高等数学（1-4章）全册配套完整课件2

高等数学（1-4章）全册配套完整课件2引言一、什么是高等数学?初等数学—研究对象为常量,以静止观点研究问题.高等数学—研究对象为变量,运动和辩证法进入了数学.数学中的转折点是笛卡儿的变数.有了变数,运动进入了数学,有了变数，辩证法进入了数学,有了变数,微分和积分也就立刻成为必要的了,而它们也就立刻产生.恩格斯笛卡儿目录上页下页返回结束1.分析基础:函数,极限,连续

2.微积分学:一元微积分(上册)(下册)3.向量代数与空间解析几何4.无穷级数5.常微分方程主要内容多元微积分机动目录上页下页返回结束二、如何学习高等数学?1.认识高等数学的重要性,培养浓厚的学习兴趣.2.学数学最好的方式是做数学.聪明在于学习,天才在于积累.学而优则用,学而优则创.由薄到厚,由厚到薄.马克思恩格斯要辨证而又唯物地了解自然,就必须熟悉数学.一门科学,只有当它成功地运用数学时,才能达到真正完善的地步.第一节目录上页下页返回结束华罗庚给出了几何问题的统一笛卡儿

(1596～1650)法国哲学家,数学家,物理学家,他是解析几何奠基人之一.1637年他发表的《几何学》论文分析了几何学与代数学的优缺点,进而提出了“另外一种包含这两门科学的优点而避免其缺点的方法”,从而提出了解析几何学的主要思想和方法,恩格斯把它称为数学中的转折点.把几何问题化成代数问题,作图法,华罗庚(1910～1985)我国在国际上享有盛誉的数学家.他在解析数论,自守函数论,高维数值积分等广泛的数学领域中,程,都作出了卓越的贡献,发表专著与学术论文近300篇.偏微分方多复变函数论,矩阵几何学,典型群,他对青年学生的成长非常关心,他提出治学之道是“宽,专,漫”,即基础要宽,专业要专,要使自己的专业知识漫到其它领域.1984年来中国矿业大学视察时给给师生题词:“学而优则用,学而优则创”.第一章分析基础函数极限连续—研究对象—研究方法—研究桥梁函数与极限

第一章二、映射三、函数一、集合第一节机动目录上页下页返回结束映射与函数元素a属于集合M,记作元素a不属于集合M,记作一、集合1.定义及表示法定义1.

具有某种特定性质的事物的总体称为集合.组成集合的事物称为元素.不含任何元素的集合称为空集,记作

.

(或).注:

M

为数集表示M

中排除0的集;表示M

中排除0与负数的集.机动目录上页下页返回结束表示法：(1)列举法：按某种方式列出集合中的全体元素.例:有限集合自然数集(2)描述法：

x

所具有的特征例:

整数集合或有理数集

p与q

互质实数集合

x

为有理数或无理数开区间闭区间机动目录上页下页返回结束无限区间点的

邻域其中,a

称为邻域中心,

称为邻域半径.半开区间去心

邻域左

邻域:右

邻域:机动目录上页下页返回结束是B的子集

,或称B包含A,2.集合之间的关系及运算定义2

.则称A若且则称A

与B

相等,例如,显然有下列关系:,,

若设有集合记作记作必有机动目录上页下页返回结束定义3

.

给定两个集合A,B,并集交集且差集且定义下列运算:余集直积特例:记为平面上的全体点集机动目录上页下页返回结束或二、映射1.映射的概念某校学生的集合学号的集合按一定规则查号某班学生的集合某教室座位的集合按一定规则入座机动目录上页下页返回结束引例1.引例2.引例3.(点集)(点集)向y

轴投影机动目录上页下页返回结束定义4.设X,Y

是两个非空集合,若存在一个对应规则f,使得有唯一确定的与之对应,则称f

为从X

到Y

的映射,记作元素

y

称为元素x

在映射

f下的像

,记作元素

x称为元素y

在映射

f

下的原像

.集合X

称为映射f

的定义域;Y

的子集称为f

的值域

.注意:1)映射的三要素—定义域,对应规则,值域.2)元素x

的像y

是唯一的,但y

的原像不一定唯一.机动目录上页下页返回结束对映射若,则称f

为满射;若有则称f

为单射;若f既是满射又是单射,则称f

为双射或一一映射.引例2,3机动目录上页下页返回结束引例2引例2例1.海伦公式例2.如图所示,对应阴影部分的面积则在数集自身之间定义了一种映射(满射)例3.如图所示,则有(满射)

