重庆市某中学2024年中考一模数学试题（含解析）

重庆市渝北中学2024年中考一模数学试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（-1,1）,点B在x轴正半轴上，点D在第三象

限的双曲线y=9上，过点C作©£〃*轴交双曲线于点E,连接BE,则ABCE的面积为（）

A.5B.6C.7D.8

VX

2.若x+y=2,肛=—2,则二+一的值是（）

%V

A.2B.-2C.4D.-4

3.-工的绝对值是()

4

1

A.-4B.-C.4D.0.4

4

4.下列运算结果正确的是()

A.(x3-x2+x)4-x=x2-xB.(-a2)»a3=a6C.(-2x2)3=-8x6D.4a2-(2a)2=2a2

5.如图是一个几何体的主视图和俯视图，则这个几何体是（）

A.三棱柱B.正方体C.三棱锥D.长方体

x<3。+2

6.若关于x的不等式组,无解，则a的取值范围是()

x>a-4

A.a<-3B.a<-3C.a>3D.a>3

7.如图，在△ABC中，EF〃BC,AB=3AE,若S四边形BCFE=16,则SAABC=()

A.B.18C.20D.24

8.下列条件中丕能判定三角形全等的是（)

A.两角和其中一角的对边对应相等B.三条边对应相等

C.两边和它们的夹角对应相等D.三个角对应相等

9.某城2014年底已有绿化面积300公顷,经过两年绿化，到2016年底增加到363公顷，设绿化面积平均每年的增长

率为了,由题意所列方程正确的是（）.

A.300(1+x)=363B.300(1+x)2=363C.300(1+2元)=363D.300(1-%)2=363

10.若关于x的一元二次方程*2-2x+机=0没有实数根，则实数机的取值是（）

A.m<lB.m>-1C.m>lD.m<.-1

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.如图，将△AOB以O为位似中心，扩大得到△COD,其中B（3,0）,D（4,0）,则△AOB与△COD的相似比

为.

12.已知一个正六边形的边心距为若，则它的半径为.

13.如图，小强和小华共同站在路灯下，小强的身高EF=1.8m,小华的身高MN=1.5m,他们的影子恰巧

等于自己的身高，即5尸=L8m,CN=1.5m,且两人相距4.7m,则路灯40的高度是——.

14.如图，△AbCgZkADE,ZEAC=40°,则N5=<

4________

15.如图，点A(m,2),B(5,n)在函数y=^(k>0,x>0)的图象上，将该函数图象向上平移2个单位长度得

x

到一条新的曲线，点A、B的对应点分别为A，、B'.图中阴影部分的面积为8,则k的值为.

16.如图，在边长为1的正方形格点图中，B、D、E为格点，则NBAC的正切值为

三、解答题(共8题，共72分)

17.(8分)解方程

⑴X】-lx-1=0

(l)(x+l)1=4(x-I)1.

18.(8分)如图，已知A3是。。的直径，BCLAB,连结。C,弦AZ>〃OC,直线CZ>交5A的延长线于点E.

(1)求证：直线是。。的切线；

(2)若OE=2BC,40=5,求。C的值.

19.（8分）如图，两座建筑物的水平距离BC为60m.从C点测得A点的仰角«为53。，从A点测得。点的俯角£为37。,

34334

求两座建筑物的高度（参考数据:s%37h—,cos37®,toi37«—,sin53®4,cos53~—?tan35~—）

55453

20.（8分）已知△OHB在平面直角坐标系中的位置如图所示.请解答以下问题：按要求作图：先将△A50绕原点O

逆时针旋转90。得4OAiBlt再以原点O为位似中心，将^Q4131在原点异侧按位似比2：1进行放大得到△OA2B2;

直接写出点Ai的坐标，点4的坐标.

x

21.（8分）下表中给出了变量x,与丫=2*2,y=ax2+bx+c之间的部分对应值，（表格中的符号“…”表示该项数据已丢失）

X-101

ax2・・・・・・1

ax2+bx+c72・・・

（1）求抛物线y=ax?+bx+c的表达式

（2）抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D,与y轴的交点为A,点M是抛物线对称轴上一点，直线AM交对称轴右侧的抛

