2024年高中学业水平考试数学真题分类汇编：立体几何初步（原卷版）（新教材）

立体几何初步

考点一：简单几何体的表面积和体积

1.（2023・北泉）已知二棱柱ABC-的体积为12,则二棱锥的体积为（）

A.3B.4C.6D.8

2.（2023・河北）将一块棱长为60cm的正方体石块，磨制成一个球形石块，则最大球形石块的体积是（取

兀=3）（）

A.864000cm3B.108000cm3C.10800cm3D.5400cm3

3.（2023春•福建）已知球体。的半径为2,则球体。的表面积为（）

A.4兀B.8兀C.16KD.32兀

4.（2022・北京）如图，在直三棱柱ABC-4耳£中，ASC是等腰直角三角形.若山?=AC=4,明=3,

5.（2022春•天津）已知圆锥的底面半径是1,高是2,则这个圆锥的体积为（）

6.（2021•北京）如图，在三棱锥尸—ASC中，尸C_L平面ABC,AC±BC,AC=BC=2,PC=3,则三棱

7.（2021春•天津）如图，圆柱0'0的底面半径是2,高是3,则这个圆柱的体积是（）

C.4兀D.12K

8.（2023•山西）在三棱锥A-5CD中，平面BCD,AB=CD=4,则三棱锥A-58的外接球的表

面积的最小值为（）

112K

A.16KB.32兀D.64兀

9.（2022春,浙江）某广场设置了一些石凳供大家休息，每个石凳都是由正方体截去八个一样的四面体得

到的（如图，从棱的中点截）.如果被截正方体的棱长是4（单位：dm）,那么一个石凳的体积是（单

位：dm3）.

10.（2022春•贵州）已知长方体的三条棱长分别为1,插，底,则该长方体外接球的表面积为（结

果用含乃的式子表示）

11.（2021春•福建）半径为1的球的体积为.

12.（2021秋・青海）如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上下底面及母线均相切，已知圆柱的底面半

径为3,则圆柱的体积为.

考点二：空间点、直线、平面的位置关系

1.（2023•北京）四棱锥P-ABC。如图所示，则直线PC（）

A.与直线AO平行B.与直线相交

C.与直线8D平行D.与直线8。是异面直线

2.（2023•河北）已知根，〃是两条不同的直线，。是平面，则下列四个结论中正确的是（）

A.若加」a,nLa,则:〃//"B.若〃?//（z,nila,则相〃"

C.若〃z_L〃，则〃〃aD.若机，〃与a所成的角相等，则加//〃

3.（2023•山西）已知三条不重合的直线加，W，I,三个不重合的平面/,贝！J（）

A.若m//n,"ua,则mlla

B.若/_La,rna/3,/1m,则a〃£

C.若a_Ly,/3Ly,ar\/3=l,贝

D.若根ua,”ua,mlIp,nll/3,则

4.（2023•江苏）已知直线/平面a,直线机u平面a,则/与优不可能（）

A.平行B.相交C.异面D.垂直

5.（2023春•浙江）下列说法正确的是（）

A.一个平面里有三个不同的点到另一个平面的距离都相等，则这两个面平行

B.和同一条直线都相交的两条直线一定相交

C.经过空间中三个点有且只有一个平面

D.经过两条相交直线有且只有一个平面

6.（2023春•福建）已知四棱锥S-ABC。底面为正方形，平面A3CD,则（）

B

A.SBYSCB.SD1AB

C.SA_L平面A5CDD.N/平面SBC

7.（2023・广东）已知a和夕是两个不同平面，A-.aH/3,8:a和£没有公共点，则A是8的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.（2023春•新疆）已知直线a和两个不重合的平面a,",则下列命题正确的是（）

A,若“〃a,au4,则a〃尸B,若a_La,aJ_方，则

C.若a〃氏a〃尸，则a〃/D.若a〃a,a1°,则a_L/7

9.（2022•北京）在空间中，设私〃是不同的直线，是不同的平面，则下形命题中真命题是（）

A.若根//a,w//a,则相〃"B.若m_Lc,则相〃”