(满射)机动目录上页下页返回结束X(数集或点集

)说明:在不同数学分支中有不同的惯用X(≠

)Y(数集)机动目录上页下页返回结束f称为X

上的泛函X(≠

)Xf称为X

上的变换

Rf称为定义在X

上的为函数映射又称为算子.名称.例如,2.逆映射与复合映射(1)逆映射的定义定义:若映射为单射,则存在一新映射使习惯上,的逆映射记成例如,映射其逆映射为其中称此映射为f

的逆映射.机动目录上页下页返回结束(2)复合映射机动目录上页下页返回结束手电筒D引例.复合映射定义.则当由上述映射链可定义由D

到Y

的复设有映射链记作合映射

,时,或机动目录上页下页返回结束注意:

构成复合映射的条件不可少.以上定义也可推广到多个映射的情形.定义域三、函数1.函数的概念定义4.设数集则称映射为定义在D

上的函数,记为f(D)称为值域函数图形:机动目录上页下页返回结束自变量因变量(对应规则)(值域)(定义域)例如,反正弦主值

定义域

对应规律的表示方法:解析法、图象法、列表法使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.定义域值域又如,绝对值函数定义域值域机动目录上页下页返回结束例4.

已知函数求及解:函数无定义并写出定义域及值域.定义域值域机动目录上页下页返回结束2.函数的几种特性设函数且有区间(1)有界性使称使称说明:

还可定义有上界、有下界、无界(见上册P11)(2)单调性为有界函数.在I

上有界.使若对任意正数M,均存在则称f(x)

无界.称为有上界称为有下界当时,称为I

上的称为I

上的单调增函数;单调减函数.机动目录上页下页返回结束(3)奇偶性且有若则称

f(x)为偶函数;若则称f(x)为奇函数.

说明:若在x=0有定义,为奇函数时,则当必有例如,

偶函数双曲余弦记机动目录上页下页返回结束又如,奇函数双曲正弦记再如,奇函数双曲正切记机动目录上页下页返回结束(4)周期性且则称为周期函数

,若称

l

为周期(一般指最小正周期

).周期为

周期为注:

周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函数狄里克雷函数x

为有理数x为无理数机动目录上页下页返回结束3.反函数与复合函数(1)反函数的概念及性质若函数为单射,则存在逆映射习惯上,的反函数记成称此映射为f

的反函数.机动目录上页下页返回结束其反函数(减)(减).1)y＝f(x)单调递增且也单调递增性质:2)函数与其反函数的图形关于直线对称.例如,对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.机动目录上页下页返回结束指数函数(2)复合函数则设有函数链称为由①,②确定的复合函数

,①机动目录上页下页返回结束—复合映射的特例②u

称为中间变量.注意:

构成复合函数的条件不可少.例如,

函数链:函数但函数链不能构成复合函数.可定义复合机动目录上页下页返回结束两个以上函数也可构成复合函数.例如,可定义复合函数:4.初等函数(1)基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(2)初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数

.例如,并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步骤所构成,称为初等函数.可表为故为初等函数.又如,

双曲函数与反双曲函数也是初等函数.(自学,P17–P21)机动目录上页下页返回结束非初等函数举例:符号函数当x>0当x=0当x<0取整函数当机动目录上页下页返回结束例5.求的反函数及其定义域.解:当时,则当时,则当时,则反函数定义域为机动目录上页下页返回结束内容小结1.集合及映射的概念定义域对应规律3.函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性4.初等函数的结构

作业

P216(5),(8),(10);8;10;11;15;18;19;20

2.函数的定义及函数的二要素第二节目录上页下页返回结束且备用题证明证:

令则由消去得时其中a,b,c

为常数,且为奇函数.为奇函数.1.设机动目录上页下页返回结束2.

设函数的图形与均对称,求证是周期函数.证:由的对称性知于是故是周期函数,周期为机动目录上页下页返回结束

第一章二、收敛数列的性质三、极限存在准则一、数列极限的定义第二节机动目录上页下页返回结束数列的极限数学语言描述:一、数列极限的定义引例.设有半径为

r

的圆,逼近圆面积S.如图所示,可知当

n无限增大时,无限逼近S

(刘徽割圆术)

,当n

>

N时,用其内接正

n

边形的面积总有刘徽目录上页下页返回结束定义:自变量取正整数的函数称为数列,记作或称为通项(一般项).若数列及常数a有下列关系:当n>

N

时,总有记作此时也称数列收敛

,否则称数列发散

.几何解释:即或则称该数列的极限为a,机动目录上页下页返回结束例如,趋势不定收敛发散机动目录上页下页返回结束例1.已知证明数列的极限为1.

证:欲使即只要因此,取则当时,就有故机动目录上页下页返回结束例2.已知证明证:欲使只要即取则当时,就有故故也可取也可由N

与

有关,但不唯一.不一定取最小的N.说明:

取机动目录上页下页返回结束例3.设证明等比数列证:欲使只要即亦即因此,取,则当n>N

时,就有故的极限为

0.机动目录上页下页返回结束二、收敛数列的性质证:

用反证法.及且取因故存在N1,从而同理,因故存在N2,使当n>N2时,有1.收敛数列的极限唯一.使当n>N1时,假设从而矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当n>N

时,故假设不真!满足的不等式机动目录上页下页返回结束例4.

