2023年高中数学基础知识梳理及基础题型归纳-立体几何模块-第五节空间几何体的表面积和体积

第五节空间几何体的表面积和体积【知识点20】空间几何体的表面积一般地，我们可以把多面体展开成平面图形，求出展开图中各个小多边形的面积，然后相加即为多面体的表面积．1.直棱柱和正棱锥的表面积(1)直棱柱的侧面积①侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱．②直棱柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于直棱柱的底面周长c，宽等于直棱柱的高h，因此，直棱柱的侧面积是S直棱柱侧＝ch.③底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱．(2)正棱锥的侧面积①如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心，那么称这样的棱锥为正棱锥．正棱锥的侧棱长都相等．②棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成的，展开图的面积就是棱锥的侧面积．如果正棱锥的底面周长为c，斜高(即侧面等腰三角形底边上的高)为h′，它的侧面积是S正棱锥侧＝eq\f(1,2)ch′.2.正棱台的表面积正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台．与正棱锥的侧面积公式类似，若设正棱台的上、下底面的周长分别为c′，c，斜高为h′，则其侧面积是S正棱台侧＝eq\f(1,2)(c＋c′)h′.3.圆柱、圆锥、圆台的表面积【推导圆柱侧面积及表面积】S侧＝2πrl，S表＝2πr(r＋l)．【推导圆锥侧面积及表面积】底面周长是2πr，利用扇形面积公式得S侧＝eq\f(1,2)×2πrl＝πrl，S表＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)．【推导圆台侧面积及表面积】由题图知，圆台的侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，则eq\f(x,x＋l)＝eq\f(r,R)，解得x＝eq\f(r,R－r)l.S扇环＝S大扇形－S小扇形＝eq\f(1,2)(x＋l)×2πR－eq\f(1,2)x×2πr＝π[(R－r)x＋Rl]＝π(r＋R)l，所以S圆台侧＝π(r＋R)l，S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2)．图形表面积公式旋转体圆柱底面积：S底＝2πr2，侧面积：S侧＝2πrl，表面积：S＝2πr(r＋l)圆锥底面积：S底＝πr2，侧面积：S侧＝πrl，表面积：S＝πr(r＋l)圆台上底面面积：S上底＝πr′2，下底面面积：S下底＝πr2，侧面积：S侧＝π(r′l＋rl)，表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)【典型例题】【类型一】求多面体的侧面积和表面积【例1】正四棱台两底面边长分别为a和b(a<b)．(1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积；(2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高．【变式1】已知正四棱台的高是12cm，两底面边长之差为10cm，表面积为512cm2，求底面的边长．【反思】(1)求棱锥、棱台及棱柱的侧面积和表面积的关键是求底面边长，高，斜高，侧棱．求解时要注意直角三角形和梯形的应用．(2)正棱柱、正棱锥、正棱台的所有侧面都全等，因此求侧面积时，可先求一个侧面的面积，然后乘以侧面的个数．(3)棱台是由棱锥所截得到的，因此棱台的侧面积也可由大小棱锥侧面积作差得到．【变式2】已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，高为3，求它的表面积．【变式3】如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，三棱锥D1—AB1C的表面积与正方体的表面积的比为________．【思考1】如图，已知正三棱锥S－ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积．【类型二】与三视图结合综合问题【例2】某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的表面积为.【变式1】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A.B.C.D.【变式2】如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体各面中直角三角形的个数是A.B.C.D.【变式3】已知一个几何体的三视图如图所示（单位:），其中俯视图为正三角形,则该几何体的体积为_______【思考2】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为.【思考3】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A.60B.30C.20D.10【变式1】如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为（）A.8B.4C.D.【类型三】求旋转体的表面积【例3】圆台的上、下底面半径分别为10cm和20cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积是________cm2.(结果中保留π)【变式1】圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，求圆台较小底面的半径．【反思】(1)求圆柱、圆锥和圆台的侧面积和表面积，只需求出上、下底半径和母线长即可，求半径和母线长时常借助轴截面．(2)解答旋转体的侧面积与表面积问题可先把空间问题转化为平面问题，即在展开图内求母线的长，再进一步代入侧面积公式求出侧面积，进而求出表面积．(3)旋转体的轴截面是化空间问题为平面问题的重要工具，因为在轴截面中集中体现了旋转体的“关键量”之间的关系．在推导这些量之间的关系时要注意比例性质的应用．【变式2】若圆锥的母线长为2cm，底面圆的周长为2πcm，则圆锥的表面积为________cm2.【变式3】以圆柱的上底中心为顶点，下底为底作圆锥，假设圆柱的侧面积为6，圆锥的侧面积为5，求圆柱的底面半径．【变式4】若一个圆台的轴截面如图所示，则其侧面积等于______．【变式5】．一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________．【类型四】与三视图结合的综合问题【例4】一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为的直角三角形，俯视图是半径为，圆心角为的扇形，则该几何体的表面积是（）A.B.C.D.【变式1】如图是一个封闭几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A.B.C.D.【类型五】简单组合体的表面积【例5】牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合体，尺寸如图所示(单位：m)，请你帮助算出要搭建这样的一个蒙古包至少需要多少篷布？(精确到0.01m2)【反思】(1)组合体的侧面积和表面积问题，首先要弄清楚它是由哪些简单几何体组成，然后再根据条件求各个简单组合体的基本量，注意方程思想的应用．(2)在实际问题中，常通过计算物体的表面积来研究如何合理地用料，如何节省原材料等，在求解时应结合实际，明确实际物体究竟是哪种几何体，哪些面计算在内，哪些面实际没有．【变式1】有两个相同的直棱柱，高为eq\f(2,a)，底面三角形的边长分别为3a,4a,5a(a>0)．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，求a的取值范围．【变式2】如图所示，△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，作CD⊥AB，垂足为点D.