山东省齐鲁联盟2023-2024学年高三年级下册考前质量检测数学试题含答案

山东省齐鲁名校联盟2023-2024学年高三下学期考前质

量检测数学试题

2023—2024学年(下)高三年级考前质量检测

数学

考生注意：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上

的指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.已知集合M=\x\lx-3I<1|,N=|x11,贝=

A.jx12<|B.|x12<x<41

C.|xl2D.(%11<xe[

2.已知复数2=乒，则2在复平面内对应的点位壬

1-1

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

3.样本数据27,30,28,34,35,35,43,40的中位数和平均数分别为

A.34,35B.34,34

C.34.5,35D.34.5,34

4.已知直线"-y-3/c=0与圆O：x2+y2=l有公共点，则4的可能取值为

A.1B.yC.-1D.-2

5.在△48C中，角A,B,C的对边分别是Q,6,C,且2asin4=(26+c)sin8+(2c+6)sin。，则cosA=

112

A--B.—C4-D—

,23%一3

6.已知正方体的棱长为2,尸为棱的中点，则四面体4CP，的体积为

A.2B.竽C.yD.2"

7.已知sin2a=一六,贝I」一‘'叱2a—=

5tan/a+—叮\

\4)

A.4B.2C.-2D.-4

数学试题第1页(共4页)

8.已知双曲线C：J=i的上焦点为尸,圆4的圆心位于光轴上，半径为招，且与C的上支交于8,。两

点，则I8C+IOC的最小值为

A.273-2B."C.底-1D.A

二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部

选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知/(x),g(x)分别是定义域为R的偶函数和奇函数，且/(x)+g(x)=以设函数C(x)，则C(x)

A.是奇函数B.是偶函数

C.在R上单调递减D.在R上单调递增

10.将函数/(x)=sin(5+学)(。>0)的图象向左平移告个单位长度后，所得的图象关于y轴对称,则

AJ(x)的图象关于直线/=宇寸称B.3的最小值为去

CJ(x)的最小正周期可以为与DJ卜-竽)的图象关于原点对称

11.如图,有一个棱台形的容器48co-44G，(上底面A,BlC101无盖)，其四条侧棱均相等，底面为矩

形=yB,C,=1m,容器的深度为1m,容器壁的厚度忽略不计，则下列说法正确

的是

A.A4［二/2m

B.该四棱台的侧面积为(3也+35)m?

C.若将一个半径为0.9m的球放入该容器中,则球可以接触到容器的底面

D.若一只蚂蚁从点4出发沿着容器外壁爬到点a，则其爬行的最短路程为居京m

三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.伊+5］的展开式中/的系数为.(用数字作答)

2A214/|

13.已知椭圆C：t+%=1(°>0)的左、右焦点分别为Ft,F2,A为C上一动点，则舟y的取值范围是

14.已知两个不同的正数a6满足a+°),0则而的取值范围是

a0

数学试题第2页(共4页)

四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

已知函数/(X)=%，-y[x.

(I)求曲线y=/(x)在点(1J(l))处的切线/在y轴上的截距;

(U)探究/(工)的零点个数.

16.(15分)

如图，在直三棱柱4BC-4&G^,AB=2,BC=l,AC=^3,AAt=而,M为棱CG上一点，且4Ml.

(I)证明:平面平面4BC；

(0)求二面角B-AM-C的大小.

17.(15分)

设数列I满足f=2(“+2)4,且%=4.

(I)求]。」的通项公式；

(H)求的前〃项和S..

数学试题第3页(共4页)

18.(17分)

在机器学习中，精确率Q、召回率R、卡帕系数人是衡量算法性能的重要指标.科研机构为了测试某型号

扫雷机器人的检测效果，将模拟战场分为100个位点，并在部分位点部署地雷.扫雷机器人依次对每个

位点进行检测,4表示事件“选到的位点实际有雷”，8表示事件“选到的位点检测到有雷”，定义:精确率

Q=P(4IB),召回率R=P(8M),卡帕系数人=与二"，其中％=P(4B)+P(AB),Pt=P(A)P(+

1

-Pt

(I)若某次测试的结果如下表所示，求该扫雷机器人的精确率Q和召回率凡

实际有雷实际无雷总计

检测到有雷402464

检测到无雷102636

总计5050100

(D)对任意一次测试,证明：A=1-Q号叫

(DI)若0.6<Awl,则认为机器人的检测效果良好;若0.2〈上W0.6,则认为检测效果一般;若0这LW

0.2,则认为检测效果差.根据卡帕系数人评价(1)中机器人的检测效果.

