2023-2024学年辽宁省抚顺市新抚区八年级（下）第二次段考数学试卷

第1页（共1页）2023-2024学年辽宁省抚顺市新抚区八年级（下）第二次段考数学试卷一、选择题（本题10小题，每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（）A． B． C． D．2．（3分）一个三角形的三边长分别是cm，cm，cm，则此三角形的周长为（）A． B． C． D．3．（3分）如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（1，0），（﹣2，0），（0，2），则顶点C的坐标是（）A．（﹣4，2） B．（﹣3，2） C．（3，2） D．（4，2）4．（3分）如图，在数轴上，过表示数2的点A作数轴的垂线，以点A为圆心，1长为半径画弧，交其垂线于点B，再以原点O为圆心，OB长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为（）A．2.1 B．2.2 C． D．5．（3分）若，则的值是（）A．3 B．±3 C． D．6．（3分）如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面7.5m，树的顶端离树根4m，则这棵树在折断之前的高度是（）A．16m B．18m C．22m D．24m7．（3分）如图，玻璃杯的底面半径为4cm，高为6cm，有一只长13cm的吸管任意斜放于杯中，则吸管露出杯口外的长度至少为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm8．（3分）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道．图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．直角三角形的面积 B．较小两个正方形重叠部分的面积 C．最大正方形的面积 D．最大正方形与直角三角形的面积和9．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点F是AB边上一点，点E是BC延长线上一点，AF＝CE，BF＝2AF．连接DF、DE、EF，EF与对角线AC相交于点G，则线段BG的长是（）A． B． C． D．10．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ADC的角平分线与边AB相交于点P，E是PD中点，若AD＝6，CD＝10，则EO的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）计算的结果是．12．（3分）已知a＝1+，b＝，则a2+b2﹣2a+1的值为．13．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠CAD的平分线交BD于点E，过点E作EF∥AD交AC于点F，则＝．14．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝60°．E是对角线BD上的一个动点（不与点B，D重合），连接AE，以AE为边作菱形AEFG，其中，点G位于直线AB的上方，且∠EAG＝60°，点P是AD的中点，连接PG，则线段PG的最小值是．15．（3分）如图，△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝10，点D为△ABC内一点，BD＝CD，∠ABD+∠ADC＝180°，若AD＝2，则AC的长为．三、解答题（16题15分，17题6分，共计21分）16．（15分）计算：（1）；（2）；（3）．17．（6分）已知，求代数式的值．四、解答题（18题8分，19题8分，共计16分）18．（8分）某县辖A、B、C、D四镇，其中C、A、D三镇在一条直线上，相互两镇间的公路里程如图所示，由于大山阻隔，原来从A、C两镇去D镇都需绕道B镇前往．为了发展经济，缩短A、C两镇到D真的路程，现决定开凿隧道修通A、C两镇直达D镇的公路AD．请问公路修通后从A镇区D镇比原来缩短路程多少千米？（数据＝32，＝46.65供选用）19．（8分）如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，连接CE，AF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB＝4，BC＝8，求菱形AECF的面积．五、解答题（8分）20．（8分）荡秋千（图1）是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，赵彬在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.5m，将它往前推送1.8m（水平距离BC＝1.8m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝CE＝1.1m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．六、解答题（8分）21．（8分）如图，正方形ABCD中，点E是CD边上的一点（不与点C，D重合），连接BE，BF平分∠ABE，交AD边于点F，试判断线段AF，CE和BE之间的数量关系，并说明理由．