证明数列是发散的.

证:

用反证法.假设数列收敛,则有唯一极限a

存在.取则存在N,但因交替取值1与－1,内,而此二数不可能同时落在长度为1的开区间使当n>N

时,有因此该数列发散.机动目录上页下页返回结束2.收敛数列一定有界.证:

设取则当时,从而有取则有由此证明收敛数列必有界.说明:

此性质反过来不一定成立.例如,虽有界但不收敛.有数列机动目录上页下页返回结束3.收敛数列的保号性.若且时,有证:对a>0,取推论:若数列从某项起(用反证法证明)机动目录上页下页返回结束*********************4.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.证:设数列是数列的任一子数列.若则当时,有现取正整数K,使于是当时,有从而有由此证明*********************机动目录上页下页返回结束由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同的极限,例如，

发散!则原数列一定发散.机动目录上页下页返回结束说明:三、极限存在准则由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同的极限,例如，

发散!夹逼准则;单调有界准则;柯西审敛准则.则原数列一定发散.机动目录上页下页返回结束说明:1.夹逼准则

(准则1)

(P49)证:

由条件(2),当时,当时,令则当时,有由条件(1)即故机动目录上页下页返回结束例5.证明证:利用夹逼准则.且由机动目录上页下页返回结束2.单调有界数列必有极限

(准则2

)

(P52)

(证明略)机动目录上页下页返回结束例6.设证明数列极限存在.(P52～P54)证:利用二项式公式,有机动目录上页下页返回结束大大正又比较可知机动目录上页下页返回结束根据准则2可知数列记此极限为e,e为无理数,其值为即有极限.原题目录上页下页返回结束又*3.柯西极限存在准则(柯西审敛原理)

(P55)数列极限存在的充要条件是:存在正整数N,使当时,证:“必要性”.设则时,有使当因此“充分性”证明从略.有柯西目录上页下页返回结束内容小结1.数列极限的“

–N

”

定义及应用2.收敛数列的性质:唯一性;有界性;保号性;任一子数列收敛于同一极限3.极限存在准则:夹逼准则;单调有界准则;柯西准则机动目录上页下页返回结束思考与练习1.如何判断极限不存在?方法1.

找一个趋于∞的子数列;方法2.

找两个收敛于不同极限的子数列.2.已知,求时,下述作法是否正确?说明理由.设由递推式两边取极限得不对!此处机动目录上页下页返回结束作业P303(2),(3),4,6P564(1),(3)4(3)提示:可用数学归纳法证第三节目录上页下页返回结束故极限存在，备用题

1.设,且求解：设则由递推公式有∴数列单调递减有下界，故利用极限存在准则机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束2.

设证:显然证明下述数列有极限.即单调增,又存在“拆项相消”法刘徽(约225–295年)我国古代魏末晋初的杰出数学家.他撰写的《重差》对《九章算术》中的方法和公式作了全面的评注,指出并纠正了其中的错误,在数学方法和数学理论上作出了杰出的贡献.他的“割圆术”求圆周率“割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”它包含了“用已知逼近未知,用近似逼近精确”的重要极限思想.

的方法:柯西(1789–1857)法国数学家,他对数学的贡献主要集中在微积分学,《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是为巴黎综合学

校编写的《分析教程》,《无穷小分析概论》,《微积分在几何上的应用》等,有思想有创建,响广泛而深远.对数学的影他是经典分析的奠人之一,他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展.复变函数和微分方程方面.一生发表论文800余篇,著书7本,

第一章一、自变量趋于有限值时函数的极限第三节自变量变化过程的六种形式:二、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容:机动目录上页下页返回结束函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限1.时函数极限的定义引例.

测量正方形面积.面积为A)边长为(真值:边长面积直接观测值间接观测值任给精度

,要求确定直接观测值精度

:机动目录上页下页返回结束定义1.

设函数在点的某去心邻域内有定义,当时,有则称常数

A

为函数当时的极限,或即当时,有若记作几何解释:极限存在函数局部有界(P36定理2)这表明:机动目录上页下页返回结束例1.证明证:故对任意的当时,因此总有机动目录上页下页返回结束例2.证明证:欲使取则当时,必有因此只要机动目录上页下页返回结束例3.

证明证:故取当时,必有因此机动目录上页下页返回结束例4.

