2020北京各区中考一模分类汇编-10 几何压轴（答案含解析）

专题10几何压轴

一.解答题（共15小题）

1.（2020•丰台区一模）已知乙4。8=120。，点尸为射线04上一动点（不与点。重合），点C为44OB内部

一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60。得到线段CQ,且点。恰好落在射线08上，不与点。重

合.

（1）依据题意补全图1;

（2）用等式表示NCP。与NCQO的数量关系，并证明；

（3）连接。C,写出一个。。的值，使得对于任意点尸，总有OP+OQ=4,并证明.

【分析】（1）根据题意补全图形即可；

（2）根据四边形内角和为360。可得答案；

（3）连接OC,在射线OA上取点O,使得OP=OQ,连接CO,首先证明ACOQ二AC。。，然后ACOO为

等边三角形，进而可得答案.

【解答】解：（1）补图如图1：

（2）NCQO+NCPO=180°,

理由如下：・.•四边形内角和360。，

Z.AOB=120°,NPCQ=60。，

ZCQO+Z.CPO=Z1+Z2=I8O°.

(3)0C=4时，对于任意点尸，总有OP+OQ=4.

证明：连接。。，在射线。4上取点£＞，使得。P=OQ连接co.

:.OP+OQ=OP+DP=OD.

Zl+Z2=180°,

vZ2+Z3=180°,

/.Z1=Z3.

;CP=CQ,

在kCQO和ACPD中

CP=CQ

・N1=N3,

QO=DP

bCOQ"CDP〈SAS).

Z4=Z6,OC=CD.

•・・N4+N5=60。，

Z5+Z6=60°.

即ZOCD=60°.

△COD是等边三角形.

/.OC=OD=OP+OQ=4.

B

oPDA

2.（2020•燕山一模）AABC中，ZACB=90°,AC=BC=x/2,M为BC边上的一个动点（不与点8,C重

合），连接AM,以点4为中心，将线段AM逆时针旋转135。，得到线段4N,连接BN.

Ah.—h

Ry备用图

（1）依题意补全图1；

(2)求证：NBAN=/AMB；

（3）点P在线段BC的延长线上，点”关于点尸的对称点为。，写出一个尸。的值，使得对于任意的点

总有AQ=BN,并证明.

【分析】（1）根据题意作出图形便可:

（2）先证明NA8C=45。，再由三角形内角和求得/4MBVNEW的数量关系，再利用角的和差也可求得

/84N与/加以的关系，进而得结论;

（3）不妨设PC的值为1（也可为其他值）.任取满足条件的点M,作点”关「点C的对称点连接W，

证明AA/'QMAANB,便可得结论.

【解答】解：（1）根据题意，补全图形，如图1,

c

图1

(2)vZACB=90°,AC=BC,

ZABM=45°.

/MAB+/ABM+Z.AMB=180°,

又・.・NAMN=135。,

ZBAN=1350-ZMAB,

/BAN=ZAMB；

(3)不妨设PC的值为1.

•.•NAC8=90。，AC=BC=&,

:.AB=2.

如图2,任取满足条件的点M,作点“关于点C的对称点M',连接AW'，

AM'=AM=AN,MM'=2CM，

.•.NAAUNAMC,

ZAMQ=ZAMB=/BAN.

•.•点M关于点P的对称点为。，

:.MQ=2MP,

:.M'Q=MQ-MM'=2MP-2MC=2PC=2,

:.M,Q=AB,

/.△AMfQ二AANB,

:.AQ=BN.

3.（2020•海淀区一模）已知NMON=a,A为射线OM上一定点，OA=5,8为射线ON上一动点，连接

AB,满足NO43,NOB4均为锐角.点C在线段。8上（与点。，8不重合），满足AC=AB,点C关于

直线OM的对称点为。，连接4）,OD.

（1）依题意补全图1；

（2）求的度数（用含。的代数式表示）；

（3）若tana=±,点?在OA的延长线上，满足AP=。。，连接8尸，写出一个的值，使得8P//0。，

4

并证明.