七、解答题（10分）22．（10分）【问题背景】（1）如图1，点P是线段，AB，CD的中点，求证：AC∥BD；【变式迁移】（2）如图2，在等腰△ABC中，BD是底边AC上的高线，E为△ABD内一点，连接ED，延长ED到点F，使DF＝DE，连接AF，若BE⊥AF，请判断AF，BE，BC三边数量关系并说明理由；【拓展应用】（3）如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB中点，点E在线段BD上（点E不与点B，点D重合），过点A作AF⊥CE，连接FD，若AF＝12，CF＝4，求FD的长．八、解答题（12分）23．（12分）通过对《勾股定理》的学习，我们知道：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形．如果我们新定义一种三角形﹣﹣两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．（1）根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？（填“是”或不是）；（2）若某三角形的三边长分别为1、、2，则该三角形是不是奇异三角形，请做出判断并写出判断依据；（3）在Rt△ABC中，两边长分别为a、c，且a2＝50，c2＝100，则这个三角形是不是奇异三角形？请做出判断并写出判断依据；探究：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a2：b2：c2．

2023-2024学年辽宁省抚顺市新抚区八年级（下）第二次段考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题10小题，每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（）A． B． C． D．【解答】解：＝中含有分母，它不是最简二次根式，则A不符合题意；＝×＝2，则B不符合题意；中含有分母，它不是最简二次根式，则C不符合题意；符合最简二次根式的定义，则D符合题意；故选：D．2．（3分）一个三角形的三边长分别是cm，cm，cm，则此三角形的周长为（）A． B． C． D．【解答】解：根据题意得，++＝2＝9（cm），答：此三角形的周长为9cm．故选：A．3．（3分）如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（1，0），（﹣2，0），（0，2），则顶点C的坐标是（）A．（﹣4，2） B．（﹣3，2） C．（3，2） D．（4，2）【解答】解：∵平行四边形ABCD，A（1，0）、B（﹣2，0），∴AB＝3，∴DC＝3，∵D（0，2），∴C（﹣3，2）．故选：B．4．（3分）如图，在数轴上，过表示数2的点A作数轴的垂线，以点A为圆心，1长为半径画弧，交其垂线于点B，再以原点O为圆心，OB长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为（）A．2.1 B．2.2 C． D．【解答】解：∵OB＝，∴点C所表示的实数为，故选：C．5．（3分）若，则的值是（）A．3 B．±3 C． D．【解答】解：∵，即，∴，∴，故选：B．6．（3分）如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面7.5m，树的顶端离树根4m，则这棵树在折断之前的高度是（）A．16m B．18m C．22m D．24m【解答】解：如图：∵BC＝7.5m，AC＝4m，∵∠C＝90°，∴AB2＝AC2+BC2，即AB2＝42+7.52，∴AB＝8.5m，∴这棵树在折断之前的高度＝8.5+7.5＝16m．故选：A．7．（3分）如图，玻璃杯的底面半径为4cm，高为6cm，有一只长13cm的吸管任意斜放于杯中，则吸管露出杯口外的长度至少为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【解答】解：如图，由题意得：CB＝2×4＝8cm，DC＝6cm，∴，∴露出杯口外的长度为：13﹣10＝3（cm），故选：C．8．（3分）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道．图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．直角三角形的面积 B．较小两个正方形重叠部分的面积 C．最大正方形的面积 D．最大正方形与直角三角形的面积和【解答】解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短的直角边为a，根据勾股定理得，c2＝a2+b2，∴阴影部分的面积＝c2﹣b2﹣a（c﹣b）＝a2﹣ac+ab＝a（a+b﹣c），∵较小的两个正方形重叠部分的长＝a﹣（c﹣b），宽＝a，∴较小的两个正方形重叠部分的面积＝a•[a﹣（c﹣b）]＝a（a+b﹣c）＝阴影部分的面积，∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求的是两个小正方形重叠部分的面积，故选：B．9．