V(t)=――=3t+2+~,

_4

故前4秒物体的平均速度为r(t)=3X4+2+-=15.

由于/s=3(t~\~/t)2+2(t~\~/力)+4—(3方?+2方+4)

=(2+61)/1+3(/t)29

As

.•・下~^=2+6匕+3/t.

8

./s

/.limN^=2+6%.

ALO

/.4s时物体的瞬时速度为2+6X4=26.

规律技巧导数的物理意义：

1若已知位移S与时间力的函数关系s=st,则在右时刻的瞬时

速度V=s'to;

2若已知速度y与时间力的函数关系r=rt,则在花时刻的瞬时

加速度a=v't0.

变式训练3竖直上抛一小球，其位移与时间的关系为力1)=1002—巴

试求小球何时瞬时速度为0(产9.8).

解小球的运动方程为h{t}=100L

/./h=[100(1+/1)一]g(t+At)2}—(100力

Ah

=lim--=100—

At^O

/口100100,、

令A100—g亡=0,得t=---=丁^«10.2(s).

g9.8

因此，小球被上抛10.2s时速度变为0.

L：g(/力2.

100At—gtA

例4已知质点〃按规律s=a/+3(单位：cm)做直线运动，且质点〃在大

=2s时的瞬时速度为8cm/s,求a的值.

分析这是一道逆向思维的题目，知导数s'|厘=8,求系数a,先对s求

导，可得含a的方程.解出a即可.

解zls=a(2+/0*+3—(a•22+3)

=4a•At+a(zlt)2

As

lim2^=1im(4a+a•At)=4a.

A-A—0

依题意有4a=8,.\a=2.

变式训练4已知_f(x)=ax+4且尸(1)=2,求实数a的值.

解zly=Al+^x)—AD

=a(l+Ax)+b-(a+Z?)

=aAx.

9

Ay

/LO4LO

又f（1）=2,a=2.

§1.1函数的单调性与极值

1.1.3导数的几何意义

自学引导

1.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义.

2.会求函数在点（xo,刈）处的切线方程.

课前热身

1.几何意义：F（x）在X=Xo处的导数/（X。）即为/1（X）所表示的曲线在x=

Xo处的切线的斜率，即A=F（Xo）—1im

f吊+Ax-fXQ

•・过点a,a为））的切线方程为

Ax

2.物理意义：如果把函数看作是物体的运动方程（或叫位移公式），

那么导数/（m）表示运动物体在时刻6的速度，即在吊的.即vx.=f'

Ay

（吊）=lim——.

/x

3.如果/"（x）在开区间（a,加内每一点x的导数都存在，那么称f（x）在区间

（a,加内可导.这样对开区间（a,6）内每一个值x,都对应一个确定的导数/

（x）,于是在区间（a,而内/（x）构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数

y=F（x）的,记为,简称为,今后，如不特别指明某

一点的导数，求导数就是指求导函数.

1.y—AAo）=f'（Ao）（X-Xo）

较

2.瞬时速度

13.导函数f'（x）（或/八/）导数

10

名师讲解

1.“函数/1（十）在点X。处的导数”、“导函数”、“导数”三者之间的区别与联

系：

“函数f（x）在点而处的导数”是一个数值；“导函数”简称“导数”，是一

个函数.所以求函数在某点处的导数时，一般是先求出函数的导函数，再计算这

点的导函数值.

2.可以利用导数求曲线的切线方程.由于函数丁=/5）在十=位处的导数,

表示曲线在点月（孙/U））处的切线的斜率.因此，曲线y=f（x）在点PU;/U））

处的切线方程可如下求得：

⑴求出FU）,则/（就就是点夕（如FG））处的切线的斜率.

（2）代入直线的点斜式方程可得切线方程为

y—AAo）=f'（Ao）（X-Ao）.

如果曲线y=F（x）在点PU,H荀））处的切线平行于y轴时（此时导数不存

在），切线方程为X=X0.

典例剖析

题型一求曲线上某点处的切线方程

例1已知曲线C-.y=x.

（1）求曲线。上横坐标为1的点处的切线方程；

（2）第⑴小题中的切线与曲线。是否还有其他的公共点.

分析先求出函数在x=l处的导数，即切线的斜率，然后写出切线

方程，最后列方程看交点个数.

解（1）将x=1代入曲线。的方程得y=L

...切点尸（1,1）.