证明:当证:欲使且而可用因此只要时故取则当时,保证.必有机动目录上页下页返回结束2.保号性定理定理1.若且

A>0,证:

已知即当时,有当

A>0时,取正数则在对应的邻域上(<0)则存在(A<0)(P37定理3)机动目录上页下页返回结束若取则在对应的邻域上若则存在使当时,有推论:(P37推论)分析:机动目录上页下页返回结束定理2.

若在的某去心邻域内,且则证:

用反证法.则由定理1,的某去心邻域,使在该邻域内与已知所以假设不真,(同样可证的情形)思考:

若定理2中的条件改为是否必有不能!存在如假设A<0,条件矛盾,故机动目录上页下页返回结束3.左极限与右极限左极限:当时,有右极限:当时,有定理3.(P38题8)机动目录上页下页返回结束例5.

设函数讨论时的极限是否存在.解:

利用定理3.因为显然所以不存在.机动目录上页下页返回结束二、自变量趋于无穷大时函数的极限定义2

.设函数大于某一正数时有定义,若则称常数时的极限,几何解释:记作直线y=A

为曲线的水平渐近线机动目录上页下页返回结束A

为函数例6.

证明证:取因此注:就有故欲使即机动目录上页下页返回结束直线y=A仍是曲线

y=f(x)

的渐近线.两种特殊情况:当时,有当时,有几何意义:例如，都有水平渐近线都有水平渐近线又如，机动目录上页下页返回结束内容小结1.函数极限的或定义及应用2.函数极限的性质:保号性定理与左右极限等价定理思考与练习1.若极限存在,2.设函数且存在,则例3

作业

P371(4);2(2);5;6;7;9Th1Th3Th2是否一定有第四节目录上页下页返回结束？

第一章二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系一、无穷小第四节机动目录上页下页返回结束无穷小与无穷大当一、无穷小定义1.

若时,函数则称函数例如:函数当时为无穷小;函数时为无穷小;函数当为时的无穷小

.时为无穷小.机动目录上页下页返回结束说明:除0以外任何很小的常数都不是无穷小

!因为当时,显然C

只能是0!CC时,函数(或)则称函数为定义1.

若(或)则时的无穷小

.机动目录上页下页返回结束其中

为时的无穷小量.定理1.

(无穷小与函数极限的关系)证:当时,有对自变量的其它变化过程类似可证.机动目录上页下页返回结束二、无穷大定义2

.

若任给

M>0,一切满足不等式的

x,总有则称函数当时为无穷大,

使对若在定义中将①式改为①则记作(正数X),记作总存在机动目录上页下页返回结束注意:1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.2.函数为无穷大,必定无界.但反之不真!例如,

函数当但所以时,不是无穷大!机动目录上页下页返回结束例.证明证:

任给正数

M,要使即只要取则对满足的一切x,有所以若则直线为曲线的铅直渐近线.渐近线说明:机动目录上页下页返回结束三、无穷小与无穷大的关系若为无穷大,为无穷小;若为无穷小,且则为无穷大.则(自证)据此定理,关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.定理2.

在自变量的同一变化过程中,说明:机动目录上页下页返回结束内容小结1.无穷小与无穷大的定义2.无穷小与函数极限的关系Th13.无穷小与无穷大的关系Th2思考与练习P41题1,3P41题3提示:

作业P412(1),(2);7第五节目录上页下页返回结束

第一章二、极限的四则运算法则三、复合函数的极限运算法则一、无穷小运算法则第五节机动目录上页下页返回结束极限运算法则时,有一、无穷小运算法则定理1.

有限个无穷小的和还是无穷小.证:

考虑两个无穷小的和.设当时,有当时,有取则当因此这说明当时,为无穷小量.机动目录上页下页返回结束说明:

无限个无穷小之和不一定是无穷小!例如，(P56,题4(2))解答见课件第二节例5机动目录上页下页返回结束类似可证:有限个无穷小之和仍为无穷小.定理2.

有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

证:

设又设即当时,有取则当时,就有故即是时的无穷小.推论1

.

常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2

.

有限个无穷小的乘积是无穷小.机动目录上页下页返回结束例1.求解:

利用定理2可知说明:

y=0是的渐近线.机动目录上页下页返回结束二、极限的四则运算法则则有证:因则有(其中为无穷小)于是由定理1可知也是无穷小,再利用极限与无穷小的关系定理,知定理结论成立.定理3.

若机动目录上页下页返回结束推论:

若且则(P45定理5)利用保号性定理证明.说明:

定理3可推广到有限个函数相加、减的情形.提示:

令机动目录上页下页返回结束定理4

.若则有提示:

利用极限与无穷小关系定理及本节定理2证明.说明:

定理4可推广到有限个函数相乘的情形.推论1.(C

为常数)推论2.(n

为正整数)例2.

设

n次多项式试证证:机动目录上页下页返回结束为无穷小(详见P44)定理5.