物线于点B,当△ADM与ABDM的面积比为2：3时，求B点坐标；

（3）在（2）的条件下，设线段BD与x轴交于点C,试写出NBAD和NDCO的数量关系，并说明理由.•

环

5-

4-

3

2

1

-5-4-3-2-1045X

-1

-2

-3

-4

-5

22.（10分）我们常用的数是十进制数，如4657=4x103+6x102+5X10】+7x103数要用10个数码（又叫数字）:

0、Q2、3、4,5、6、7、8,9,在电子计算机中用的二进制，只要两个数码：0和1,如二进制中H0=1x2?+1x2'+0x2°

等于十进制的数6,110101=1X25+1X24+0X23+1X22+0X21+1X2°等于十进制的数53.那么二进制中的数

101011等于十进制中的哪个数？

23.（12分）新定义：如图1（图2,图3）,在AABC中，把AB边绕点A顺时针旋转，把AC边绕点A逆时针旋转,

得到ZkAB，。，若NBAC+NB，AC，=180。，我们称AABC是△AB，。的“旋补三角形”，△ABC的中线AD叫做△ABC

的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”

（特例感知）（1）①若△ABC是等边三角形（如图2）,BC=1,则AD=；

②若NBAC=90。（如图3）,BC=6,AD=；

（猜想论证）（2）在图1中，当AABC是任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并证明你的猜想；

（拓展应用）（3）如图1.点A,B,C,D都在半径为5的圆上，且AB与CD不平行，AD=6,点P是四边形ABCD

内一点，且小APD是小BPC的“旋补三角形”，点P是“旋补中心”，请确定点P的位置（要求尺规作图，不写作法，

保留作图痕迹），并求BC的长.

B_D

BC

图3

24.甲、乙两名队员的10次射击训练，成绩分别被制成下列两个统计图.

甲队反射drtitfMWi乙队良忖砌

并整理分析数据如下表:

平均成绩/环中位数/环众数/环方差

甲a771.2

乙7b8C

(1)求a,b,c的值；分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩.若选派其中一名参赛，你

认为应选哪名队员？

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1、C

【解析】

作辅助线，构建全等三角形：过D作GH，x轴，过A作AGJ_GH,过B作BM^HC于M,证明

△AGD^ADHC^ACMB,根据点D的坐标表示：AG=DH=-x-l,由DG=BM,列方程可得x的值，表示D和E的

坐标，根据三角形面积公式可得结论.

【详解】

解：过D作GH_Lx轴，过A作AG_LGH,过B作BM_LHC于M,

6

设D(x,-),

X

V四边形ABCD是正方形，

.\AD=CD=BC,ZADC=ZDCB=90°,

易得△AGD^ADHC^ACMB(AAS),

・・・AG=DH=-x-1,

.\DG=BM,

6

VGQ=1,DQ=-DH=AG=-x-l,

x

,66

由QG+DQ=BM=DQ+DH得z：

xx

解得x=-2,

6

Z.D(-2,-3),CH=DG=BM=1------=4,

-2

VAG=DH=-l-x=l,

・••点E的纵坐标为-4,

3

当y=-4时，x="—,

.3

・・・E(——,-4),

2

31

AEH=2--=

22

17

/.CE=CH-HE=4--=一,

22

117

:.SCEB=-CE*BM=-x-x4=7；

A222

x

故选C.

【点睛】

考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、反比例函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,

学会构建方程解决问题.

2、D

【解析】

因为(％+y)2=x2+2xy+/,所以/+y=(%十丁了_2刈=22-2*-2=8,因为)+2='+'=—二-4，故选

xyxy—2

D.

3、B

【解析】

分析：根据绝对值的性质，一个负数的绝对值等于其相反数，可有相反数的意义求解.

详解：因为的相反数为!

44

所以的绝对值为5.

44

故选：B

点睛：此题主要考查了求一个数的绝对值，关键是明确绝对值的性质，一个正数的绝对值等于本身，0的绝对值是0,

一个负数的绝对值为其相反数.

4、C

【解析】

根据多项式除以单项式法则、同底数塞的乘法、积的乘方与塞的乘方及合并同类项法则计算可得.

【详解】

A、(x3-x2+x)vx=x2-x+l,此选项计算错误；

235

B、(-a)»a=-a,此选项计算错误；

C、(-2x2)3=-8x6,此选项计算正确;

D、4a2-(2a)2=4a2-4a2=0,此选项计算错误.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握多项式除以单项式法则、同底数塞的乘法、积的乘方与幕的乘方及合并

同类项法则.