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点F是AB边上一点，点E是BC延长线上一点，AF＝CE，BF＝2AF．连接DF、DE、EF，EF与对角线AC相交于点G，则线段BG的长是（）A． B． C． D．【解答】解：过点F作FH∥BC交AC于H，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝CD＝BC＝3，∠ABC＝∠DAF＝∠ADC＝∠BCD＝90°，∠BAC＝45°，∴∠DCE＝180°﹣∠BCD＝90°，∴∠DAF＝∠DCE，∵AF＝CE，∴△DFA≌△DEC（SAS），∴DF＝DE，∠FDA＝∠EDC，∵BF＝2AF，∴AF＝1，BF＝2，∴DF＝＝＝DE，∵∠EDF＝∠EDC+∠CDF＝∠FDA+∠CDF＝∠ADC＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴EF＝DF＝2，∵FH∥BC，∴∠AFH＝∠ABC＝90°，∠FHG＝∠ECG，又∵∠BAC＝45°，∴△AFH是等腰直角三角形，∴FH＝AF＝CE，∵∠FGH＝∠EGC，∴△FGH≌△EGC（AAS），∴FG＝EG，∵∠ABC＝90°，∴BG＝EF＝，故选：A．10．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ADC的角平分线与边AB相交于点P，E是PD中点，若AD＝6，CD＝10，则EO的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝CD，OD＝OB，∴∠CDP＝∠APD，∵DP平分∠ADC，∴∠CDP＝∠ADP，∴∠ADP＝∠APD，∴AP＝AD＝6，∵CD＝10，∴AB＝10，∴PB＝AB﹣AP＝10﹣6＝4，∵E是PD的中点，O是BD的中点，∴EO是△DPB的中位线，∴EO＝PB＝2，故选：B．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）计算的结果是﹣．【解答】解：原式＝2﹣＝2﹣3＝﹣．故答案为﹣．12．（3分）已知a＝1+，b＝，则a2+b2﹣2a+1的值为5．【解答】解：∵a＝1+，b＝，∴a2+b2﹣2a+1＝（a2﹣2a+1）+b2＝（a﹣1）2+b2＝（1+﹣1）2+（）2＝2+3＝5，故答案为：5．13．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠CAD的平分线交BD于点E，过点E作EF∥AD交AC于点F，则＝．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAF＝45°，∠AOD＝90°，∵AE平分∠CAD，∴，∵EF∥AD，∴∠DAE＝∠AEF＝22.5°，∴△OEF∽△ODA，∴，∴，∴，故答案为：．14．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝60°．E是对角线BD上的一个动点（不与点B，D重合），连接AE，以AE为边作菱形AEFG，其中，点G位于直线AB的上方，且∠EAG＝60°，点P是AD的中点，连接PG，则线段PG的最小值是．【解答】解：连接DG，在菱形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD＝4，∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∠ADC＝120°，∴∠ABD＝60°，在菱形AEFG中，AE＝AG，∠EAG＝60°，∴∠BAE＝∠DAG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠ABE＝∠ADG，∴∠ADG＝60°，∴C，D，G三点共线，过P点作PG′⊥CD于G′点，则当G点位于G′点时，PG有最小值即PG′的长，∵P为AD的中点，AD＝4，∴PD＝2，∵∠DPG′＝90°﹣60°＝30°，∴，∴，即线段PG的最小值是．故答案为：．15．（3分）如图，△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝10，点D为△ABC内一点，BD＝CD，∠ABD+∠ADC＝180°，若AD＝2，则AC的长为．【解答】解：如图，延长AD交BC于E，在AB上截取AF＝AD，连接DF．作AH⊥BC于H．设∠ABD＝α，则∠ADC＝180°﹣α，∠DBC＝60°﹣α，∵DB＝DC，∴∠DCB＝∠DBC＝60°﹣α，∴∠BDC＝60°+2α，∴∠ADB＝120°﹣α，∴∠BAD＝60°＝∠AEB，∴△AEB是等边三角形，∵AF＝AD＝2，∴△ADF是等边三角形，∴DF＝AD＝AF＝2，∵∠FBD＝∠EDC＝α，BF＝DE，BD＝DC，∴△BFD≌△DEC（SAS），∴EC＝DF＝2，∵BC＝10，∴BE＝AB＝AE＝10﹣2＝8，∵AH⊥EB，∴BH＝EH＝4，∴，∴．故答案为：．三、解答题（16题15分，17题6分，共计21分）16．（15分）计算：（1）；（2）；（3）．【解答】解：（1）＝＝＝0；（2）＝＝＝；（3）＝＝14．17．（6分）已知，求代数式的值．【解答】解：∵，∴＝＝＝49﹣48+1+1＝3．四、解答题（18题8分，19题8分，共计16分）18．