高考数学总复习（基础知识+高频考点+解题训练）一元二次不等式及其解法

第田一---RH-一元二次不等式及其解法

■他知溟工打牢

1强双基I固本源I得基础分I掌握程度

［知识能否忆起］

一元二次不等式的解集

二次函数y=a£+bx+c的图象、一元二次方程+bx+c=0的根与一元二次不等式aY+bx+c>0

与aV+bx+c<0的解集的关系，可归纳为：

判别式/=-―4ac/>0zl=0zl<0

二次函数P二ax+bx+c(a>0)

的图象u

一元二次方程ax+bx+c-有两相u异实根x二Xi或X

有两相同实根Xu

无实根

O(aWO)的根二X2-X\

一元ax+Z?x+c>0(a>0){x或x>毛}R

二次不

等式的ax+bx+c<0(GO){x〈0}00

解集

若a〈0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解.

［小题能否全取］

1.(教材.习题改编)不等式x(l-2x)>0的解集是()

A.1-8,JB.0,

C.(-8,0)呢，+8)D.+8]

答案：B

2.不等式9/+6X+1W0的解集是()

C.卜|-'IwxW；-D.R

答案：B

3.(•福建高考)若关于x的方程V+&+1=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是()

A.(-1,1)B.(-2,2)

C.(-8,-2)U(2,+8)D.(-8,-1)U(1,+8)

解析：选c由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得：判别式/>0,即箭-4>0,解得0<-

2或0>2.

4.(•天津高考)已知集合/={xCR||x+2|〈3},集合6={xCR|(x-血(x-.2)〈0},且/A6=(-l,

n),贝U0=,n-.

解析：因为|x+2|<3,即所以4=(-5,1),又/C肝。，所以水1,8=(q2),由/C8=

(-1,〃)得加=-1,n=1.

答案：T1

5-不等式£<1的解集为.

11X—2

解析：由口<1得即E>°，解得X<1，或x>2.

答案：—或X>2}

解一元二次不等式应注意的问题：

(1)在解一元二次不等式时.，要先把二次项系数化为正数.

(2)二次项系数中含有参数时，参数的符号会影响不等式的解集，讨论时不要忘记二次项系数为零的

情况.

(3)解决一元二次不等式恒成立问题要注意二次项系数的符号.

(4)一元二次不等式的解集的端点与相应的一元二次方程的根及相应的二次函数图象与x轴交点的横

坐标相同.

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GAOPINKAODIANYAOTONGGUAN________]]__________]

一元二次不等式的解法

31

典题导入

[例1]解下列不等式：

(l)0</-JT-2^4；

(2)x-\ax-5a2>0(57^0).

［自主解答］(1)原不等式等价于

［x-x-2>0,1/-万-2>0,

\x-x-2^4\x-x-6^0

(x-2x+1>0,(x>-1,

［x-3x+2WO1-2WxW3.

借助于数轴，如图所示，

-理10］居~>

原不等式的解集为{x-2Wx<-1,或2<xW3}.

(2)由V-\ax-5才>0知(x-5a)(x+a)>0.

由于aWO故分a>0与乃<0讨论.

当乃<0时，才<5a或才>一5；

当乃>0时，x<-x>5a.

综上，a<0时，解集为{x|x<5a,或x>-a}；a>0时，解集为{x|x>5a,或x<-a}.

由题悟法

1.解一元二次不等式的一般步骤：

⑴对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0,即aV+6x+c>0(a>0),ax+bx+c<Q(a>Q)；

(2)计算相应的判别式；

(3)当/NO时，求出相应的一元二次方程的根；

(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集.

2.解含参数的一元二次不等式可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，

则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏.

以题试法

1.解下列不等式：

(1)-3/-2了+820；

(2)ax-(a+1)x+1<0(a>0).

解：⑴原不等式可化为39+2x-8W0,

即(3x—4)(x+2)WO.

4

解得-2WxW、

o

所以原不等式的解集为卜|

⑵原不等式变为(ax-1)(矛-1)<0,

因为a>0,所以1)<0.

所以当a>l时，解为：<x<l；

当a=l时，解集为。；

当0<a<1时，解为Kx<~.

Q,

综上，当0<a<l时，不等式的解集为卜卜<才<］

当a=l时，不等式的解集为。；

当a>l时，不等式的解集为卜

3

一元二次不等式恒成立问题

典题导入

［例2］已知/U)=f-2ax+2(aeR),当xE［-1,+8)时，f(x)》a恒成立，求a的取值范围.

［自主解答］法一：f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函数图象的对称轴为x=a.

①当aE(-8,-1)时，_f(x)在［一1,+8)上单调递增，_f(x)min=广(一1)=20+3.

要使F(x)23恒成立，只需_f(x)min，名即2乃+322解得-3WE<-1；

②当［-1,+8)时，咒才着行=F(a)=2-才，由2-才解得一1WaWL

综上所述，2的取值范围为［-3,1］.