以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积．【方法小结】1．多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和．棱柱的表面积等于它的侧面积加底面积；棱锥的表面积等于它的侧面积加底面积；棱台的表面积等于它的侧面积加两个底的面积．2．有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解．而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解．3．S圆柱表＝2πr(r＋l)；S圆锥表＝πr(r＋l)；S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2)．【思考1】如图(1)所示，已知正方体面对角线长为a，沿阴影面将它切割成两块，拼成如图(2)所示的几何体，那么此几何体的表面积为________．【思考2】一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，在其中有一个高为xcm的内接圆柱．(1)求圆锥的侧面积；(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？求出最大值．【变式1】已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为________．【知识点21】空间几何体的体积一、一、柱体、锥体、台体的体积公式1．柱体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)．2．锥体的体积公式V＝eq\f(1,3)Sh(S为底面面积，h为高)．3．台体的体积公式V＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)h(S′，S为上、下底面面积，h为高)．4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V＝ShV＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)hV＝eq\f(1,3)Sh.二、球的表面积和体积公式1．球的表面积公式S＝4πR2(R为球的半径)．2．球的体积公式V＝eq\f(4,3)πR3.三、球体的截面的特点1．球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆．2．利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径．【类型一】柱体、锥体、台体的体积【例1】(1)如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为____________．(2)现有一个底面直径为20cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6cm，高为20cm的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中．当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降________cm.【反思】(1)常见的求几何体体积的方法①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．(2)求几何体体积时需注意的问题柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．【变式1】如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C－A′DD′，求棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比．【变式2】已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20cm和30cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．【变式3】已知正三棱锥S—ABC，D，E分别为底面边AB，AC的中点，则四棱锥S—BCED与三棱锥S—ABC的体积之比为________．【变式4】圆柱形容器内盛有高度为6cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，如图所示．则球的半径是________cm.【变式5】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为____cm3.【类型二】球的表面积与体积【例2】（外接球）(1)设长方体的长，宽，高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．(2)求球与它的外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比．【变式1】一倒置圆锥体的母线长为10cm，底面半径为6cm.(1)求圆锥体的高；(2)一球刚好放进该圆锥体中，求这个球的半径以及此时圆锥体剩余的空间．【反思】(1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝eq\f(a,2)，过在一个平面上的四个切点作截面如图①.(2)球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r2＝eq\f(\r(2),2)a，如图②.(3)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3＝eq\f(1,2)eq\r(a2＋b2＋c2)，如图③.(4)正方体的外接球正方体棱长a与外接球半径R的关系为2R＝eq\r(3)a.(5)正四面体的外接球正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为2R＝eq\f(\r(6),2)a.【练习1】长方体共顶点的三个侧面面积分别为eq\r(3)，eq\r(5)，eq\r(15)，则它的外接球表面积为________．【练习2】将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为________．【练习3】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．【练习4】三棱锥中，互相垂直，，是线段上一动点，若直线与平面所成角的正切的最大值是，则三棱锥的外接球的表面积是（）A.B.C.D.【例3】在正三棱锥S-ABC中，SA=27，AB=6，则该三棱锥外接球的直径为A.7B.8C.9D.10【反思】在一个多面体的面找外接圆的圆心，过该圆的圆心，作垂直于该面的垂线，球心O在垂线上，构造三角形，解三角形。【练习1】一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的外接球的表面积为()A.B.C.D.【练习2】三棱锥中，平面，且，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A.B.C.D.【例4】（球的截面问题）已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，求球的表面积与球的体积．【反思】设球的截面圆上一点A，球心为O，截面圆心为O1，则△AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形，在解答球心的截面问题时，常用该直角三角形求解，并常用过球心和截面圆心的轴截面．【练习3】用过球心的平面将一个球分成两个半球，则两个半球的表面积之和是原来整球表面积的______倍．【类型三】组合体的体积【例4】如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．反思与感悟代公式计算几何体的体积时，注意柱体与锥体的体积公式的区别．【练习1】如图(1)所示，一只装了水的密封瓶子可以看成是由底面半径为1cm和底面半径为3