,Ay

••丁=lim――

0

x+Ax3-x

=lim------:-------

/x

3xAx~\-3xAx2+Ax3

=lim------------;-------------

/x

=lim[3y+3x/x+（4x）1=3x,

O

=

y'IA'=l3.

・•.过夕点的切线方程为y—1=3（X—1）,

即3x—y—2=0.

尸3X~1+1

⑵由＜可得

尸_X3

11

(^―1)(/+x—2)=0,

解得苞=1,泾=—2,

从而求得公共点为/（1,1）或/（一2,-8）.

说明切线与曲线。的公共点除了切点外，还有另外的公共点.

规律技巧先求出函数y=Fx在万=质处的导数，即曲线在该点处的切线

斜率，再由直线方程的点斜式便可求出切线方程.

变式训练1求双曲线y=:在点（；，2）处的切线的斜率，并写出切线方程.

…1

解

y=~X,

11

Ayx+AxX

/.k=lim—-=lim------;------

—11

=1im2।4-=一—2.

x-rxAxx

dx—0

.•.当x=；时，A=—4,...切线斜率为N=-4.

切线方程为y—2=—4（x—；）,

即4^+y—4=0.

题型二求过某点的切线方程

例2求抛物线过点（,6）的切线方程.

分析点份，6）不在抛物线上，先设出切点坐标，求出切线的斜率，利用等

量关系，求出切点坐标，最后写出切线方程.

解设此切线在抛物线上的切点为（两，言），则

,,两+Ax2一岔/,、

y|x=Xo=lim---------------------=lim（2苟+/3）=2荀,

〃x

ZLO

£一6

―^=2荀，即芯一5苞+6=0,解得

5

XL]

吊=2,或吊=3.

12

即切线经过抛物线尸系上的点(2,4),(3,9).

故切线方程分别为

y—4=4(^—2),y—9=6(jr—3),

即4x—或6x—y—'9=0为所求的切线方程.

规律技巧求切线方程时，注意两种说法：一是在某点处的切线方程，此时点

在曲线上，且以此点为切点；二是过某点的切线方程，如本例，此时求解时，首

先要设出切点坐标，然后求解.

17

变式训练2求抛物线/=不^过点(4,/的切线方程.

解设切线在抛物线上的切点为(苞，；点，

1,212

%苟+/x-

••|x^~XQ—1imT

〃x

,11.1

=lim(-Ao+-/x)=-Ao.

dx—0

12_z

.F。4]

,,Xo-4=2X°,

即岔一8不)+7=0,

解得荀=7,或苞=1,

即切线过抛物线上的点(7,¥)，(1,；),

故切线方程分别为

497,、-11,、

y-T=](x—7),或y—i=](x—1),

化简得14x—4y—'49=0,或2x—4y—1=0,

此即所求的切线方程.

题型三导数几何意义的综合应用

例3求曲线尸X?在点⑶9)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积.

分析由题设知切线与两坐标轴围成的三角形为直角三角形，故需求出切线

方程及其在两坐标轴上的截距，代入三角形面积公式计算.

解zly=(3+zlx)2-32

=64x+{Ax)11,

Ay

:.f⑶=lim2一=lim(6+Ax)=6.

/x

/L04L0

13

•••点⑶9)处的切线方程为y—9=6(x—3),

即尸6X一9.

切线与两坐标轴的交点分别为(5,0),(0,-9).

・•.切线与两坐标轴围成的三角形面积为

1327

5=2X2X9="

变式训练3在曲线y=系上求一点P，使过点尸的切线与直线y=4x—5平行.

解设以孙就，

则f'U)=lim

Ax

x-\-AX2-XQ/,、

=lim----Q----------=lim(2吊+Ax)=2x.

/xQ

4L0

由题意可得

2为=4,.\x0=2.

故点尸的坐标为(2,4).

§1.2导数的计算

1.2.1几种常用函数的导数及导数的运算法则

自学引导

1.能根据导数的定义，会求函数/=小尸X,y=x,y=x,y=~,/=胃的

X

导数.

2.能利用给出的基本初等函数的导数公式及导数的运算法则求简单函数的

导数.

课前热身

1.基本初等函数的导数公式.

原函数导函数

(1)F(x)=cf'(x)=________

(2)F(x)=x"(〃GQ)f'(x)=________

(3)f{x}=sinxf'(x)=________

(4)f{x)=cosxf'(x)=________

(5)f(x)=af'(x)=________

14

原函数导函数

(6)f(x)=e"f'(x)=________

(7)F(x)=logaxf'(x)=________

(8)f(x)=lnxf'(x)=________

2.导数的运算法则.