5、A

【解析】

【分析】根据三视图的知识使用排除法即可求得答案.

【详解】如图，由主视图为三角形，排除了B、D,

由俯视图为长方形，可排除C,

故选A.

【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，做此类题时可利用排除法解答.

6、A

【解析】

【分析】利用不等式组取解集的方法，根据不等式组无解求出a的取值范围即可.

%<3〃+2

【详解】・・•不等式组（无解，

x>a-4

.*•a-423a+2,

解得：a<-3,

故选A.

【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解集，熟知一元一次不等式组的解集的确定方法“同大取大、同小取小、大小

小大中间找、大大小小无处找”是解题的关键.

7、B

【解析】

【分析】由EF〃BC,可证明AAEFsaABC,利用相似三角形的性质即可求出SAABC的值.

【详解】YEF〃:BC,

.'.△AEF^AABC,

VAB=3AE,

AAE：AB=1：3,

**•SAAEF:SAABC=1:9,

设SAAEF=X,

*«*S四边形BCFE=16,

.X_1

••----——9

16+x9

解得：x=2,

•♦SAABC=18,

故选B.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解本题的关键.

8、D

【解析】

解:A、符合AAS,能判定三角形全等；

B、符合SSS,能判定三角形全等；；

C、符合SAS,能判定三角形全等；

D、满足AAA,没有相对应的判定方法，不能由此判定三角形全等；

故选D.

9、B

【解析】

先用含有x的式子表示2015年的绿化面积，进而用含有x的式子表示2016年的绿化面积，根据等式关系列方程即可.

【详解】

由题意得，绿化面积平均每年的增长率为x,则2015年的绿化面积为300(1+x),2016年的绿化面积为300(1+x)

(1+x),经过两年的增长，绿化面积由300公顷变为363公顷.可列出方程：300(1+x)2=363.故选B.

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的应用，找准其中的等式关系式解答此题的关键.

10、C

【解析】

试题解析：关于X的一元二次方程/一2%+加=0没有实数根，

A=Z?2-4xlxm=4-4m<0,

解得：m>l.

故选C.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11、3：1.

【解析】

VAAOB与4COD关于点O成位似图形，

/.△AOB^ACOD,

则△AOB与△COD的相似比为OB：OD=3：1,

3

故答案为3：1(或7).

4

12、2

【解析】

试题分析：设正六边形的中心是。，一边是A3,过。作。G,A3与G,在直角AOAG中，根据三角函数即可求得

OA.

解：如图所示，

AGJ

在RtAAOG中,OG=J^,NAOG=30°,

AOA=OG^cos30°=73v—=2；

2

故答案为2.

点睛：本题主要考查正多边形和圆的关系.解题的关键在于利用正多边形的半径、边心距构造直角三角形并利用解直

角三角形的知识求解.

13、4m

【解析】

设路灯的高度为x(m),根据题意可得△BEFsaBAD,再利用相似三角形的对应边正比例整理得DF=x-1.8,同理可

得DN=x-1.5,因为两人相距4.7m,可得到关于x的一元一次方程，然后求解方程即可.

【详解】

设路灯的高度为x(m),

VEF//AD,

/.△BEF^ABAD,

.•.巴=",

ADEC

解得：DF=x-1.8,

；MN〃AD,

/.△CMN-^ACAD,

•:

**-%D三？

解得：DN=X-1.5,

•・,两人相距4.7m,

AFD+ND=4.7,

.\x-1.8+x-1.5=4.7,

解得：x=4m,

答：路灯AD的高度是4m.

14、1°

【解析】

根据全等三角形的对应边相等、对应角相等得到NBAC=NDAE,AB=AD,根据等腰三角形的性质和三角形内角和定

理计算即可.

【详解】

VAABC^AADE,

/.ZBAC=ZDAE,AB=AD,

/.ZBAD=ZEAC=40°,

/.ZB=(180°-40°)+2=1°,

故答案为1.

【点睛】

本题考查的是全等三角形的性质和三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键.

15、2.

【解析】

试题分析：•••将该函数图象向上平移2个单位长度得到一条新的曲线，点A、B的对应点分别为A，、BS图中阴影部

分的面积为8,...5-m=4,m=2,.,.A(2,2),.".k=2x2=2.故答案为2.