（8分）某县辖A、B、C、D四镇，其中C、A、D三镇在一条直线上，相互两镇间的公路里程如图所示，由于大山阻隔，原来从A、C两镇去D镇都需绕道B镇前往．为了发展经济，缩短A、C两镇到D真的路程，现决定开凿隧道修通A、C两镇直达D镇的公路AD．请问公路修通后从A镇区D镇比原来缩短路程多少千米？（数据＝32，＝46.65供选用）【解答】解：∵AC2+AB2＝102+242＝676，BC2＝262＝676，∴AC2+AB2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴∠BAD＝180°﹣∠BAC＝90°，在直角△ABD中，AD＝＝32（km），则公路修通以后从A到D比原来缩短的路程是：24+40﹣32＝32（km）．19．（8分）如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，连接CE，AF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB＝4，BC＝8，求菱形AECF的面积．【解答】（1）证明：∵EF是AC的垂直平分线，∴EF⊥AC，AO＝CO，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，在△EAO和△FCO中，∴△EAO≌△FCO（ASA），∴AE＝CF，∵AE∥CF，∴四边形AECF为平行四边形，∵EF⊥AC，∴四边形AECF为菱形；（2）解：∵四边形AECF为菱形，∴AF＝CF，设AF＝CF＝x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，由勾股定理得：AB2+BF2＝AF2，即42+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝5，即CF＝AF＝5，∵AB＝4，∴菱形AECF的面积S＝CF×AB＝5×4＝20．五、解答题（8分）20．（8分）荡秋千（图1）是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，赵彬在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.5m，将它往前推送1.8m（水平距离BC＝1.8m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝CE＝1.1m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．【解答】解：由题意得：∠ACB＝90°，在Rt△ACB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，设绳索AD的长度为xm，则AC＝（x﹣1.1+0.5）m，∴x2＝1.82+（x﹣0.6）2，解得：x＝3，答：绳索AD的长度是3m．六、解答题（8分）21．（8分）如图，正方形ABCD中，点E是CD边上的一点（不与点C，D重合），连接BE，BF平分∠ABE，交AD边于点F，试判断线段AF，CE和BE之间的数量关系，并说明理由．【解答】解：AF+CE＝BE．理由：如图所示，过点B作BG⊥BE，与DA的延长线交于点G．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠C＝∠BAD＝90°，AB＝BC，∴∠ABE+∠CBE＝90°，∵BG⊥BE，∴∠GBE＝∠ABG+∠ABE＝90°，∴∠ABG＝∠CBE，在△CBE和△ABG中，，∴△CBE≌△ABG（ASA），∴CE＝AG，BE＝BG，∵BF平分∠ABE，∴∠ABF＝∠EBF，∵∠ABG＝∠CBE，∴∠ABG+∠ABF＝∠CBE+∠EBF，即∠GBF＝∠CBF，∵AD∥BC，∴∠CBF＝∠AFB，∴∠AFB＝∠GBF，∴BG＝GF＝BE，即AF+CE＝BE．七、解答题（10分）22．（10分）【问题背景】（1）如图1，点P是线段，AB，CD的中点，求证：AC∥BD；【变式迁移】（2）如图2，在等腰△ABC中，BD是底边AC上的高线，E为△ABD内一点，连接ED，延长ED到点F，使DF＝DE，连接AF，若BE⊥AF，请判断AF，BE，BC三边数量关系并说明理由；【拓展应用】（3）如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB中点，点E在线段BD上（点E不与点B，点D重合），过点A作AF⊥CE，连接FD，若AF＝12，CF＝4，求FD的长．【解答】（1）证明：∵点P是线段AB，CD的中点，∴AP＝PB，DP＝CP，在△ACP与△BDP中，，∴△PAC≌△PBD（SAS），∴∠A＝∠B，∴AC∥BD；（2）解：AF2+BE2＝BC2，理由如下：连接CE，如图2：∵△ABC是等腰三角形，BD是底边AC上的高线，∴AD＝DC，在△ADF与△CDE中，，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴∠FAD＝∠ECD，AF＝CE，∴AF∥CE，∵BE⊥AF，∴BE⊥CE，∴∠BEC＝90°，∴AF2+BE2＝BC2；（3）解：延长FD到T，使得DT＝DF，连接BT，延长CE交BT于点J，如图3：∵D为AB的中点