【分析】（1）根据要求画出图形即可.

（2）苜先证明ND+ZABO=180。,再利用四边形内角和定理解决问题即可.

（3）假设尸8//OO,求出他的值即可.

【解答】解：（1）图形，如图所示.

A/

图1

(2)vC,。关于AO对称，

/.AAOD三&4OC,

ZD=ZACO,ZAOD=ZAOC=a,

-AC=AB,

NACB=ZABC,

•・•NACO+NAC8=180。，

/.ZD+ZABC=180°,

NDAB+NDOB=180°,

NDOR=2a,

二.ZDAfi=I80°-2a.

（3）如图2中，不妨设OO//P3.作于"，B/_LO4于J.

M

Dr

图2

3

在RlAAOH中，OA=5,tanZAOH=-，

4

:.AH=3,O〃=4,设CH=BH=x,则8c=2x

OD//BP,

..^DOA=NO尸6,

NDOA=ZAOB,

・•.ZAOB=NOPB,

..PB=OB=4+x,

•/BJLOPfOP=OA+AP=5+4-x=9-x,

...OJ="=；(9-x),

八八〃OHOJ

,/cosZAOH=-----=——，

OAOB

4；(1)

—=----------,

54+x

解得"1，

：.AB=\IAH2+BH2=V32+I2=Vio.

4.(2020•平谷区一模)AABC中，AB=BC,NABC=90。，将线段AB绕点工逆时针旋转a(0。<a<90。)得

到线段AD.作射线8Q,点C关于射线的对称点为点E.连接AE.CE.

(1)依题意补全图形；

(2)若。=20。，直接写出NAEC的度数；

(3)写出一个a的值，使AE=&时，线段CE的长为退-1,并证明.

【分析】(1)作C/并延长。尸到E使七尸=C〃，如图1,

(2)连结BE，如图2,利用对称的性质得8E=BC,则8C=BE=BA,则根据等腰三角形的性质得出

ZBCE=ZBEC,ZBAE=ZBEA,由四边形的内角和可计算出

ZBCE+ZBEC+ZBAE+ZBEA+ZABC=360°,进而得至lj2(ZBEC4-Z5E4)=270°,即可证得

Z.BEC+/BEA=135°,即ZAEC=135°：

(3)如图2,先证明AAGE为等腰直角三角形，则AG=G£=1,当a=30。时，贝ijNE6c=30。，进而求得

ZACG=30°,解直角三角形求得CG=G，即可证得CE=CG—EG=X/5—1.

【解答】解：(1)如图1,

A

图1

(2)NAEC=135。,

证明：过A作AG_LCE于G.连接AC、BE，如图2,

由题意，BC=BE=BA,

:.4BCE=4BEC,ZBAE=ZBEA>

/BCE+/BEC+NBAE+NBEA+NABC=360°

•.•NA8C=90。，

.•.2(/BEC+N8E4)=270。，

NBEC+NBEA=135°,即ZAEC=135°,

(3)a=30°,

证明：vZA£C=135°,

NAEG=45°，

AE=五,

AG=GE=1,

当a=30。时，

NEBC=30°,

BC=BE,

/.Z.BCG=75°,

ZBCA=45°,

/.ZACG=30°,

CG=6

CE=6-1.

5.(2。20•顺义区一模)已知，如图，AA8。是等边三角形.

(1)如图I,将线段AC绕点A逆时针旋转90。，得到AO,连接班＞,N8AC的平分线交班＞于点E,连

接CE.

①求/4ED的度数；

②用等式表示线段AE、CE、BO之间的数量关系(直接写出结果).

(2)如图2,将线段AC绕点A顺时针旋转90。，得到4),连接切，NR4C的平分线交04的延长线于

点E,连接CE.

①依题意补全图2：

②用等式表示线段AE、CE、8。之间的数量关系，并证明.

D

A

B匕----------------------

图1

【分析】（1）①证明NAEO=NO=15。，ZBAE=30°,再利用三角形的外角的性质即可解决问题.