C.若mllajnlI/3,则a〃/?D.若mllajnu/3,同a/10

10.（2022秋・广东）已知直线加与平面。，则下列结论成立的是（）

A.若直线加垂直于平面。内的一条直线，则根_L（z

B.若直线加垂直于平面。内的两条直线，则

C.若直线加平行于平面々内的一条直线，则机//«

D.若直线加与平面。没有公共点，则根//£

11.（2022春•广西）如图，正方体ABC。-A耳£。中，E,F分别是瓦G，RG的中点，则下列结论正解的

A.EF±BDB.EF//BDC.EF与5。相交D.E尸与BQ相交

12.（2022春•贵州）如图，在正方体ABCO-ABC。中，直线AB与RC的位置关系是（）

A.相交B.平行C.异面不垂直D.异面垂直

13.（2021秋•浙江）已知平面内"和直线/,则下列说法正确的是（）

A.若/〃a,/〃6，则c//夕B,若I!/aJu/3,则a//£

C.若/J_a,/u£,则ar_L/?D.若/_La,则。_!_/

14.（2021春•贵州）如图，正方体中，E为的中点，则下列直线中与平面AEC平行

C.BDtD.EO

15.（2021秋•贵州）如图，在正方体A8CD-A/8/G功中，直线BQ与平面D4A/。/的位置关系是（）

A.直线BG与平面D4A2平行

B.直线BG与平面9以2垂直

C.直线BG与平面D招2相交但不垂直

D.直线BG在平面。嵋。

16.（多选）（2021•湖北）已知/，机是平面a外的两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）

A.若///a,mlla,则〃/B.若/_La,mlla,贝!)/_!_加

C.若/_La,/±m,则7"〃aD.若/_L/w,mlla,则/_La

17.（2023・北京）如图，在正方体ABCD-ABCQI中，。是正方形A8CD及其内部的点构成的集合.给出

下列三个结论：

®VPeQ,A}P>\A.

@BPeQ,4尸〃用C；

③WPeQ,AP与8c不垂直.

其中所有正确结论的序号是.

18.（2022春・广西）如图，在三棱锥P-ABC中，PAL底面ABC,ZACB=90°,则这个三棱锥的四个面中,

是直角三角形的个数有一个.

19.（202”北京）如图，在正方体ABCO-ABCR中，E是BC1的中点.给出下列三个结论:

①〃平面AD2A；

②BC,1DE.

③线段B3的长度大于线段DE的长度.

其中所有正确结论的序号是.

考点三：异面直线所成角

1.（2023春•湖南）如图，在正方体ABCD-ABCiA中，异面直线AC与qA所成的角为（）

2.（2023•云南）在正方体4BCD-ABGA中，异面直线AC与4。所成角的大小为（）

3.（2021春•河北）如图，在正方体中，E,P分别是AB,CG的中点，则异面直线屏与

A-TB-Tc•乎D-f

4.（2021秋•浙江）如图，正方体ABC。-AgGA中，E,尸分别为棱G2,AD的中点，则异面直线DE与

AF所成角的余弦值是（）

43_3回

A.-B.一C.-------D

5510-f

5.（2021春・福建）如图的正方体ABC。-44clp中，异面直线AA与2C所成的角是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

考点四：直线与平面所成角

1.（2023・江苏）如图，正方体ABC。-4与G"中，直线BO】与平面ABCQ所成角的正切值为（）

A.1B.3C.显D.在

223

2.（2022秋•浙江）如图，正方体A3cO-A4GA中，N是棱。2的中点，则直线CN与平面。月四口所成

岳

ARMLr•---------

-I55

3.（2021秋•浙江）如图，在三棱锥O-ABC中，AB=BC=CD=DA,/ABC=90°,E,EO分别为棱

8C,£）AAC的中点，记直线E尸与平面3OD所成角为6,则夕的取值范围是（）

7171nn

c.“5D.?，-2

4.（2021秋•贵州）如图，在三棱锥尸-ABC中，24,底面ABC,PA=ACf则直线PC与平面ABC所

成角的大小为

B.45

C.60D.90

考点五：二面角

1.（2023,河北）如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABC。为矩形，尸CD是等边三角形，平面PCD,底