考点：2.反比例函数系数k的几何意义；2.平移的性质；3.综合题.

3

16、一

4

【解析】

根据圆周角定理可得NBAC=NBDC,然后求出tanZBDC的值即可.

【详解】

由图可得，ZBAC=ZBDC,

•/0O在边长为1的网格格点上，

.♦.BE=3,DB=4,

,BE3

贝n!)tanNBDC=——=一

DB4

3

**.tanZBAC=—

4

3

故答案为:

【点睛】

本题考查的知识点是圆周角定理及其推论及解直角三角形，解题的关键是熟练的掌握圆周角定理及其推论及解直角三

角形.

三、解答题(共8题，共72分)

17、(1)xi=l+^3>xi=l-百；(1)xi=3,xi=g.

【解析】

⑴配方法解；

⑴因式分解法解.

【详解】

(1)X1-lx-1=2,

X1-lx+l=l+l,

(X-1)1=3,

X-1=±A/3，

x=l±73，

X1=1+^,Xl=l-不，

(1)(x+1)1=4(x-1)1.

(x+1)i-4(x-1)l=2.

(x+1)1-[1(x-1)F=2.

(x+1)1-(lx-1)l=2.

(x+1-lx+1)(x+l+lx-1)=2.

(-x+3)(3x-1)=2.

1

xi=3,xi=—.

3

【点睛】

考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程.

18、(1)证明见解析；(2)二二二三.

【解析】

试题分析：(1)首选连接OD,易证得ACODgACOB(SAS),然后由全等三角形的对应角相等，求得NCDO=90。,

即可证得直线CD是。O的切线；

(2)由ACODg^COB.可得CD=CB,即可得DE=2CD,易证得△EDAsaECO,然后由相似三角形的对应边成

比例，求得AD：OC的值.

试题解析：(1)连结DO.

.,.ZDAO=ZCOB,ZADO=ZCOD.

又；OA=OD,

ZDAO=ZADO,

.,.ZCOD=ZCOB.3分

XVCO=CO,OD=OB

/.△COD^ACOB(SAS)4分

/.ZCDO=ZCBO=90°.

又•.•点D在。O上，

CD是。。的切线.

(2)VACOD^ACOB.

/.CD=CB.

VDE=2BC,

/.ED=2CD.

VAD/7OC,

/.△EDA^AECO.

•.•-.I-D---=-D--E-=—2f

OCCE3

15

考点：1.切线的判定2.全等三角形的判定与性质3.相似三角形的判定与性质.

19、建筑物AB的高度为80nl.建筑物CD的高度为35加.

【解析】

分析：过点。作Z>E_LA5于于E,则OE=3C=6（hn.在RtAABC中，求出A3.在RtAADE中求出AE即可解决问

题.

详解：过点。作于于E,贝!JOE=BC=60m,

ABAB4

在R3A3C中,tan53°=-----，:.-----=—,.•.43=80(m).

BC603

AE3AE

在RtAAZJE中,tan37°=-----，:.——------，A.E=45(m),

DE460

：.BE=CD=AB-AE=35Cm).

答：两座建筑物的高度分别为80m和35m.

点睛：本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关

键.

20、（1）见解析；（2）点Ai的坐标为：（-1,3）,点人2的坐标为：（2,-6）.

【解析】

（1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；

（2）利用（1）中所画图形进而得出答案.

【详解】

（1）如图所示：△OAiBi,△OA2B2,即为所求；

VA

(2)点Ai的坐标为：(T,3),点的坐标为：(2,-6).

【点睛】

此题主要考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键.

21、(1)y=x2-4x+2；(2)点B的坐标为(5,7)；(1)NBAD和NDCO互补，理由详见解析.

【解析】

(1)由(1,1)在抛物线尸上可求出.值，再由(-1,7)、(0,2)在抛物线y=x2+%x+c上可求出氏c的值，此

题得解；

(2)由AAOM和ABOM同底可得出两三角形的面积比等于高的比，结合点A的坐标即可求出点8的横坐标，再利

用二次函数图象上点的坐标特征即可求出点B的坐标；

⑴利用二次函数图象上点的坐标特征可求出4、£＞的坐标，过点A作AN〃x轴，交50于点N,则

根据点5、D的坐标利用待定系数法可求出直线BD的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点N的坐标,

利用两点间的距离公式可求出5A、BD、的长度，由三者间的关系结合可证出△

根据相似三角形的性质可得出NAN3=NZM3,再由NANB+NANZ)=120。可得出NZM3+NOCO=120。，即NRW和

ZDCO互补.