19.(17分)

已知抛物线C-y1=4x的焦点为几以点F为圆心作圆,该圆与x轴的正、负半轴分别交于点H,C,与C

在第一象限的交点为P.

(I)证明:直线PC与C相切.

(n)若直线PH,PF与C的另一交点分别为直线MN与直线PG交于点T.

(i)证明：I7MI=4I7WI；

(ii)求△PN7的面积的最小值.

数学试题第4页(共4页)

2023—2024学年(下)高三年级考前质量检测

数学•答案

-、单项选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.

1.答案C

命题意图本题考查集合的表示与运算.

解析因为M=|%I\x-3\<11=\x\2<x<4|,N=)^11,所以MON=

2.答案B

命题意图本题考查复数的运算及几何意义.

解析因为z=H=(13+1?+?=-4-2i=-2-i,所以2=-2+i,故2在复平面内对应的点为(-2,

1-1(1-1)(,1+1；2

1),位于第二象限.

3.答案D

命题意图本题考查中位数和平均数的概念.

解析将样本数据按照从小到大的顺序排列可得27,28,30,34,35,35,40,43,故中位数为归尹■二34.5,平均

数为!x(27+28+30+34+35+35+40+43)=34.

O

4.答案B

命题意图本题考查直线与圆的位置关系.

解析由直线版-y-3A：=0与圆。：%2+/=1有公共点，可得圆心o(o,o)到直线板_,一34=0的距离为八

//一：;)2W1，解得毛的取值范围为［-字，川

5.答案A

命题意图本题考查正弦定理和余弦定理的应用.

解析由条件及正弦定理得2a2=(26+c)b+(2c+6)c,即。？=B+c?+儿，由余弦定理得a=b2+c2-26ccosA,

所以cosA=-

6.答案A

命题意图本题考查正方体的结构特征以及棱锥体积的计算.

解析设4c的中点为。，则「=/4。乂5根啊,4。=2",在对角面80，坊中，可以计算得叼=2x2"-

考-立=挈，所以『=呆2立x挈=2.

7.答案D

命题意图本题考查三角恒等变换的应用.

—1—

-RAU-C2sinacosa2tana4二匚山i,25,二匕…tan2a2tana

解A73析+C因为sin2a-------=-2----=一二,所以1+tana=-ktana,所以----------=------—x

sina+cosatana+13/\1-tana

tan^a+—j

1-tana_2tana2tana4

1+tana(1+tana)21+tan2a+2tana

8.答案B

命题意图本题考查双曲线与圆的位置关系.

ry2-x2=1,

解析由题可知?(0,笈).设圆4(％-。尸+/=2,8(%1，%),0(%2,%),联立得2£—

l(x-a)2+y2=2,

2ax+a-1=0,故％[+x2=a,xxx2——，因止匕%;+%；-(%i+出产-2化出=1,因为y；-%；=1,所以IBF\=

/；+(%-")2=唇-1,同理可得ID/IT,故+\DF\=^(yi+y2)-2+1+

O1)-2,当％;=0或％;=1时取得最小值立

二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的

得0分.

9.答案AD

命题意图本题考查函数的奇偶性和单调性.

解析因为/(%)+g(%)=e”①,所以为-x)+g(-％)=「，即/(%)-g(%)=「②，联立①②，解得/(%)=

重等二,g(”)=甘二，所以G(x)=[”.因为G(-x)=二二三=-G(x),所以G(”)是奇函数，又

乙乙e+ee-+e

G'(x)==4>o,所以G(g)在R上单调递增.故A,D正确.

(e+e)(e+e)

10.答案ABD

命题意图本题考查三角函数的图象与性质.