若且B≠0,则有证:

因有其中设无穷小有界因此由极限与无穷小关系定理,得为无穷小,机动目录上页下页返回结束定理6

.

若则有提示:

因为数列是一种特殊的函数,故此定理可由定理3,4,5直接得出结论.机动目录上页下页返回结束

x=3时分母为0!例3.

设有分式函数其中都是多项式,试证:证:说明:

若不能直接用商的运算法则.例4.

若机动目录上页下页返回结束例5.

求解:

x=1时分母=0,分子≠0,但因机动目录上页下页返回结束例6

.

求解:时,分子分子分母同除以则分母“抓大头”原式机动目录上页下页返回结束一般有如下结果：为非负常数)(如P47例5)(如P47例6)(如P47例7)机动目录上页下页返回结束三、复合函数的极限运算法则定理7.

设且

x满足时,又则有证:

当时,有当时,有对上述取则当时故①因此①式成立.机动目录上页下页返回结束定理7.

设且x

满足时,又则有

说明:若定理中则类似可得机动目录上页下页返回结束例7.求解:

令已知(见P46例3)∴原式=(见P33例5)机动目录上页下页返回结束例8.求解:

方法1则令∴原式方法2机动目录上页下页返回结束内容小结1.极限运算法则(1)无穷小运算法则(2)极限四则运算法则(3)复合函数极限运算法则注意使用条件2.求函数极限的方法(1)分式函数极限求法时,用代入法(分母不为0)时,对型,约去公因子时,分子分母同除最高次幂“抓大头”(2)复合函数极限求法设中间变量Th1Th2Th3Th4Th5Th7机动目录上页下页返回结束思考及练习1.是否存在?为什么?答:

不存在.否则由利用极限四则运算法则可知存在,与已知条件矛盾.解:原式2.问机动目录上页下页返回结束3.

求解法1原式=解法2令则原式=机动目录上页下页返回结束4.

试确定常数a

使解:令则故机动目录上页下页返回结束因此作业P481（5），（7），（9），（12），（14）

2（1），（3）

3（1）

4第六节目录上页下页返回结束备用题设解:利用前一极限式可令再利用后一极限式,得可见是多项式,且求故机动目录上页下页返回结束二、两个重要极限一、函数极限与数列极限的关系及夹逼准则第六节机动目录上页下页返回结束极限存在准则及两个重要极限

第一章一、函数极限与数列极限的关系及夹逼准则1.函数极限与数列极限的关系定理1.有定义,为确定起见,仅讨论的情形.有机动目录上页下页返回结束定理1.有定义,且设即当有有定义,且对上述

,时,有于是当时故可用反证法证明.(略)有证：当“”“”机动目录上页下页返回结束定理1.有定义且有说明:此定理常用于判断函数极限不存在.法1

找一个数列不存在.法2

找两个趋于的不同数列及使机动目录上页下页返回结束例1.

证明不存在.证:

取两个趋于0的数列及有由定理1知不存在.机动目录上页下页返回结束2.函数极限存在的夹逼准则定理2.且(利用定理1及数列的夹逼准则可证)机动目录上页下页返回结束圆扇形AOB的面积二、两个重要极限证:当即亦即时，显然有△AOB

的面积＜＜△AOD的面积故有注注目录上页下页返回结束当时注例2.

求解:例3.

求解:

令则因此原式机动目录上页下页返回结束例4.

求解:

原式=例5.

已知圆内接正n

边形面积为证明:证:说明:计算中注意利用机动目录上页下页返回结束2.证:当时,设则机动目录上页下页返回结束当则从而有故说明:

此极限也可写为时,令机动目录上页下页返回结束例6.

求解:

令则说明

：若利用机动目录上页下页返回结束则原式例7.求解:

原式=机动目录上页下页返回结束的不同数列内容小结1.函数极限与数列极限关系的应用(1)利用数列极限判别函数极限不存在(2)数列极限存在的夹逼准则法1

找一个数列且使法2

找两个趋于及使不存在.函数极限存在的夹逼准则机动目录上页下页返回结束2.两个重要极限或注:

代表相同的表达式机动目录上页下页返回结束思考与练习填空题

(1～4)

作业

P55

1

(4)，(5)，(6);2(2)，(3)，(4);4(4),(5)第七节目录上页下页返回结束

第一章都是无穷小,第七节引例.但可见无穷小趋于0的速度是多样的.机动目录上页下页返回结束无穷小的比较定义.若则称

是比

高阶的无穷小,若若若若或设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称

是比

低阶的无穷小;则称

是

的同阶无穷小;则称

是关于

的k阶无穷小;则称

是

的等价无穷小,记作机动目录上页下页返回结束例如

,

当～时～～又如

，故时是关于x的二阶无穷小,～且机动目录上页下页返回结束例1.