【详解】

(1)当x=l时，y=ax2=l,

解得：a=l；

将(-1,7)、(0,2)代入y=x2+bx+c,得：

「2,解得卜,

1c=2Ic=2

二抛物线的表达式为y=x2-4x+2；

(2),.,△ADM和ABDM同底，且△ADM与△BDM的面积比为2：1,

•••点A到抛物线的距离与点B到抛物线的距离比为2：1.

,/抛物线y=x2-4x+2的对称轴为直线x=-U=2，点A的横坐标为0,

...点B到抛物线的距离为1,

二点B的横坐标为1+2=5,

点B的坐标为(5,7).

(1)NBAD和NDCO互补，理由如下:

当x=0时，y=x2-4x+2=2,

.•.点A的坐标为(0,2),

Vy=x2-4x+2=(x-2)2-2,

.,.点D的坐标为(2,-2).

过点A作AN〃x轴，交BD于点N,贝！|NAND=NDCO,如图所示.

设直线BD的表达式为y=mx+n(m^O),

将B(5,7)、D(2,-2)代入y=mx+n,

ITH3

:m解得:n=-8,

J直线BD的表达式为y=lx-2.

当y=2时，有lx-2=2,

解得：X=芈，

.••点N的坐标为(学2).

VA(0,2),B(5,7),D(2,-2),

/.AB=5V2»BD=1V1O，BN=^^,

3

・BN_BA_V5

••—――------.

BABD3

XVZABD=ZNBA,

.•.AABD^ANBA,

AZANB=ZDAB.

VZANB+ZAND=120°,

:.ZDAB+ZDCO=120°,

:.ZBAD和NDCO互补.

【点睛】

本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数和一次函数解析式、等底三角形面积的关系、二次函数的图像

与性质、相似三角形的判定与性质.熟练掌握待定系数法是解(1)的关键；熟练掌握等底三角形面积的关系式解(2)

的关键；证明△ABOsaNBA是解(1)的关键.

22、1.

【解析】

分析：利用新定义得到101011=1x25+0x24+1x23+0x22+1x21+1x2。，然后根据乘方的定义进行计算.

详解：101011=1X25+0X24+1X23+0X22+1X21+1X20=1,

所以二进制中的数101011等于十进制中的1.

点睛：本题考查了有理数的乘方：有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方.

23、(1)①2；②3；(2)AD=BC；(3)作图见解析；BC=4；

【解析】

(1)①根据等边三角形的性质可得出AB=AC=1、ZBAC=60,结合“旋补三角形”的定义可得出AB，=AC，=1、

NB，AC，=120。，利用等腰三角形的三线合一可得出NADC，=90。，通过解直角三角形可求出AD的长度；

②由“旋补三角形”的定义可得出NB，AC=90o=NBAC、AB=AB\AC=AC\进而可得出△ABC之△ABC(SAS),

根据全等三角形的性质可得出BC，=BC=6,再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出AD的长度；(2)

AD=.BC,过点B，作B，E〃AO,且B，E=AC。连接C，E、DE,则四边形ACC，B，为平行四边形，根据平行四边形的性

质结合“旋补三角形”的定义可得出NBAC=NAB，E、BA=AB\CA=EB%进而可证出ABAC^^AB'E(SAS),根据

全等三角形的性质可得出BC=AE,由平行四边形的对角线互相平分即可证出AD=BC；(3)作AB、CD的垂直平分

1

线，交于点P,则点P为四边形ABCD的外角圆圆心，过点P作PFLBC于点F,由(2)的结论可求出PF的长度,

在R3BPF中，利用勾股定理可求出BF的长度，进而可求出BC的长度.

【详解】

(1)①:△ABC是等边三角形，BC=1,

AAB=AC=1,ZBAC=60,

AABr=ACr=l,ZBrACr=120°.

VAD为等腰△AB，C的中线，

・・・AD_LBC,ZCr=30°,

.\ZADCF=90o.

在RtAADC中,ZADCr=90°,ACT,ZCr=30°,

AAD=AC'=2.

f

*

@VZBAC=90°,

NB'AC'=90°.

在△ABC和△AB，C中，__，

匚二=__<