解析对于A,将/(£)的图象向左平移左个单位长度后，关于y轴对称，所以/(工)的图象关于直线工=手对

称，故A正确；

对于B,由题可知等+学=学+Hr(AeZ),解得3=1+3乂J2),又。>0,所以”的最小值为。，故B

正确；

对于C，若最小正周期T二竽，贝IJG二爷=尚■，由B项可知,不存在满足条件的叽故C错误；

对于D,因为/(-半[sin(-警+号■),代入口=\■+3人(人eZ)，得/(-苧)=sin(-2人仃)=0,所以/(%)

11.答案BD

命题意图本题考查棱台的结构特征以及相关计算.

—2—

解析对于A,44

对于B,梯形4皿4的高为+冷，所以梯形4皿4的面积为第x苧=竽，梯形4叫4

的高为+（?’=在，所以梯形4B84的面积为1f2x"=竽，故该四棱台的侧面积为2x

段+孚）=3衣+3用故B正确;

对于C,若放入容器内的球可以接触到容器的底面，则当球的半径最大时，球恰好与面、面BCC.B,、面

4BCD均相切，过三个切点的截面如图（1）所示，由图可知tanZMCW=2,所以tanZMOP=等匚，从而球的半

径为铝1<0.9,所以将半径为0.9cm的球放入该容器中不能接触到容器的底面，故C错误;

对于D,将平面ABCD与平面DCCR展开至同一平面，如图（2）,则4G

，将平面ABCD与平面BCC,B,展开至同一平面，如图（3）,则4G=+R）+32=

J普+瓦普+行-（手■+4立）=3+6-4在<0,所以最短路程为以/号+后,故D正确.

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.

12.答案672

命题意图本题考查二项式定理的应用.

解析（2支++）的展开式的通项为rr+i=C；（2v）”[?）=2"‘C；x"",令7-2r=3,得r=2,所以了的系

数为27-2C5=672.

13.答案[十,3]

命题意图本题考查椭圆的性质.

解析设椭圆C的半焦距为c（c>0），离心率为e.当MF】I取最小值a-c时，।取最大值«+c,反过来也

$，故事W窑

一样，所以二^皿乏力卿不近万百^^?又因为$3.

—3—

14.答案(0,7)

命题意图本题考查函数与不等式的综合.

解析将(1+“尸=(1:'"两边展开，得到J+3。+3+J-=*+36+3+5,从而(J_〃)+3(a-6)+

abab

j__A=0,故(a-6)(a+b+3二0,而。片6,故a+6+3-1=0,即二=a+b+3>2V+3,从而

ababab

2(/ab)3+3(A/OT)2<1.设函数g(%)=2d+3d,则g(^ab)<g(=1,由于g(%)在(0,+8)上单调递

增，故-/ab，即0<a6V

四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.命题意图本题考查导数的几何意义,利用导数研究函数的零点.

(I)由题意知/'(%)=^e击,所以r⑴

解析了一彳,(2分)

又/（1）寸-1,所以2的方程为y=（5-卷）（％-1）+1-1，即y=（十-:卜-上，.........（5分）

所以/在y轴上的截距为.........................................................（6分）

（H）因为y二;/和丁=-」=在（。，+8）上均单调递增，所以/'（%）二;/-」万在（0,+8）上单调递增.

42石42石

又因为r（十卜+e+-1<0,广⑴=}e-）>0,所以3x0€（十,1卜使得/（%0）=0.

所以当％£（0,3）时,/'（%）<0,/（以单调递减;当%£（3，+8）时/（%）>0,所以单调递增......（10分）

又因为4看）吁，志-*>°J⑴=^e4-2>0,

所以/（%）有两个零点..................................................................（13分）

16.命题意图本题考查面面垂直的证明，以及利用空间向量计算二面角.

解析（I）在直三棱柱与G中,A41_L平面A41_LBC.

/AB2=AC2+BC2,BC1AC,

•.•4CG44]平面44CC............................................................................................................(3分)

•「4MU平面44]CiC,「.AMLBC,

vAMLAiB,AlBQBC=B,:.AMA.BC............................................................................................(6分)

又4MU平面4MB,

平面4MB_L平面4区C................................................................................................................................(7分)

（II）如图，以点。为坐标原点,G4,CB,CG所在直线分别为％轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Cxyz,

.............................................................................................................................................................................（8分）

则C(0,0,0),4(有,0,0),4(万;0,而),5(0,1,0).