②结论：BD=2CE+42AE.作CK_LBC交8D于K,连接CQ.证明破=EK,0K=V5AE即可解决问

题.

（2）①根据要求画出图形即可.

②结论：BD=y/2AE-2CE.过点A作交£D的延长线于点/（如图3）,利用全等三角形的性

质以及等腰直角三角形的性质解决问题即可.

【解答】（1）解：①如图1中，

图1

•••A43c是等边三角形,

•.AB=AC,NBAC=60°,

•.•AE平分N8AC,

ZBAE=-ZBAC=30°,

2

由旋转可知：AD=ACfZCAD=90°.

:.AB=AD^ZBAD=150%

:.ZABD=ZD=\5°t

/.NAED=/ABD+ZBAE=45°.

②结论；BD^2CE±y/2AE.

理由：作CK_LBC交8D于K,连接CO.

vAB=AC,NBAE=NCAE,AE=AE,

..AAEB^AAEC(SAS)f

BE=EC,ZAEB=ZAEC=135°,

ZBEC=90°,

/EBC=4ECB=45°,

•.•NBCK=90。,

NCKB=ZCBE=45°,

CB=CE,

•/CELBK,

:.BE=EK,

•/ZADC=45°,ZADB=\50,

/.ZCDK=ZCAE=30°,

NCKO=NAEC=135。，

MJDKsbCAE,

"=包=应，

AEAC

DK=42AE,

BD=BK+DK=2BE+五AE.

（2）解：①图形如图2所示:

图2

②结论：BD=42AE-2CE.

理由：过点A作A尸J_AE,交EO的延长线于点F（如图3）.

图3

A4BC是等边三角形，

..AB=AC,ZBAC=60°,

•.•AE平分NB4C,

/.Zl=-ZBAC=30°.

2

由旋转可知：AD=AC,NC4O=90。,

：.AB=AD,N2=NCAO-N8AC=30°,

N3=N4=75°,

Z5=Z4-Z1=45°,

AF±AE，

ZF=45°=Z5,

:.AF=AE,

:.EF=y/2AE,

Z6=NEAF-Zl-Z2=30°,

...N6=N1=30°,

又・.・//=/5=45。，AD=AB，

^ADF三AABE(SAS),

:.DF=BE，

VAB=ACfAE平分NBAC,

.♦.AE垂直平分BC,

CE=BE,

•.•BD=EF-DF-BE，

:.BD=yf2AE-2CE.

6.（2020♦东城区一模）如图，在正方形ABC。中，AB=3fM是C。边上一动点（不与。点重合），点。

与点E关于AM所在的直线对称，连接他，ME,延长C8到点尸，使得哥'=。"，连接所，AF.

（1）依题意补全图1;

（2）若DM=l,求线段EF的长；

（3）当点M在。。边上运动时，能使为等腰三角形，直接写出此时tanND4M的值.

【分析】（1）根据题意作出图形便可，

（2）连接8W,先证明吃，再证明AE4E岂，求得的0,便可得£F：

（3）设板=vX>0，求出4E、A尸、EF,当A4E/为等腰三角形，分两种情况：AE=即或4F=E户,

列出方程求出x的值，进而求得最后结果.

【解答】解：(1)根据题意作图如下:

・.•点D与点E关于AM所在直线对称,

:.AE=AD,ZMAD=ZMAE,

•.•四边形ABCO是正方形，

：.AD=AB^ND=NABF=90°,

,:BM=BF，

..AADM^AABF(SAS),

:.AF=AM,ZFAB=ZM\D,

/.ZFAB=ZNAE,

:.ZFAE=ZMAB,

AEAE=AMAB(SAS),

:.EF=BM,

•・•四边形A6CO是正方形,

/.BC=CD=AB=3，

-DM=1,

CM=2,

BM=VBC2+CA/2=V13,

:.EF=s/i3；

(3)设OM=Mx>0),则CM=3-x,

：.EF=BM=y/CM2+BC2=7^-6%+18,

-AE=AD=3,AF=AM=y]DM2+Alf=^+9,

:.AF>AE，

.•.当4怔户为等腰三角形时，只能有两种情况：AE=EF,或=

①当时，有«-6%+18=3,解得x=3

,2，DM3।

tanZ.DAM=------=—=1：

DA3

②当"'二所时，4-6『+18=&+9,解得，4=3,

2

3

-

2I

--

/.tanZ.DAM=------32

DA

综上，lan/DAM的值为1或上.