(1)[/(A)±g(x)]'=

(2)[F(X)•g(x)]'=

l.(l)O

(2)nxnl

⑶cos%

(4)-siiix

答

(5)/lna(a>0)

案

⑹e"

1-

⑺加产①且。ND

龊

2.(1)/(x)±g'(x)

答(2)/(x)g(x)+»g,(x)

案(x)g(x)—7(x)g'(x)

(g(x)WO)

[ga)]2

15

名师讲解

(3)公式中〃GQ,但对于公式也成立.

(4)特别注意〃为负数或分数时，求导不要搞错.如

2.两函数和差的求导法则的推广

(1)"(X)土g(x)r-f(X)±g'co

此法则可以推广到有限个可导函数的情形.[f；(x)土石(X)±…±£(x)r=

(x)土五'(X)±",±£/(x).

(2)[af(x)±6g(x)「=af'(x)±bg'(x)(a,6为常数).

3.两函数商的求导法则

fX1f'XgX-fXg'

(g(x)WO),

|_gX」gX

1g'x

当f(x)=1时，则有------'=---2-----(g(x)wo).

|_gx」gx

这是一个函数倒数的求导法则.

4.求导运算的技巧

在求导数中，有些函数表示形式很复杂，直接求导比较困难，但经过化简整

理，有可能很简单，这时再求导可能很简便，也就是说，先把复杂式子化简后再

求导，减少运算量.

题型一求导函数

例1求下列函数的导数.

(l)y=x12；

(2)y=A;

X

(3)y=工.

分析这三个小题都可归为/类，用公式8”=〃x"T完成.

典例剖析

解(1)/=(x“”=12/T=12X”.

⑵/=(5=(尸”-L

16

变式训练1求下列函数的导数.

⑴/1(£)=10：

(2)F(x)=log2x；

⑶g(t)=e1

解⑴F(x)=(10»=10vlnl0.

(2)f'(x)=(log4)'=—

xln2

(3)g,(t)=(e'),=e1

题型二求函数在某点处的导数

例2⑴求函数尸a，,在点尸(3,f(3))处的导数;

(2)求函数y=lnx在点0(5,ln5)处的导数.

分析先按求导公式求出导函数，再求导函数在相应点的函数值.

解⑴•.♦尸a",

/.y'=(/)f=alna,

则L=3=a3lna.

(2)Vy=In^-,/.y'—(Injv)'=-.

x

则_/L=5=1.

o

规律技巧求函数在某定点点在函数曲线上的导数，一般过程是：①先求导

函数；②把定点的横坐标代入导函数求出导数值.

变式训练2求下列函数在某点处的导数.

(l)y=logax,x=2；

JI

(2)y=cosx,jr=—；

(3)y=2x+^/x,x=l；

JI

(4)p=sinx,A-=—

解(1)Vy=loga^,：.y'=^—.

xLna

则y'=

I^=29zl-|na.

⑵•.•_/=cosx,y'=—sinx

,,JIJI\2

则/I_sinY=-2,

17

(3)*/y-2%3+&,y-+—x

119

则/L=I=6+o-=—o

(4)•.•y=sinx,/.y'=cosx

JIJI1

则y'I=cos—=-

题型三利用运算法则求导数

例3求下列函数的导数.

(1)y=x•sinx+cosx；

/、Inx

(2)y=-7；

x十1

(3)f(x)=(/+1)(2T+8^—5)；

分析对于（1）、（2）可以利用公式直接求导，（3）、（4）先化简再求导.

解(l)yz=(*sinx+cos^)'

=(*sinx)'+(COSA)F

=2xsinx+/cosx—sinx

=(2^-1)sin^+^cosx

/、，/Inx、,

⑵「R

~x+1-Inx1—lnjr+-「

xxx—xlnx+1

=x+12-=Hi2=*x+12

⑶・・"(x)=(T+1)(2X+8T-5)

=2x+8y—5^~\-2x+8x—5

f(x)=(2f+8/—5f+2系+8x—5)，

=10y+32系-15/+4x+8.

1+^/^2+221+x_____

1一xxx1一x

44'x—4x

"5)==—2)，

规律技巧运用求导法则和导数公式求可导函数的导数，一定要先分析函数P

=Hx）的结构特征，对于直接求导很繁琐的，一定要先化简，再求导.

18

变式训练3求下列函数的导数.

