2018高考立体几何复习题型归纳

题型五：空间中的夹角

知识点：夹角的分类：线线夹角、线面夹角、面面夹角

三者在计算或证明时的转换关系：

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面面线面线线

计算三种夹角的方法：勾股定理、向量、坐标等，对于夹角问题我们一般分为三个步骤：

①找角，②证明所找的角，

③计算所找角的大小(切记不可找出来之后不证明就开始计算)

异面直线的夹角问题：

例36：在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，

P

ZBAD=9。，WBC,AB=BC=aAD=2Q,PAL底面ABCD,叨与底面成30。

(1)若AE_LPD,E为垂足，求证：BELPD；

(2)在(1)的条件下，求异面直线AE与CD所成角的正切值；

R(：

例37：如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点.

(1)求证：MN〃平面PAD；(2)若MN=BC=4,PA=4B求异面直线PA与MN所成的角的大小

------M--------B

例38：如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面A6CO,w

NBJ■平面A8C。，且MD=NB=1,E为BC的中点求异面直线O/；、工'

NE与AM所成角的余弦值

AH

例40：已知正四面体ABC。中，各边长均为。，如图所示，E,尸分别为AO,8C的中点，连接AF,CE,求

异面直线ARCE所成角的余弦值。

例41：已知S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SA=SB=SC,且NASB=NBSC=』CSA=],

M、N分别是AB和SC的中点.求异面直线SM与BN所成的角的余弦值.

C

例42：已知三棱柱A8C-AgC的侧棱与底面边长都相等，4在底面A8C上的射影为8C的中点，则异面

直线43与cq所成的角的余弦值为（）

(A)弓(B)手©,⑻|

例44：如图，四面体ABCD中，AB±BC,AB±BD,BC_LCD,且AB=BC=6,BD=8,E是AD中点，求

BE与CD所成角的余弦值。

线面夹角(了解)：

例45：如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA_L底面ABCD,AC=2"PA=AD=2,E是PC上的一点,

设二面角A-PB-C为90°,求PD与平面PBC所成角的大小。

例46：如图，直三棱柱ABC—A4G中，AB_LAC,D、E分别是A4,，与。的中点，OE_L平面8CG•

(1)证明：AB=AC

(2)设二面角A-BD-C为60°,求gC与平面BCD所成的角的大小

B

真题:

【】如平面a过正方体A8Q)一小AC&的顶点4,a〃平面。片〃，af)平面ABCD=m,afl平面4吕用人=〃,

则如〃所成角的正弦值为

（A）程（B）*©*（D）1

【】如图，在三棱锥A&G中，ZABC=90,AB=AC=2,AA1=4,A］在底

面ABC的射影为BC的中点，D为&G的中点.

(1)证明：AD，平面A|BC；(2)求直线A》和平面BgCC1所成的角的正弦值.

D

文18］如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABC£＞为菱形，P4_L底面ABC。，AC=20PA=2,E是

PC上的一点，PE=2EC。

（I）证明：PC_L平面BE。；

（II）设二面角4一P8-C为90,求尸。与平面P8C所成角的大小。

【高考湖南，文18］（本小题满分12分）如图4,直三棱柱ABC-AqG的底面是边长为2的正三角形，E,F

分别是BC,CG的中点。（I）证明：平面AE尸_L平面4BCG；

（II）若直线4。与平面AA8与所成的角为45,求三棱锥产一4EC的体积。

题型六：距离问题：点线距离（定义法、等体积法、向量法、空间坐标法）；线面距离；面面距离。

例47：已知正四棱柱ABCO-AMGA的地面边长为1,则棱场为2,点E为Cg的中点，求点。到平面BDE

的距离。

例48：已知正四棱柱A8CO—A片GA中，A3=2,CC、=2亚,E为CG的中点，则直线与平面BED

的距离为（）

A.2B.x/3C.>/2D.1

例49：在A4BC中,AB=15,ZBC4=120°,若A45C所在平面a外一点P到A、B、C的距离都是14,则P

到a的距离是（）

A.13B.11C.9D.7

例50：如图，在四棱锥O—ABCD中，底面4BCO四边长为1的菱形，ZABC=-tO4_L底面ABC。,

4

Q4=2,M为。4的中点，N为3C的中点

（I）证明：宜线MN〃平面OCO；

（II）求异面直线AB与MD所成角的大小；

（III）求点B到平面OCD的距离。

例51：a和。为平面，acB=/,Awa,Bw0,AB=5,A,B在棱1上的射影分别为A',B',AN=3,BBZ=

2.若二面角a-/-。的大小为求，点B到平面a的距离为―

例52：P为矩形ABCD所在平面外一点，且PA_L平面ABCD,P到B,C,D三点的距离分别是石，J万，JF,

则P到A点的距离是()