证明:当时,～证:～机动目录上页下页返回结束～～定理1.证:即即例如,～～故机动目录上页下页返回结束定理2.

设且存在,则证:例如,机动目录上页下页返回结束设对同一变化过程,

,

为无穷小,说明:无穷小的性质,(1)和差取大规则:由等价可得简化某些极限运算的下述规则.若

=o(

),(2)和差代替规则:例如,机动目录上页下页返回结束例如,(3)因式代替规则:界,则例如,机动目录上页下页返回结束

例1.求解:原式例2.求解:机动目录上页下页返回结束内容小结1.无穷小的比较设

,

对同一自变量的变化过程为无穷小,且

是

的高阶无穷小

是

的低阶无穷小

是

的同阶无穷小

是

的等价无穷小

是

的k阶无穷小机动目录上页下页返回结束2.等价无穷小替换定理～～～～～思考与练习Th2P59题1,2

作业

P593;4

(2),(3),(4);5

(3)

常用等价无穷小:第八节目录上页下页返回结束二、函数的间断点一、函数连续性的定义第八节机动目录上页下页返回结束函数的连续性与间断点

第一章可见,函数在点一、函数连续性的定义定义:在的某邻域内有定义,则称函数(1)在点即(2)极限(3)设函数连续必须具备下列条件:存在;且有定义,存在;机动目录上页下页返回结束continue若在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上连续,或称它为该区间上的连续函数

.例如,在上连续.(有理整函数)又如,

有理分式函数在其定义域内连续.在闭区间上的连续函数的集合记作只要都有机动目录上页下页返回结束对自变量的增量有函数的增量左连续右连续当时,有函数在点连续有下列等价命题:机动目录上页下页返回结束例.

证明函数在内连续.证:即这说明在内连续.同样可证:函数在内连续.机动目录上页下页返回结束在在二、函数的间断点(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但

不连续:设在点的某去心邻域内有定义,则下列情形这样的点之一函数f(x)在点虽有定义,但虽有定义,且称为间断点

.在无定义

;机动目录上页下页返回结束间断点分类:第一类间断点:及均存在,若称若称第二类间断点:及中至少一个不存在,称若其中有一个为振荡,称若其中有一个为为可去间断点

.为跳跃间断点

.为无穷间断点

.为振荡间断点

.机动目录上页下页返回结束为其无穷间断点.为其振荡间断点.为可去间断点.例如:机动目录上页下页返回结束显然为其可去间断点.(4)(5)为其跳跃间断点.机动目录上页下页返回结束内容小结左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在点连续的等价形式机动目录上页下页返回结束思考与练习1.讨论函数x=2是第二类无穷间断点.间断点的类型.2.设时提示:3.P64题2,P65题5为连续函数.机动目录上页下页返回结束答案:x=1是第一类可去间断点,P65题5提示:

作业

P643;4第九节目录上页下页返回结束备用题

确定函数间断点的类型.解:

间断点为无穷间断点;故为跳跃间断点.机动目录上页下页返回结束一、连续函数的运算法则第九节二、初等函数的连续性机动目录上页下页返回结束连续函数的运算与初等函数的连续性

第一章定理2.

连续单调递增函数的反函数在其定义域内连续一、连续函数的运算法则定理1.

在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,(利用极限的四则运算法则证明)商(分母不为0)

运算,结果仍是一个在该点连续的函数.例如,例如,在上连续单调递增，其反函数(递减).(证明略)在[－1,1]上也连续单调递增.递增(递减)也连续单调机动目录上页下页返回结束定理3.

连续函数的复合函数是连续的.在上连续单调递增,其反函数在上也连续单调递增.证:

设函数于是故复合函数又如,

且即机动目录上页下页返回结束例如,是由连续函数链因此在上连续.复合而成,机动目录上页下页返回结束例1.设均在上连续,证明函数也在上连续.证:根据连续函数运算法则,可知也在上连续.机动目录上页下页返回结束二、初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续例如,的连续区间为(端点为单侧连续)的连续区间为的定义域为因此它无连续点而机动目录上页下页返回结束例2.

求解:原式例3.

求解:

令则原式说明:

当时,有机动目录上页下页返回结束例4.求解:原式说明:

若则有机动目录上页下页返回结束例5.

设解:讨论复合函数的连续性.故此时连续;而故x=1为第一类间断点.在点x=1

不连续,机动目录上页下页返回结束

内容小结基本初等函数在定义区间内连续连续函数的四则运算的结果连续连续函数的反函数连续连续函数的复合函数连续初等函数在定义区间内连续说明:

分段函数在界点处是否连续需讨论其左、右连续性.机动目录上页下页返回结束思考与练习续?反例

x

为有理数

x

为无理数处处间断,处处连续.反之是否成立?