法二：令g(x)二/一2ax+2-a,由已知，得/-2ax+2-@20在［-1,+8)上恒成立，即/二4才

>0,

—4(2—4W0或1己<一1,解得一3

［g-120.

所求a的取值范围是［-3,1］.

»》一题多变

本题中的+8)改为。£［-1,1)”，求a的取值范围.

解：令g(x)=x、2ax+2-a,由已知，得V-2ax+2-a20在［-1,1)上恒成立，即4=4才一4(2

/>0,/>0,

-@）忘0或（@<-1,或ja>l,解得-3WaWl,

〔gT》0L120.

所求a的取值范围是[-3,1].

由题悟法

1■对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上

方；恒小于。就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.

2.一元二次不等式恒成立的条件：

(1)ax+6x+c>0(aW0)(xER)恒成立的充要条件是：

a>0且4-4ac<0.

(2)ax+bx+c<0(a=0)(xER)恒成立的充要条件是：

a<0且6,-4ac<0.

以题试法

2.(•九江模拟)若关于x的不等式f-ax-a>0的解集为(-8,+8),则实数a的取值范围是

；若关于x的不等式/-ax-aW-3的解集不是空集，则实数a的取值范围是.

解析：由小<0,BPa2-4(-a)<0,得-4〈a<0；

由4220,即a2—4(3—a)》0,得a<—6或a22.

答案：(-4,0)(-8,-6］U［2,+8)

3一元二次不等式的应用

典题导入

［例3］某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x成(1成=10%),

售出商品数量就增力启x成.要求售价不能低于成本价.

O

(1)设该商店一天的营业额为K试求了与x之间的函数关系式y=f(x),并写出定义域；

(2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围.

［自主解答］(1)由题意得y=lOO0-总•

因为售价不能低于成本价,

所以loop-自-80NO.

所以尸『(x)=20(10-x)(50+8x),定义域为[0,2].

⑵由题意得20(10-x)(50+10260,

化简得8*-30X+13W0.

1

解

得-WXV13-

2/4

所以x的取值范围是a2

由题悟法

解不等式应用题，一般可按如下四步进行：

（1）认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系；

（2）弓I进数学符号，用不等式表示不等关系；

（3）解不等式；

（4）回答实际问题.

以题试法

3.某同学要把自己的计算机接入因特网.现有两家ISP公司可供选择.公司A每小时收费1.5元；

公司8在用户每次上网的第1小时内收费L7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元（若用

户一次上网时间超过17小时，按17小时计算）.假设该同学一次上网时间总是小于17小时，那么该同学

如何选择ISP公司较省钱？

x35-x

解：假设一次上网x小时，则公司/收取的费用为L5x元，公司方收取的费用为一-一元.

若能够保证选择/比选择夕费用少，则

x35-x,、

....-....>1.5x(0<17),

整理得力-5x<0,解得0<x<5,

所以当一次上网时间在5小时内时，选择公司月的费用少；超过5小时，选择公司6的费用少.

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4级全员必做题

X—1

1.（-重庆高考）不等式E<0的解集为（）

A.(1,+°°)B.(-°0,-2)

C.(-2,1)D.(-8,-2)U(1,+8)

解析：选C原不等式化为(x-l)(x+2)<0,解得-2<x<l,故原不等式的解集为(-2,1).

4

2.(-湘潭月考)不等式EWx-2的解集是()

A.(-0]U(2,4]B.[0,2)U[4,+°0)

C.[2,4)D.(-8,2]U(4,+8)

解析：选B①当x-2>0即x>2时，原不等式等价于(X-2)224,解得X24.

②当x-2<0即x<2时，原不等式等价于(x-2)?W4,

解得02.

3.关于x的不等式(a+l)x+a<0的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是()

A.(4,5)B.(-3,-2)U(4,5)

C.(4,5]D.[-3,-2)U(4,5]

解析：选D原不等式可能为(x-l)(x-a)<0,当a>l时得l<x<a,此时解集中的整数为2,3,4,

则4<aW5,当H<1时得a<x<l,则-3Wa<-2,故aE[-3,-2)U(4,5]

4.若E-l)x+3(〃-l)〈0对任何实数x恒成立，则实数力的取值范围是()

-1)

U(1,+8)

解析：选C①必二-1时，不等式为2x-6〈0,即x<3,不合题意

f〃+l〈0,13

②*-1时，1解得.

5.已知函数『(X)的定义域为(-8,+8),f

f(x)的图象如图所示，且/'(-2)=1,『(3)=1,

()

A..(2,3)U(-3,-2)B.(-4

C.(2,3)D.(-8,_巾)(JW，+8)

解析：选A由导函数图象知，当x<0时，rW>0,即f(x)在(-8,0)上为增函数；当x>o时,

f'(X)<0,即/1(*)在(0,+8)上为减函数，

故不等式/(/-6)>1等价于-6)>F(-2)或—6)>A3)，即-2<f-6W0或0-6<3,

解得xE⑵3)U(-3,-2).