A.1B.2C.石D.4

例53：如图，在四棱锥O—A8C。中，底面A8CO四边长为1的菱形,

ZABC=-,Q4_L底面48CO,Q4=2,M为0A的中点，N为BC的

4

中I占ZWi

(I)证明：宜线MN〃平面OCO；

(II)求异面直线AB与MD所成角的大小；(IH)求点B到平面OCD的距离

例54：如图，直四棱柱ABCD-ABCD中,AB〃CD,AD_LAB,AB=2,AD二错误!未找到引用源。，AA产3,E为CD上一

点,DE=1,EC=3

(1)证明：BE_L平面BBCC;

(2)求点Bl到平面EAC的距离

例55：如图，己知多面体ABC—DEFG中，AB、AC、AD两两互相垂直，平面ABC

A

〃平面DEFG,平面BEF〃平面ADGC,AB=AD=DG=2,AC=EF=lo

(1)试判断CF是否与平面ABED平行？并说明理由；

(2)求多面体ABC-DEFG的体积。

例56：如图，四面体ABCD中，0、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=V2.

(I)求证：AOJ_平面BCD：

(II)求点E到平面ACD的距离。

例57：如图，在四棱锥P-ABCD中,例_1_平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB//DC,ZBCD=90%

(1)求证：PC±BC；

⑵求点A到平面PBC的距离。

题型七：求体积问题

例58：如图，A3EDFC为多面体，平面45a与平面ACFD垂直，点O在线段AO上，04=1,OD=2,

△OAB,AOAC,AODE,aODF都是正三角形。

(I)证明直线NC〃七尸；(II)求棱锥尸一。区互＞的体积.

m（i9）isEB

例59：如图，三棱柱ABC—ABG中，侧棱垂直底面，ZACB=90°,AC=BC=|AA“D是棱AA1的中点

(I)证明：平面BDG_L平面BDC

(II)平面BDG分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.

真题:

[]如图，在四棱锥P-48CO中，AB//CD,且NBAP=NC£>P=90

(1)证明：平面PAB_L平面PAO；

8

(2)若P4=PD=AB=OC,44尸。=90°,且四楂锥P-ABCD的体积为一，求该四棱锥的侧面积.

3

［年新课标II第18题】如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=-AD,

2

ZBAD=ZABC=900<>

(1)证明：直线BC〃平面PAD;

(2)若4PAD面积为2成,求四棱链P-ABCD的体积。

【第19题】如图，四面体ABCD中，△A8C是正三角形，AD=CD.

(1)证明：ACLBD,

(2)已知△ACO是直角三角形，AB=BD.若E为棱8。上与。不重合的点，且4E_L£C,求四面体A8CE

与四面体ACDE的体积比.

B

A

【高考】如图，已知正三棱锥尸力死的侧面是直角三角形，处=6,顶点〃在平面力回内的正投影为点。，〃在平

面处8内的正投影为点£,连结用并延长交49于点G.

(I)证明：G是48的中点；

(II)在图中作出点〃在平面为C内的正投影尸(说明作法及理由)，并求四面体如矿的体积.

【卷高考】如图，菱形A3CD的对角线AC与交于点0,点E、/分别在AO,CD上，AE=CF,EF

交BD于点、H,将ADEF沿EF折到AD'EF的位置.

(I)证明：AC1HD\

(n)若AB=5,AC=6,AE=3,OO'=20,求五棱锥Z7一ABCEF体积.

4

年全国III卷高考】如图，四棱锥尸—ABC中，PA_L平面A8CD,AD//BC,AB=AD=AC=3,

PA=BC=4,M为线段A0上一点，AM=2MD