2

故答案为：tanNZMM的值为1或1.

2

7.（2020•石景山区一模）如图，点E是E方形ABC。内一动点，满足NAE8=90。且N8AE<45。，过点O

作。户，班1交班■的延长线于点尸.

（1）依题意补全图形；

（2）用等式表示线段所，DF,8石之间的数量关系，并证明；

（3）连接CE，若AB=2书,请直接写出线段CE长度的最小值.

【分析】（1）依题意补全图形；

（2）过点A作交五£）的延长线于点M,可证四边形AEFM是矩形，由“A4S”可证A4W,

可得跖=DW,AE=AM,可证矩形是正方形，可得£F=M/,可得结论；

（3）取A8中点O,连接。C,由勾股定理可求OC=5,由点E在以。为圆心，05为半径的圆上，可得

当点E在OC上时，CE有最小值，即可求解.

【解答】解：（1）依题意补全图形，如图，

（2）线段M,DF,BE的数量关系为：EF=DF+BE,

理由如下：如图，过点A作AM_L田交阳的延长线于点

.M

NM=ZF=ZAEF=90°,

四边形AEfM是矩形，

ZDAE+ZMAD=90°,

•・•四边形ABC。是正方形，

/.ZBAE+ZDAE=90°,AB=AD,

:.ZBAE=ZM\D.

又・.・NAEB=NM=90°,

:.6AEB^^AMD(AAS)

.\BE=DM.AE=AM^

矩形A£7力1是正方形，

:.EF=MF,

•/MF=DF+DM，

:.EF=DF+BE-.

（3）如图，取AB中点。，连接。C,

•/AB=2百

：.OB=5

:.OC=\IOB2+BC2=35+20=5,

•.•NAE8=90。，

.•.点£在以O为圆心，05为半径的圆上，

当点E在0C上时，CE有最小值，

・•.CE的最小值为5—逐.

8.(2020•西城区一模)如图，在等腰直角A4BC中，NACB=90。.点P在线段上，延长3c至点。，

使得CQ=CP，连接AP，AQ.过点8仕3O_LAQ于点O,交A尸于点E,交AC于点尸.K是线段4)

上的一个动点(与点A，。不重合)，过点K作GNJ.4产于点”，交于点G,交4c于点M,交FD的

延长线于点N.

(1)依题意补全图1；

(2)求证：NM=NF；

(3)若AM=CP,用等式表示线段AE,GN与6N之间的数量关系，并证明.

乂A

【分析】（1）根据题意补全图1即可；

（2）根据等腰三角形的性质得到AP=AQ,求得ZAPQ=NQ,求得NMFN=NQ,同理，NNMF=ZAPQ,

等量代换得到NMFN=NFMN,于是得到结论；

（3）连接CE,根据线段垂直平分线的性质得到人P=4Q.求得N24C=NQ4C,得到NCAQ=/QE1）.

根据全等三角形的性质得到CP=C产，求得AM=CF,得到越=破，推出直线CE垂更平分川，得到

/ECB=ZECA=45。，根据全等三角形的性质即可得到结论.