面ABC。，AD=3,四棱锥P-A8co的体积为18vLE为PC的中点.平面上4B与平面ABC。所成二面角

的正切值是（）

考点六：立体几何解答题

1.（2023•北京）阅读下面题目及其解答过程.

如图，在直三棱柱ABC-A4G中，ABJ.AC,D,E分别为BC,A片的中点.

（1）求证：。石//平面$4^6；

（2）求证：AB.LDE.

解：（1）取AG的中点/，连接EF,FC,如图所示.

在△ABiG中，E,尸分别为44，AG的中点，

所以E尸//BG，EF=^BiCl.

由题意知，四边形4BC四为①.

因为。为BC的中点，所以。c〃4G，oc=；AG.

所以EF//DC,EF=DC.

所以四边形0cPE为平行四边形，

所以DE//CF.

又⑵，CFu平面AAC£,

所以，£见//平面44^；

（2）因为ABC-A瓦G为直三棱柱，所以AA，平面A8C.

又ABu平面ABC,所以③.

因为AB/AC,且AAIAC=A,所以⑷.

又CPu平面AACG，所以AB_LCF.

因为⑤，所以

以上题目的解答过程中，设置了①〜⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一

个符合逻辑推理.请选出符合逻辑推理的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写"A"或"B"）.

空格序号选项

①A.矩形B.梯形

②A.平面AACGB.DEu平面AACG

③A.BC1B.AB±

④A.ABI平面AACGB.3C7,平面AACC]

⑤A.DE=CFB.DE//CF

2.（2023・山西）如图所示，三棱柱ABC-A用£,底面是边长为2的正三角形，侧棱惧，底面ABC,点

E,尸分别是棱CG，8片上的点，点M是线段AC的中点，EC=2FB=2.

（1）求证〃平面AEF；

（2）求BM与EF所成角的余弦值.

3.（2023•江苏）如图，三棱锥尸-ABC的底面A3C和侧面P3C都是边长为2的等边三角形，分别

是AB,8C的中点，PNLAN.

p

⑴证明：MN〃平面B4C；

(2)求三棱锥P-ABC的体积.

4.（2023春•福建）如图，长方体,AB=2,BC=CCl=\.

⑴求三棱锥C「BCD的体积;

(2)证明：瓦2〃平面GB。.

5.(2023春•湖南)如图，尸为圆锥的顶点，。为底面圆的圆心，AC为底面圆的直径，8是底面圆周上不

同于A,C的任意一点，点。，E分别为母线尸8,PC的中点.

p

B

（1）求证：DE//平面ABC；

⑵若PO=2,AB=BC=®，求圆锥PO的体积.

6.（2023•广东）如图，圆的直径为AB=4,直线PA垂直圆所在的平面，C是圆上的任意一点.

(1)证明面PAC；

(2)若PA=20,4C=2,求PB与面PAC的夹角.

7.（2023,云南）如图，四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，SD_L平面ABCD,=拒.

s

二我c

/

⑴求四棱锥S-ABCD的体积;

(2)求证：AC1_平面S3Z).

8.(2023春•新疆)在三棱锥P-ABC中，上4,底面ABC,ABJ.BC,E,尸分别是BC,PC的中点.

B

⑴证明：EF〃平面PAB；

(2)证明防工3c.

9.(2022•北京)阅读下面题目及其解答过程.

如图，已知正方体ABCD-ABQA.

(I)求证：AC±BDI；

(II)求证：直线乌。与平面MC不平行.