作业P683(5),(6),(7);4(4),(5),(6);5提示:“反之”不成立.第十节目录上页下页返回结束第十节一、最值定理二、介值定理*三、一致连续性机动目录上页下页返回结束闭区间上连续函数的性质

第一章注意:

若函数在开区间上连续,结论不一定成立.一、最值定理定理1.在闭区间上连续的函数即:设则使值和最小值.或在闭区间内有间断在该区间上一定有最大(证明略)点

,机动目录上页下页返回结束例如,无最大值和最小值也无最大值和最小值又如,

机动目录上页下页返回结束推论.

由定理1可知有证:

设上有界.二、介值定理定理2.

(零点定理)至少有一点且使机动目录上页下页返回结束(证明略)在闭区间上连续的函数在该区间上有界.定理3.(介值定理)设且则对A

与B

之间的任一数C,一点证:

作辅助函数则且故由零点定理知,至少有一点使即推论:使至少有在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最大值之间的任何值.机动目录上页下页返回结束例1.证明方程一个根.证:显然又故据零点定理,至少存在一点使即说明:内必有方程的根;取的中点内必有方程的根;可用此法求近似根.二分法在区间内至少有机动目录上页下页返回结束则则上连续,且恒为正,例2.

设在对任意的必存在一点证:使令,则使故由零点定理知,存在即当时,取或,则有证明:小结目录上页下页返回结束*三.一致连续性已知函数在区间I上连续,即:一般情形,就引出了一致连续的概念.定义:对任意的都有在I上一致连续.显然:机动目录上页下页返回结束例如,但不一致连续.因为取点则可以任意小但这说明在(0,1]上不一致连续.定理.上一致连续.(证明略)思考:P73题6提示:设存在,作辅助函数显然机动目录上页下页返回结束内容小结在上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;4.当时,使必存在上有界;在在机动目录上页下页返回结束1.

任给一张面积为A

的纸片(如图),证明必可将它思考与练习一刀剪为面积相等的两片.提示:建立坐标系如图.则面积函数因故由介值定理可知:机动目录上页下页返回结束则证明至少存在使提示:

令则易证2.

设作业P73题2;3;4一点习题课目录上页下页返回结束备用题

至少有一个不超过4的证：证明令且根据零点定理,原命题得证.内至少存在一点在开区间显然正根.机动目录上页下页返回结束二、连续与间断一、函数三、极限习题课机动目录上页下页返回结束函数与极限

第一章一、函数1.函数的概念定义:

定义域

值域图形:(一般为曲线)设函数为特殊的映射:其中机动目录上页下页返回结束2.函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性3.反函数设函数为单射,反函数为其逆映射4.复合函数给定函数链则复合函数为5.初等函数有限个常数及基本初等函数经有限次四则运算与复复合而成的一个表达式的函数.机动目录上页下页返回结束例1.设函数求解:机动目录上页下页返回结束解:利用函数表示与变量字母的无关的特性.代入原方程得代入上式得设其中求令即即令即画线三式联立即例2.机动目录上页下页返回结束思考与练习1.下列各组函数是否相同?为什么?相同相同相同机动目录上页下页返回结束2.下列各种关系式表示的y

是否为x

的函数?为什么?不是是不是提示:(2)机动目录上页下页返回结束⑶⑵3.下列函数是否为初等函数?为什么?⑷以上各函数都是初等函数.机动目录上页下页返回结束4.

设求及其定义域.5.

已知,求6.

设求由得4.解:机动目录上页下页返回结束5.

已知,求解:6.

设求解:机动目录上页下页返回结束二、连续与间断1.函数连续的等价形式有2.函数间断点第一类间断点第二类间断点可去间断点跳跃间断点无穷间断点振荡间断点机动目录上页下页返回结束有界定理;最值定理;零点定理;介值定理.3.闭区间上连续函数的性质例3.

设函数在x=0连续,则

a=

,b=

.提示:机动目录上页下页返回结束有无穷间断点及可去间断点解:为无穷间断点,所以为可去间断点,极限存在例4.

设函数试确定常数a

及b.机动目录上页下页返回结束例5.

设

f(x)

定义在区间上,,若f(x)在连续,提示:阅读与练习且对任意实数证明f(x)

对一切

x

都连续

.P64题2(2),4;P73题5机动目录上页下页返回结束证:P73题5.

证明:若令则给定当时,有又根据有界性定理,,使取则在内连续,存在,则必在内有界.机动目录上页下页返回结束三、极限1.极限定义的等价形式(以为例)(即为无穷小)有机动目录上页下页返回结束2.极限存在准则及极限运算法则3.无穷小无穷小的性质;无穷小的比较;常用等价无穷小:

4.两个重要极限6.判断极限不存在的方法～～～～～～～～～机动目录上页下页返回结束5.求极限的基本方法例6.