【解答】解：（1）依题意补全图1如图所示；

（2）•:CQ=CP,ZACB=90°,

:.AP=AQ,

乙”Q=NQ,

•：BDLAQ,

.../QBD+N。=NQBD+4BFC=90°,

/.NQ=NBFC,

•・•Z.MFN=Z.BFC,

NMFN=NQ,

同理，NNM产=4PQ,

，ZMFN=4FMN,

NM=NF；

(3)连接CE，

vAC1PQ,PC=CQ,

AP=AQ,

ZPAC=^QAC,

BDLAQ,

ZDBQ+ZQ=90°,

NQ+NCAQ=90。，

/.ZCAQ=ZQBD,

ZPAC=ZFBC,

-AC=BCtZ.ACP=ZBCF,

^APC=^BFC(AAS),

CP=CF,

・：AM=CP,

AM=CF,

Z.CAB=Z.CBA=45°,

:.ZEAB=ZEBA^

:.AE=BE，

-AC=BC,

，直线CE垂直平分AB,

二NECB=/ECA=45°,

/.ZGAM=NECF=45°,

NAMG=ZCFE,

AAGMm^CEF(ASA),

..GM=EF,

BN=BE+EF+FN=AE+GM+MN,

图1

9.（2020•通州区一模）已知线段AB,过点A的射线/_LA8.在射线/上截取线段AC=A3,连接8C,点

M为8c的中点，点P为AB边上一动点,点N为线段8W上一动点，以点?为旋转中心，将A8PN逆时

针旋转90。得到AD/E,8的对应点为。，N的对应点为E.

（1）当点N与点”重合，且点尸不是他中点时，

①据题意在图中补全图形；

②证明：以A,M,E,。为顶点的四边形是矩形.

（2）连接目W.若AB=4,从下列3个条件中选择1个：

①BP=1,②PN=1,⑤BN=3.,

当条件③（填入序号）满足时，一定有=并证明这个结论.

A'-------------------B

【分析】（1）①按照题中叙述画出图形即可；②如图，连接AE，AM.由题意可知&48c是等腰直角三角

形，由旋转可知ADPEWABPN，通过一组对边平行且相等的四边形是平行四边形及有一个角是直角的四边

形是矩形进行判断即可；

（2）当条件③BN=夜满足时，一定有£M=E4.先证明四边形后以纪是矩形再证明FE垂直平分AM,

从而可得答案.

【解答】解：（1）①补全图形如下:

②证明：如图，连接AK,AM.

由题意可知：。在BC上，&48c是等腰直角三角形，则AM=-BC^

9

・・•旋转,

..&DPE=kBPN,

:.DE=BN=>BC,ZEDP=ZPBD.

2

/EDB=NEDP+NPDB=NPBD+NPDB=90°,

EDIBC,

：.EDUAM,且田=/W，

四边形4处为平行四边形.

又•・•AM±BC,

ZAMD=90°,

四边形AWE是矩形.

(2)答：当条件③8N=应满足时，一定有EM=E4.

证明：与(1)②同理，此时仍有△DPEwABPN,

:.DE=BN=&,DE1BC,

取AM的中点尸，连接庄，如图所示：

・.・AB=4,则AM=4xsin45o=20,

;.FM=应.

:.EDHFM，且瓦)=fM，

四边形EVfl就是平行四边形,

又FM_L8C,

NFMD=90°,

二.四边形RMDE是矩形.

..FELAM,且=

.\EA=EM.

故答案为：③.

10.(2020•延庆区一模)如图1,在等腰直角AABC中，NA=90。，AB=AC=3,在边A8上取一点。(点

。不与点A,8重合)，在边AC上取一点E,使AE=AZ),连接OE.把MDE绕点A逆时针方向旋转

a(00<a<360°),如图2.

(1)请你在图2中，连接CE和判断线段CE和8。的数量关系，并说明理由；

(2)请你在图3中，画出当a=45。时的图形，连接CE和BE,求出此时ACBE的面积；

(3)若AD=\，点”是C。的中点，在A4Z)E1绕点A逆时针方向旋转的过程中，线段AM的最小值是.

图1卸图3

【分析】(1)如图1中，连接EC,BD.结论：BD=CE.证明A4OB三乙4EQSAS)即可解决问题.

(2)证明：AEWBC,推出ACBE的面枳与A4BC的面积相等，即可解决问题.