6.(-长沙模拟)已知二次函数f(x)=aV-(a+2)x+l(aEZ),且函数/<x)在(-2,-1)上恰有一个

零点，则不等式r(x)>1的解集为()

A.(-8,-1)U(0,+8)B.(-8,0)U(1,+8)

C.(-1,0)D.(0,1)

解析：选C_f(x)-ax-(己+2)x+1,

/=(〃+2)2-43=步+4>0,

函数F(x)=ax-(a+2)jr+1必有两个不同的零点，

又/'⑸在(-2,—1)上有一个零点，贝IJH—2)〃一1)<0,

35

(6a+5)(2a+3)<0,解得一5V--

又5EZ,a--1.

不等式F(x)>l,BP-x-x>0,解得一l<x<0.

7.若不等式的解集为{x[l<x<3},则实数4=________.

X—o

_k_3k_3x-k

解析：Q>1,得1-Q<0,即7<0,(x-4)(x-3)<0,由题意得k=1.

X—6X—oX—o

答案：1

8.不等式V-2X+3Wa2-2a-l在R上的解集是。，则实数a的取值范围是一—.

解析：原不等式即/-21-4+24+4忘0,在R上解集为。，

/=4-4(-a2+2a+4)<0,

即a2-2a-3<0,

解得-1<a<3.

答案：(T,3)

x+5x<3

.'且AH3))>6,贝I]m的取值范围为

m

{LX-y

解析：由已知得『⑶=6-必，①当辰3时，6-^3,贝IJ『(『(3))=2(6-4-勿=12-30>6,解得加

<2；②当/>3时，6-加<3,贝|『(『(3))=6-加+5>6,解得3(/<5.综上知，/<2或3(加<5.

答案：(一8,2)U(3,5).

10.解下列不等式：

⑴8x-1^16/；

(2)/-2a^-3a<0(a<0).

解：⑴原不等式转化为16/-8^+1^0,

即(4x-l尸》0,贝IJxER,

故原不等式的解集为R.

(2)原不等式转化为(x+a)(x-3a)<0,

'：a<0,

3a<-a,得3a<x<-a,

故原不等式的解集为33a<x<-a).

11.一个服装厂生产风衣，月销售量x(件)与售价。(元/件)之间的关系为。=160-2X,生产x件的成

本0=500+30x(元).

(1)该厂月产量多大时，月利润不少于1300元？

(2)当月产量为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少？

解：⑴由.题意知，月利润了二内-其

即y=(160-2x)x-(500+30x)

=-2/+130^-500.

由月利润不少于1300元，得-2f+130X-500N1300.

即/-65才+900/0,解得20WXW45.

故该厂月产量在20~45件时，月利润不少于1300元.

(2)由(1)得，y=-2/+130x-500

由题意知，x为正整数.

故当x=32或33时，y最大为1612.

所以当月产量为32或33件时，可获最大利润，最大利润为1612元.

12.设二次函数f(x)=ax+bx+c,函数尸(x)=f(x)-x的两个零点为n(m<n).

(1)若e=-1,77=2,求不等式户(x)>0的解集；

(2)若a>0,RO<x<m<n<~,比较f(x)与力的大小.

a

解：由题意知，尸(x)=F(x)-X=a(x-4,(x-ri),

当勿二一1,〃=2时，不等式尸(王)>0,

即a(x+1)(x-2)>0.

当0>0时，不等式/(x)>0的解集为｛x[x<-1,或x>2｝；

当乃<0时，不等式力(王)>0的解集为｛.一1<.<2｝.

(2)f(^x)-m-a(x-ni)(x-ri)+x-m

(x-ni)(ax-an+V),

1

*/a>0,且〈一,

x-m<0,1-an-^-ax>0.

/.f{x)-m<0,即f{x)<m,

B级重点选做题

1,若关于X的不等式三+%仔卜0对任意〃EN*在XE(-8,扪上恒成立，则实数A的取值范

围是

1L_1

解析：由题意得步|max-2,

2

解得王鸟或V-L

又xE(-8,打，所以A的取值范围是(-8,-1].

答案：(-8,-1]

2.(-江苏高考)已知函数f^x)=x+ax+b{a,右ER)的值域为[0,+°°),若关于x的不等式f(x)

<c的解集为()，必+6),则实数c的值为.

2

解析：因为f(x)的值域为[0,+8),所以/=0,即#=44所以V+ax+充-c<0的解集为(加，m

2

+6),易得m,0+6是方程V+ax+/c=0的两根，由一元二次方程根与系数的关系得

2勿+6=-a,

a2解得c=9.

mm+6=~r~c,

4，

答案：9

3.行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行*-------------,—段距离才能

停下，这段距离叫做刹车距离.在某种路面上，其种型号汽车的"i：刹车距离s(m)

nvv~O40kV

与汽车的车速r(km/h)满足下列关系：5=诉+痂(〃为常数，且〃GN),做了两

6<Si<8,

次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中

14<s2<17.

⑴求n