（1）尸tanx；

,、1,1

⑵尸F中；

XX

（3）y=l+sin-cos-；

x

(4)y-----2X

x+1

—/、sinx

解⑴尸tanx=其嬴,

sinx)/sinxcosx一sinxcosx

••y2

cosxCOSX

cos2x+sin/1

22・

COSXCOSX

2

(2)Vj

x

2-21-x2

••y2・

Xx2X

XX1

(3)Vy=1+sin-cos-=1+-sin^,

(l+；sinx)’1

・・y-COST.

V

⑷一E"3

x+1-X

2,ln2

x+12•

i+r^-2^2-

题型四求切线方程

例4求过点（1,—1）的曲线y=f—2x的切线方程.

分析点（1,—1）虽然在曲线上，但它不一定是切点，故应先求切点.

解设以孙先）为切点，则切线的斜率为/（为）=3/—2,故切线方程为

p-K=（3^—2）（X—XQ）,

即y~（五一2两）=（3^0—2）（x—xo）,

又知切线过点（1,—1）代入上述方程，

得一］一（摩一2五）=（3岔一2）（1一苟）,

解得芯=1,或苟=一也

19

17

，切点为(1,—1)或(一J,«).

Zo

故所求的切线方程为y+1=x—1,

-75/,1、

或y—§=—，

即x—y—2=0,或5^+4y—1=0.

规律技巧1在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点

产处的切线方程和求曲线过点刀的切线方程.在点尸处的切线，一定是以点P为

切点，过点夕的切线，不论点夕在不在曲线上，点刀不一定是切点.

2求过点尸的曲线的切线方程的步骤为：先设出切点坐标为孙先

,然后写出切线方程y—%=/芯x—而，代入点夕的坐标，求出

Ao,y0,再写出切线方程.

变式训练4已知曲线3x,过点(0,16)作曲线的切线，求曲线的切线方

程.

解设切点为(X,%),则切线的斜率

k=y'lx=Xi=34—3,

・••切线方程为尸(3/—3)x+16.

又切点在切线上，

.♦.%=(3^—3)Xi+16.

A?—3AI=(3A?—3)XI+16,

解得Ai=-2.

切线方程为尸9x+16,

即9x—y+16=0

§1.2导数的计算

1.2.2复合函数的导数

自学引导

能利用出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单的复合

函数(仅限于形如Hax+加)的导数.

课前热身

1.复合函数的概念.

一般地，对于两个函数y=F(u)和u=g(x),如果通过变量u,y可以表示成

x的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作

20

2.复合函数尸F(g(x))的导数和函数y=F(u),〃=g(x)的导数间的关系

为.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.

答1.y=Au)u=g(x)y=f(g{x))

案2.y'*=/“-u',

名师讲解

L求复合函数的导数的关键是处理好以下几个环节

(1)中间变量的选择应是基本函数结构；

(2)关键是正确分析出复合过程；

(3)一般从最外层开始，由外及里，一层层地求导；

(4)善于把一部分表达式作为一个整体；

(5)最后结果要把中间变量换成自变量的函数.

典例剖析

2.求复合函数导数的方法步骤

(1)分解复合函数为基本初等函数，适当选择中间变量；

(2)求每一层基本初等函数的导数；

(3)每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数.

题型一复合函数的求导方法

例1求下列函数的导数.

(1)y=(l-3x)4；

(2))/=cosx2；

兀

(3)尸sin(2L1)；

(4)y=dl+f.

分析注意中间变量的选取，分层求导.

21

解(1)令”=1—3x9则y=-匕

ti

1-

.".yu=4M5,u'x=—3.

f—512

--yx=yuUX=12M=(］一3兀)5.

(2)令M=%2,则丁=8$小

•*yfr=y'u'U1为=sinw>2x

=-2xsinx2.

»兀I

(3)令M=2X-则y=sinM,

••y1x=y'wit'x=cosw,2

71

=2cos(2x—2).

1

c2

(4)令"=l+f,则y=",

1

,,,1-2

••y.x=yu'Ux=~^u-lx

2x

规律技巧求复合函数的导数，要分清函数的复合关系，对于分式型的可化

为嘉的形式求导，关键选好中间变量.最后将中间变量代回到原自变量的函数.

变式训练1求下列函数的导数.

,、1

⑴尸l+3x5；

c兀

(2)y=sin(Y——)；

0

(3)y=ln(lnx)；

2

⑷尸"

解⑴令u=l+3x,则y