(3)如图3中，延长AM到N,使得例N=N何，连接CN,DM.求出AM的取值范围即可解决问题.

【解答】解：⑴如图1中，连接EC,BD.结论：BD=CE.

图2

理由：vZ54C=ZDAE=90°,

Z5AD=ZCAE,

•/AB=AC,AD=AE,

/.A4Z出三&4EC(SAS).

BD=CE.

(2)如图2中，

图2

由题意：NC4E=45。,

-AC=AB,ZCAfi=90°,

二ZACB=ZABC=45°,

AEf/BC.

二.ACB£的面积与AABC的面积相等.

•.•A4BC的面积为4.5,

/.ACSE的面积4.5.

(3)如图3中，延长AM到N,使得MN=AA/,连接CN,DM.

AM=MN,CM=MD,

四边形A0NC是平行四边形,

AD=CN=\,

vAC=3,

.•.3-啜%N3+1,

2^AM4,

二.1釉M2,

「.40的最小值为1.

故答案为1.

11.（2020•房山区一模）如图1,在等腰RtAABC中，ZBAC=90°,=AC=2,点M为5C中点.点P

为A8边上一动点，点。为3C边上一动点，连接。P,以点尸为旋转中心，将线段PD逆时针旋转90。，得

到线段PE,连接EC.

图1图2

（1）当点尸与点A重合时，如图2.

①根据题意在图2中完成作图;

②判断EC与BC的位置关系并证明.

（2）连接£M,写出一个BP的值,使得对于任意的点。总有EM=EC,并证明.

备用图备用图

【分析】（1）①根据要求画出图形即可.

②结论：ECA.BC.证明ABAQ会ACAE,推出N4CE==45。即可解决问题.

7

(2)当3P=W时，总有EM=EC.如图3中，作PS_L6C于S,作/NU5,并使得PN=PS,连接NE,

3

延长WE交BC+。，连接EM，EC.通过计算证明QM=QC,利用线段的垂直平分线的性质解决问题即

可.

【解答】解：(1)①图形如图2中所示：

图2

②结论：EC1BC.

理由：VAB=AC,NBAC=90°,

ZB=ZACB=45°,

VZEAD=NBAD=90°,

..ABAD=ZCAE,

VAD=AE,

/.ABAD^^CAE(SAS),

/.NB=NACE=45。,

...4BCE=ZACB+ZACE=90°，

ECLBC.

a

(2)当=2时，总有£M=EC.

2

理由：如图3中，作PS_L8c于5,作网3,并使得PN=PS，连接NE，延长NE交BCJQ,连接EM，

EC.

PD=PE，NDPE=NSPN=900,

ZDPS=NEPN,

PS=PN,

ADPS三^EPN(SAS),

:.PN=PS,NPSD=NN=90。，

•;NPEQ=/PSQ=4SPN=90。，

四边形PNQS是矩形，

PS=PN,

••・四边形PNQS是正方形，

3

=ZB=45°,A8=2,

2

..BS=PS=—,8C=2夜，

4

/.BQ=2BS=—,QC=—,

22

•・•”是6c的中点,

MC=yf2,

•.MQ=QC=^,

-EQLCM,

/.NQ是CM的垂直平分线，

/.EM=EC.

12.（2020•门头沟区一模）在AA8C中，/AC6=90。，NC48=30。，点。在他上，连接CO,并将。。绕

点0逆时针旋转60。得到。石，连接

（1）如图1,当点。为AB中点时，直接写出。石与AE长度之间的数量关系；

（2）如图2,当点。在线段45上时，

①根据题意补全图2；

②猜想OE与4七长度之间的数量关系，并证明.

【分析】（1）想办法证明A4DE是等边三角形即可解决问题.

（2）①根据要求画出图形即可.

②首先证明△的长，△FBC都是等边三角形，再证明=推出N4=25=60,证明

LEFA=AEFC（SAS）可得结论.

【解答】解：（1）结论：DE=AE.