解：(I)如图，连接824，.

因为ABCD-A4G，为正方体，

所以平面ABCD.

所以①.

因为四边形A3CD为正方形，

所以②.

因为A。cBD=D,

所以③.

所以ACLBR.

(II)如图，设ACBD=O,连接与O.

假设〃平面钻C.

因为D[Du平面DlDBBl,且平面ABQ1平面D,DBBl=④

所以⑤.

又D\DHB、B,

这样过点耳有两条直线用。，玛2都与2。平行，显然不可能.

所以直线与平面AB.C不平行.

以上题目的解答过程中，设置了①〜⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一

个符合推理，请选出符合推理的选项，并填写在答题卡的指定位置(只需填写"A"或"B").

空格序号选项

①A.D.D±ACB.D{DLBD

②A.AB1BCB.AC1BD

③A.BD1平面的。B.AC_L平面RO84

④A.BQB.B\B

⑤A.DQ//BQB.%。与瓦。为相交直线

10.（2022秋•广东）如图，PA是圆柱的母线，42是底面圆的直径，C是底面圆周上异于A.2的一点,

且PA=AC=8C=2.

（1）求证：3c1平面E4C

⑵若“是尸C的中点，求三棱锥B-ACM的体积.

11.（2022秋,福建）如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC_L平面A3C,AC，BC

p

A

(1)求证：PAIBC-,

(2)若PA=PC=BC=2,/A4C=30,求三棱锥尸-ABC的体积.

12.（2022春•天津）如图，四棱锥尸-ABCD的底面是正方形，平面ABC。，M,N分别是BC,PC

的中点.

⑴求证：肱V〃平面尸

（2）求证：ACl5P®PDB.

13.（2022・山西）如图，在直四棱柱ABC£>-4B]GR中，底面A3CD为菱形，E为。2中点.

D

Cl）求证：8,//平面ACE；

（2）求证：BD}±AC.

14.（2022春•浙江）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面A3CD是梯形，AB//CD,ADYAB,

A8=AD=尸O=gc。,尸平面ABCD,点M是棱尸C上的一点.

（1）若PC=3PM,求证：PA/平面MBD；

⑵若〃是PC的中点，求二面角M-BD-C的余弦值.

15.（2022•湖南）在直三棱柱ABC-A瓦G中，AB=AC,。为BC中点.

A\

Bi

(1)求证：AD_L平面BCC14；

(2)若AB=8C=2,A4,=3,求四棱锥A-BCC^的体积.

16.(2022春•广西)如图，AB是底面的直径，C为。上异于A、B的点，PC垂直于；。所在平面,

D、£分别为H4、PC的中点.

(1)求证：DEW平面ABC.

(2)求证：平面平面P8C.

17.(2022春・贵州)如图，直三棱柱4BC-4月£中，AB=BC=acq=2,ABLBC,M为棱CG上一

⑴求三棱锥c-A瓦G的体积;

⑵求证：

18.（2021•北京）如图，在四棱锥尸-ABC。中，底面A3CD是正方形,PD_L平面A3CD

⑴求证：3c〃平面PAD；

⑵求证：AC_L平面P8D.

19.（2021春•天津）如图，长方体ABCO-ABIGA中，底面ABC。是正方形.

⑴求证：BQ〃平面8Z）G；

（2）求证：4。一平面ACGA.

20.（2021秋・吉林）如图，三棱柱ABC-A4G中，44,_L平面ABC,AB=3,AC=4,BC=5.

（1）求证：AB工平面ACCM；

⑵若异面直线B耳与AC所成的角为30。，求三棱柱ABC-AAG的体积.

21.（2021•吉林）如图，在正方体ABCD-A4GA中，E、P分别为。Q、CQ的中点.

(1)求证：AC1BD,；

(2)求证：AE//平面BFDt,

22.（2021春•福建）如图，在三棱锥P-AB