—4—

设点M(O,O,a),则病=(就=(有，-I,而)，屈=(0,1,0),同=(-后,1,0).(9分)

•.翁.丽<-3+辰i=0,解得。=咚].M(0,0,亨).........................(10分)

设平面AMB的法向量为m=(%,y,z),

m,AM=-^/3x+^~z=0,__

则2可取相二(1,方,衣)........................................(12分)

.m•AB=—B%+y=0,

易知〃二方二(0,1,0)为平面4MC的一个法向量..........................................(13分)

,/COS(7M,«)

故由图可知二面角的大小为子................................................（15分）

17.命题意图本题考查数列的通项公式和数列求和.

解析（I）由题易知"。，且，二丝产

所以区j(n+l);2'1="/+])<…，...............................................(4分)

由1x2

n

所以an=n(n+1)•2,a｝也满足该式，

所以册=几5+1)・2"................................................................................................................................................................(6分)

12

(II)Sn=1x2X2+2x3x2+•••+n(n+l)-2",①

2n+1

2Sn=lx2x2+•••+n(n-l)-T+n(n+l)-2,0

②-①，得S"(7i+l)7i・2…-2x(1X21+2x22+•­•+n・2n)......................................................................(9分)

设T”=1x21+2x2?+…+〃・2",③

则27；=1x2?+2x2?+…+(n-1)-2n+n-2c，④..............................................................................................(11分)

n+112ren+1+1n+1

④一③，得Tn=n-2-(2+2+•••+2)=n-2-(2"-2)=(n-l)2+2,.............................(13分)

所以S'=7i0+1)•2n+1-2(n-l)-2n+1-4=(n2-n+2)-2n+1-4............................................................(15分)

—5—

18.命题意图本题考查条件概率、概率的运算性质.

解析(I)Q=P⑷B)=^^=1=0.625,.......................................................................................(3分)

R=P(8⑷=^^=卷=0.8....................................................................................................................(6分)

r\/\)DU

/IT、7Po-Pe11-Po11-P(AB)-P(AB)

(il)k=-j------=1-i-------=1----------------------------=.......-,

1~Pe1-Pe1-P(4)P(B)-P(A)P(B)

要证明1-华Q+R-2瑞P{AB)，需证明1-尸S(4)B尸⑶一一尸河⑷尸⑻Q？+三R-2P流(AB)y............*分)

等式右边：

P(4一)-(48)♦(—)-(48)

Q+R-2QR_P(4IB)+P(例4)-2尸(41区)尸(BI4)_P(5)/(4)P(B)P(4)

==

Q+R-2P(AB)P(AIB)+P(BI4)-2P(AB)P(AB)~~P(AB)_9p/4px

瓦瓦"+"T()

_P(A)+P(B)-2P(AB)济

~P(A)+P(B)-2P(A)P(B),,R

等式左边：

因为P(4UB)=1-P(AB)"(4)+P(B)-P(AB),

所以1-P(AB)-*7)____________P(4)+尸(B)—2尸(4』)__________0(4)+尸(一)一2。(4月)

=

所i_p(A)P(B)-P(A)P(B)=1-0(冷尸(江-[1-0(4)][1-0(功]P(4)+P(B)-20(4)尸(8).

等式左右两边相等，因此上=1-言尚篝y成立......................................(14分)

(皿)由(I)得左=16*然”人，6*：0.8=032,因为0.2<0.32<0.6,

U.OZJ+U.o—ZXU.4

所以（I）中机器人的检测效果一般......................................................（17分）

另解:p0=P（48）+P（AB）=0.4+0.26=0.66,

Pe=P（4）P（8）+P（J）P（B）=0.5xO.64+0.5xO.36=0.5,

所以及=户区=驶=。.32.判断结果同上.

1~pe0.5

19.命题意图本题考查抛物线的性质,抛物线与直线的位置关系.

解析（I）由题意知,（1,0）,

设P（/,2九）5>0）,贝！］|尸川二川+1,.......................................................................................................（1分）

所以|G?|二IbH|=1+1,所以c（-n2,o）,...............................................................................................（2分）

所以直线尸C的斜率为工,方程为丁二^-&+二）..........................................（3分）

nn

'j-——（x+n）,

联立方程n得/_4叮+4］二0,

,y2=4x,

因为A=0,所以直线尸C与。相切..................................