理由：如图1中,

/.AB=2BC,Z.B=60°,

•.•AD=DB，

CD=AD=DB,

・•.ACDB是等边三角形，

/.ZCDB=60°,

vDC=DE,ZCDE=60°,

/.ZADE=1800-ZED-ZCDB=60°,

VDA=DC,DC=DE,

AD=DE，

.•.△ME是等边三角形，

:.DE=AE.

(2)①图形如图2所示:

E

DB

图2

②如图2-1中，结论：DE=AE.

理由：取AB的中点尸，连接CE，CF,EF.

vZACB=90°,AF=BF，

..CF=AF=BF,

ZB=60°,

，ABC户是等边三角形，

vDC=DE,ZCDE=60°,

.•.△ECO是等边三角形，

/.Zl+Z2=Z2+Z3=60°,CE=CD,CF=CB,

Z1=Z3,

bECF=ADCB(SAS),

:♦/5=NB=60°,

vZ6=60°,

/.Z4=Z5=60°,

,.・EF=EF，FA=FC,

bEFA岂^EFC(SAS),

AE=EC,

EC=ED,

:.AE=ED.

13.(2020•朝阳区一模)四边形ABC。是正方形，将线段C。绕点C逆时针旋转力(0。<〃<45。)，得到线

段CE,连接。过点3作班'交DE的延长线于尸，连接BE.

(1)依题意补全图1;

(2)直接写出NABE的度数；

(3)连接人/，用等式表示线段A/与QE的数量关系，并证明.

【分析】(1)按照题中的表述画出图形即可；

(2)ZTOE的度数为45。.由题意得，CD=CE=CB,ZECD=2a,NABC=/BCD=NCDA=NDAB=90。,

根据三角形内角和与互余关系分别推理即可；

(3)作㈤左，交8户的延长线于点H,判定=AE4ZX4SA),可得//»=&>AH=AF^HF=DE,

N"=45。，从而可得〃尸与4户的数量关系，则可得线段4万与OE的数量关系.

【解答】解：(1)补全图形，如图所示:

(2)NFBE=45。.设。尸与4B交于点G,如图所示:

由题意得，CD=CE=CB,ZECD=2a,ZABC=ZBCD=ZCDA=ZDAB=90°,

NEDC=90°-a,Z.BCE=90°-2a,

ZCSE=45°+a,Z.ADF=a,

/.NABE=45°-a.

vBFLDE,

NBFD=90。.

ZAGD=ZFGB,

NFBG=a

/.4FBE=/FEB=45°.

(3)DE=42AF•

证明：如图，作尸，交8户的延长线于点”,

由（2）得NFBE=/FEB=45。.

:.FB=FE.

-AH.LAF，/8AO=90°,

:.ZHAB=ZFAD^

AHAB^^FAD（ASA）,

:.HB=FD,AH=AF,

:.HF=DE,Z/7=45°.

:.HF=j2AF.

:.DE=42AF.

14.（2020•密云区一模）已知NMCN=45。，点8在射线CM上，点A是射线CN上的一个动点（不与点C

重合）.点。关于CN的对称点为点D,连接AB、和CO,点F在直线BC上，且满足AF-AD.小明

在探究图形运动的过程中发现：瓶_1_4）始终成立.

（1）如图1,当0。＜/84。＜90。时.

①求证：AFYADi

②用等式表示线段CF、C。与C4之间的数量关系，并证明；

（2）当90。＜/84。＜135。时，直接用等式表示线段CF、C。与CA之间的数量关系是.

NDN、

A

图1备用图

【分析】（1）①根据轴对称的性质得到AABC三AAOC,求得NA8C=NAOC,NAC3=NAC£>=45。，根据

等腰三角形的性质和四边形的内角和即可得到结论;

②过A作AP_LAC交CB的延长线于P,求得AAPC是等腰直角三角形，ZPAC=90°,AP=AC,得到

ZPAF=ZDAC,根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论;

（3）如图2,过A作AC交CB的延长线于尸，求得A4PC是等腰宜角三角形，ZPAC=90°,AP=AC,