求下列极限：提示:无穷小有界机动目录上页下页返回结束令机动目录上页下页返回结束～则有复习:

若机动目录上页下页返回结束例7.

确定常数a,b,

使解:原式故于是而机动目录上页下页返回结束例8.

当时,是的几阶无穷小?解:

设其为的阶无穷小,则因故机动目录上页下页返回结束阅读与练习1.求的间断点,并判别其类型.解:

x=–1为第一类可去间断点

x=1为第二类无穷间断点

x=0为第一类跳跃间断点机动目录上页下页返回结束

2.

求解:原式=1(2000考研)机动目录上页下页返回结束

作业

P743(1),(4);4;7;8(2),(3),(6);9;10;11;12机动目录上页下页返回结束3.求解:

令则利用夹逼准则可知三、两个重要极限二、极限存在准则第六节机动目录上页下页返回结束极限存在准则及两个重要极限

第一章一、函数极限与数列极限的关系一、函数极限与数列极限的关系定理1.有定义,为确定起见,仅讨论的情形.有机动目录上页下页返回结束定理1.有定义,且设即当有有定义,且对上述

,时,有于是当时故可用反证法证明.(略)有证：当“”“”机动目录上页下页返回结束定理1.有定义且有说明:此定理常用于判断函数极限不存在.法1

找一个数列不存在.法2

找两个趋于的不同数列及使机动目录上页下页返回结束例1.

证明不存在.证:

取两个趋于0的数列及有由定理1知不存在.机动目录上页下页返回结束二、极限存在准则夹逼准则机动目录上页下页返回结束单调有界准则柯西审敛准则（略）1.数列极限的夹逼准则

(准则1)

(P49)证:

由条件(2),当时,当时,令则当时,有由条件(1)即故机动目录上页下页返回结束例2.证明证:利用夹逼准则.且由机动目录上页下页返回结束2.函数极限存在的夹逼准则定理2.且(利用定理1及数列的夹逼准则可证)机动目录上页下页返回结束3.单调有界数列必有极限

(准则2)

(P52)

(证明略)机动目录上页下页返回结束例3.设证明数列极限存在.(P52～P54)证:利用二项式公式,有机动目录上页下页返回结束大大正又比较可知机动目录上页下页返回结束根据准则2可知数列记此极限为e,e为无理数,其值为即有极限.原题目录上页下页返回结束又此式即为重要极限故极限存在，例3.设,且求解：设则由递推公式有∴数列单调递减有下界，故利用极限存在准则机动目录上页下页返回结束思考与练习已知,求时,下述作法是否正确?说明理由.设由递推式两边取极限得不对!此处机动目录上页下页返回结束圆扇形AOB的面积三、两个重要极限证:当即亦即时，显然有△AOB

的面积＜＜△AOD的面积故有注注目录上页下页返回结束当时注例2.

求解:例3.

求解:

令则因此原式机动目录上页下页返回结束例4.

求解:

原式=例5.

已知圆内接正n

边形面积为证明:证:说明:计算中注意利用机动目录上页下页返回结束2.证:当时,设则机动目录上页下页返回结束当则从而有故说明:

此极限也可写为时,令机动目录上页下页返回结束例6.

求解:

令则说明

：若利用机动目录上页下页返回结束则原式例7.求解:

原式=机动目录上页下页返回结束的不同数列内容小结1.函数极限与数列极限关系的应用(1)利用数列极限判别函数极限不存在(2)数列极限存在的夹逼准则法1

找一个数列且使法2

找两个趋于及使不存在.函数极限存在的夹逼准则机动目录上页下页返回结束2.两个重要极限或注:

代表相同的表达式机动目录上页下页返回结束或思考与练习填空题

(1～4)第七节目录上页下页返回结束一、极限的三种定义机动目录上页下页返回结束若数列及常数a有下列关系:当n>

N

时,总有记作或则称该数列的极限为a,1.数列极限的“”定义机动目录上页下页返回结束在点设函数的某去心邻域内有定义,若2.函数极限的“”定义当时,总有则称常数

A

为函数当时的极限,或记作例1.证明机动目录上页下页返回结束例2.证明例3.

证明例4.

证明:当证:欲使且而可用因此只要时故取则当时,保证.必有机动目录上页下页返回结束

关于左极限与右极限左极限:当时,有右极限:当时,有定理1.(P38题8)机动目录上页下页返回结束例5.

设函数讨论时的极限是否存在.解:

利用定理3.因为显然所以不存在.机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束3.函数极限的“”定义设函数大于某一正数时有定义,若当时,总有则称常数时的极限,记作A

为函数直线y=